Инцентр

Центр вписанной окружности треугольника

Точка пересечения биссектрис трех углов треугольника ABC является центром (обозначается I). Вписанная окружность (центр которой — I) касается каждой стороны треугольника.

В геометрии инцентр треугольника — это центр треугольника , точка, определенная для любого треугольника способом, который не зависит от его расположения или масштаба . Инцентр может быть эквивалентным образом определен как точка, в которой пересекаются биссектрисы внутреннего угла треугольника, как точка, равноудаленная от сторон треугольника, как точка соединения средней оси и самой внутренней точки преобразования травяного огня треугольника и как центр вписанной окружности треугольника.

Вместе с центроидом , центром описанной окружности и ортоцентром он является одним из четырех центров треугольника, известных древним грекам, и единственным из четырех, который вообще не лежит на линии Эйлера . Это первый центр, X(1), внесенный в «Энциклопедию треугольных центров» Кларка Кимберлинга , а также единичный элемент мультипликативной группы треугольных центров. ^{[1] [2]}

Для многоугольников с более чем тремя сторонами центр вписания существует только для тангенциальных многоугольников — тех, у которых есть вписанная окружность, касающаяся каждой стороны многоугольника. В этом случае инцентр является центром этого круга и одинаково удален со всех сторон.

Определение и конструкция

Это теорема евклидовой геометрии , согласно которой три биссектрисы внутреннего угла треугольника встречаются в одной точке. В « Началах » Евклида предложение 4 книги IV доказывает, что эта точка также является центром вписанной окружности треугольника. Саму вписанную окружность можно построить, опустив перпендикуляр из центра треугольника на одну из сторон треугольника и нарисовав окружность с этим сегментом в качестве радиуса. ^[3]

Центр находится на равных расстояниях от трех отрезков, образующих стороны треугольника, а также от трех линий, содержащих эти отрезки. Это единственная точка, одинаково удаленная от отрезков прямых, но есть еще три точки, одинаково удаленные от прямых, — эксцентры, образующие центры вписанных окружностей данного треугольника. Инцентр и эксцентры вместе образуют ортоцентрическую систему . ^[4]

Медиальная ось многоугольника — это набор точек, ближайший сосед которых на многоугольнике не уникален: эти точки равноудалены от двух или более сторон многоугольника. Одним из методов вычисления медиальных осей является использование преобразования травяного пожара , при котором формируется непрерывная последовательность кривых смещения , каждая из которых находится на некотором фиксированном расстоянии от многоугольника; медиальная ось очерчена вершинами этих кривых. В случае треугольника медиальная ось состоит из трех сегментов биссектрис, соединяющих вершины треугольника с инцентром, который является уникальной точкой на самой внутренней кривой смещения. ^[5] Прямой скелет , определенный аналогичным образом на основе кривой смещения другого типа, совпадает с средней осью выпуклых многоугольников и поэтому также имеет соединение в центре. ^[6]

Доказательства

Доказательство соотношения

Пусть деление пополам и встречаются в , и деление пополам и встречаются в , и встречаются в . ${\displaystyle \angle {BAC}}$ ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \angle {ABC}}$ ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\overline {AD}}}$ ${\displaystyle {\overline {BE}}}$ ${\displaystyle {I}}$

И пусть и встретимся в . ${\displaystyle {\overline {CI}}}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ${\displaystyle {F}}$

Затем нам нужно доказать, что это деление пополам . ${\displaystyle {\overline {CI}}}$ ${\displaystyle \angle {ACB}}$

В , , по теореме о биссектрисе угла . ${\displaystyle \triangle {ACF}}$ ${\displaystyle {\overline {AC}}:{\overline {AF}}={\overline {CI}}:{\overline {IF}}}$

В , . ${\displaystyle \triangle {BCF}}$ ${\displaystyle {\overline {BC}}:{\overline {BF}}={\overline {CI}}:{\overline {IF}}}$

Следовательно, , так что . ${\displaystyle {\overline {AC}}:{\overline {AF}}={\overline {BC}}:{\overline {BF}}}$ ${\displaystyle {\overline {AC}}:{\overline {BC}}={\overline {AF}}:{\overline {BF}}}$

Так же и деление пополам ${\displaystyle {\overline {CF}}}$ ${\displaystyle \angle {ACB}}$

Перпендикулярное доказательство

Линия, являющаяся биссектрисой угла, при измерении по перпендикуляру равноудалена от обеих своих линий. В точке пересечения двух биссектрис эта точка перпендикулярно равноудалена от линий, образующих конечный угол (поскольку они находятся на одинаковом расстоянии от противоположного края этого угла), и, следовательно, лежит на его биссектрисе.

Связь со сторонами и вершинами треугольника

Трилинейные координаты

Трилинейные координаты точки треугольника дают отношение расстояний к сторонам треугольника. Трилинейные координаты центра равны ^[2]

${\displaystyle \ 1:1:1.}$

Совокупности центров треугольников можно придать структуру группы при покоординатном умножении трилинейных координат; в этой группе центральная часть образует идентификационный элемент . ^[2]

Барицентрические координаты

Барицентрические координаты точки в треугольнике задают веса так, что точка представляет собой средневзвешенное значение положений вершин треугольника. Барицентрические координаты центра определяются выражением

${\displaystyle \ a:b:c}$

где , , и — длины сторон треугольника, или, что то же самое (используя закон синусов ), по формуле ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle \sin(A):\sin(B):\sin(C)}$

где , , и – углы при трех вершинах. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$

Декартовы координаты

Декартовы координаты центра представляют собой средневзвешенное значение координат трех вершин с использованием длин сторон треугольника относительно периметра, т. е. с использованием приведенных выше барицентрических координат, нормализованных до суммы, равной единице, в качестве весов. (Веса положительны, поэтому вписанный центр лежит внутри треугольника, как указано выше.) Если три вершины расположены в точках , , и , а стороны, противоположные этим вершинам, имеют соответствующие длины , и , то центр вписанной точки находится в точке ${\displaystyle (x_{A},y_{A})}$ ${\displaystyle (x_{B},y_{B})}$ ${\displaystyle (x_{C},y_{C})}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle {\bigg (}{\frac {ax_{A}+bx_{B}+cx_{C}}{a+b+c}},{\frac {ay_{A}+by_{B}+cy_{C}}{a+b+c}}{\bigg )}={\frac {a(x_{A},y_{A})+b(x_{B},y_{B})+c(x_{C},y_{C})}{a+b+c}}.}$

Расстояния до вершин

Обозначая центр треугольника ABC как I , расстояния от центра до вершин в сочетании с длинами сторон треугольника подчиняются уравнению ^[7]

${\displaystyle {\frac {IA\cdot IA}{CA\cdot AB}}+{\frac {IB\cdot IB}{AB\cdot BC}}+{\frac {IC\cdot IC}{BC\cdot CA}}=1.}$

Кроме того, ^[8]

${\displaystyle IA\cdot IB\cdot IC=4Rr^{2},}$

где R и r — радиус описанной и внутренней окружности треугольника соответственно.

Связанные конструкции

Другие центры

Расстояние от центра до центроида составляет менее одной трети длины самой длинной медианы треугольника. ^[9]

По теореме Эйлера в геометрии квадрат расстояния от центра I до центра описанной окружности O определяется выражением ^{[10] [11]}

${\displaystyle OI^{2}=R(R-2r),}$

где R и r — радиус описанной и внутренней окружности соответственно; таким образом, радиус описанной окружности как минимум в два раза больше внутреннего радиуса, с равенством только в равностороннем случае. ^{[12] : с. 198}

Расстояние от центра до центра N девятиточечного круга равно ^[11]

${\displaystyle IN={\frac {1}{2}}(R-2r)<{\frac {1}{2}}R.}$

Квадрат расстояния от инцентра до ортоцентра H равен ^[13]

${\displaystyle IH^{2}=2r^{2}-4R^{2}\cos A\cos B\cos C.}$

К неравенствам относятся:

${\displaystyle IG<HG,\quad IH<HG,\quad IG<IO,\quad 2IN<IO.}$

Инцентр — это точка Нагеля медиального треугольника (треугольника, вершины которого являются серединами сторон) и, следовательно, лежит внутри этого треугольника. И наоборот, точка Нагеля любого треугольника является центром его антидополнительного треугольника . ^[14]

Инцентр должен лежать внутри диска , диаметр которого соединяет центроид G и ортоцентр H ( ортоцентроидальный диск ), но он не может совпадать с девятиточечным центром , положение которого фиксировано на 1/4 пути по диаметру. (ближе к G ). Любая другая точка внутри ортоцентроидального диска является центром уникального треугольника. ^[15]

линия Эйлера

Линия Эйлера треугольника — это линия, проходящая через центр описанной окружности , центроид и ортоцентр , а также другие точки. Инцентр обычно не лежит на линии Эйлера; ^[16] она находится на линии Эйлера только для равнобедренных треугольников , ^[17] для которых линия Эйлера совпадает с осью симметрии треугольника и содержит все центры треугольника.

Обозначая расстояние от центра до линии Эйлера как d , длину самой длинной медианы как v , длину самой длинной стороны как u , радиус описанной окружности как R , длину отрезка линии Эйлера от ортоцентра до центра описанной окружности как e и полупериметр как s , имеют место следующие неравенства: ^[18]

${\displaystyle {\frac {d}{s}}<{\frac {d}{u}}<{\frac {d}{v}}<{\frac {1}{3}};}$

${\displaystyle d<{\frac {1}{3}}e;}$

${\displaystyle d<{\frac {1}{2}}R.}$

Разделители площади и периметра

Любая линия, проходящая через треугольник, которая делит площадь треугольника и его периметр пополам, проходит через центр треугольника; каждая линия, проходящая через центр, которая делит область пополам, также делит периметр пополам. Для любого данного треугольника существует одна, две или три таких линии. ^[19]

Относительные расстояния от биссектрисы угла

Пусть X — переменная точка на биссектрисе внутреннего угла A . Тогда X = I (инцентр) максимизирует или минимизирует отношение вдоль биссектрисы этого угла. ^{[20] [21]} ${\displaystyle {\tfrac {BX}{CX}}}$

Рекомендации

1. Кимберлинг, Кларк (1994), «Центральные точки и центральные линии в плоскости треугольника», Mathematics Magazine , 67 (3): 163–187, doi : 10.1080/0025570X.1994.11996210, JSTOR  2690608, MR  1573021.
2. Энциклопедия центров треугольников. Архивировано 19 апреля 2012 г. в Wayback Machine , по состоянию на 28 октября 2014 г.
3. Элементы Евклида , Книга IV, Предложение 4: Вписать круг в данный треугольник. Дэвид Джойс, Университет Кларка, получено 28 октября 2014 г.
4. Джонсон, Р.А. (1929), Современная геометрия , Бостон: Houghton Mifflin, стр. 182.
5. Блюм, Гарри (1967), «Преобразование для извлечения новых дескрипторов формы», в Уотен-Данн, Вейант (ред.), Модели восприятия речи и визуальной формы (PDF) , Кембридж: MIT Press, стр. 362–380, В треугольнике три угла начинают расширяться и исчезают в центре наибольшего вписанного круга..
6. Айххольцер, Освин; Ауренхаммер, Франц ; Альбертс, Дэвид; Гертнер, Бернд (1995), «Новый тип скелета для многоугольников», Journal of Universal Computer Science , 1 (12): 752–761, doi : 10.1007/978-3-642-80350-5_65, MR  1392429.
7. Аллер, Патрисия Р.; Чжоу, Цзюньминь; Яо, Хайшен (март 2012 г.), «Доказательство идентичности эллипса девятнадцатого века», Mathematical Gazette , 96 : 161–165, doi : 10.1017/S0025557200004277.
8. Альтшиллер-Корт, Натан (1980), Геометрия колледжа , Dover Publications. №84, с. 121.
9. Францсен, Уильям Н. (2011), «Расстояние от центра до линии Эйлера» (PDF) , Forum Geometricorum , 11 : 231–236, MR  2877263. Лемма 3, с. 233.
10. Джонсон (1929), с. 186
11. Францсен (2011), с. 232.
12. Драгутин Свртан и Дарко Вельян, «Неевклидовы версии некоторых классических неравенств треугольника», Forum Geometricorum 12 (2012), 197–209. http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201217index.html
13. Мари-Николь Гра, «Расстояния между центром описанной окружности треугольника касания и классическими центрами» Forum Geometricorum 14 (2014), 51-61. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201405index.html
14. Францсен (2011), Лемма 1, с. 233.
15. Францсен (2011), с. 232.
16. Шатшнайдер, Дорис ; Кинг, Джеймс (1997), Геометрия включена: динамическое программное обеспечение в обучении, преподавании и исследованиях, Математическая ассоциация Америки, стр. 3–4, ISBN 978-0883850992
17. Эдмондс, Аллан Л.; Хаджа, Моваффак; Мартини, Хорст (2008), «Ортоцентрические симплексы и бирегулярность», Результаты по математике , 52 (1–2): 41–50, doi : 10.1007/s00025-008-0294-4, MR  2430410, S2CID  121434528, Это хорошо Известно, что центр евклидова треугольника лежит на его прямой Эйлера, соединяющей центр тяжести и центр описанной окружности тогда и только тогда, когда треугольник равнобедренный..
18. Францсен (2011), стр. 232–234.
19. Кодокостас, Димитриос (апрель 2010 г.), «Треугольные эквалайзеры», Mathematics Magazine , 83 (2): 141–146, doi : 10.4169/002557010X482916, S2CID  218541138.
20. Арье Бялостоцкий и Дора Бялостоцки, «Инцентр и эксцентр как решения экстремальной задачи», Forum Geometricorum 11 (2011), 9-12. http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201102index.html
21. Хаджа, Моваффак, Экстремальные свойства центра и эксцентра треугольника», Mathematical Gazette 96, июль 2012 г., 315–317.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Инцентр». Математический мир .