Высота (треугольник)

Отрезок перпендикуляра, проведенный от стороны треугольника к противоположной вершине

Три высоты треугольника пересекаются в ортоцентре, который для остроугольного треугольника находится внутри треугольника.

В геометрии высота треугольника — это отрезок , проходящий через вершину и перпендикулярный прямой, содержащей сторону , противоположную вершине . Эта линия, содержащая противоположную сторону, называется расширенным основанием высоты. Пересечение расширенного основания и высоты называется подножием высоты . Длина высоты, часто называемая просто «высотой», представляет собой расстояние между расширенным основанием и вершиной. Процесс рисования высоты от вершины до подножия известен как понижение высоты в этой вершине. Это частный случай ортогональной проекции .

Высоты можно использовать при вычислении площади треугольника : половина произведения длины высоты на длину ее основания равна площади треугольника. Таким образом, наибольшая высота перпендикулярна наименьшей стороне треугольника. Высоты также связаны со сторонами треугольника через тригонометрические функции .

В равнобедренном треугольнике (треугольнике с двумя конгруэнтными сторонами) высота, имеющая неравную сторону в качестве основания, будет иметь середину этой стороны в качестве основания. Также высота, имеющая в качестве основания несовпадающую сторону, будет биссектрисой угла при вершине.

Высоту принято обозначать буквой h (как и высота ), к которой часто добавляется название стороны, к которой относится высота.

Высота прямоугольного треугольника от его прямого угла до гипотенузы есть среднее геометрическое длин отрезков, на которые разбита гипотенуза. Используя теорему Пифагора о 3 треугольниках сторон ( p  +  q , r , s  ) , ( r , p , h  ) и ( s , h , q  ) ,
${\displaystyle {\begin{aligned}(p+q)^{2}\;\;&=\quad r^{2}\;\;\,+\quad s^{2}\\p^{2}\!\!+\!2pq\!+\!q^{2}&=\overbrace {p^{2}\!\!+\!h^{2}} +\overbrace {h^{2}\!\!+\!q^{2}} \\2pq\quad \;\;\;&=2h^{2}\;\therefore h\!=\!{\sqrt {pq}}\\\end{aligned}}}$

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе c , делит гипотенузу на два отрезка длиной p и q . Если мы обозначим длину высоты через h _c , мы получим соотношение

${\displaystyle h_{c}={\sqrt {pq}}}$  ( Теорема о среднем геометрическом )

В прямоугольном треугольнике высота каждого острого угла совпадает с катетом и пересекает противоположную сторону (основание находится в) вершине прямоугольного угла, которая является ортоцентром.

В остроугольных треугольниках все основания высот лежат на сторонах треугольника (не вытянуты). В тупоугольном треугольнике (с тупым углом ) основание высоты, ведущей к тупоугольной вершине, попадает во внутреннюю часть противоположной стороны, а основания высот, ведущих к остроугольным вершинам, приходятся на противоположную протяженную сторону. , вне треугольника. Это показано на соседней диаграмме: в этом тупоугольном треугольнике высота, опущенная перпендикулярно верхней вершине, имеющей острый угол, пересекает вытянутую горизонтальную сторону снаружи треугольника.

Ортоцентр

Три высоты, пересекающиеся в ортоцентре

Три (возможно, расширенные) высоты пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника , обычно обозначаемой H. ^{[1] [2]} Ортоцентр лежит внутри треугольника тогда и только тогда, когда треугольник остроугольный. Если один угол прямой, то ортоцентр совпадает с вершиной под прямым углом. ^[2]

Пусть A, B, C обозначают вершины, а также углы треугольника, а – длины сторон. Ортоцентр имеет трилинейные координаты ^[3] ${\displaystyle a=\left|{\overline {BC}}\right|,b=\left|{\overline {CA}}\right|,c=\left|{\overline {AB}}\right|}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\sec A:\sec B:\sec C\\&=\cos A-\sin B\sin C:\cos B-\sin C\sin A:\cos C-\sin A\sin B,\end{aligned}}}$$

и барицентрические координаты

$${\displaystyle {\begin{aligned}&(a^{2}+b^{2}-c^{2})(a^{2}-b^{2}+c^{2}):(a^{2}+b^{2}-c^{2})(-a^{2}+b^{2}+c^{2}):(a^{2}-b^{2}+c^{2})(-a^{2}+b^{2}+c^{2})\\&=\tan A:\tan B:\tan C.\end{aligned}}}$$

Поскольку все барицентрические координаты положительны для точки внутри треугольника, но по крайней мере одна отрицательна для точки снаружи, а две барицентрические координаты равны нулю для точки вершины, барицентрические координаты, заданные для ортоцентра, показывают, что ортоцентр находится внутри остроугольного треугольника , в прямоугольной вершине прямоугольного треугольника и снаружи тупоугольного треугольника .

Пусть на комплексной плоскости точки A, B, C обозначают числа z _A , z _B , z _C и предположим, что центр описанной окружности треугольника △ ABC расположен в начале координат плоскости. Тогда комплексное число

${\displaystyle z_{H}=z_{A}+z_{B}+z_{C}}$

представлена ​​точкой H , а именно высотой треугольника △ ABC . ^[4] Отсюда непосредственно можно установить следующие характеристики ортоцентра H посредством свободных векторов :

${\displaystyle {\vec {OH}}=\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cyclic}}}{\vec {OA}},\qquad 2\cdot {\vec {HO}}=\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cyclic}}}{\vec {HA}}.}$

Первое из предыдущих векторных тождеств также известно как проблема Сильвестра , предложенная Джеймсом Джозефом Сильвестром . ^[5]

Характеристики

Пусть D, E, F обозначают основания высот из A, B, C соответственно. Затем:

• Произведение длин отрезков, на которые ортоцентр делит высоту, одинаково для всех трех высот: ^{[6] [7]}

${\displaystyle {\overline {AH}}\cdot {\overline {HD}}={\overline {BH}}\cdot {\overline {HE}}={\overline {CH}}\cdot {\overline {HF}}.}$

Круг с центром в точке H и радиусом, равным квадратному корню из этой константы, является полярным кругом треугольника . ^[8]

• Сумма отношений по трем высотам расстояния ортоцентра от основания к длине высоты равна 1: ^[9] (Это свойство и следующее являются приложениями более общего свойства любой внутренней точки и через него прошли три цевиана .)

${\displaystyle {\frac {\overline {HD}}{\overline {AD}}}+{\frac {\overline {HE}}{\overline {BE}}}+{\frac {\overline {HF}}{\overline {CF}}}=1.}$

• Сумма отношений по трем высотам расстояния ортоцентра от вершины к длине высоты равна 2: ^[9]

${\displaystyle {\frac {\overline {AH}}{\overline {AD}}}+{\frac {\overline {BH}}{\overline {BE}}}+{\frac {\overline {CH}}{\overline {CF}}}=2.}$

• Изогонально сопряженный ортоцентру является центром описанной окружности треугольника. ^[10]
• Изотомно -сопряженная ортоцентра является симмедианой точкой антикомплементарного треугольника . ^[11]
• Четыре точки на плоскости, одна из которых является ортоцентром треугольника, образованного тремя другими, называется ортоцентрической системой или ортоцентрическим четырехугольником.

Связь с окружностями и кониками

Обозначим радиус описанной окружности треугольника через R. Тогда ^{[12] [13]}

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+{\overline {AH}}^{2}+{\overline {BH}}^{2}+{\overline {CH}}^{2}=12R^{2}.}$

Кроме того, обозначая r как радиус вписанной окружности треугольника , ra _, r _b , rc _как радиусы его вписанной окружности и снова R как радиус описанной окружности, справедливы следующие соотношения относительно расстояний ортоцентра от вершины: ^[14]

${\displaystyle {\begin{aligned}&r_{a}+r_{b}+r_{c}+r={\overline {AH}}+{\overline {BH}}+{\overline {CH}}+2R,\\&r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}={\overline {AH}}^{2}+{\overline {BH}}^{2}+{\overline {CH}}^{2}+(2R)^{2}.\end{aligned}}}$

Если какая-либо высота, например AD , продлена до пересечения описанной окружности в точке P , так что AD является хордой описанной окружности, то основание D делит отрезок HP пополам : ^[7]

${\displaystyle {\overline {HD}}={\overline {DP}}.}$

Через ортоцентр проходят директрисы всех парабол , касающихся снаружи одной стороны треугольника и касательных продолжений других сторон. ^[15]

Окружная коническая , проходящая через ортоцентр треугольника, представляет собой прямоугольную гиперболу . ^[16]

Отношение к другим центрам, девятиконечный круг

Ортоцентр H , центроид G , центр описанной окружности O и центр N девятиточечного круга лежат на одной линии, известной как линия Эйлера . ^[17] Центр девятиточечного круга находится в середине линии Эйлера, между ортоцентром и центром описанной окружности, а расстояние между центроидом и центром описанной окружности составляет половину расстояния между центроидом и ортоцентром: ^[18]

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\overline {OH}}=2{\overline {NH}},\\&2{\overline {OG}}={\overline {GH}}.\end{aligned}}}$

Ортоцентр находится ближе к центру I , чем к центроиду, а ортоцентр находится дальше, чем центр тяжести от центроида:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {HI}}&<{\overline {HG}},\\{\overline {HG}}&>{\overline {IG}}.\end{aligned}}}$

Что касается сторон a , b , c , внутреннего радиуса r и описанного радиуса R , ^{[19] [20] : с. 449}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {OH}}^{2}&=R^{2}-8R^{2}\cos A\cos B\cos C\\&=9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2}),\\{\overline {HI}}^{2}&=2r^{2}-4R^{2}\cos A\cos B\cos C.\end{aligned}}}$

Ортогональный треугольник

Треугольник △ abc (соответственно в тексте △ DEF ) является ортогональным треугольником треугольника △ ABC.

Если треугольник △ ABC косоугольный (не содержит прямого угла), педальный треугольник ортоцентра исходного треугольника называется ортическим треугольником или треугольником высот . То есть основания высот косоугольного треугольника образуют ортогональный треугольник △ DEF . Кроме того, инцентр (центр вписанной окружности) прямоугольного треугольника △ DEF является ортоцентром исходного треугольника △ ABC . ^[21]

Трилинейные координаты вершин прямоугольного треугольника имеют вид

$${\displaystyle {\begin{array}{rccccc}D=&0&:&\sec B&:&\sec C\\E=&\sec A&:&0&:&\sec C\\F=&\sec A&:&\sec B&:&0\end{array}}}$$

Расширенные стороны ортического треугольника встречаются с противоположными расширенными сторонами его опорного треугольника в трех коллинеарных точках . ^{[22] [23] [21]}

В любом остроугольном треугольнике вписанный треугольник с наименьшим периметром является ортогональным треугольником. ^[24] Это решение проблемы Фаньяно , поставленной в 1775 году. ^[25] Стороны прямоугольного треугольника параллельны касательным к описанной окружности в вершинах исходного треугольника. ^[26]

Ортический треугольник остроугольного треугольника дает треугольный путь света. ^[27]

Касательные линии девятиточечной окружности в серединах сторон △ ABC параллельны сторонам прямоугольного треугольника, образуя треугольник, аналогичный прямоугольному треугольнику. ^[28]

Ортогональный треугольник тесно связан с касательным треугольником , построенным следующим образом: пусть L _A — прямая, касающаяся описанной окружности треугольника △ ABC в вершине A , и определим L _B , L _C аналогично. Пусть касательный треугольник равен △ A"B"C" , стороны которого являются касательными к треугольнику △ окружности, описанной в вершинах треугольника ABC ; он гомотетичен прямоугольному треугольнику. Центр описанной окружности касательного треугольника и центр подобия треугольника ортический и касательный треугольники лежат на линии Эйлера ^[20] : ^{стр. 447.} ${\displaystyle A''=L_{B}\cap L_{C},}$ ${\displaystyle B''=L_{C}\cap L_{A},}$ ${\displaystyle C''=L_{C}\cap L_{A}.}$

Трилинейные координаты вершин касательного треугольника имеют вид

$${\displaystyle {\begin{array}{rrcrcr}A''=&-a&:&b&:&c\\B''=&a&:&-b&:&c\\C''=&a&:&b&:&-c\end{array}}}$$

ортологическими треугольниками

Подробнее об ортогональном треугольнике смотрите здесь .

Некоторые дополнительные теоремы о высоте

Высота по сторонам

Для любого треугольника со сторонами a, b, c и полупериметром высота стороны a определяется выражением ${\displaystyle s={\tfrac {a+b+c}{2}},}$

${\displaystyle h_{a}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{a}}.}$

Это следует из объединения формулы Герона для площади треугольника через стороны с формулой площади, где за сторону а принимается основание , а за высоту — высота из А. ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\times {\text{base}}\times {\text{height}},}$

Теоремы об радиусе

Рассмотрим произвольный треугольник со сторонами a, b, c и соответствующими высотами h _a , h _b , h _c . Высоты и радиус вписанной окружности r связаны соотношением ^{[29] : Лемма 1}

${\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}.}$

Теорема об описанном радиусе

Обозначая высоту одной стороны треугольника как h _a , двух других сторон как b и c , а радиус описанной окружности треугольника (радиус описанной окружности треугольника) как R , высота определяется выражением ^[30]

${\displaystyle h_{a}={\frac {bc}{2R}}.}$

Внутренняя точка

Если p ₁ , p ₂ , p ₃ — расстояния по перпендикулярам от любой точки P до сторон, а h ₁ , h ₂ , h ₃ — высоты до соответствующих сторон, то ^[31]

${\displaystyle {\frac {p_{1}}{h_{1}}}+{\frac {p_{2}}{h_{2}}}+{\frac {p_{3}}{h_{3}}}=1.}$

Теорема о площади

Обозначая высоты любого треугольника со сторон _a , b, c соответственно как ha _, hb _, hc и обозначая полусумму обратных высот, как мы имеем ^[32] ${\displaystyle H={\tfrac {h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1}}{2}}}$

${\displaystyle \mathrm {Area} ^{-1}=4{\sqrt {H(H-h_{a}^{-1})(H-h_{b}^{-1})(H-h_{c}^{-1})}}.}$

Общая точка на высоте

Если E — любая точка на высоте AD любого треугольника △ ABC , то ^{[33] : 77–78.}

${\displaystyle {\overline {AC}}^{2}+{\overline {EB}}^{2}={\overline {AB}}^{2}+{\overline {CE}}^{2}.}$

Особые случаи

Равносторонний треугольник

Для любой точки P внутри равностороннего треугольника сумма перпендикуляров к трем сторонам равна высоте треугольника. Это теорема Вивиани .

Прямоугольный треугольник

Сравнение обратной теоремы Пифагора с теоремой Пифагора

В прямоугольном треугольнике три высоты h _a , h _b , h _c (первые две из которых равны длинам катетов b и a соответственно) связаны согласно ^{[34] [35]}

${\displaystyle {\frac {1}{h_{a}^{2}}}+{\frac {1}{h_{b}^{2}}}={\frac {1}{h_{c}^{2}}}.}$

Это также известно как обратная теорема Пифагора .

История

Теорема о том, что три высоты треугольника совпадают (в ортоцентре), прямо не сформулирована в сохранившихся греческих математических текстах, но используется в Книге лемм (предложение 5), приписываемой Архимеду (3 век до н. э.), со ссылкой на « комментарий к трактату о прямоугольных треугольниках», произведение не сохранилось. О нем упоминал и Папп ( Математический сборник , VII, 62; ок. 340). ^[36] Теорема была сформулирована и явно доказана ан-Насави в его (11 веке) комментарии к Книге лемм и приписана аль-Кухи ( 10  век ). ^[37]

Это доказательство на арабском языке было переведено как часть латинского издания Книги лемм (начало 17 века) , но не было широко известно в Европе, поэтому теорема была доказана еще несколько раз в 17–19 веках. Самуэль Маруа доказал это в своей «Геометрии» (1619 г.), а Исаак Ньютон доказал это в неоконченном трактате «Геометрия кривых линий» ( ок. 1680 г.). ^[36] Позже Уильям Чаппл доказал это в 1749 году. ^[38]

Особенно элегантное доказательство принадлежит Франсуа-Жозефу Сервуа (1804 г.) и независимо Карлу Фридриху Гауссу (1810 г.): проведите линию, параллельную каждой стороне треугольника, через противоположную точку и сформируйте новый треугольник из пересечений этих трех линий. . Тогда исходный треугольник является медиальным треугольником нового треугольника, а высоты исходного треугольника являются серединными перпендикулярами нового треугольника и, следовательно, совпадают (в центре описанной окружности нового треугольника). ^[39]

Смотрите также

• Центр треугольника
• Медиана (геометрия)

Примечания

1. Смарт 1998, с. 156
2. Berele & Goldman 2001, стр. 118
3. Энциклопедия центров треугольников Кларка Кимберлинга «Энциклопедия центров треугольников». Архивировано из оригинала 19 апреля 2012 г. Проверено 19 апреля 2012 г.
4. Андрееску, Титу; Андрика, Дорин, «Комплексные числа от А до... Я». Биркхойзер, Бостон, 2006, ISBN 978-0-8176-4326-3 , стр. 90, Предложение 3. 
5. Дорри, Генрих, «100 великих задач элементарной математики. Их история и решение». Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, 1965, ISBN 0-486-61348-8 , стр. 142. 
6. Джонсон 2007, с. 163, статья 255
7. ""Ортоцентр треугольника"". Архивировано из оригинала 5 июля 2012 г. Проверено 4 мая 2012 г.
8. Джонсон 2007, с. 176, статья 278
9. Панапои, Ронначай, «Некоторые свойства ортоцентра треугольника», Университет Джорджии .
10. Смарт 1998, с. 182
11. Вайсштейн, Эрик В. «Изотомное сопряжение» Из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/IsotomicConjugate.html
12. Вайсштейн, Эрик В. «Ортоцентр». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram.
13. Альтшиллер-Суд 2007, с. 102
14. Белл, Эми, «Теорема Хансена о прямоугольном треугольнике, ее обращение и обобщение», Forum Geometricorum 6, 2006, 335–342.
15. Вайсштейн, Эрик В. «Парабола Киперта». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/KiepertParabola.html
16. Вайсштейн, Эрик В. «Джерабек Гипербола». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/JerabekHyperbola.html
17. Береле и Голдман 2001, с. 123
18. Береле и Голдман 2001, стр. 124-126.
19. Мари-Николь Гра, «Расстояния между центром описанной окружности треугольника касания и классическими центрами», Forum Geometricorum 14 (2014), 51-61. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201405index.html
20. Смит, Джефф, и Леверша, Джерри, «Эйлер и геометрия треугольника», Mathematical Gazette 91, ноябрь 2007 г., 436–452.
21. Уильям Х. Баркер, Роджер Хоу (2007). «§ VI.2: Классические совпадения». Непрерывная симметрия: от Евклида до Клейна . Американское математическое общество. п. 292. ИСБН 978-0-8218-3900-3.См. также: Следствие 5.5, с. 318.
22. Джонсон 2007, с. 199, статья 315
23. Альтшиллер-Суд 2007, с. 165
24. Джонсон 2007, с. 168, статья 264
25. Береле и Голдман 2001, стр. 120-122.
26. Джонсон 2007, с. 172, раздел 270с
27. Брайант В. и Брэдли Х., «Треугольные световые маршруты», Mathematical Gazette 82, июль 1998 г., 298–299.
28. Кей, Дэвид К. (1993), Геометрия колледжа / подход к открытиям , HarperCollins, стр. 6, ISBN 0-06-500006-4
29. Дорин Андрика и Дэн Штефан Маринеску. «Новые интерполяционные неравенства для Эйлера R ≥ 2r». Forum Geometricorum , Том 17 (2017), стр. 149–156. http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201719.pdf
30. Джонсон 2007, с. 71, статья 101а
31. Джонсон 2007, с. 74, раздел 103в
32. Митчелл, Дуглас В., «Формула типа Герона для обратной площади треугольника», Mathematical Gazette 89, ноябрь 2005 г., 494.
33. Альфред С. Посаментье и Чарльз Т. Салкинд, «Сложные проблемы геометрии» , Dover Publishing Co., второе исправленное издание, 1996 г.
34. Воулс, Роджер, «Целочисленные решения» , Mathematical Gazette 83, июль 1999 г., 269–271. ${\displaystyle a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}}$
35. Ричиник, Дженнифер, «Перевернутая теорема Пифагора», Mathematical Gazette 92, июль 2008 г., 313–317.
36. Ньютон, Исаак (1971). «3.1 «Геометрия кривых линий»» . В Уайтсайде, Дерек Томас (ред.). Математические статьи Исаака Ньютона . Том. 4. Издательство Кембриджского университета. стр. 454–455.Обратите внимание на сноски Уайтсайда 90–92, стр. 454–456.
37. Хаджа, Моваффак; Мартини, Хорст (2013). «Совпадение высот треугольника» (PDF) . Математический семестр . 60 (2): 249–260. doi : 10.1007/s00591-013-0123-z.
    Хогендейк, Ян П. (2008). «Две красивые геометрические теоремы Абу Сала Кухи в голландском переводе 17 века». Тарикх-е Эльм: Иранский журнал истории науки . 6 :1–36.
38. Дэвис, Томас Стивенс (1850). «XXIV. Геометрия и геометры» (PDF) . Философский журнал . 3. 37 (249): 198–212. дои : 10.1080/14786445008646583.Сноска на стр. 207–208. Цитируется Богомольным Александром (2010). «Возможно, первое доказательство совпадения высот». Разрезать узел . Проверено 17 ноября 2019 г.
39. Сервуа, Франсуа-Жозеф (1804). Solutions peu connues de différens problèmes de Géométrie-pratique [ Малоизвестные решения различных практических задач по геометрии ] (на французском языке). Дьявол, Мец и Курсье. п. 15.
    Гаусс, Карл Фридрих (1810). «Зусятце». Геометрия дер Стеллунг . Карно, Лазар (на немецком языке). Перевод Шумахера.переиздано в книге Гаусса, Карла Фридриха (1873 г.). «Зусятце». Верке . Том. 4. Геттингенская академия наук. п. 396.
    См. Маккей, Джон Стерджен (1883). «Треугольник и шесть вписанных в него кругов §5. Ортоцентр». Труды Эдинбургского математического общества . 1 : 60–96. дои : 10.1017/S0013091500036762 .

Рекомендации

• Альтшиллер-Корт, Натан (2007) [1952], Колледж геометрии , Дувр
• Береле, Аллан; Гольдман, Джерри (2001), Геометрия: теоремы и конструкции , Прентис Холл, ISBN 0-13-087121-4
• Богомольный, Александр . «Существование Ортоцентра». Разрежьте узел . Проверено 17 декабря 2022 г.
• Джонсон, Роджер А. (2007) [1960], Расширенная евклидова геометрия , Дувр, ISBN 978-0-486-46237-0
• Смарт, Джеймс Р. (1998), Современная геометрия (5-е изд.), Брукс/Коул, ISBN 0-534-35188-3

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Высота». Математический мир .
• Ортоцентр треугольника С интерактивной анимацией
• Анимированная демонстрация построения ортоцентра Циркуль и линейка.
• «Проблема Фаньяно», Джей Варендорф, Демонстрационный проект Вольфрама .