В математике квадратичная форма — это многочлен , все члены которого имеют степень два (« форма » — другое название однородного многочлена ). Например,
является квадратичной формой от переменных x и y . Коэффициенты обычно принадлежат фиксированному полю K , такому как действительные или комплексные числа, и говорят о квадратичной форме над K. Если K = R и квадратичная форма равна нулю только тогда, когда все переменные одновременно равны нулю, то это определенная квадратичная форма ; в противном случае это изотропная квадратичная форма .
Квадратичные формы занимают центральное место в различных разделах математики, включая теорию чисел , линейную алгебру , теорию групп ( ортогональные группы ), дифференциальную геометрию ( риманова метрика , вторая фундаментальная форма ) , дифференциальную топологию ( формы пересечения четырёхмногообразий ), Теория Ли ( форма Киллинга ) и статистика (где показатель многомерного нормального распределения с нулевым средним имеет квадратичную форму )
Квадратные формы не следует путать с квадратным уравнением , которое имеет только одну переменную и включает члены степени два или меньше. Квадратичная форма — это один из случаев более общего понятия однородных многочленов .
Квадратичные формы — это однородные квадратичные многочлены от n переменных. В случаях одной, двух и трех переменных они называются унарными , бинарными и троичными и имеют следующий явный вид:
где a ,..., f — коэффициенты . [1]
Теория квадратичных форм и методы, используемые при их изучении, во многом зависят от природы коэффициентов, которые могут быть действительными или комплексными числами , рациональными числами или целыми числами . В линейной алгебре , аналитической геометрии и в большинстве приложений квадратичных форм коэффициенты являются действительными или комплексными числами. В алгебраической теории квадратичных форм коэффициенты являются элементами некоторого поля . В арифметической теории квадратичных форм коэффициенты принадлежат фиксированному коммутативному кольцу , часто это целые числа Z или p -адические целые числа Z p . [2] Бинарные квадратичные формы широко изучались в теории чисел , в частности, в теории квадратичных полей , цепных дробей и модулярных форм . Теория целых квадратичных форм от п переменных имеет важные приложения к алгебраической топологии .
Используя однородные координаты , ненулевая квадратичная форма от n переменных определяет ( n −2) -мерную квадрику в ( n −1) -мерном проективном пространстве . Это основная конструкция проективной геометрии . Таким образом, можно визуализировать трехмерные действительные квадратичные формы как конические сечения . Примером может служить трехмерное евклидово пространство и квадрат евклидовой нормы , выражающий расстояние между точкой с координатами ( x , y , z ) и началом координат:
Близкое понятие с геометрическим подтекстом — это квадратичное пространство , которое представляет собой пару ( V , q ) , где V — векторное пространство над полем K , а q : V → K — квадратичная форма на V. См. § Определения ниже для определения квадратичной формы в векторном пространстве.
Изучение квадратичных форм, в частности вопрос о том, может ли данное целое число быть значением квадратичной формы над целыми числами, насчитывает много столетий. Одним из таких случаев является теорема Ферма о суммах двух квадратов , которая определяет, когда целое число может быть выражено в форме x 2 + y 2 , где x , y — целые числа. Эта проблема связана с проблемой поиска пифагорейских троек , появившейся во втором тысячелетии до нашей эры. [3]
В 628 году индийский математик Брахмагупта написал «Брахмаспхутасиддханту» , включающую, среди прочего, исследование уравнений вида x 2 − ny 2 = c . Он рассмотрел то, что сейчас называется уравнением Пелла , x 2 − ny 2 = 1 , и нашел метод его решения. [4] В Европе эту проблему изучали Брункер , Эйлер и Лагранж .
В 1801 Гаусс опубликовал «Disquisitiones Arithmeticae» , большая часть которых была посвящена полной теории бинарных квадратичных форм над целыми числами . С тех пор концепция была обобщена, а связи с полями квадратичных чисел , модулярной группой и другими областями математики получили дальнейшее объяснение.
Любая матрица A размера n × n определяет квадратичную форму q A от n переменных по формуле
Рассмотрим случай квадратичных форм от трех переменных x , y , z . Матрица А имеет вид
Приведенная выше формула дает
Итак, две разные матрицы определяют одну и ту же квадратичную форму тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые элементы на диагонали и одинаковые значения сумм b + d , c + g и f + h . В частности, квадратичная форма q A определяется единственной симметричной матрицей
Это обобщается на любое количество переменных следующим образом.
Учитывая квадратичную форму q A , определенную матрицей A = ( a ij ) , матрица
Итак, над действительными числами (и, шире, над полем характеристики , отличной от двух) существует взаимно однозначное соответствие между квадратичными формами и определяющими их симметричными матрицами .
Фундаментальной проблемой является классификация вещественных квадратичных форм при линейной замене переменных .
Якоби доказал, что для каждой вещественной квадратичной формы существует ортогональная диагонализация ; то есть ортогональная замена переменных , которая переводит квадратичную форму в « диагональную форму » .
Если замена переменных задается обратимой матрицей , которая не обязательно ортогональна, можно предположить, что все коэффициенты λ i равны 0, 1 или -1. Закон инерции Сильвестра гласит, что числа 1 и -1 являются инвариантами квадратичной формы в том смысле, что любая другая диагонализация будет содержать одинаковое количество каждого из них. Сигнатурой квадратичной формы является тройка ( n 0 , n + , n − ) , где n 0 — количество нулей, а n ± — количество ±1. Закон инерции Сильвестра показывает, что это вполне определенная величина, привязанная к квадратичной форме.
Особенно важен случай, когда все λ i имеют один и тот же знак: в этом случае квадратичная форма называется положительно определенной (все 1) или отрицательно определенной (все −1). Если ни один из членов не равен 0, то форма называетсяневырожденный ; сюда входят положительно определенная, отрицательно определенная иизотропная квадратичная форма(смесь 1 и -1); эквивалентно, невырожденная квадратичная форма — это форма, связанная с которой симметричная форма являетсяневырожденной билинейной формой. Действительное векторное пространство с неопределенной невырожденной квадратичной формой индекса ( p , q ) (обозначающее p1s и q −1s) часто обозначается как Rp , q , особенно в физической теориипространства-времени.
Дискриминант квадратичной формы , точнее класс определителя представляющей матрицы в K /( K × ) 2 (с точностью до ненулевых квадратов), также может быть определен, и для вещественной квадратичной формы является более грубым инвариантом, чем сигнатура , принимая только «положительные, нулевые или отрицательные значения». Ноль соответствует вырожденной форме, а для невырожденной формы это четность числа отрицательных коэффициентов (−1) n − .
Ниже эти результаты переформулированы по-другому.
Пусть q — квадратичная форма, определенная в n -мерном вещественном векторном пространстве. Пусть A — матрица квадратичной формы q в данном базисе. Это означает, что A — симметричная матрица размера n × n такая, что
Любую симметричную матрицу A можно преобразовать в диагональную матрицу.
Квадратичная форма q является положительно определенной, если q ( v ) > 0 (аналогично, отрицательно определенной, если q ( v ) < 0 ) для каждого ненулевого вектора v . [6] Когда q ( v ) принимает как положительные, так и отрицательные значения, q является изотропной квадратичной формой . Теоремы Якоби и Сильвестра показывают, что любую положительно определенную квадратичную форму от n переменных можно привести к сумме n квадратов подходящим обратимым линейным преобразованием: геометрически существует только одна положительно определенная вещественная квадратичная форма каждого измерения. Его группа изометрий представляет собой компактную ортогональную группу O( n ) . Это контрастирует со случаем изотропных форм, когда соответствующая группа, неопределенная ортогональная группа O( p , q ) , некомпактна. Кроме того, группы изометрий Q и − Q одни и те же ( O( p , q ) ≈ O( q , p )) , но ассоциированные алгебры Клиффорда (и, следовательно, группы булавок ) различны.
Квадратичная форма над полем K — это отображение q : V → K из конечномерного K -векторного пространства в K такое, что q ( av ) = a 2 q ( v ) для всех a ∈ K , v ∈ V и функция q ( ты + v ) - q ( ты ) - q ( v ) билинейна.
Более конкретно, n -арная квадратичная форма над полем K — это однородный многочлен степени 2 от n переменных с коэффициентами из K :
Эту формулу можно переписать с использованием матриц: пусть x будет вектор-столбцом с компонентами x 1 , ..., x n и A = ( a ij ) будет матрицей размера n × n над K , элементы которой являются коэффициентами q . Затем
Вектор v = ( x 1 , ..., x n ) является нулевым вектором, если q ( v ) = 0 .
Две n -арные квадратичные формы φ и ψ над K эквивалентны , если существует неособое линейное преобразование C ∈ GL ( n , K ) такое, что
Пусть характеристика K отличается от 2. [7] Матрицу коэффициентов A для q можно заменить симметричной матрицей ( A + AT ) / 2 той же квадратичной формы , поэтому с самого начала можно предположить, что A является симметричным. При этом симметричная матрица A однозначно определяется соответствующей квадратичной формой. При эквивалентности C симметричная матрица A функции φ и симметричная матрица B функции ψ связаны следующим образом:
Соответствующая билинейная форма квадратичной формы q определяется формулой
Таким образом, b q — симметричная билинейная форма над K с матрицей A. Обратно, любая симметричная билинейная форма b определяет квадратичную форму
Для данного n -мерного векторного пространства V над полем K квадратичная форма на V — это функция Q : V → K , которая обладает следующим свойством: для некоторого базиса функция q , отображающая координаты v ∈ V в Q ( v ) — квадратичная форма. В частности, если V = Kn со стандартным базисом , то
Формулы замены базиса показывают, что свойство быть квадратичной формой не зависит от выбора конкретного базиса в V , хотя квадратичная форма q зависит от выбора базиса.
Конечномерное векторное пространство с квадратичной формой называется квадратичным пространством .
Отображение Q является однородной функцией степени 2, что означает, что оно обладает тем свойством, что для всех a в K и v в V :
Когда характеристика K не равна 2, определяется билинейное отображение B : V × V → K над K :
Когда характеристика K равна 2, так что 2 не является единицей , все еще можно использовать квадратичную форму для определения симметричной билинейной формы B ′( x , y ) = Q ( x + y ) − Q ( x ) - Q ( у ) . Однако Q ( x ) уже нельзя восстановить из этого B ′ таким же способом, поскольку B ′( x , x ) = 0 для всех x (и, таким образом, является чередующимся). [8] Альтернативно, всегда существует билинейная форма B ″ (вообще говоря, не единственная и не симметричная) такая, что B ″( x , x ) = Q ( x ) .
Пара ( V , Q ) , состоящая из конечномерного векторного пространства V над K и квадратичного отображения Q из V в K , называется квадратичным пространством , а B , как определено здесь , является ассоциированной симметричной билинейной формой Q. Понятие квадратичного пространства представляет собой бескоординатную версию понятия квадратичной формы. Иногда Q также называют квадратичной формой.
Два n -мерных квадратичных пространства ( V , Q ) и ( V ′, Q ′) изометричны , если существует обратимое линейное преобразование T : V → V ′ ( изометрия ) такое, что
Классы изометрии n -мерных квадратичных пространств над K соответствуют классам эквивалентности n -арных квадратичных форм над K.
Пусть R — коммутативное кольцо , M — R - модуль и b : M × M → R — R -билинейная форма . [9] Отображение q : M → R : v ↦ b ( v , v ) является ассоциированной квадратичной формой b , и B : M × M → R : ( u , v ) ↦ q ( u + v ) − q ( ты ) - q ( v ) является полярной формой q .
Квадратичная форма q : M → R может быть охарактеризована следующими эквивалентными способами:
Два элемента v и w из V называются ортогональными, если B ( v , w ) = 0 . Ядро билинейной формы B состоит из элементов , ортогональных каждому элементу V . Q несингулярен , если ядро связанной с ним билинейной формы равно {0} . Если в V существует ненулевое v такое, что Q ( v ) = 0 , квадратичная форма Q изотропна , в противном случае она анизотропна . Эта терминология также применима к векторам и подпространствам квадратичного пространства. Если ограничение Q на подпространство U в V тождественно равно нулю, то U вполне сингулярно .
Ортогональная группа неособой квадратичной формы Q — это группа линейных автоморфизмов V , сохраняющих Q : то есть группа изометрий ( V , Q ) в себя.
Если квадратичное пространство ( A , Q ) имеет произведение так, что A является алгеброй над полем и удовлетворяет условиям
Любая квадратичная форма q от n переменных над полем характеристики, не равной 2, эквивалентна диагональной форме
Такую диагональную форму часто обозначают ⟨ a 1 , ..., an ⟩ . Таким образом, классификацию всех квадратичных форм с точностью до эквивалентности можно свести к случаю диагональных форм.
Используя декартовы координаты в трех измерениях, пусть x = ( x , y , z ) T и пусть A будет симметричной матрицей 3х3. Тогда геометрическая природа множества решений уравнения x T A x + b T x = 1 зависит от собственных значений матрицы A .
Если все собственные значения A не равны нулю, то множество решений представляет собой эллипсоид или гиперболоид . [ нужна цитация ] Если все собственные значения положительны, то это эллипсоид; если все собственные значения отрицательны, то это мнимый эллипсоид (получаем уравнение эллипсоида, но с мнимыми радиусами); если некоторые собственные значения положительны, а некоторые отрицательны, то это гиперболоид.
Если существуют одно или несколько собственных значений λ i = 0 , то форма зависит от соответствующего b i . Если соответствующий b i ≠ 0 , то множество решений представляет собой параболоид (эллиптический или гиперболический); если соответствующее b i = 0 , то размерность i вырождается и не играет роли, а геометрический смысл будет определяться другими собственными значениями и другими компонентами b . Когда множество решений представляет собой параболоид, то, является ли оно эллиптическим или гиперболическим, определяется тем, имеют ли все остальные ненулевые собственные значения одного и того же знака: если они есть, то оно эллиптическое; в противном случае оно является гиперболическим.
Квадратичные формы над кольцом целых чисел называются целыми квадратичными формами , тогда как соответствующие модули являются квадратичными решетками (иногда просто решетками ). Они играют важную роль в теории чисел и топологии .
Целочисленная квадратичная форма имеет целые коэффициенты, например x 2 + xy + y 2 ; эквивалентно, если решетка Λ в векторном пространстве V (над полем с характеристикой 0, например Q или R ), квадратичная форма Q является целой относительно Λ тогда и только тогда, когда она целочисленна на Λ , что означает Q ( Икс , y ) ∈ Z , если Икс , y ∈ Λ .
Это текущее использование термина; в прошлом его иногда использовали по-другому, как подробно описано ниже.
Исторически существовала некоторая путаница и разногласия по поводу того, должно ли понятие целой квадратичной формы означать:
Эти дебаты возникли из-за путаницы квадратичных форм (представленных полиномами) и симметричных билинейных форм (представленных матрицами), а «двойка» теперь является общепринятым соглашением; Вместо этого «двойки в» - это теория целочисленных симметричных билинейных форм (целочисленных симметричных матриц).
В «двойках» двоичные квадратичные формы имеют вид ax 2 + 2 bxy + cy 2 , представленный симметричной матрицей.
В «двойке» двоичные квадратичные формы имеют вид ax 2 + bxy + cy 2 , представленный симметричной матрицей.
Несколько точек зрения означают, что двойка была принята в качестве стандартного соглашения. К ним относятся:
Целочисленную квадратичную форму, образ которой состоит из всех натуральных чисел, иногда называют универсальной . Теорема Лагранжа о четырех квадратах показывает, что w 2 + x 2 + y 2 + z 2 является универсальным. Рамануджан обобщил это aw 2 + bx 2 + cy 2 + dz 2 и нашел 54 мультимножества { a , b , c , d } , каждое из которых может генерировать все положительные целые числа, а именно:
Существуют также формы, образ которых состоит только из целых положительных чисел, кроме одного. Например, {1, 2, 5, 5} имеет 15 в качестве исключения. Недавно теоремы 15 и 290 полностью охарактеризовали универсальные целочисленные квадратичные формы: если все коэффициенты являются целыми числами, то она представляет все положительные целые числа тогда и только тогда, когда она представляет все целые числа до 290; если у него есть целая матрица, он представляет все положительные целые числа тогда и только тогда, когда он представляет все целые числа до 15.