Тождество Брахмагупты–Фибоначчи

Выражение произведения сумм квадратов в виде суммы квадратов

В алгебре тождество Брахмагупты –Фибоначчи ^{[1] [2]} выражает произведение двух сумм двух квадратов как сумму двух квадратов двумя различными способами. Следовательно, множество всех сумм двух квадратов замкнуто относительно умножения. В частности, тождество гласит:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)&{}=\left(ac-bd\right)^{2}+\left(ad+bc\right)^{2}&&(1)\\&{}=\left(ac+bd\right)^{2}+\left(ad-bc\right)^{2}.&&(2)\end{aligned}}}$

Например,

${\displaystyle (1^{2}+4^{2})(2^{2}+7^{2})=26^{2}+15^{2}=30^{2}+1^{2}.}$

Тождество также известно как тождество Диофанта , ^{[3] [4],} поскольку оно было впервые доказано Диофантом Александрийским . Это частный случай тождества Эйлера с четырьмя квадратами , а также тождества Лагранжа .

Брахмагупта доказал и использовал более общую идентичность Брахмагупты , заявив,

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(a^{2}+nb^{2}\right)\left(c^{2}+nd^{2}\right)&{}=\left(ac-nbd\right)^{2}+n\left(ad+bc\right)^{2}&&(3)\\&{}=\left(ac+nbd\right)^{2}+n\left(ad-bc\right)^{2}.&&(4)\end{aligned}}}$

Это показывает, что для любого фиксированного A множество всех чисел вида x ²  +  Ay ² замкнуто относительно умножения.

Эти тождества справедливы для всех целых чисел , а также для всех рациональных чисел ; в более общем смысле они верны в любом коммутативном кольце . Все четыре формы тождества можно проверить, расширив каждую сторону уравнения. Кроме того, (2) можно получить из (1), или (1) из (2), заменив b на − b , и аналогично с (3) и (4).

История

Это тождество впервые появилось в « Арифметике » Диофанта (III, 19), в третьем веке н. э. Оно было заново открыто Брахмагуптой (598–668), индийским математиком и астрономом , который обобщил его до тождества Брахмагупты и использовал его в своем исследовании того, что сейчас называется уравнением Пелла . Его «Брахмаспхуттасиддханта» была переведена с санскрита на арабский язык Мухаммедом аль-Фазари , а затем переведена на латынь в 1126 году. ^[5] Это тождество было введено в Западной Европе в 1225 году Фибоначчи в «Книге квадратов» , и поэтому его часто приписывают ему.

Связанные идентичности

Аналогичные тождества — это четырехквадрат Эйлера , связанный с кватернионами , и восьмиквадрат Дегена, полученный из октонионов , который связан с периодичностью Ботта . Существует также шестнадцатиквадратное тождество Пфистера , хотя оно уже не является билинейным.

Эти тождества тесно связаны с классификацией композиционных алгебр Гурвица .

Тождество Брахмагупты–Фибоначчи является частной формой тождества Лагранжа , которое, в свою очередь, является частной формой тождества Бине–Коши , которое, в свою очередь, является частной формой формулы Коши–Бине для определителей матриц.

Умножение комплексных чисел

Если a , b , c и d — действительные числа , то тождество Брахмагупты–Фибоначчи эквивалентно мультипликативному свойству для абсолютных значений комплексных чисел :

${\displaystyle |a+bi|\cdot |c+di|=|(a+bi)(c+di)|.}$

Это можно увидеть следующим образом: разложив правую часть и возведя обе части в квадрат, свойство умножения эквивалентно

${\displaystyle |a+bi|^{2}\cdot |c+di|^{2}=|(ac-bd)+i(ad+bc)|^{2},}$

и по определению абсолютной величины это в свою очередь эквивалентно

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})\cdot (c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}.}$

Эквивалентное вычисление в случае, когда переменные a , b , c и d являются рациональными числами , показывает, что тождество можно интерпретировать как утверждение о том, что норма в поле Q ( i ) является мультипликативной: норма задается выражением

${\displaystyle N(a+bi)=a^{2}+b^{2},}$

и расчет мультипликативности такой же, как и в предыдущем случае.

Применение к уравнению Пелля

В своем первоначальном контексте Брахмагупта применил свое открытие этого тождества к решению уравнения Пелла x ²  −  Ay ²  = 1. Используя тождество в более общей форме

${\displaystyle (x_{1}^{2}-Ay_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ay_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+Ay_{1}y_{2})^{2}-A(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2},}$

он смог «составить» тройки ( x ₁ ,  y ₁ ,  k ₁ ) и ( x ₂ ,  y ₂ ,  k ₂ ), которые были решениями x ²  −  Ay ²  =  k , чтобы сгенерировать новую тройку

${\displaystyle (x_{1}x_{2}+Ay_{1}y_{2}\,,\,x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\,,\,k_{1}k_{2}).}$

Это не только дало возможность генерировать бесконечно много решений для x ²  −  Ay ²  = 1, начиная с одного решения, но также, разделив такую ​​композицию на k ₁ k ₂ , часто можно было получить целые или «почти целые» решения. Общий метод решения уравнения Пелля, данный Бхаскарой II в 1150 году, а именно метод чакравала (циклический) , также был основан на этом тождестве. ^[6]

Запись целых чисел в виде суммы двух квадратов

При использовании в сочетании с одной из теорем Ферма тождество Брахмагупты–Фибоначчи доказывает, что произведение квадрата и любого количества простых чисел вида 4 n  + 1 равно сумме двух квадратов.

Смотрите также

• Матрица Брахмагупты
• индийская математика
• Полиномы Брахмагупты
• Список индийских математиков
• Список итальянских математиков
• Теорема о сумме двух квадратов

Примечания

1. «Тождество Брахмагупты-Фибоначчи».
2. Марк Чемберленд: Однозначные числа: во славу малых чисел . Princeton University Press, 2015, ISBN 9781400865697 , стр. 60 
3. Стиллвелл 2002, стр. 76
4. Дэниел Шэнкс , Решенные и нерешенные проблемы теории чисел, стр. 209, Американское математическое общество, четвертое издание, 1993.
5. Джозеф 2000, стр. 306
6. Стиллвелл 2002, стр. 72–76

Ссылки

• Джозеф, Джордж Г. (2000), «Хребет павлина: неевропейские корни математики» (2-е изд.), Princeton University Press , стр. 306, ISBN 978-0-691-00659-8
• Стиллвелл, Джон (2002), Математика и ее история (2-е изд.), Springer , стр. 72–76, ISBN 978-0-387-95336-6

Внешние ссылки

• Личность Брахмагупты в PlanetMath
• Идентификация Брахмагупты на MathWorld
• Коллекция алгебраических тождеств, архив 2012-03-06 на Wayback Machine