Поляризационная идентичность

Формула, связывающая норму и внутренний продукт в пространстве внутреннего продукта

Векторы, участвующие в идентичности поляризации ${\displaystyle 2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}.}$

В линейной алгебре , разделе математики , поляризационное тождество — это любая формула из семейства формул, которые выражают скалярное произведение двух векторов через норму нормированного векторного пространства . Если норма возникает из внутреннего продукта, то поляризационное тождество можно использовать для выражения этого внутреннего продукта полностью через норму. Тождество поляризации показывает, что норма может возникнуть не более чем из одного внутреннего продукта; однако существуют нормы, которые не возникают из какого-либо внутреннего продукта.

Норма, связанная с любым пространством внутреннего продукта, удовлетворяет закону параллелограмма : Фактически, как заметил Джон фон Нейман , ^[1] закон параллелограмма характеризует те нормы, которые возникают из внутренних продуктов. Для нормированного пространства закон параллелограмма справедлив тогда и только тогда, когда существует скалярный продукт на таком, что для всех и в этом случае этот скалярный продукт однозначно определяется нормой через тождество поляризации. ^{[2] [3]} ${\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}.}$ ${\displaystyle (H,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \|x\|^{2}=\langle x,\ x\rangle }$ ${\displaystyle x\in H,}$

Поляризационные тождества

Любое скалярное произведение в векторном пространстве индуцирует норму по уравнению

$${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}.}$$

$${\displaystyle \|x+y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}+2\operatorname {Re} \langle x,y\rangle \qquad {\text{ for all vectors }}x,y.}$$

Решение for дает формулу: Если внутренний продукт действителен, то эта формула становится поляризационным тождеством для реальных внутренних продуктов. ${\displaystyle \operatorname {Re} \langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle \operatorname {Re} \langle x,y\rangle ={\frac {1}{2}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}\right).}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} \langle x,y\rangle =\langle x,y\rangle }$

Вещественные векторные пространства

Если векторное пространство находится над действительными числами , то тождества поляризации таковы: ^[4]

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x,y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)\\[3pt]&={\frac {1}{2}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}\right)\\[3pt]&={\frac {1}{2}}\left(\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right).\\[3pt]\end{alignedat}}}$$

Все эти различные формы эквивалентны по закону параллелограмма : ^{[доказательство 1]}

$${\displaystyle 2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}.}$$

Это также означает, что класс не является гильбертовым пространством всякий раз , когда , поскольку закон параллелограмма не выполняется. В качестве контрпримера рассмотрим и для любых двух непересекающихся подмножеств общей области и вычислим меру обоих множеств по закону параллелограмма. ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p\neq 2}$ ${\displaystyle x=1_{A}}$ ${\displaystyle y=1_{B}}$ ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$

Комплексные векторные пространства

Для векторных пространств над комплексными числами приведенные выше формулы не совсем корректны, поскольку не описывают мнимую часть (комплексного) скалярного произведения. Однако аналогичное выражение гарантирует сохранение как вещественной, так и мнимой частей. Комплексная часть внутреннего произведения зависит от того, является ли оно антилинейным по первому или второму аргументу. Обозначения , которые обычно используются в физике, будут считаться антилинейными по первому аргументу, тогда как обозначения , которые обычно используются в математике, будут считаться антилинейными по второму аргументу . Они связаны формулой: ${\displaystyle \langle x|y\rangle ,}$ ${\displaystyle \langle x,\,y\rangle ,}$

$${\displaystyle \langle x,\,y\rangle =\langle y\,|\,x\rangle \quad {\text{ for all }}x,y\in H.}$$

Действительная часть любого скалярного произведения (независимо от того, какой аргумент является антилинейным и вещественным или комплексным) представляет собой симметричное билинейное отображение, которое для любого всегда равно: ^{[4] [доказательство 1]} ${\displaystyle x,y\in H}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}R(x,y):&=\operatorname {Re} \langle x\mid y\rangle =\operatorname {Re} \langle x,y\rangle \\&={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)\\&={\frac {1}{2}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}\right)\\[3pt]&={\frac {1}{2}}\left(\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right).\\[3pt]\end{alignedat}}}$$

Это всегда симметричное отображение , а это означает, что ^{[доказательство 1]}

$${\displaystyle R(x,y)=R(y,x)\quad {\text{ for all }}x,y\in H,}$$

^{[доказательство 1]}

$${\displaystyle R(y,ix)=-R(x,iy)\quad {\text{ for all }}x,y\in H.}$$

${\displaystyle R(ix,y)=-R(x,iy),}$ ${\displaystyle i}$

В отличие от своей действительной части, мнимая часть сложного внутреннего продукта зависит от того, какой аргумент является антилинейным.

Антилинейный по первому аргументу

Тождества поляризации для скалярного произведения , антилинейного по первому аргументу , имеют вид ${\displaystyle \langle x\,|\,y\rangle ,}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x\,|\,y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}-i\|x+iy\|^{2}+i\|x-iy\|^{2}\right)\\&=R(x,y)-iR(x,iy)\\&=R(x,y)+iR(ix,y)\\\end{alignedat}}}$

где Предпоследнее равенство аналогично формуле, выражающей линейный функционал через его действительную часть: ${\displaystyle x,y\in H.}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi (y)=\operatorname {Re} \varphi (y)-i(\operatorname {Re} \varphi )(iy).}$

Антилинейность во втором аргументе

Тождества поляризации для скалярного произведения , антилинейного во втором аргументе , следуют из соотношения: Итак, для любого ^[4] ${\displaystyle \langle x,\ y\rangle ,}$ ${\displaystyle \langle x\,|\,y\rangle }$ ${\displaystyle \langle x,\ y\rangle :=\langle y\,|\,x\rangle ={\overline {\langle x\,|\,y\rangle }}\quad {\text{ for all }}x,y\in H.}$ ${\displaystyle x,y\in H,}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x,\,y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+i\|x+iy\|^{2}-i\|x-iy\|^{2}\right)\\&=R(x,y)+iR(x,iy)\\&=R(x,y)-iR(ix,y).\\\end{alignedat}}}$

Это выражение можно симметрично сформулировать так: ^[5]

$${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}\sum _{k=0}^{3}i^{k}\left\|x+i^{k}y\right\|^{2}.}$$

Краткое изложение обоих случаев

Таким образом, если обозначает действительную и мнимую части значения некоторого внутреннего продукта в точке его области определения, то его мнимая часть будет: ${\displaystyle R(x,y)+iI(x,y)}$ ${\displaystyle (x,y)\in H\times H}$

$${\displaystyle I(x,y)~=~{\begin{cases}~R({\color {red}i}x,y)&\qquad {\text{ if antilinear in the }}{\color {red}1}{\text{st argument}}\\~R(x,{\color {blue}i}y)&\qquad {\text{ if antilinear in the }}{\color {blue}2}{\text{nd argument}}\\\end{cases}}}$$

${\displaystyle i}$

Используя приведенную выше формулу для мнимой части, получим: ${\displaystyle R(ix,y)=-R(x,iy),}$

$${\displaystyle I(x,y)~=~{\begin{cases}-R(x,{\color {black}i}y)&\qquad {\text{ if antilinear in the }}{\color {black}1}{\text{st argument}}\\-R({\color {black}i}x,y)&\qquad {\text{ if antilinear in the }}{\color {black}2}{\text{nd argument}}\\\end{cases}}}$$

Реконструкция внутреннего продукта

В нормированном пространстве , если действует закон параллелограмма ${\displaystyle (H,\|\cdot \|),}$

$${\displaystyle \|x+y\|^{2}~+~\|x-y\|^{2}~=~2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}}$$

скалярный продукт^{[4] [1]} ${\displaystyle \langle \cdot ,\ \cdot \rangle }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \|x\|^{2}=\langle x,\ x\rangle }$ ${\displaystyle x\in H.}$

Доказательство

Мы приведем здесь только реальный случай; доказательство для комплексных векторных пространств аналогично.

Согласно приведенным выше формулам, если норма описывается скалярным произведением (как мы надеемся), то она должна удовлетворять

$${\displaystyle \langle x,\ y\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)\quad {\text{ for all }}x,y\in H,}$$

что может служить определением единственного кандидата на роль подходящего внутреннего продукта. Таким образом, уникальность гарантирована. ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

Осталось доказать, что эта формула действительно определяет внутренний продукт и что этот внутренний продукт индуцирует норму . В явном виде будет показано следующее: ${\displaystyle \|\cdot \|.}$

1. ${\displaystyle \langle x,x\rangle =\|x\|^{2},\quad x\in H}$
2. ${\displaystyle \langle x,y\rangle =\langle y,x\rangle ,\quad x,y\in H}$
3. ${\displaystyle \langle x+z,y\rangle =\langle x,y\rangle +\langle z,y\rangle \quad {\text{ for all }}x,y,z\in H,}$
4. ${\displaystyle \langle \alpha x,y\rangle =\alpha \langle x,y\rangle \quad {\text{ for all }}x,y\in H{\text{ and all }}\alpha \in \mathbb {R} }$

(Эта аксиоматизация опускает позитивность , подразумеваемую (1), и тот факт, что это норма.) ${\displaystyle \|\cdot \|}$

Вместо свойств (1) и (2) замените: и ${\textstyle \langle x,x\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+x\|^{2}-\|x-x\|^{2}\right)=\|x\|^{2},}$ ${\displaystyle \|x-y\|^{2}=\|y-x\|^{2}.}$

Для свойства (3) удобно действовать в обратном порядке. Осталось показать, что

$${\displaystyle \|x+z+y\|^{2}-\|x+z-y\|^{2}{\overset {?}{=}}\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+\|z+y\|^{2}-\|z-y\|^{2}}$$

или эквивалентно,

$${\displaystyle 2\left(\|x+z+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}\right)-2\left(\|x+z-y\|^{2}+\|x+y\|^{2}\right){\overset {?}{=}}2\|z+y\|^{2}-2\|z-y\|^{2}.}$$

Теперь примените тождество параллелограмма:

$${\displaystyle 2\|x+z+y\|^{2}+2\|x-y\|^{2}=\|2x+z\|^{2}+\|2y+z\|^{2}}$$

$${\displaystyle 2\|x+z-y\|^{2}+2\|x+y\|^{2}=\|2x+z\|^{2}+\|z-2y\|^{2}}$$

Таким образом, осталось проверить:

$${\displaystyle {\cancel {\|2x+z\|^{2}}}+\|2y+z\|^{2}-({\cancel {\|2x+z\|^{2}}}+\|z-2y\|^{2}){\overset {?}{{}={}}}2\|z+y\|^{2}-2\|z-y\|^{2}}$$

$${\displaystyle \|2y+z\|^{2}-\|z-2y\|^{2}{\overset {?}{=}}2\|z+y\|^{2}-2\|z-y\|^{2}}$$

Но последнее утверждение можно проверить, вычитая следующие два дополнительных применения тождества параллелограмма:

$${\displaystyle \|2y+z\|^{2}+\|z\|^{2}=2\|z+y\|^{2}+2\|y\|^{2}}$$

$${\displaystyle \|z-2y\|^{2}+\|z\|^{2}=2\|z-y\|^{2}+2\|y\|^{2}}$$

Таким образом, (3) выполнено.

По индукции можно проверить, что (3) влечет за собой (4), пока Но «(4) когда » влечет «(4) когда «. И любая положительно определенная, вещественная , -билинейная форма удовлетворяет неравенству Коши – Шварца , так что она непрерывна. Следовательно, оно также должно быть -линейным. ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Z} .}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Другим необходимым и достаточным условием существования скалярного продукта, индуцирующего данную норму, является то, чтобы норма удовлетворяла неравенству Птолемея , а именно: ^[6] ${\displaystyle \|\cdot \|}$

$${\displaystyle \|x-y\|\,\|z\|~+~\|y-z\|\,\|x\|~\geq ~\|x-z\|\,\|y\|\qquad {\text{ for all vectors }}x,y,z.}$$

Приложения и последствия

Если — комплексное гильбертово пространство, то оно действительно тогда и только тогда, когда его мнимая часть равна тому, что происходит тогда и только тогда, когда Аналогично, является (чисто) мнимым тогда и только тогда, когда, например, из него можно заключить, что действительно, а что чисто мнимо. . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \langle x\mid y\rangle }$ ${\displaystyle 0=R(x,iy)={\frac {1}{4}}\left(\|x+iy\|^{2}-\|x-iy\|^{2}\right),}$ ${\displaystyle \|x+iy\|=\|x-iy\|.}$ ${\displaystyle \langle x\mid y\rangle }$ ${\displaystyle \|x+y\|=\|x-y\|.}$ ${\displaystyle \|x+ix\|=|1+i|\|x\|={\sqrt {2}}\|x\|=|1-i|\|x\|=\|x-ix\|}$ ${\displaystyle \langle x|x\rangle }$ ${\displaystyle \langle x|ix\rangle }$

Изометрии

Если это линейная изометрия между двумя гильбертовыми пространствами (так что для всех ), то ${\displaystyle A:H\to Z}$ ${\displaystyle \|Ah\|=\|h\|}$ ${\displaystyle h\in H}$

$${\displaystyle \langle Ah,Ak\rangle _{Z}=\langle h,k\rangle _{H}\quad {\text{ for all }}h,k\in H;}$$

Если вместо этого антилинейная изометрия, то ${\displaystyle A:H\to Z}$

$${\displaystyle \langle Ah,Ak\rangle _{Z}={\overline {\langle h,k\rangle _{H}}}=\langle k,h\rangle _{H}\quad {\text{ for all }}h,k\in H.}$$

Связь с законом косинусов

Вторую форму поляризационного тождества можно записать как

$${\displaystyle \|{\textbf {u}}-{\textbf {v}}\|^{2}=\|{\textbf {u}}\|^{2}+\|{\textbf {v}}\|^{2}-2({\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}).}$$

По сути, это векторная форма закона косинусов для треугольника , образованного векторами и. В частности, ${\displaystyle {\textbf {u}},{\textbf {v}},}$ ${\displaystyle {\textbf {u}}-{\textbf {v}}.}$

$${\displaystyle {\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}=\|{\textbf {u}}\|\,\|{\textbf {v}}\|\cos \theta ,}$$

${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\textbf {u}}}$ ${\displaystyle {\textbf {v}}.}$

Уравнение является численно нестабильным, если u и v похожи из-за катастрофического сокращения , и его следует избегать при числовых вычислениях.

Вывод

Основное соотношение между нормой и скалярным произведением задается уравнением

$${\displaystyle \|{\textbf {v}}\|^{2}={\textbf {v}}\cdot {\textbf {v}}.}$$

Затем

$${\displaystyle {\begin{aligned}\|{\textbf {u}}+{\textbf {v}}\|^{2}&=({\textbf {u}}+{\textbf {v}})\cdot ({\textbf {u}}+{\textbf {v}})\\[3pt]&=({\textbf {u}}\cdot {\textbf {u}})+({\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}})+({\textbf {v}}\cdot {\textbf {u}})+({\textbf {v}}\cdot {\textbf {v}})\\[3pt]&=\|{\textbf {u}}\|^{2}+\|{\textbf {v}}\|^{2}+2({\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}),\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \|{\textbf {u}}-{\textbf {v}}\|^{2}=\|{\textbf {u}}\|^{2}+\|{\textbf {v}}\|^{2}-2({\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}).}$$

Формы (1) и (2) поляризационного тождества теперь получаются в результате решения этих уравнений, а форма (3) — в результате вычитания этих двух уравнений. (Сложение этих двух уравнений дает закон параллелограмма.) ${\displaystyle {\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}},}$

Обобщения

Симметричные билинейные формы

Тождества поляризации не ограничиваются внутренними продуктами. If – любая симметричная билинейная форма в векторном пространстве и квадратичная форма , определяемая формулой ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Q}$

$${\displaystyle Q(v)=B(v,v),}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}2B(u,v)&=Q(u+v)-Q(u)-Q(v),\\2B(u,v)&=Q(u)+Q(v)-Q(u-v),\\4B(u,v)&=Q(u+v)-Q(u-v).\end{aligned}}}$$

Так называемое отображение симметризации обобщает последнюю формулу, заменяя ее однородным полиномом степени , определяемой где – симметрично -линейное отображение. ^[7] ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle Q(v)=B(v,\ldots ,v),}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle k}$

Приведенные выше формулы применимы даже в случае, когда поле скаляров имеет характеристику два , хотя в этом случае все левые части равны нулю. Следовательно, в характеристике два нет формулы для симметричной билинейной формы в терминах квадратичной формы, и на самом деле это разные понятия, и этот факт имеет важные последствия в L-теории ; для краткости в этом контексте «симметричные билинейные формы» часто называют «симметричными формами».

Эти формулы также применимы к билинейным формам на модулях над коммутативным кольцом , хотя, опять же, можно решить, только если 2 обратимо в кольце, в противном случае это разные понятия. Например, над целыми числами можно отличить целые квадратичные формы от целых симметричных форм, которые представляют собой более узкое понятие. ${\displaystyle B(u,v)}$

В более общем смысле, при наличии кольцевой инволюции или когда 2 не обратимо, различают -квадратичные формы и -симметричные формы ; симметричная форма определяет квадратичную форму, а тождество поляризации (без коэффициента 2) от квадратичной формы к симметричной форме называется «отображением симметризации » и, вообще говоря, не является изоморфизмом. Исторически это было тонкое различие: в отношении целых чисел только в 1950-х годах была понята связь между «двойками снаружи» (целочисленная квадратичная форма) и «двойками внутри» (целочисленная симметричная форма) – см. обсуждение целочисленной квадратичной формы ; и при алгебризации теории хирургии Мищенко первоначально использовал симметричные L -группы, а не правильные квадратичные L -группы (как у Уолла и Раницки) – см. обсуждение в L-теории . ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Однородные полиномы высшей степени

Наконец, в любом из этих контекстов эти тождества могут быть расширены до однородных многочленов (то есть алгебраических форм ) произвольной степени , где это известно как формула поляризации и более подробно рассматривается в статье о поляризации алгебраической формы. форма .

Смотрите также

• Внутреннее пространство продукта  – обобщение скалярного произведения; используется для определения гильбертовых пространств
• Закон косинусов  - свойство всех треугольников на евклидовой плоскости.
• Теорема Мазура – ​​Улама
• Расстояние Минковского  - математическая метрика в нормированном векторном пространстве.
• Закон параллелограмма  : сумма квадратов четырех сторон параллелограмма равна сумме квадратов двух диагоналей.
• Неравенство Птолемея

Примечания и ссылки

1. Лакс 2002, с. 53. sfn error: no target: CITEREFLax2002 (help)
2. Филипп Бланшар , Эрвин Брюнинг (2003). «Предложение 14.1.2 (Фреше – фон Неймана – Джордана)». Математические методы в физике: распределения, операторы гильбертова пространства и вариационные методы . Биркхойзер. п. 192. ИСБН 0817642285.
3. Джеральд Тешл (2009). «Теорема 0.19 (Джордан – фон Нейман)». Математические методы в квантовой механике: с приложениями к операторам Шрёдингера. Книжный магазин Американского математического общества. п. 19. ISBN 978-0-8218-4660-5.
4. Schechter 1996, стр. 601–603.
5. Батлер, Джон (20 июня 2013 г.). «норма - Вывод поляризационных тождеств?». Математический обмен стеками . Архивировано из оригинала 14 октября 2020 года . Проверено 14 октября 2020 г.См. ответ Харальда Ханче-Олсона.
6. Апостол, Том М. (1967). «Неравенство Птолемея и хордальная метрика». Журнал «Математика» . 40 (5): 233–235. дои : 10.2307/2688275. JSTOR  2688275.
7. Батлер 2013. См. ответ Кейта Конрада (KCd).

1. Доказательство можно найти здесь.

Библиография

• Лакс, Питер Д. (2002). Функциональный анализ (PDF) . Чистая и прикладная математика. Нью-Йорк: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-55604-6. OCLC  47767143 . Проверено 22 июля 2020 г.
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. ОСЛК  21163277.
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. ОСЛК  175294365.