Композиционная алгебра

В математике композиционная алгебра $A$ над полем $K$ не обязательно является ассоциативной алгеброй над $K$ вместе с невырожденной квадратичной формой $N$ , которая удовлетворяет условию

N(xy)=N(x)N(y)

для всех $x$ и $y$ в $A$ .

Композиционная алгебра включает в себя инволюцию , называемую сопряжением : квадратичная форма называется нормой алгебры. $x\mapsto x^{*}.$ $N(x)=xx^{*}$

Композиционная алгебра ( A , *, N ) является либо алгеброй с делением , либо расщепляемой алгеброй , в зависимости от существования ненулевого v в A такого, что N ( v ) = 0, называемого нулевым вектором . ^[1] Когда x не является нулевым вектором, мультипликативным обратным вектором x является . Когда существует ненулевой нулевой вектор, N является изотропной квадратичной формой и «алгебра распадается». ${\textstyle {\frac {x^{*}}{N(x)}}}$

Структурная теорема

Любая композиционная алгебра с единицей над полем $K$ может быть получена повторным применением конструкции Кэли–Диксона, $начиная$ с $K$ (если характеристика K отличается от $2$ ) или двумерной композиционной подалгебры (если $char($ $K$ $) = 2$ ). . Возможные размерности композиционной алгебры — $1$ , $2$ , $4$ и $8$ . ^[2]^[3]^[4]

Одномерные композиционные алгебры существуют только тогда, когда $char(K) \neq 2$ .
Композиционные алгебры размерностей 1 и 2 коммутативны и ассоциативны.
Композиционные алгебры размерности 2 являются либо квадратичными расширениями поля K $,$ либо изоморфны $K \oplus K$ .
Композиционные алгебры размерности 4 называются алгебрами кватернионов . Они ассоциативны, но не коммутативны.
Композиционные алгебры размерности 8 называются алгебрами октонионов . Они не являются ни ассоциативными, ни коммутативными.

Для единообразия в терминологии алгебры размерности 1 называются унарионами , а алгебры размерности 2 - бинарионами . ^[5]

Каждая композиционная алгебра является альтернативной алгеброй . ^[3]

Используя двойную форму ( _ : _ ): A × A → K , тогда след a задается выражением ( a :1) и сопряженным выражением a * = ( a :1)e – a , где e — базовый элемент. для 1. Ряд упражнений доказывает, что композиционная алгебра всегда является альтернативной алгеброй. ^[6] ${\ displaystyle (a: b) = n (a + b) -n (a) -n (b),}$

Экземпляры и использование

Когда поле $K$ рассматривается как комплексные числа $C$ и квадратичная форма $z 2$ , тогда четырьмя композиционными алгебрами над $C$ являются $само$ $C$ , бикомплексные числа , бикватернионы (изоморфные кольцу комплексных матриц 2 × 2 $M(2,$ $C$ $)$ ) и биооктонионы $C$ $\otimes$ $O$ , которые также называют комплексными октонионами.

Кольцо матриц $M(2, C)$ уже давно является объектом интереса, сначала как бикватернионы Гамильтона (1853), затем в изоморфной матричной форме и особенно как алгебра Паули .

Квадратичная функция $N (x) = x 2$ в поле действительных чисел образует первичную композиционную алгебру. Если поле $K$ принять за вещественные числа $R$ , то останется всего шесть других вещественных композиционных алгебр. ^[3]^{: 166} В двух, четырех и восьми измерениях существуют как алгебра с делением , так и расщепленная алгебра :

бинарионы: комплексные числа квадратичной формы

x 2 + y 2

и расщепленные комплексные числа квадратичной формы

x 2 - y 2

кватернионы и разделенные кватернионы ,

октонионы и сплит-октонионы .

Каждая композиционная алгебра имеет ассоциированную билинейную форму B( x,y ), построенную с нормой N и поляризационным тождеством :

B(x,y)\ =\ [N(x+y)-N(x)-N(y)]/2.

^[7]

История

Состав сумм квадратов был отмечен несколькими ранними авторами. Диофант знал о тождестве, включающем сумму двух квадратов, которое теперь называется тождеством Брахмагупты-Фибоначчи , которое также формулируется как свойство евклидовых норм комплексных чисел при умножении. Леонард Эйлер обсудил тождество четырех квадратов в 1748 году, и это побудило В. Р. Гамильтона построить свою четырехмерную алгебру кватернионов . ^[5]^{: 62} В 1848 году были описаны тессарины, впервые пролившие свет на бикомплексные числа.

Около 1818 года датский ученый Фердинанд Деген продемонстрировал восьмиквадратную идентичность Дегена , которая позже была связана с нормами элементов алгебры октонионов :

Исторически первая неассоциативная алгебра, числа Кэли ... возникла в контексте теоретико-числовой проблемы квадратичных форм, допускающих композицию... этот теоретико-числовой вопрос может быть преобразован в вопрос, касающийся некоторых алгебраических систем, композиционных алгебр. .. ^[5]^{: 61}

В 1919 году Леонард Диксон продвинул исследование проблемы Гурвица , проведя обзор усилий на тот момент и продемонстрировав метод удвоения кватернионов для получения чисел Кэли . Он ввел новую мнимую единицу $e$ , а для кватернионов $q$ и $Q$ записывает число Кэли $q + Q e$ . Обозначая кватернион, сопряженный через $q'$ , произведение двух чисел Кэли равно ^[8]

(q+Qe)(r+Re)=(qr-R'Q)+(Rq+Qr')e.

Сопряженным числом Кэли является $q' - Q e$ , а квадратичная форма равна $qq' + QQ'$ , полученная путем умножения числа на его сопряженное число. Метод удвоения получил название конструкции Кэли-Диксона .

В 1923 случай вещественных алгебр с положительно определенными формами был ограничен теоремой Гурвица (композиционные алгебры) .

В 1931 году Макс Цорн ввел гамму (γ) в правило умножения в конструкции Диксона для создания разделенных октонионов . ^[9] Адриан Альберт также использовал гамму в 1942 году, когда он показал, что удвоение Диксона может быть применено к любому полю с функцией возведения в квадрат для построения алгебр бинарионов, кватернионов и октонионов с их квадратичными формами. ^[10] Натан Джейкобсон описал автоморфизмы композиционных алгебр в 1958 году. ^[2]

Классические композиционные алгебры над $R$ и $C$ являются алгебрами с единицей . Композиционные алгебры без мультипликативного тождества были найдены Х.П. Петерссоном ( алгебры Петерссона ) и Сусуму Окубо ( алгебры Окубо ) и другими. ^[11]^{: 463–81.}

Смотрите также

Рекомендации

В Wikibooks есть книга на тему: Алгебра ассоциативной композиции.

^ Спрингер, штат Калифорния ; Ф.Д. Вельдкамп (2000). Октонионы, жордановые алгебры и исключительные группы . Спрингер-Верлаг . п. 18. ISBN 3-540-66337-1.
^ Аб Джейкобсон, Натан (1958). «Композиционные алгебры и их автоморфизмы». Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo . 7 :55–80. дои : 10.1007/bf02854388. Збл 0083.02702.
^ abc Гай Роос (2008) «Исключительные симметричные области», §1: Алгебры Кэли, в книге « Симметрии в комплексном анализе» Брюса Гиллигана и Гая Рооса, том 468 журнала « Современная математика» , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-4459- 5
^ Шафер, Ричард Д. (1995) [1966]. Введение в неассоциативные алгебры. Дуврские публикации . стр. 72–75. ISBN 0-486-68813-5. Збл 0145.25601.
^ abc Кевин МакКриммон (2004) Вкус иорданской алгебры , Universitext, Springer ISBN 0-387-95447-3 MR 2014924
^ Алгебра ассоциативной композиции / Трансцендентальная парадигма # Категориальная трактовка в Wikibooks
^ Артур А. Сэгл и Ральф Э. Уолде (1973) Введение в группы Ли и алгебры Ли , страницы 194–200, Academic Press
^ Диксон, Л.Е. (1919), «О кватернионах и их обобщении и истории теоремы восьми квадратов», Annals of Mathematics , Second Series, 20 (3), Annals of Mathematics: 155–171, doi : 10.2307/1967865, ISSN 0003-486X, JSTOR 1967865
^ Макс Цорн (1931) «Альтернативная и квадратичная система», Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 9 (3/4): 395–402
^ Альберт, Адриан (1942). «Квадратичные формы, допускающие композицию». Анналы математики . 43 (1): 161–177. дои : 10.2307/1968887. JSTOR 1968887. Збл 0060.04003.
^ Макс-Альберт Кнус, Александр Меркурьев , Маркус Рост , Жан-Пьер Тиньоль (1998) «Композиция и триальность», глава 8 в « Книге инволюций» , стр. 451–511, Публикации коллоквиума, т. 44, ISBN Американского математического общества 0- 8218-0904-0

дальнейшее чтение

Фаро, Жак; Кораньи, Адам (1994). Анализ на симметричных конусах . Оксфордские математические монографии. Clarendon Press, Oxford University Press, Нью-Йорк. стр. 81–86. ISBN 0-19-853477-9. МР 1446489.
Лам, Цит-Юэн (2005). Введение в квадратичные формы над полями . Аспирантура по математике . Том. 67. Американское математическое общество. ISBN 0-8218-1095-2. Збл 1068.11023.
Харви, Ф. Риз (1990). Спиноры и калибровки . Перспективы в математике. Том. 9. Сан-Диего: Академик Пресс . ISBN 0-12-329650-1. Збл 0694.53002.