Гомотопическая связность

В алгебраической топологии гомотопическая связность — это свойство, описывающее топологическое пространство на основе размерности его дыр. В общем, низкая гомотопическая связность указывает на то, что в пространстве есть хотя бы одна низкоразмерная дыра. Понятие n -связности обобщает понятия линейной связности и простой связности .

Эквивалентное определение гомотопической связности основано на гомотопических группах пространства. Пространство называется n -связным (или n -простосвязным ), если его первые n гомотопических групп тривиальны.

Гомотопическая связность определена и для карт. Отображение называется n -связным, если оно является изоморфизмом «до размерности n в гомотопии ».

Определение с помощью отверстий

Все определения ниже рассматривают топологическое пространство X .

Неформально дырка в X — это вещь , которая не позволяет некоторой правильно расположенной сфере непрерывно сжиматься до точки. ^{[1] : 78} Эквивалентно, это сфера , которую нельзя непрерывно расширить до шара . Формально,

• D -мерная сфера в X является непрерывной функцией . ${\displaystyle f_{d}:S^{d}\to X}$
• D -мерный шар в X является непрерывной функцией . ${\displaystyle g_{d}:B^{d}\to X}$
• Дырка с d-мерной границей в X — это d- мерная сфера, которая не является нульгомотопной (- не может быть непрерывно стянута в точку). Эквивалентно, это d- мерная сфера, которую нельзя непрерывно расширить до ( d +1)-мерного шара. Иногда ее называют ( d +1)-мерной дыркой ( d +1 — размерность «недостающего шара»).
• X называется n- связным, если оно не содержит дырок граничной размерности d ⩽ n . ^{[1] : 78, раздел 4.3}
• Гомотопическая связность X , обозначаемая , — это наибольшее целое число n , для которого X является n -связным. ${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)}$
• Немного другое определение связности, которое упрощает некоторые вычисления: наименьшее целое число d такое, что X содержит d -мерную дыру. Этот параметр связности обозначается , и он отличается от предыдущего параметра на 2, то есть . ^[2] ${\displaystyle \eta _{\pi }(X)}$ ${\displaystyle \eta _{\pi }(X):={\text{conn}}_{\pi }(X)+2}$

Примеры

2-мерная дырка (дырка с 1-мерной границей).

• Двумерная дырка (дырка с одномерной границей) — это окружность (S1 ⁾ в X , которую нельзя непрерывно сжать до точки в X. Пример показан на рисунке справа. Желтая область — топологическое пространство X ; это пятиугольник с удаленным треугольником. Синий круг — это одномерная сфера в X. Его нельзя непрерывно сжимать до точки в X; поэтому; X имеет двумерное отверстие. Другой пример — проколотая плоскость — евклидова плоскость с удаленной единственной точкой . Чтобы сделать двумерное отверстие в трехмерном шаре, проделайте через него туннель . ^[1] В общем, пространство содержит дыру с одномерной границей тогда и только тогда, когда оно не является односвязным . Следовательно, односвязность эквивалентна 1-связности. X 0-связен, но не 1-связен, поэтому . Наименьший размер отверстия равен 2, поэтому . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}$ ${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)=0}$ ${\displaystyle \eta _{\pi }(X)=2}$

  

  Трехмерное отверстие.

• Трехмерное отверстие (дырка с двухмерной границей) показано на рисунке справа. Здесь X — куб (желтый) с удаленным шаром (белый). Двумерную сферу (синюю) нельзя непрерывно сжимать до одной точки. X односвязен, но не 2-связен, поэтому . Наименьший размер отверстия равен 3, поэтому . ${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)=1}$ ${\displaystyle \eta _{\pi }(X)=3}$

Одномерное отверстие.

• Для 1-мерной дырки (дырки с 0-мерной границей) нам нужно рассмотреть – нульмерную сферу. Что такое нульмерная сфера? - Для каждого целого числа d сфера является границей ( d +1)-мерного шара . Так же как и граница , которая является отрезком [0,1]. Следовательно, представляет собой множество двух непересекающихся точек {0, 1}. Нульмерная сфера в X — это просто набор двух точек в X. Если существует такое множество, которое нельзя непрерывно сжать до одной точки в X (или непрерывно расширить до сегмента в X ), это означает, что между двумя точками нет пути, то есть X не является линейно связным. ; см. рисунок справа. Следовательно, линейно-связная эквивалентна 0-связной. X не является 0-связным, поэтому . Наименьший размер отверстия равен 1, поэтому . ${\displaystyle S^{0}}$ ${\displaystyle S^{d}}$ ${\displaystyle B^{d+1}}$ ${\displaystyle S^{0}}$ ${\displaystyle B^{1}}$ ${\displaystyle S^{0}}$ ${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)=-1}$ ${\displaystyle \eta _{\pi }(X)=1}$
• 0-мерная дырка — это отсутствующий 0-мерный шар. 0-мерный шар — это одна точка; его граница — пустое множество. Следовательно, существование 0-мерной дыры эквивалентно пустоте пространства. Следовательно, непустое эквивалентно (-1)-связному. Для пустого пространства X и , что является его наименьшим возможным значением. ${\displaystyle S^{-1}}$ ${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)=-2}$ ${\displaystyle \eta _{\pi }(X)=0}$
• В шаре нет отверстий любого размера. Поэтому его связность бесконечна: . ${\displaystyle \eta _{\pi }(X)={\text{conn}}_{\pi }(X)=\infty }$

Гомотопическая связность сфер

В общем случае для любого целого числа d , (и ) ^{[1] : 79, теор.4.3.2} Доказательство требует двух направлений: ${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(S^{d})=d-1}$ ${\displaystyle \eta _{\pi }(S^{d})=d+1}$

• Доказательство того, что , то есть, не может быть непрерывно сведено к одной точке. Это можно доказать с помощью теоремы Борсука–Улама . ${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(S^{d})<d}$ ${\displaystyle S^{d}}$
• Доказав, что , то есть, то есть всякое непрерывное отображение для можно непрерывно сжать в одну точку. ${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(S^{d})\geq d-1}$ ${\displaystyle S^{k}\to S^{d}}$ ${\displaystyle k<d}$

Определение с использованием групп

Пространство X называется n -связным , при n ≥ 0, если оно непусто и все его гомотопические группы порядка d ≤ n являются тривиальной группой : где обозначает i - ю гомотопическую группу , а 0 обозначает тривиальную группу. . ^[3] Оба определения эквивалентны. Требование к n -связному пространству состоит из требований для всех d ≤ n : $${\displaystyle \pi _{d}(X)\cong 0,\quad -1\leq d\leq n,}$$ ${\displaystyle \pi _{i}(X)}$

• Требование d =-1 означает, что X не должно быть пустым.
• Требование d =0 означает, что X должен быть путевым.
• Требование любого d ≥ 1 означает, что X не содержит дыр граничной размерности d . То есть каждая d -мерная сфера в X гомотопна постоянному отображению. Следовательно, d -я гомотопическая группа X тривиальна. Верно и обратное: если X имеет дыру с d -мерной границей, то существует d -мерная сфера, не гомотопная постоянному отображению, поэтому d -я гомотопическая группа X нетривиальна. Короче говоря, X имеет дыру с d -мерной границей, если и только если . Гомотопическая связность X — это наибольшее целое число n , для которого X является n -связным. ^[4] ${\displaystyle \pi _{d}(X)\not \cong 0}$

Требования непустой и связности путей можно интерпретировать как (-1)-связные и 0-связные соответственно, что полезно при определении 0-связных и 1-связных карт, как показано ниже. 0 -й гомотопический набор можно определить как:

${\displaystyle \pi _{0}(X,*):=\left[\left(S^{0},*\right),\left(X,*\right)\right].}$

Это всего лишь точечное множество , а не группа, если только X само по себе не является топологической группой ; выделенная точка — это класс тривиального отображения, отправляющего S ⁰ в базовую точку X . Используя этот набор, пространство является 0-связным тогда и только тогда, когда 0-е гомотопическое множество является одноточечным. Определение гомотопических групп и этого гомотопического множества требует, чтобы X было точечным (имело выбранную базовую точку), чего невозможно сделать, если X пусто.

Топологическое пространство X является линейно связным тогда и только тогда, когда его 0-я гомотопическая группа тождественно равна нулю, поскольку линейная связность подразумевает, что любые две точки x ₁ и x ₂ в X могут быть соединены непрерывным путем , который начинается в x ₁ и заканчивается в x ₂ , что эквивалентно утверждению, что любое отображение S ⁰ ( дискретное множество двух точек) в X можно непрерывно деформировать до постоянного отображения. Используя это определение, мы можем определить X как n -связный тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \pi _{i}(X)\simeq 0,\quad 0\leq i\leq n.}$

Примеры

• Пространство X (−1)-связно тогда и только тогда, когда оно непусто.
• Пространство X 0-связно тогда и только тогда, когда оно непусто и линейно связно .
• Пространство 1-связно тогда и только тогда, когда оно односвязно .
• n -сфера ( n −  1)-связна.

н-подключенная карта

Соответствующим относительным понятием абсолютному понятию n - связного пространства является n- связное отображение , которое определяется как отображение, гомотопический слой Ff которого является ( n  − 1)-связным пространством. В терминах гомотопических групп это означает, что отображение n -связно тогда и только тогда, когда: ${\displaystyle f\colon X\to Y}$

• ${\displaystyle \pi _{i}(f)\colon \pi _{i}(X)\mathrel {\overset {\sim }{\to }} \pi _{i}(Y)}$является изоморфизмом для и ${\displaystyle i<n}$
• ${\displaystyle \pi _{n}(f)\colon \pi _{n}(X)\twoheadrightarrow \pi _{n}(Y)}$это сюръективность.

Последнее условие часто сбивает с толку; это происходит потому, что исчезновение ( n  − 1)-й гомотопической группы гомотопического слоя Ff соответствует сюръекции на n- ^й гомотопической группе в точной последовательности:

${\displaystyle \pi _{n}(X)\mathrel {\overset {\pi _{n}(f)}{\to }} \pi _{n}(Y)\to \pi _{n-1}(Ff).}$

Если группа справа исчезает, то отображение слева является сюръекцией. ${\displaystyle \pi _{n-1}(Ff)}$

Низкоразмерные примеры:

• Связное отображение (0-связное отображение) — это отображение, которое находится на компонентах пути (0-я гомотопическая группа); это соответствует непустости гомотопического слоя.
• Односвязное отображение (1-связное отображение) — это отображение, которое является изоморфизмом на компонентах пути (0-я гомотопическая группа) и на фундаментальную группу (1-я гомотопическая группа).

n -связность пространств, в свою очередь, может быть определена через n -связность отображений: пространство X с базовой точкой x ₀ является n -связным пространством тогда и только тогда, когда включение базовой точки является n -связным отображением. Одноточечное множество сжимаемо, поэтому все его гомотопические группы исчезают, и, таким образом, «изоморфизм ниже n и на в точке n » соответствует исчезновению первых n гомотопических групп X. ${\displaystyle x_{0}\hookrightarrow X}$

Интерпретация

Это поучительно для подмножества: n -связное включение — такое, что до размерности n  − 1 гомотопии в большем пространстве X могут быть гомотопированы в гомотопии в подмножестве A . ${\displaystyle A\hookrightarrow X}$

Например, чтобы карта включения была 1-связной, она должна быть: ${\displaystyle A\hookrightarrow X}$

• на ${\displaystyle \pi _{0}(X),}$
• один на один и ${\displaystyle \pi _{0}(A)\to \pi _{0}(X),}$
• на ${\displaystyle \pi _{1}(X).}$

Включение «один к одному» означает, что если существует путь, соединяющий две точки , проходящий через X, существует путь в A , соединяющий их, тогда как «on» означает, что на самом деле путь в X гомотопен пути в A. ${\displaystyle \pi _{0}(A)\to \pi _{0}(X)}$ ${\displaystyle a,b\in A}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$

Другими словами, функция, которая является изоморфизмом на, подразумевает только то, что любые ее элементы, гомотопные в X , абстрактно гомотопны в A - гомотопия в A может быть не связана с гомотопией в X - но при этом быть n -связной (так же и на ) означает, что (вплоть до размерности n  − 1) гомотопии в X можно вставить в гомотопии в A . ${\displaystyle \pi _{n-1}(A)\to \pi _{n-1}(X)}$ ${\displaystyle \pi _{n-1}(A)}$ ${\displaystyle \pi _{n}(X)}$

Это дает более конкретное объяснение полезности определения n -связности: например, пространство, в котором включение k -скелета является n -связным (при n  >  k ) - например, включение точки в n -сфера - обладает тем свойством, что любые ячейки в размерах от k до n не влияют на гомотопические типы меньшей размерности.

Нижние границы

Многие топологические доказательства требуют нижних оценок гомотопической связности. Существует несколько «рецептов» доказательства таких нижних оценок.

Гомология

Теорема Гуревича связывает гомотопическую связность с гомологической связностью , обозначаемой . Это полезно для вычисления гомотопической связности, поскольку гомологические группы вычисляются проще. ${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)}$ ${\displaystyle {\text{conn}}_{H}(X)}$

Предположим сначала, что X односвязно, т. е. . Позволять ; так для всех и . Теорема Гуревича ^{[5] : 366, теорема 4.32} говорит, что в этом случае для всех , и изоморфно , то же самое. Следовательно: Если X не является односвязным ( ), то все еще выполняется. Когда это банально. Когда (так что X линейно-связен, а не односвязен), следует доказать, что . ^{[ нужны разъяснения ]} ${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)\geq 1}$ ${\displaystyle n:={\text{conn}}_{\pi }(X)+1\geq 2}$ ${\displaystyle \pi _{i}(X)=0}$ ${\displaystyle i<n}$ ${\displaystyle \pi _{n}(X)\neq 0}$ ${\displaystyle {\tilde {H_{i}}}(X)=0}$ ${\displaystyle i<n}$ ${\displaystyle {\tilde {H_{n}}}(X)}$ ${\displaystyle \pi _{n}(X)}$ ${\displaystyle {\tilde {H_{n}}}(X)\neq 0}$ $${\displaystyle {\text{conn}}_{H}(X)={\text{conn}}_{\pi }(X).}$$ ${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)\leq 0}$ $${\displaystyle {\text{conn}}_{H}(X)\geq {\text{conn}}_{\pi }(X)}$$ ${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)\leq -1}$ ${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)=0}$ ${\displaystyle {\tilde {H_{0}}}(X)=0}$

Неравенство может быть строгим: существуют пространства, в которых но . ^[6] ${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(X)=0}$ ${\displaystyle {\text{conn}}_{H}(X)=\infty }$

По определению, k -я группа гомологии симплициального комплекса зависит только от симплексов размерности не выше k +1 (см. симплициальные гомологии ). Следовательно, из приведенной выше теоремы следует, что симплициальный комплекс K является k -связным тогда и только тогда, когда его ( k +1)-мерный скелет (подмножество K , содержащее только симплексы размерностью не более k +1) является k -связным: ^{[1] : 80, Поп.4.4.2.}

Присоединиться

Пусть K и L — непустые клеточные комплексы . Их соединение обычно обозначается . Тогда: ^{[1] : 81, предложение 4.4.3.} ${\displaystyle K*L}$ $${\displaystyle {\text{conn}}_{\pi }(K*L)\geq {\text{conn}}_{\pi }(K)+{\text{conn}}_{\pi }(L)+2.}$$

Тождество проще с помощью эта-нотации: в качестве примера рассмотрим набор из двух несвязных точек. Между точками имеется одномерное отверстие, поэтому эта равна 1 . Соединение представляет собой квадрат, который гомеоморфен кругу, поэтому его этата равна 2 . Соединение этого квадрата с третьей копией K представляет собой октаэдр , который гомеоморфен , и его эта равна 3. В общем, соединение n копий гомеоморфно , и его эта равна n . $${\displaystyle \eta _{\pi }(K*L)\geq \eta _{\pi }(K)+\eta _{\pi }(L).}$$ ${\displaystyle K=L=S^{0}=}$ ${\displaystyle K*L}$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle S^{0}}$ ${\displaystyle S^{n-1}}$

Общее доказательство основано на аналогичной формуле для гомологической связности.

нерв

Пусть K ₁ ,..., K _n — абстрактные симплициальные комплексы , и обозначим их объединение через K .

Обозначим нервный комплекс { K ₁ , ... , K _n } (абстрактный комплекс, записывающий шаблон пересечения K _i ) через N .

Если для каждого непустого пересечение либо пусто, либо ( k − | J |+1)-связно, то для каждого j ⩽ k j -я гомотопическая группа N изоморфна j -й гомотопической группе K . ${\displaystyle J\subset I}$ ${\textstyle \bigcap _{i\in J}U_{i}}$

В частности, N k - связен тогда и только тогда, когда K k - связен. ^{[7] : Thm.6}

Гомотопический принцип

В геометрической топологии случаи, когда включение геометрически определенного пространства, такого как пространство погружений, в более общее топологическое пространство, такое как пространство всех непрерывных отображений между двумя ассоциированными пространствами, n -связно , считаются удовлетворяющими гомотопии. принцип или «принцип h». Существует ряд мощных общих методов доказательства h-принципов. ${\displaystyle M\to N,}$ ${\displaystyle X(M)\to X(N),}$

Смотрите также

• Подключенное пространство
• Соединительный спектр
• Подключен по пути
• Просто подключено

Рекомендации

1. Матушек, Иржи (2007). Использование теоремы Борсука-Улама : Лекции по топологическим методам в комбинаторике и геометрии (2-е изд.). Берлин-Гейдельберг: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-00362-5. Написано в сотрудничестве с Андерсом Бьёрнером и Гюнтером М. Циглером., раздел 4.3
2. Ахарони, Рон; Бергер, Эли (2006). «Пересечение матроида и симплициального комплекса». Труды Американского математического общества . 358 (11): 4895–4917. дои : 10.1090/S0002-9947-06-03833-5 . ISSN  0002-9947.
3. «n-связное пространство в nLab». ncatlab.org . Проверено 18 сентября 2017 г.
4. Фрик, Флориан; Соберон, Пабло (11 мая 2020 г.). «Топологическая проблема Тверберга за пределами простых степеней». arXiv : 2005.05251 [math.CO].
5. Хэтчер, Аллен (2001), Алгебраическая топология , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-79160-1
6. См. пример 2.38 в книге Хэтчера. См. также этот ответ.
7. Бьорнер, Андерс (1 апреля 2003 г.). «Нервы, волокна и гомотопические группы». Журнал комбинаторной теории . Серия А. 102 (1): 88–93. дои : 10.1016/S0097-3165(03)00015-3 . ISSN  0097-3165.