Теория гомотопии

Раздел математики

В математике теория гомотопий — это систематическое изучение ситуаций, в которых отображения могут иметь гомотопии между собой. Она возникла как тема в алгебраической топологии , но в настоящее время изучается как самостоятельная дисциплина.

Приложения к другим областям математики

Помимо алгебраической топологии, эта теория также использовалась в других областях математики, таких как:

• Алгебраическая геометрия (например, теория гомотопии A 1 )
• Теория категорий (в частности, изучение высших категорий )

Концепции

Пространства и карты

В теории гомотопий и алгебраической топологии слово «пространство» обозначает топологическое пространство . Чтобы избежать патологий , редко работают с произвольными пространствами; вместо этого требуется, чтобы пространства соответствовали дополнительным ограничениям, таким как компактно порожденное слабое Хаусдорфово или CW-комплекс .

В том же ключе, что и выше, « карта » — это непрерывная функция, возможно, с некоторыми дополнительными ограничениями.

Часто работают с точечным пространством — то есть с пространством с «отличительной точкой», называемой базовой точкой. Точечное отображение — это отображение, которое сохраняет базовые точки; то есть оно отправляет базовую точку домена в базовую точку кодомена. Напротив, свободное отображение — это то, которое не нуждается в сохранении базовых точек.

Декартово произведение двух точечных пространств не является естественно точечным. Заменой является smash-произведение , которое характеризуется сопряженным отношением ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle X\wedge Y}$

${\displaystyle \operatorname {Map} (X\wedge Y,Z)=\operatorname {Map} (X,\operatorname {Map} (Y,Z))}$,

то есть, smash-произведение является аналогом тензорного произведения в абстрактной алгебре (см. тензорно-гомовое присоединение ). Явно, является частным от деления на клиновидную сумму . ${\displaystyle X\wedge Y}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle X\vee Y}$

Гомотопия

Пусть I обозначает единичный интервал . Карта ${\displaystyle [0,1]}$

${\displaystyle h:X\times I\to Y}$

называется гомотопией из карты в карту , где . Интуитивно мы можем думать о как о пути из карты в карту . Действительно, можно показать, что гомотопия является отношением эквивалентности . Когда X , Y являются точечными пространствами, отображения должны сохранять базовую точку, и гомотопия называется базированной гомотопией. Базированная гомотопия — это то же самое, что (базированная) карта , где есть вместе с непересекающейся базовой точкой. ^[1] ${\displaystyle h_{0}}$ ${\displaystyle h_{1}}$ ${\displaystyle h_{t}(x)=h(x,t)}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h_{0}}$ ${\displaystyle h_{1}}$ ${\displaystyle h_{t}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle X\wedge I_{+}\to Y}$ ${\displaystyle I_{+}}$ ${\displaystyle I}$

Дано выделенное пространство X и целое число , пусть будут гомотопическими классами базовых отображений из (выделенной) n -сферы в X. Как оказывается, ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle \pi _{n}X=[S^{n},X]}$ ${\displaystyle S^{n}\to X}$ ${\displaystyle S^{n}}$

• для , являются группами, называемыми гомотопическими группами ; в частности, называется фундаментальной группой X , ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle \pi _{n}X}$ ${\displaystyle \pi _{1}X}$
• для , являются абелевыми группами по аргументу Экмана–Хилтона , ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle \pi _{n}X}$
• ${\displaystyle \pi _{0}X}$можно идентифицировать с набором путеводно-связных компонентов в . ${\displaystyle X}$

Каждая группа является фундаментальной группой некоторого пространства. ^[2]

Отображение называется гомотопической эквивалентностью , если существует другое отображение, такое что и оба гомотопны тождествам. Два пространства называются гомотопически эквивалентными, если между ними существует гомотопическая эквивалентность. Класс гомотопической эквивалентности пространств тогда называется гомотопическим типом . Существует более слабое понятие: отображение называется слабой гомотопической эквивалентностью , если является изоморфизмом для каждого выбора базовой точки. Гомотопическая эквивалентность является слабой гомотопической эквивалентностью, но обратное не обязательно верно. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f\circ g}$ ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f_{*}:\pi _{n}(X)\to \pi _{n}(Y)}$ ${\displaystyle n\geq 0}$

Через присоединение

${\displaystyle \operatorname {Map} (X\times I,Y)=\operatorname {Map} (X,\operatorname {Map} (I,Y)),\,\,h\mapsto (x\mapsto h(x,\cdot ))}$,

Гомотопию иногда рассматривают как карту . ${\displaystyle h:X\times I\to Y}$ ${\displaystyle X\to Y^{I}=\operatorname {Map} (I,Y)}$

комплекс ХО

Комплекс CW — это пространство, имеющее фильтрацию , объединение которой равно и такое, что ${\displaystyle X\supset \cdots \supset X^{n}\supset X^{n-1}\supset \cdots \supset X^{0}}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X^{0}}$представляет собой дискретное пространство, называемое множеством 0-ячеек (вершин) в . ${\displaystyle X}$
2. Каждый из них получается путем присоединения нескольких n -дисков, n- ячеек, к картам с помощью ; т.е. граница n-диска отождествляется с изображением в . ${\displaystyle X^{n}}$ ${\displaystyle X^{n-1}}$ ${\displaystyle S^{n-1}\to X^{n-1}}$ ${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle X^{n-1}}$
3. Подмножество открыто тогда и только тогда, когда открыто для каждого . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U\cap X^{n}}$ ${\displaystyle n}$

Например, сфера имеет две ячейки: одну 0-ячейку и одну -ячейку, так как может быть получена путем сжатия границы n -диска в точку. В общем случае каждое многообразие имеет гомотопический тип CW-комплекса; ^[3] на самом деле, теория Морса подразумевает, что компактное многообразие имеет гомотопический тип конечного CW-комплекса. ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle S^{n-1}}$

Примечательно, что теорема Уайтхеда утверждает, что для комплексов CW слабая гомотопическая эквивалентность и гомотопическая эквивалентность — это одно и то же.

Другим важным результатом является теорема аппроксимации. Во-первых, гомотопическая категория пространств — это категория, где объект — пространство, а морфизм — гомотопический класс отображения. Тогда

CW-аппроксимация  —  ^[4] Существует функтор (называемый функтором CW-аппроксимации)

${\displaystyle \Theta :\operatorname {Ho} ({\textrm {spaces}})\to \operatorname {Ho} ({\textrm {CW}})}$

из гомотопической категории пространств в гомотопическую категорию CW-комплексов, а также естественное преобразование

${\displaystyle \theta :i\circ \Theta \to \operatorname {Id} ,}$

где , такие, что каждое из них является слабой гомотопической эквивалентностью. ${\displaystyle i:\operatorname {Ho} ({\textrm {CW}})\hookrightarrow \operatorname {Ho} ({\textrm {spaces}})}$ ${\displaystyle \theta _{X}:i(\Theta (X))\to X}$

Аналогичные утверждения справедливы также для пар и эксцизных триад. ^{[5] [6]}

Явно, указанный выше функтор аппроксимации может быть определен как композиция сингулярного цепного функтора, за которым следует функтор геометрической реализации; см. § Симплициальное множество. ${\displaystyle S_{*}}$

Вышеприведенная теорема оправдывает распространенную привычку работать только с комплексами CW. Например, если задано пространство , можно просто определить гомологию для гомологии приближения CW (ячеистая структура комплекса CW определяет естественную гомологию, ячеистую гомологию , и это можно считать гомологией комплекса). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Кофибрация и фибрация

Карта называется кофибрацией, если задано: ${\displaystyle f:A\to X}$

1. Карта и ${\displaystyle h_{0}:X\to Z}$
2. Гомотопия ${\displaystyle g_{t}:A\to Z}$

такой, что , существует гомотопия , которая расширяется и такая, что . Примером является деформационный ретракт окрестности ; то есть содержит цилиндрическую окрестность отображения замкнутого подпространства и включение (например, трубчатую окрестность замкнутого подмногообразия). ^[7] Фактически, корасслоение можно охарактеризовать как пару деформационного ретракта окрестности. ^[8] Другим базовым примером является пара CW ; многие часто работают только с комплексами CW, и тогда понятие корасслоения там часто неявно. ${\displaystyle h_{0}\circ f=g_{0}}$ ${\displaystyle h_{t}:X\to Z}$ ${\displaystyle h_{0}}$ ${\displaystyle h_{t}\circ f=g_{t}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (X,A)}$

Расслоение в смысле Гуревича — это двойственное понятие корасслоения: то есть отображение является расслоением, если заданы (1) отображение и (2) гомотопия, такие что , то существует гомотопия, которая продолжается и такая, что . ${\displaystyle p:X\to B}$ ${\displaystyle h_{0}:Z\to X}$ ${\displaystyle g_{t}:Z\to B}$ ${\displaystyle p\circ h_{0}=g_{0}}$ ${\displaystyle h_{t}:Z\to X}$ ${\displaystyle h_{0}}$ ${\displaystyle p\circ h_{t}=g_{t}}$

В то время как корасслоение характеризуется существованием ретракта, расслоение характеризуется существованием секции, называемой подъемом пути следующим образом. Пусть будет обратным протягиванием отображения вдоль , называемым пространством путей отображения . ^[9] Рассматривая как гомотопию (см. § Гомотопия), если является расслоением, то дает гомотопию ^[10] ${\displaystyle p':Np\to B^{I}}$ ${\displaystyle p:E\to B}$ ${\displaystyle \chi \mapsto \chi (1):B^{I}\to B}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p'}$ ${\displaystyle Np\times I\to B}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p'}$

${\displaystyle s:Np\to E^{I}}$

такой, что где задается как . ^[11] Это называется подъемом пути, связанным с . Наоборот, если существует подъем пути , то является расслоением, поскольку требуемая гомотопия получается посредством . ${\displaystyle s(e,\chi )(0)=e,\,(p^{I}\circ s)(e,\chi )=\chi }$ ${\displaystyle p^{I}:E^{I}\to B^{I}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle s}$

Базовым примером расслоения является покрывающее отображение , поскольку оно поставляется с единственным подъемом пути. Если является главным G -расслоением над паракомпактным пространством, то есть пространством со свободным и транзитивным (топологическим) групповым действием ( топологической ) группы, то проекционное отображение является расслоением, поскольку расслоение Гуревича можно проверить локально на паракомпактном пространстве. ^[12] ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle p:E\to X}$

В то время как корасслоение инъективно с замкнутым образом ^[13] , расслоение не обязательно должно быть сюръективным.

Существуют также базовые версии кофибрации и расслоения (а именно, карты должны быть базовыми). ^[14]

Подъемное свойство

Говорят, что пара отображений и удовлетворяет свойству подъема ^[15], если для каждой коммутативной квадратной диаграммы ${\displaystyle i:A\to X}$ ${\displaystyle p:E\to B}$

существует карта , которая делает приведенную выше диаграмму все еще коммутативной. (Идея берет свое начало в теории модельных категорий .) ${\displaystyle \lambda }$

Пусть будет классом карт. Тогда говорят, что карта удовлетворяет свойству правого подъема или RLP, если удовлетворяет свойству подъема выше для каждого в . Аналогично говорят, что карта удовлетворяет свойству левого подъема или LLP, если она удовлетворяет свойству подъема для каждого в . ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle p:E\to B}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle i:A\to X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

Например, расслоение Гуревича — это в точности отображение , удовлетворяющее RLP для включений . Расслоение Серра — это отображение, удовлетворяющее RLP для включений , где — пустое множество. Расслоение Гуревича — это расслоение Серра, и обратное справедливо для комплексов CW. ^[16] ${\displaystyle p:E\to B}$ ${\displaystyle i_{0}:A\to A\times I}$ ${\displaystyle i:S^{n-1}\to D^{n}}$ ${\displaystyle S^{-1}}$

С другой стороны, кофибрация — это в точности отображение, удовлетворяющее LLP для оценочных отображений при . ${\displaystyle p:B^{I}\to B}$ ${\displaystyle 0}$

Петля и подвеска

В категории выделенных пространств есть два важных функтора: функтор цикла и функтор (редуцированной) надстройки , которые находятся в сопряженном отношении . Точнее, они определяются как ^[17] ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Sigma }$

• ${\displaystyle \Omega X=\operatorname {Map} (S^{1},X)}$, и
• ${\displaystyle \Sigma X=X\wedge S^{1}}$.

Из-за сопряженного отношения между произведением столкновений и пространством отображений имеем:

${\displaystyle \operatorname {Map} (\Sigma X,Y)=\operatorname {Map} (X,\Omega Y).}$

Эти функторы используются для построения последовательностей волокон и последовательностей коволокон . А именно, если это карта, то последовательность волокон, сгенерированная с помощью , является точной последовательностью ^[18] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \cdots \to \Omega ^{2}Ff\to \Omega ^{2}X\to \Omega ^{2}Y\to \Omega Ff\to \Omega X\to \Omega Y\to Ff\to X\to Y}$

где — гомотопическое волокно ; т.е. волокно, полученное после замены на (базовое) волокно. Последовательность коволокон, сгенерированная с помощью , где — гомотопическое коволокно , построенное как гомотопическое волокно (используйте фактор вместо волокна). ${\displaystyle Ff}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X\to Y\to Cf\to \Sigma X\to \cdots ,}$ ${\displaystyle Cf}$ ${\displaystyle f}$

Функторы ограничиваются категорией CW-комплексов в следующем слабом смысле: теорема Милнора гласит, что если имеет гомотопический тип CW-комплекса, то таковым является и его пространство петель . ^[19] ${\displaystyle \Omega ,\Sigma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Omega X}$

Классификация пространств и гомотопические операции

Для данной топологической группы G классифицирующее пространство для главных G - расслоений («с точностью до эквивалентности») — это пространство такое, что для каждого пространства X ${\displaystyle BG}$

${\displaystyle [X,BG]=}${главный G -пучок на X } / ~ ${\displaystyle ,\,\,[f]\mapsto [f^{*}EG]}$

где

• левая часть — множество гомотопических классов отображений , ${\displaystyle X\to BG}$
• ~ относится к изоморфизму расслоений, и
• = задается путем развертывания выделенного расслоения ( называемого универсальным расслоением) вдоль отображения . ${\displaystyle EG}$ ${\displaystyle BG}$ ${\displaystyle X\to BG}$

Теорема Брауна о представимости гарантирует существование классифицирующих пространств.

Спектр и обобщенные когомологии

Идея о том, что классифицирующее пространство классифицирует главные расслоения, может быть продвинута дальше. Например, можно попытаться классифицировать классы когомологий: если задана абелева группа A (такая как ), ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle [X,K(A,n)]=\operatorname {H} ^{n}(X;A)}$

где — пространство Эйленберга–Маклейна . Приведенное выше уравнение приводит к понятию обобщенной теории когомологий; т. е. контравариантного функтора из категории пространств в категорию абелевых групп , который удовлетворяет аксиомам, обобщающим обычную теорию когомологий. Как оказывается, такой функтор может быть непредставим пространством , но его всегда можно представить последовательностью (точечных) пространств со структурными отображениями, называемыми спектром. Другими словами, дать обобщенную теорию когомологий — значит дать спектр. K-теория является примером обобщенной теории когомологий. ${\displaystyle K(A,n)}$

Простейшим примером спектра является сферический спектр : ${\displaystyle S^{0}\to S^{1}\to S^{2}\to \cdots }$

Кольцевой спектр и спектр модуля

Ключевые теоремы

• Теорема Зейферта–ван Кампена
• Теорема об иссечение гомотопии
• Теорема Фрейденталя о подвеске (следствие теоремы об отсечении)
• Точная теорема о функторе Ландвебера
• Переписка Долда–Кана
• Аргумент Экмана–Хилтона — это показывает, например, что высшие гомотопические группы являются абелевыми .
• Теорема об универсальном коэффициенте
• Теорема Дольда–Тома

Теория препятствий и характеристический класс

См. также: Характерный класс , Башня Постникова , Кручение Уайтхеда

Локализация и завершение пространства

Конкретные теории

Существует несколько конкретных теорий

• простая гомотопическая теория
• стабильная гомотопическая теория
• хроматическая гомотопическая теория
• рациональная гомотопическая теория
• p-адическая гомотопическая теория
• эквивариантная гомотопическая теория

Гипотеза гомотопии

Одним из основных вопросов в основах теории гомотопии является природа пространства. Гипотеза гомотопии спрашивает, является ли пространство чем-то фундаментально алгебраическим.

Если кто-то предпочитает работать с пространством, а не с точечным пространством, существует понятие фундаментального группоида (и более высоких вариантов): по определению фундаментальный группоид пространства X — это категория , в которой объекты являются точками X , а морфизмы — путями.

Абстрактная гомотопическая теория

Абстрактная гомотопическая теория — это аксиоматический подход к гомотопической теории. Такая аксиоматизация полезна для нетрадиционных приложений гомотопической теории. Один из подходов к аксиоматизации — это модельные категории Квиллена . Модельная категория — это категория с выбором из трех классов отображений, называемых слабыми эквивалентностями, корасслоениями и расслоениями, подчиняющаяся аксиомам, которые напоминают факты в алгебраической топологии. Например, категория (разумных) топологических пространств имеет структуру модельной категории, где слабая эквивалентность — это слабая гомотопическая эквивалентность, корасслоение — определенный ретракт, а расслоение — расслоение Серра. ^[20] Другим примером является категория неотрицательно градуированных цепных комплексов над фиксированным базовым кольцом. ^[21]

Симплициальный набор

Симплициальное множество является абстрактным обобщением симплициального комплекса и может играть роль "пространства" в некотором смысле. Несмотря на название, это не множество, а последовательность множеств вместе с определенными отображениями (грань и вырожденность) между этими множествами.

Например, если задано пространство , для каждого целого числа , пусть будет множеством всех отображений из n -симплекса в . Тогда последовательность множеств является симплициальным множеством. ^[22] Каждое симплициальное множество имеет естественно связанный с ним цепной комплекс, а гомология этого цепного комплекса является гомологией . Сингулярная гомология является в точности гомологией симплициального множества . Кроме того, геометрическая реализация симплициального множества является комплексом CW, а композиция является в точности функтором аппроксимации CW. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle S_{n}X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S_{n}X}$ ${\displaystyle K=\{K_{n}\}_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S_{*}X}$ ${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle X\mapsto |S_{*}X|}$

Другим важным примером является категория или, точнее, нерв категории , которая является симплициальным множеством. Фактически, симплициальное множество является нервом некоторой категории тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет условиям Сигала (теорема Гротендика). Каждая категория полностью определяется своим нервом. Таким образом, категорию можно рассматривать как особый вид симплициального множества, и это наблюдение используется для обобщения категории. А именно, -категория или -группоид определяются как особые виды симплициальных множеств. ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty }$

Поскольку симплициальные множества являются своего рода абстрактными пространствами (если не топологическими пространствами), на них можно разработать гомотопическую теорию, которая называется симплициальной гомотопической теорией . ^[22]

Смотрите также

• Высокоструктурированный кольцевой спектр
• Теория гомотопического типа
• В погоне за стеками
• Теория формы
• Стек модулей формальных групповых законов
• Скрещенный модуль

Ссылки

1. Мэй, Гл. 8. § 3. harvnb error: no target: CITEREFMay (help)
2. Май, гл. 4. § 5. harvnb error: no target: CITEREFMay (help)
3. Милнор 1959, Следствие 1. Примечание: «второе исчисляемое» подразумевает «отделимое».
4. Мая, Гл. 10., § 5 harvnb error: no target: CITEREFMay (help)
5. Мая, гл. 10, § 6. harvnb error: no target: CITEREFMay (help)
6. Мая, гл. 10, § 7. harvnb error: no target: CITEREFMay (help)
7. Хэтчер, Пример 0,15.
8. Май, гл. 6. § 4. harvnb error: no target: CITEREFMay (help)
9. Некоторые авторы используют . Определение здесь взято из May, Ch. 8., § 5. ${\displaystyle \chi \mapsto \chi (0)}$ harvnb error: no target: CITEREFMay (help)
10. Мэй, Гл. 7., § 2. harvnb error: no target: CITEREFMay (help)
11. в ссылке должно быть . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p^{I}}$
12. Мэй, Гл. 7, § 4. harvnb error: no target: CITEREFMay (help)
13. Май, Гл. 6., Задача (1) harvnb error: no target: CITEREFMay (help)
14. Мэй, гл. 8. § 3. и § 5. harvnb error: no target: CITEREFMay (help)
15. Мэй и Понто, Определение 14.1.5. harvnb error: no target: CITEREFMayPonto (help)
16. "Расслоение Серра между CW-комплексами является расслоением Гуревича в nLab".
17. Мэй, Гл. 8, § 2. harvnb error: no target: CITEREFMay (help)
18. Мэй, Гл. 8, § 6. harvnb error: no target: CITEREFMay (help)
19. Милнор 1959, Теорема 3.
20. Дуайер и Спалински, Пример 3.5. harvnb error: no target: CITEREFDwyerSpalinski (help)
21. Дуайер и Спалински, Пример 3.7. harvnb error: no target: CITEREFDwyerSpalinski (help)
22. May, гл. 16, § 4. harvnb error: no target: CITEREFMay (help)

• Мэй, Дж. Краткий курс алгебраической топологии
• Дж. П. Мэй и К. Понто, «Более краткая алгебраическая топология: локализация, завершение и категории моделей»
• Джордж Уильям Уайтхед (1978). Элементы теории гомотопий. Graduate Texts in Mathematics. Т. 61 (3-е изд.). Нью-Йорк-Берлин: Springer-Verlag. С. xxi+744. ISBN 978-0-387-90336-1. MR  0516508 . Получено 6 сентября 2011 г. .
• Рональд Браун, Топология и группоиды (2006) Booksurge LLC ISBN 1-4196-2722-8 . 
• https://ncatlab.org/nlab/show/homotopical+algebra
• Гомотопические теории и категории моделей, авторы WG Dwyer и J. Spalinski в Handbook of Algebraic Topology под редакцией IM James
• Хэтчер, Аллен. «Алгебраическая топология».
• Милнор, Джон (1959). «О пространствах, имеющих гомотопический тип 𝐶𝑊-комплекса». Труды Американского математического общества . 90 (2): 272–280. doi :10.1090/S0002-9947-1959-0100267-4. ISSN  0002-9947. S2CID  123048606.
• Эдвин Спаниер, Алгебраическая топология
• Деннис Салливан. Генетика теории гомотопий и гипотеза Адамса. Ann. of Math. (2), 100:1–79, 1974.

Дальнейшее чтение

• Заметки Цисински
• http://ncatlab.org/nlab/files/Abstract-Homotopy.pdf
• Математика 527 - Теория гомотопий Весна 2013, Раздел F1, лекции Мартина Франкланда
• Д. Квиллен, Гомотопическая алгебра, Lectures Notes in Math. т. 43, Springer Verlag, 1967.
• https://ncatlab.org/nlab/show/homotopy+theory

Внешние ссылки

"теория гомотопии". ncatlab.org .