Однородное пространство

Топологическое пространство в теории групп

Тор . _ Стандартный тор однороден относительно своих групп диффеоморфизма и гомеоморфизма , а плоский тор однороден относительно своих групп диффеоморфизма, гомеоморфизма и изометрий .

В математике однородное пространство — это, очень неформально, пространство, которое везде выглядит одинаково, когда вы перемещаетесь по нему, причем движение задается действием группы . Однородные пространства встречаются в теориях групп Ли , алгебраических групп и топологических групп . Точнее, однородное пространство группы G — это непустое многообразие или топологическое пространство X , на котором G действует транзитивно . Элементы G называются симметриями X . _ Особым случаем является случай, когда рассматриваемая группа G является группой автоморфизмов пространства X – здесь «группа автоморфизмов» может означать группу изометрий , группу диффеоморфизмов или группу гомеоморфизмов . В этом случае X является однородным, если интуитивно X выглядит локально одинаково в каждой точке либо в смысле изометрии (жесткая геометрия), диффеоморфизма ( дифференциальная геометрия ), либо гомеоморфизма ( топология ). Некоторые авторы настаивают на том, чтобы действие G было точным (нетождественные элементы действуют нетривиально), хотя в настоящей статье это не так. Таким образом, существует групповое действие G на X , которое можно рассматривать как сохранение некоторой «геометрической структуры» на X и превращение X в одну G - орбиту .

Формальное определение

Пусть X — непустое множество, а G — группа. Тогда X называется G -пространством , если оно наделено действием G на X. ^{[1] Заметим, что} G автоматически действует автоморфизмами (биекциями) на множестве. Если X дополнительно принадлежит некоторой категории , то предполагается, что элементы G действуют как автоморфизмы в той же категории. То есть отображения X , происходящие из элементов G , сохраняют структуру, связанную с категорией (например, если X является объектом в Diff , то действие должно осуществляться посредством диффеоморфизмов ). Однородным пространством называется G -пространство, на котором G действует транзитивно.

Короче говоря, если X является объектом категории C , то структура G -пространства является гомоморфизмом :

${\displaystyle \rho :G\to \mathrm {Aut} _{\mathbf {C} }(X)}$

в группу автоморфизмов объекта X категории C . Пара ( X , ρ ) определяет однородное пространство при условии, что ρ ( G ) является транзитивной группой симметрий основного множества  X.

Примеры

Например, если X — топологическое пространство , то предполагается, что элементы группы действуют как гомеоморфизмы на X. Структура G - пространства представляет собой групповой гомоморфизм ρ  :  G  → Homeo( X ) в группу гомеоморфизмов X. 

Аналогично, если X — дифференцируемое многообразие , то элементы группы являются диффеоморфизмами . Структура G -пространства представляет собой групповой гомоморфизм ρ  : G → Diffeo( X ) в группу диффеоморфизмов  X.

Римановы симметрические пространства являются важным классом однородных пространств и включают в себя множество примеров, перечисленных ниже.

Конкретные примеры включают в себя:

Группы изометрии

• Положительная кривизна:
  1. Сфера ( ортогональная группа ): S ^{n −1} ≅ O( n ) / O( n −1) . Это верно на основании следующих наблюдений: во-первых, Sn ^{− 1} — это набор векторов из Rn с нормой 1. Если мы рассматриваем один из этих векторов как базовый вектор, то любой ^другой вектор можно построить с помощью ортогонального преобразования. . Если мы рассматриваем оболочку этого вектора как одномерное подпространство R ⁿ , то дополнение представляет собой ( n − 1) -мерное векторное пространство, инвариантное относительно ортогонального преобразования из O( n − 1) . ^{Это показывает нам ,} почему мы можем построить Sn ⁻¹ как однородное пространство.
  2. Ориентированная сфера ( специальная ортогональная группа ): S ^{n −1} ≅ SO ( n ) / SO ( n − 1)
  3. Проективное пространство ( проективная ортогональная группа ): P ^{n −1} ≅ PO( n ) / PO( n − 1)
• Плоский (нулевая кривизна):
  1. Евклидово пространство ( евклидова группа , стабилизатор точки — ортогональная группа): An ^≅ E( n ) / O( n )
• Отрицательная кривизна:
  1. Гиперболическое пространство ( ортохронная группа Лоренца , ортогональная группа стабилизатора точки, соответствующая модели гиперболоида ): H ⁿ ≅ O ⁺ (1, n ) / O( n )
  2. Ориентированное гиперболическое пространство: SO ⁺ (1, n ) / SO( n )
  3. Пространство Антиде Ситтера : AdS _{n +1} = O(2, n ) / O(1, n )

Другие

• Аффинное пространство над полем K (для аффинной группы , общей линейной группы стабилизатора точки ): An ⁼ Aff( n , K ) / GL( n , K ) .
• Грассманиан : Gr( r , n ) = O( n ) / ( O ( r ) × O ( n - r ))
• Топологические векторные пространства (в смысле топологии)

Геометрия

С точки зрения программы Эрлангена можно понять , что «все точки одинаковы» в геометрии X. Это было верно практически для всех геометрий, предложенных до римановой геометрии , в середине девятнадцатого века.

Так, например, евклидово пространство , аффинное пространство и проективное пространство естественным образом являются однородными пространствами для своих соответствующих групп симметрии . То же самое относится и к найденным моделям неевклидовой геометрии постоянной кривизны , например гиперболического пространства .

Еще одним классическим примером является пространство прямых в трехмерном проективном пространстве (эквивалентно пространству двумерных подпространств четырехмерного векторного пространства ). С помощью простой линейной алгебры можно показать, что GL ₄ действует на них транзитивно. Мы можем параметризовать их координатами линии : это миноры 2×2 матрицы 4×2 со столбцами, состоящими из двух базисных векторов для подпространства. Геометрия полученного однородного пространства — это линейная геометрия Юлиуса Плюкера .

Однородные пространства как смежные пространства

В общем случае, если X — однородное пространство группы G , а H _o — стабилизатор некоторой отмеченной точки o в X (выбор начала координат ), точки X соответствуют левым смежным классам G / H _o , а отмеченная точка o соответствует смежному классу идентичности. И наоборот, учитывая смежный класс G / H , это однородное пространство для G с выделенной точкой, а именно смежным классом идентичности. Таким образом, однородное пространство можно рассматривать как смежное пространство без выбора начала координат.

Например, если H — единичная подгруппа { e }, то X — G -торсор , что объясняет, почему G -торсоры часто интуитивно описываются как « G с забытой идентичностью».

В общем, другой выбор начала координат o приведет к факторизации  G по другой подгруппе H o _' , которая связана с H _o внутренним автоморфизмом G  . Конкретно,

где g — любой элемент G , для которого go = o ′ . Заметим, что внутренний автоморфизм (1) не зависит от того, какой именно g выбран; оно зависит только от g по модулю  H _o .

Если действие G на X непрерывно и X хаусдорфова , то H — замкнутая подгруппа в G. В частности, если G — группа Ли , то H — подгруппа Ли по теореме Картана . Следовательно, G / H — гладкое многообразие , и поэтому X обладает единственной гладкой структурой , совместимой с действием группы.

Можно пойти дальше к пространствам двойных смежных классов , в частности к формам Клиффорда–Клейна Γ\ G / H , где Γ — дискретная подгруппа (группы G ), действующая собственно разрывно .

Пример

Например, в случае линейной геометрии мы можем идентифицировать H как 12-мерную подгруппу 16-мерной общей линейной группы GL(4), определяемой условиями на элементы матрицы

час ₁₃ = час ₁₄ = час ₂₃ = час ₂₄ = 0,

ища стабилизатор подпространства, натянутого на первые два стандартных базисных вектора. Это показывает, что X имеет размерность 4.

Поскольку однородных координат , заданных минорами, 6, то это означает, что последние не являются независимыми друг от друга. Фактически между шестью минорами существует единственное квадратичное соотношение, как это было известно геометрам девятнадцатого века.

Этот пример был первым известным примером грассманиана , отличного от проективного пространства. Есть много других однородных пространств классических линейных групп, широко используемых в математике.

Предоднородные векторные пространства

Идею предоднородного векторного пространства ввел Микио Сато .

Это конечномерное векторное пространство V с групповым действием алгебраической группы G , такое, что существует орбита G , открытая для топологии Зариского (и, следовательно, плотная). Примером является GL(1), действующая в одномерном пространстве.

Определение более строгое, чем кажется на первый взгляд: такие пространства обладают замечательными свойствами, и существует классификация неприводимых предоднородных векторных пространств с точностью до преобразования, известного как «рокировка».

Однородные пространства в физике

Учитывая группу Пуанкаре G и ее подгруппу группу Лоренца H , пространство смежных классов G / H является пространством алгебры пространства-времени Минковского . ^[2]

Физическая космология , использующая общую теорию относительности, использует систему классификации Бьянки . Однородные пространства в теории относительности представляют собой космическую часть фоновых метрик некоторых космологических моделей ; например, три случая метрики Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера могут быть представлены подмножествами типов Бьянки I (плоский), V (открытый), VII (плоский или открытый) и IX (закрытый), тогда как Mixmaster Вселенная представляет собой анизотропный пример космологии Бьянки IX. ^[3]

Однородное пространство N измерений допускает множество1/2N ( N + 1) Векторов Киллинга . ^[4] Для трех измерений это дает в общей сложности шесть линейно независимых векторных полей Киллинга; Однородные 3-пространства обладают тем свойством, что можно использовать их линейные комбинации, чтобы найти три всюду ненулевых векторных поля Киллинга ξ^{( а )}
_я,

${\displaystyle \xi _{[i;k]}^{(a)}=C_{\ bc}^{a}\xi _{i}^{(b)}\xi _{k}^{(c)},}$

где объект C ^a _bc , «структурные константы», образуют постоянный тензор третьего порядка, антисимметричный по двум нижним индексам (скобки слева обозначают антисимметризацию, а «;» представляет ковариантный дифференциальный оператор ). В случае плоской изотропной Вселенной одна из возможностей — C ^a _bc = 0 (тип I), но в случае замкнутой вселенной FLRW C ^a _bc = ε ^a _bc , где ε ^a _bc — символ Леви-Чивита. .

Смотрите также

• Эрлангенская программа
• геометрия Клейна
• Куча (математика)
• Однородное разнообразие

Примечания

1. Мы предполагаем, что действие происходит слева . Это различие важно только при описании X как смежного пространства.
2. Роберт Герман (1966) Группы Ли для физиков , стр. 4, WA Бенджамин
3. Лев Ландау и Евгений Лифшиц (1980), Курс теоретической физики, том. 2: Классическая теория полей , Баттерворт-Хайнеманн, ISBN 978-0-7506-2768-9
4. Стивен Вайнберг (1972), Гравитация и космология , Джон Уайли и сыновья

Рекомендации

• Джон Милнор и Джеймс Д. Сташефф (1974) Характеристические классы , ISBN Princeton University Press 0-691-08122-0 
• Такаши Кода. Введение в геометрию однородных пространств, Национальный университет Кёнпук.
• Однородные пространства Менелаоса Зикидиса из Гейдельбергского университета.
• Сошичи Кобаяши , Кацуми Номидзу (1969) Основы дифференциальной геометрии , том 2, глава X, (Библиотека Wiley Classics)