Теория лжи

Изучение групп Ли, алгебр Ли и дифференциальных уравнений

В математике математик Софус Ли ( / l iː / LEE ) положил начало направлениям исследований, включающим интегрирование дифференциальных уравнений , групп преобразований и контакт сфер , которые стали называться теорией Ли . ^[1] Например, последний предмет — геометрия сферы Ли . В этой статье рассматривается его подход к группам преобразований, который является одной из областей математики и был разработан Вильгельмом Киллингом и Эли Картаном .

Основой теории Ли является экспоненциальное отображение , связывающее алгебры Ли с группами Ли , которое называется соответствием группа Ли – алгебра Ли . Этот предмет является частью дифференциальной геометрии , поскольку группы Ли являются дифференцируемыми многообразиями . Группы Ли развиваются из тождества (1), а касательные векторы к однопараметрическим подгруппам порождают алгебру Ли. Структура группы Ли неявно заложена в ее алгебре, а структура алгебры Ли выражается корневыми системами и корневыми данными .

Теория Ли оказалась особенно полезной в математической физике , поскольку она описывает стандартные группы преобразований: группу Галилея , группу Лоренца , группу Пуанкаре и конформную группу пространства-времени .

Элементарная теория лжи

Однопараметрические группы являются первым примером теории Ли. Компактный случай возникает благодаря формуле Эйлера в комплексной плоскости . Другие однопараметрические группы встречаются в плоскости расщепленных комплексных чисел в виде единичной гиперболы.

${\displaystyle \lbrace \exp(jt)=\cosh(t)+j\sinh(t):t\in R\rbrace ,\quad j^{2}=+1}$

и в двойственной числовой плоскости как линия. В этих случаях параметры алгебры Ли имеют имена: угол , гиперболический угол и наклон . ^[2] Эти виды углов полезны для обеспечения полярных разложений , которые описывают подалгебры вещественных матриц 2 x 2. ^[3] ${\displaystyle \lbrace \exp(\varepsilon t)=1+\varepsilon t:t\in R\rbrace \quad \varepsilon ^{2}=0.}$

Существует классическая 3-параметрическая группа Ли и пара алгебр: кватернионы единичной длины , которые можно отождествить с 3-сферой . Его алгебра Ли представляет собой подпространство векторов кватернионов . Поскольку коммутатор ij − ji = 2k, скобка Ли в этой алгебре вдвое больше векторного произведения обычного векторного анализа .

Другой элементарный трехпараметрический пример дается группой Гейзенберга и ее алгеброй Ли. Стандартное рассмотрение теории Ли часто начинается с классических групп .

История и сфера применения

Ранние проявления теории Ли можно найти в книгах, написанных Софусом Ли совместно с Фридрихом Энгелем и Георгом Шефферсом с 1888 по 1896 год.

В ранних работах Ли идея заключалась в том, чтобы построить теорию непрерывных групп , чтобы дополнить теорию дискретных групп , которая была разработана в теории модулярных форм в руках Феликса Кляйна и Анри Пуанкаре . Первоначальное применение Ли имел в виду теорию дифференциальных уравнений . В модели теории Галуа и полиномиальных уравнений движущей силой была теория, способная путем изучения симметрии объединить всю область обыкновенных дифференциальных уравнений .

По словам историка Томаса Хокинса, именно Эли Картан сделал теорию лжи такой, какая она есть:

Хотя у Ли было много плодотворных идей, Картан был главным ответственным за расширение и применение своей теории, которые сделали ее основным компонентом современной математики. Именно он, с некоторой помощью Вейля , развил основополагающие, по существу алгебраические идеи Киллинга в теорию структуры и представления полупростых алгебр Ли , играющую столь фундаментальную роль в современной теории Ли. И хотя Ли предполагал приложения своей теории к геометрии, именно Картан фактически создал их, например, посредством своих теорий симметричных и обобщенных пространств, включая весь сопутствующий аппарат ( подвижные системы отсчета , внешние дифференциальные формы и т. д.) ^[4]

Три теоремы Ли

В своей работе о группах преобразований Софус Ли доказал три теоремы, касающиеся групп и алгебр, носящих его имя. Первая теорема показала основу алгебры через бесконечно малые преобразования . ^{[5] : 96} Вторая теорема показала, что структурные константы алгебры являются результатом коммутаторных произведений в алгебре. ^{[5] : 100} Третья теорема показала, что эти константы антисимметричны и удовлетворяют тождеству Якоби . ^{[5] : 106} Как писал Роберт Гилмор:

Три теоремы Ли обеспечивают механизм построения алгебры Ли, связанной с любой группой Ли. Они также характеризуют свойства алгебры Ли. ¶ Обратные три теоремы Ли делают противоположное: они предоставляют механизм связывания группы Ли с любой конечномерной алгеброй Ли ... Теорема Тейлора позволяет построить каноническую аналитическую структурную функцию φ (β, α) из Лиевой алгебра. ¶ Эти семь теорем – три теоремы Ли и их обратные, а также теорема Тейлора – обеспечивают существенную эквивалентность между группами Ли и алгебрами. ^[5]

Аспекты теории лжи

Теория Ли часто строится на изучении классических линейных алгебраических групп . К специальным ветвям относятся группы Вейля , группы Коксетера и здания . Классическая тема была расширена на группы лиева типа .

В 1900 году Давид Гильберт бросил вызов теоретикам Ли своей пятой проблемой , представленной на Международном конгрессе математиков в Париже.

Смотрите также

• Формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа
• Список тем групп лжи
• Интегратор группы Ли

Примечания и ссылки

1. «Непрерывные достижения Ли — это великие теории, которые он создал. Однако эти теории — группы преобразований, интегрирование дифференциальных уравнений, геометрия контакта — возникли не в вакууме. Им предшествовали конкретные результаты более ограниченного масштаба. , которое указало путь к более общим теориям, которые последовали за этим. Соответствие линия-сфера, безусловно, является примером этого явления: оно так ясно подготавливает почву для последующих работ Ли по контактным преобразованиям и группам симметрии». Р. Милсон (2000) «Обзор соответствия Линии сфере», стр. 1–10 книги « Геометрическое исследование дифференциальных уравнений» , редакторы Дж. А. Лесли и Т. П. Робарта, ISBN Американского математического общества 0-8218-2964-5 , цитата, стр. 8,9 
2. Геометрия/Единые углы в Wikibooks
3. Абстрактная алгебра/действительные матрицы 2x2 в Wikibooks
4. Томас Хокинс (1996) Historia Mathematica 23 (1): 92–5
5. Роберт Гилмор (1974) Группы Ли, алгебры Ли и некоторые их приложения , страница 87, Wiley ISBN 0-471-30179-5 

• Джон А. Коулман (1989) «Величайшая математическая статья всех времен», The Mathematical Intelligencer 11 (3): 29–38.

дальнейшее чтение

• М. Акивис и Б. А. Розенфельд (1993) Эли Картан (1869–1951) , перевод с русского оригинала В. В. Гольдберга, глава 2: Группы Ли и алгебры Ли, ISBN Американского математического общества 0-8218-4587-X . 
• П.М. Кон (1957) Группы Ли , Кембриджские трактаты по математической физике.
  • Ниженхейс, Альберт (1959). «Обзор: группы лжи П.М. Кона». Бюллетень Американского математического общества . 65 (6): 338–341. дои : 10.1090/s0002-9904-1959-10358-x .
• Дж. Л. Кулидж (1940) История геометрических методов , стр. 304–17, Oxford University Press (Dover Publications, 2003).
• Роберт Гилмор (2008) Группы Ли, физика и геометрия: введение для физиков, инженеров и химиков , Cambridge University Press ISBN 9780521884006 . 
• Ф. Риз Харви (1990) Спиноры и калибровки , Academic Press, ISBN 0-12-329650-1 . 
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN 978-3319134666.
• Хокинс, Томас (2000). Возникновение теории групп Ли: очерк истории математики, 1869–1926 гг . Спрингер. ISBN 0-387-98963-3.
• Саттингер, Дэвид Х.; Уивер, OL (1986). Группы и алгебры Ли с приложениями к физике, геометрии и механике . Спрингер-Верлаг. ISBN 3-540-96240-9.
• Стиллвелл, Джон (2008). Теория наивной лжи . Спрингер. ISBN 978-0-387-98289-2.
• Heldermann Verlag Журнал теории лжи