Лемма зигзага

О конкретной длинной точной последовательности в группах гомологии некоторых цепных комплексов

В математике , в частности, в гомологической алгебре , лемма о зигзаге утверждает существование определенной длинной точной последовательности в группах гомологии определенных цепных комплексов . Результат действителен в любой абелевой категории .

Заявление

В абелевой категории (такой как категория абелевых групп или категория векторных пространств над заданным полем ) пусть и будут цепными комплексами, которые укладываются в следующую короткую точную последовательность : ${\displaystyle ({\mathcal {A}},\partial _{\bullet }),({\mathcal {B}},\partial _{\bullet }')}$ ${\displaystyle ({\mathcal {C}},\partial _{\bullet }'')}$

${\displaystyle 0\longrightarrow {\mathcal {A}}\mathrel {\stackrel {\alpha }{\longrightarrow }} {\mathcal {B}}\mathrel {\stackrel {\beta }{\longrightarrow }} {\mathcal {C}}\longrightarrow 0}$

Такая последовательность является сокращением для следующей коммутативной диаграммы :

где строки представляют собой точные последовательности , а каждый столбец — цепной комплекс .

Лемма о зигзаге утверждает, что существует набор граничных карт

${\displaystyle \delta _{n}:H_{n}({\mathcal {C}})\longrightarrow H_{n-1}({\mathcal {A}}),}$

что делает следующую последовательность точной:

Карты и являются обычными картами, индуцированными гомологией. Граничные карты объясняются ниже. Название леммы возникает из-за "зигзагообразного" поведения карт в последовательности. Вариант леммы о зигзаге обычно известен как " лемма о змее " (она извлекает суть доказательства леммы о зигзаге, приведенного ниже). ${\displaystyle \alpha _{*}^{}}$ ${\displaystyle \beta _{*}^{}}$ ${\displaystyle \delta _{n}^{}}$

Построение карт границ

Карты определяются с использованием стандартного аргумента преследования диаграмм. Пусть представляет класс в , так что . Точность строки подразумевает, что является сюръективным, поэтому должны быть некоторые с . По коммутативности диаграммы, ${\displaystyle \delta _{n}^{}}$ ${\displaystyle c\in C_{n}}$ ${\displaystyle H_{n}({\mathcal {C}})}$ ${\displaystyle \partial _{n}''(c)=0}$ ${\displaystyle \beta _{n}^{}}$ ${\displaystyle b\in B_{n}}$ ${\displaystyle \beta _{n}^{}(b)=c}$

${\displaystyle \beta _{n-1}\partial _{n}'(b)=\partial _{n}''\beta _{n}(b)=\partial _{n}''(c)=0.}$

По точности,

${\displaystyle \partial _{n}'(b)\in \ker \beta _{n-1}=\mathrm {im} \;\alpha _{n-1}.}$

Таким образом, поскольку инъективен, существует единственный элемент такой, что . Это цикл, поскольку инъективен и ${\displaystyle \alpha _{n-1}^{}}$ ${\displaystyle a\in A_{n-1}}$ ${\displaystyle \alpha _{n-1}(a)=\partial _{n}'(b)}$ ${\displaystyle \alpha _{n-2}^{}}$

${\displaystyle \alpha _{n-2}\partial _{n-1}(a)=\partial _{n-1}'\alpha _{n-1}(a)=\partial _{n-1}'\partial _{n}'(b)=0,}$

так как . То есть, . Это означает, что это цикл, поэтому он представляет класс в . Теперь мы можем определить ${\displaystyle \partial ^{2}=0}$ ${\displaystyle \partial _{n-1}(a)\in \ker \alpha _{n-2}=\{0\}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle H_{n-1}({\mathcal {A}})}$

${\displaystyle \delta _{}^{}[c]=[a].}$

Определив граничные карты, можно показать, что они хорошо определены (то есть не зависят от выбора c и b ). Доказательство использует аргументы преследования диаграмм, аналогичные приведенным выше. Такие аргументы также используются для того, чтобы показать, что последовательность в гомологии точна в каждой группе.

Смотрите также

• Последовательность Майера–Виеториса

Ссылки

• Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология. Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0.
• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Graduate Texts in Mathematics , т. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, г-н  1878556
• Манкрес, Джеймс Р. (1993). Элементы алгебраической топологии . Нью-Йорк: Westview Press. ISBN 0-201-62728-0.