Трилинейные координаты

Система координат, основанная на расстояниях от сторон данного треугольника.

В геометрии трилинейные координаты x  : y  : z точки относительно данного треугольника описывают относительные направленные расстояния от трех боковых линий треугольника. Трилинейные координаты являются примером однородных координат . Отношение x  : y — это отношение расстояний перпендикуляров от точки к сторонам (при необходимости расширенным) противоположных вершин А и В соответственно; отношение y  : z — отношение расстояний по перпендикулярам от точки к боковым линиям, противоположным вершинам B и C соответственно; и то же самое для z  : x и вершин C и A.

На диаграмме справа трилинейные координаты указанной внутренней точки — это фактические расстояния ( a' , b' , c' ) или, что эквивалентно, в форме отношения ka' : kb' : kc' для любой положительной константы k . Если точка находится на боковой линии опорного треугольника, ее соответствующая трилинейная координата равна 0. Если внешняя точка находится на противоположной стороне боковой линии от внутренней части треугольника, ее трилинейная координата, связанная с этой боковой линией, отрицательна. Невозможно, чтобы все три трилинейные координаты были неположительными.

Обозначения

Обозначение отношения для трилинейных координат часто используется вместо упорядоченного тройного обозначения , причем последнее зарезервировано для троек направленных расстояний относительно определенного треугольника. Трилинейные координаты можно масштабировать на любое произвольное значение, не влияя на их соотношение. Обозначение тройки в квадратных скобках, разделенных запятыми, может вызвать путаницу, поскольку традиционно это представляет собой тройку, отличную от, например, но эти эквивалентные отношения представляют одну и ту же точку. ${\displaystyle x:y:z}$ ${\displaystyle (x,y,z),}$ ${\displaystyle (a',b',c')}$ ${\displaystyle x:y:z,}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle (2x,2y,2z),}$ ${\displaystyle x:y:z={}\!}$ ${\displaystyle 2x:2y:2z}$

Примеры

Трилинейные координаты центра треугольника △ ABC равны 1 :1:1 ; то есть (направленные) расстояния от центра до боковых линий BC, CA, AB пропорциональны фактическим расстояниям, обозначенным ( r , r , r ) , где r — внутренний радиус △ ABC . Учитывая длины сторон a, b, c, имеем:

Обратите внимание, что, как правило, центр тяжести не совпадает с центроидом ; центроид имеет барицентрические координаты 1:1:1 (они пропорциональны фактическим площадям со знаком треугольников △ BGC , △ CGA , △ AGB , где G = центроид.)

Середина, например, стороны BC имеет трилинейные координаты в фактических расстояниях от боковой линии для площади треугольника Δ , которая при произвольно заданных относительных расстояниях упрощается до 0: ca  : ab . Координаты фактических расстояний по боковой линии подножия высоты от A до BC таковы , что на чисто относительных расстояниях упрощается до 0: cos C  : cos B. ^{[1] : с. 96} ${\displaystyle (0,{\tfrac {\Delta }{b}},{\tfrac {\Delta }{c}})}$ ${\displaystyle (0,{\tfrac {2\Delta }{a}}\cos C,{\tfrac {2\Delta }{a}}\cos B),}$

Формулы

Коллинеарности и параллелизмы

Трилинейные координаты позволяют использовать многие алгебраические методы в геометрии треугольника. Например, три точки

${\displaystyle {\begin{aligned}P&=p:q:r\\U&=u:v:w\\X&=x:y:z\\\end{aligned}}}$

коллинеарны тогда и только тогда, когда определитель

${\displaystyle D={\begin{vmatrix}p&q&r\\u&v&w\\x&y&z\end{vmatrix}}}$

равен нулю. Таким образом, если x  : y  : z — переменная точка, уравнение линии, проходящей через точки P и U , равно D = 0 . ^{[1] : с. 23} Отсюда следует, что каждая прямая имеет линейное уравнение, однородное по x, y, z . Каждое уравнение формы с действительными коэффициентами представляет собой действительную прямую линию из конечных точек, если только l  : m  : n не пропорционально a  : b  : c , длинам сторон, и в этом случае мы имеем место расположения точек в бесконечности. ^{[1] : с. 40} ${\displaystyle lx+my+nz=0}$

Двойственным этому предложению является то, что линии

${\displaystyle {\begin{aligned}p\alpha +q\beta +r\gamma &=0\\u\alpha +v\beta +w\gamma &=0\\x\alpha +y\beta +z\gamma &=0\end{aligned}}}$

совпадают в точке ( α , β , γ ) тогда и только тогда, когда D = 0 . ^{[1] : с. 28}

Кроме того, если при вычислении определителя D используются фактические направленные расстояния , то площадь треугольника △ PUX равна KD , где (и где Δ — площадь треугольника △ ABC , как указано выше), если треугольник △ PUX имеет ту же ориентацию (по часовой стрелке или против часовой стрелки) как △ ABC и иначе. ${\displaystyle K={\tfrac {-abc}{8\Delta ^{2}}}}$ ${\displaystyle K={\tfrac {-abc}{8\Delta ^{2}}}}$

Параллельные линии

Две прямые с трилинейными уравнениями и параллельны тогда и только тогда, когда ^{[1] : с. 98, #xi} ${\displaystyle lx+my+nz=0}$ ${\displaystyle l'x+m'y+n'z=0}$

${\displaystyle {\begin{vmatrix}l&m&n\\l'&m'&n'\\a&b&c\end{vmatrix}}=0,}$

где a, b, c — длины сторон.

Угол между двумя линиями

Тангенсы углов между двумя прямыми с трилинейными уравнениями и определяются по формуле ^{[1] : стр.50.} ${\displaystyle lx+my+nz=0}$ ${\displaystyle l'x+m'y+n'z=0}$

${\displaystyle \pm {\frac {(mn'-m'n)\sin A+(nl'-n'l)\sin B+(lm'-l'm)\sin C}{ll'+mm'+nn'-(mn'+m'n)\cos A-(nl'+n'l)\cos B-(lm'+l'm)\cos C}}.}$

Перпендикулярные линии

Таким образом, две прямые с трилинейными уравнениями и перпендикулярны тогда и только тогда, когда ${\displaystyle lx+my+nz=0}$ ${\displaystyle l'x+m'y+n'z=0}$

${\displaystyle ll'+mm'+nn'-(mn'+m'n)\cos A-(nl'+n'l)\cos B-(lm'+l'm)\cos C=0.}$

Высота

Уравнение высоты от вершины A до стороны BC : ^{[1] : стр.98, #x}

${\displaystyle y\cos B-z\cos C=0.}$

Линия через расстояния от вершин

Уравнение прямой с переменными расстояниями p, q, r от вершин A, B, C , противоположными сторонами которых являются a, b, c, имеет вид ^{[1] : p. 97, #viii}

${\displaystyle apx+bqy+crz=0.}$

Трилинейные координаты фактического расстояния

Трилинейки со значениями координат a', b', c' являются фактическими перпендикулярными расстояниями к сторонам, удовлетворяют ^{[1] : с. 11}

${\displaystyle aa'+bb'+cc'=2\Delta }$

для сторон треугольника a, b, c и площади Δ . Это можно увидеть на рисунке вверху статьи: внутренняя точка P делит треугольник △ ABC на три треугольника △ PBC , △ PCA , △ PAB с соответствующими площадями. ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}aa',{\tfrac {1}{2}}bb',{\tfrac {1}{2}}cc'.}$

Расстояние между двумя точками

Расстояние d между двумя точками с трилинейками фактического расстояния  a i : bi : c _i  определяется выражением _[ 1 _] : ^{p . 46}

${\displaystyle d^{2}\sin ^{2}C=(a_{1}-a_{2})^{2}+(b_{1}-b_{2})^{2}+2(a_{1}-a_{2})(b_{1}-b_{2})\cos C}$

или более симметричным способом

${\displaystyle d^{2}={\frac {abc}{4\Delta ^{2}}}\left(a(b_{1}-b_{2})(c_{2}-c_{1})+b(c_{1}-c_{2})(a_{2}-a_{1})+c(a_{1}-a_{2})(b_{2}-b_{1})\right).}$

Расстояние от точки до линии

Расстояние d от точки a' : b' : c' в трилинейных координатах фактических расстояний до прямой линии равно ^{[1] : p. 48} ${\displaystyle lx+my+nz=0}$

${\displaystyle d={\frac {la'+mb'+nc'}{\sqrt {l^{2}+m^{2}+n^{2}-2mn\cos A-2nl\cos B-2lm\cos C}}}.}$

Квадратичные кривые

Уравнение конического сечения в переменной трилинейной точке x  : y  : z имеет вид ^{[1] : с.118}

${\displaystyle rx^{2}+sy^{2}+tz^{2}+2uyz+2vzx+2wxy=0.}$

Он не имеет линейных членов и постоянного члена.

Уравнение окружности радиуса r , имеющего центр в координатах фактического расстояния ( a', b', c' ), имеет вид ^{[1] : стр.287.}

${\displaystyle (x-a')^{2}\sin 2A+(y-b')^{2}\sin 2B+(z-c')^{2}\sin 2C=2r^{2}\sin A\sin B\sin C.}$

Циркумконикс

Уравнение в трилинейных координатах x, y, z любой описанной окружности треугольника имеет вид ^{[1] : p. 192}

${\displaystyle lyz+mzx+nxy=0.}$

Если параметры l, m, n соответственно равны длинам сторон a, b, c (или синусам противоположных им углов), то уравнение дает описанную окружность . ^{[1] : с. 199}

Каждый отдельный цирккокон имеет уникальный для себя центр. Уравнение в трилинейных координатах циркумконуса с центром x' : y' : z'есть ^{[1] : с. 203}

${\displaystyle yz(x'-y'-z')+zx(y'-z'-x')+xy(z'-x'-y')=0.}$

Инконики

Каждое коническое сечение , вписанное в треугольник, имеет уравнение в трилинейных координатах: ^{[1] : р. 208}

${\displaystyle l^{2}x^{2}+m^{2}y^{2}+n^{2}z^{2}\pm 2mnyz\pm 2nlzx\pm 2lmxy=0,}$

ровно один или три из неуказанных признаков являются отрицательными.

Уравнение вписанной окружности можно упростить до ^{[1] : с. 210, с.214}

${\displaystyle \pm {\sqrt {x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\frac {C}{2}}=0,}$

тогда как уравнение, например, для вписанной окружности, примыкающей к боковому отрезку, противоположному вершине A , можно записать как ^{[1] ​​: p. 215}

${\displaystyle \pm {\sqrt {-x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\frac {C}{2}}=0.}$

Кубические кривые

Многие кубические кривые легко представить с помощью трилинейных координат. Например, основная самоизосопряженная куба Z ( U, P ) как геометрическое место точки X такой, что P -изосопряженная кубика X находится на прямой UX , задается детерминантным уравнением

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x&y&z\\qryz&rpzx&pqxy\\u&v&w\end{vmatrix}}=0.}$

Среди именованных кубов Z ( U,P ) выделяются следующие:

Кубика Томсона : Z(X(2),X(1)) , где X(2) = центроид , X(1) = инцентр

Кубика Фейербаха : Z(X(5),X(1)) , где X(5) = точка Фейербаха.

Кубика Дарбу : Z(X(20),X(1)) , где X(20) = точка Де Лонгшана

Кубика Нейберга : Z(X(30),X(1)) , где X(30) = точка бесконечности Эйлера.

Конверсии

Между трехлинейными координатами и расстояниями от боковых линий

Для любого выбора трилинейных координат x  : y  : z для определения местоположения точки фактические расстояния точки от боковых линий определяются как a' = kx , b' = ky , c' = kz , где k можно определить по формуле где a, b, c — соответствующие длины сторон BC, CA, AB , а ∆ — площадь △ ABC . ${\displaystyle k={\tfrac {2\Delta }{ax+by+cz}}}$

Между барицентрическими и трилинейными координатами

Точка с трилинейными координатами x  : y  : z имеет барицентрические координаты ax  : by  : cz , где a, b, c — длины сторон треугольника. И наоборот, точка с барицентрикой α  : β  : γ имеет трилинейные координаты. ${\displaystyle {\tfrac {\alpha }{a}}:{\tfrac {\beta }{b}}:{\tfrac {\gamma }{c}}.}$

Между декартовыми и трилинейными координатами

Дан опорный треугольник △ ABC , выразите положение вершины B через упорядоченную пару декартовых координат и представьте это алгебраически в виде вектора , используя вершину C в качестве начала координат. Аналогичным образом определите вектор положения вершины A как Тогда любая точка P , связанная с опорным треугольником △ ABC , может быть определена в декартовой системе как вектор. Если эта точка P имеет трилинейные координаты x  : y  : z , то формула преобразования из коэффициентов k ₁ и k ₂ в декартовом представлении в трилинейных координатах равно для длин сторон a, b, c противоположных вершин A, B, C , ${\displaystyle {\vec {B}},}$ ${\displaystyle {\vec {A}}.}$ ${\displaystyle {\vec {P}}=k_{1}{\vec {A}}+k_{2}{\vec {B}}.}$

${\displaystyle x:y:z={\frac {k_{1}}{a}}:{\frac {k_{2}}{b}}:{\frac {1-k_{1}-k_{2}}{c}},}$

а формула преобразования трилинейных координат в коэффициенты в декартовом представлении имеет вид

${\displaystyle k_{1}={\frac {ax}{ax+by+cz}},\quad k_{2}={\frac {by}{ax+by+cz}}.}$

В более общем смысле, если выбрано произвольное начало координат, где декартовы координаты вершин известны и представлены векторами, и если точка P имеет трилинейные координаты x  : y  : z , то декартовы координаты представляют собой средневзвешенное значение декартовых координат. этих вершин, используя барицентрические координаты ax, by, cz в качестве весов. Следовательно, формула преобразования трилинейных координат x, y, z в вектор декартовых координат точки имеет вид ${\displaystyle {\vec {A}},{\vec {B}},{\vec {C}}}$ ${\displaystyle {\vec {P}}}$ ${\displaystyle {\vec {P}}}$

${\displaystyle {\vec {P}}={\frac {ax}{ax+by+cz}}{\vec {A}}+{\frac {by}{ax+by+cz}}{\vec {B}}+{\frac {cz}{ax+by+cz}}{\vec {C}},}$

где длины сторон

${\displaystyle {\begin{aligned}&|{\vec {C}}-{\vec {B}}|=a,\\&|{\vec {A}}-{\vec {C}}|=b,\\&|{\vec {B}}-{\vec {A}}|=c.\end{aligned}}}$

Смотрите также

• Теорема Морли о трисекторах # Треугольники Морли с примерами многочисленных точек, выраженных в трилинейных координатах.
• Тройной сюжет
• Теорема Вивиани

Рекомендации

1. Уильям Аллен Уитворт (1866) Трилинейные координаты и другие методы аналитической геометрии двух измерений: элементарный трактат, ссылка из монографий по исторической математике Корнельского университета .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Трилинейные координаты». Математический мир .
• Энциклопедия центров треугольников - ETC Кларка Кимберлинга; имеет трилинейные координаты (и барицентрические) для более чем 7000 центров треугольников