Норма поля

В математике (полевая) норма — это определенное в теории поля конкретное отображение , которое отображает элементы большего поля в подполе.

Формальное определение

Пусть K — поле , а L — конечное расширение ( и, следовательно, алгебраическое расширение ) поля K.

Тогда поле L представляет собой конечномерное векторное пространство над K.

Умножение на α , элемент L ,

${\displaystyle m_{\alpha }\colon L\to L}$

${\displaystyle m_{\alpha }(x)=\alpha x}$,

является K - линейным преобразованием этого векторного пространства в себя.

Норма N _{L / K} ( α ) определяется как определитель этого линейного преобразования . ^[1]

Если L / K является расширением Галуа , можно вычислить норму α ∈ L как произведение всех сопряженных Галуа α :

${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(\alpha )=\prod _{\sigma \in \operatorname {Gal} (L/K)}\sigma (\alpha ),}$

где Gal( L / K ) обозначает группу Галуа L / K . ^[2] (Обратите внимание, что в терминах произведения могут быть повторения.)

Для общего расширения поля L / K и ненулевого α в L пусть σ ₁ ( α ), ..., σ _n ( α ) будут корнями минимального многочлена α над K (корни перечислены с кратностью и лежат в некотором поле расширения L ); тогда

${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(\alpha )=\left(\prod _{j=1}^{n}\sigma _{j}(\alpha )\right)^{[L:K(\alpha )]}}$.

Если L / K разделимы , то каждый корень появляется в произведении только один раз (хотя показатель степени [ L : K ( α ) ] все еще может быть больше 1).

Примеры

Квадратичные расширения поля

Одним из основных примеров норм являются квадратичные расширения полей, где — целое число, свободное от квадратов. ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {a}})/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle a}$

Тогда карта умножения на элемент имеет вид ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$ ${\displaystyle x+y\cdot {\sqrt {a}}}$

${\displaystyle {\sqrt {a}}\cdot (x+y\cdot {\sqrt {a}})=y\cdot a+x\cdot {\sqrt {a}}.}$

Элемент может быть представлен вектором ${\displaystyle x+y\cdot {\sqrt {a}}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},}$

поскольку существует разложение в прямую сумму как векторное пространство. ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {a}})=\mathbb {Q} \oplus \mathbb {Q} \cdot {\sqrt {a}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Тогда матрица имеет вид ${\displaystyle m_{\sqrt {a}}}$

${\displaystyle m_{\sqrt {a}}={\begin{bmatrix}0&a\\1&0\end{bmatrix}}}$

а норма равна , так как она является определителем этой матрицы . ${\displaystyle N_{\mathbb {Q} ({\sqrt {a}})/\mathbb {Q} }({\sqrt {a}})=-a}$

Норма Q(√2)

Рассмотрим числовое поле . ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$

Группа Галуа над имеет порядок и порождается элементом, который посылает в . Так что норма равна: ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle d=2}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle -{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle (1+{\sqrt {2}})(1-{\sqrt {2}})=-1.}$

Норму поля можно получить и без группы Галуа .

Исправьте -базис , скажем: ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$

${\displaystyle \{1,{\sqrt {2}}\}}$.

Тогда умножение на число посылает ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$

1 к и ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle {\sqrt {2}}}$к . ${\displaystyle 2+{\sqrt {2}}}$

Итак, определитель «умножения на » — это определитель матрицы , которая посылает вектор ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}$(соответствующий первому базисному элементу, т.е. 1) к , ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}}$(соответствующий второму базисному элементу, т.е. ) к , ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}}}$

а именно:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\1&1\end{bmatrix}}.}$

Определитель этой матрицы равен −1.

п-th корневые расширения поля

Другой простой класс примеров исходит из расширений полей вида , где разложение на простые множители не содержит -ых степеней для фиксированного нечетного простого числа. ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{p}]{a}})/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle a\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

Карта умножения элемента на ${\displaystyle {\sqrt[{p}]{a}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{\sqrt[{p}]{a}}(x)&={\sqrt[{p}]{a}}\cdot (a_{0}+a_{1}{\sqrt[{p}]{a}}+a_{2}{\sqrt[{p}]{a^{2}}}+\cdots +a_{p-1}{\sqrt[{p}]{a^{p-1}}})\\&=a_{0}{\sqrt[{p}]{a}}+a_{1}{\sqrt[{p}]{a^{2}}}+a_{2}{\sqrt[{p}]{a^{3}}}+\cdots +a_{p-1}a\end{aligned}}}$

давая матрицу

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&\cdots &0&a\\1&0&\cdots &0&0\\0&1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&0\end{bmatrix}}}$

Определитель дает норму

${\displaystyle N_{\mathbb {Q} ({\sqrt[{p}]{a}})/\mathbb {Q} }({\sqrt[{p}]{a}})=(-1)^{p-1}a=a.}$

Комплексные числа над действительными

Норма поля от комплексных чисел к действительным числам посылает

х + ий

к

х ² + у ² ,

поскольку группа Галуа над имеет два элемента, ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

• элемент идентичности и
• комплексное сопряжение,

и взяв произведение, получаем ( x + iy )( x − iy ) = x ² + y ² .

Конечные поля

Пусть L = GF( q ⁿ ) — конечное расширение конечного поля K = GF( q ).

Так как L / K является расширением Галуа , то если α принадлежит L , то норма α является произведением всех сопряженных Галуа α , т.е. ^[3]

${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(\alpha )=\alpha \cdot \alpha ^{q}\cdot \alpha ^{q^{2}}\cdots \alpha ^{q^{n-1}}=\alpha ^{(q^{n}-1)/(q-1)}.}$

В этой настройке у нас есть дополнительные свойства, ^[4]

• ${\displaystyle \forall \alpha \in L,\quad \operatorname {N} _{L/K}(\alpha ^{q})=\operatorname {N} _{L/K}(\alpha )}$
• ${\displaystyle \forall a\in K,\quad \operatorname {N} _{L/K}(a)=a^{n}.}$

Свойства нормы

Некоторые свойства функции нормы справедливы для любого конечного расширения. ^{[5] [6]}

Групповой гомоморфизм

Норма N _{L / K}  : L * → K * является групповым гомоморфизмом из мультипликативной группы L в мультипликативную группу K , то есть

${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(\alpha \beta )=\operatorname {N} _{L/K}(\alpha )\operatorname {N} _{L/K}(\beta ){\text{ for all }}\alpha ,\beta \in L^{*}.}$

Кроме того, если a в K :

${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(a\alpha )=a^{[L:K]}\operatorname {N} _{L/K}(\alpha ){\text{ for all }}\alpha \in L.}$

Если а ∈ К, то ${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(a)=a^{[L:K]}.}$

Композиция с полями расширения

Кроме того, норма хорошо себя ведет в башнях полей :

если M является конечным расширением L , то норма от M до K является просто композицией нормы от M до L с нормой от L до K , т.е.

${\displaystyle \operatorname {N} _{M/K}=\operatorname {N} _{L/K}\circ \operatorname {N} _{M/L}.}$

Снижение нормы

Норма элемента в произвольном расширении поля может быть сведена к более простому вычислению, если степень расширения поля уже известна. Это

${\displaystyle N_{L/K}(\alpha )=N_{K(\alpha )/K}(\alpha )^{[L:K(\alpha )]}}$^[6]

Например, для в расширении поля норма равна ${\displaystyle \alpha ={\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle L=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},\zeta _{3}),K=\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},\zeta _{3})/\mathbb {Q} }({\sqrt {2}})&=N_{\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} }({\sqrt {2}})^{[\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},\zeta _{3}):\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})]}\\&=(-2)^{2}\\&=4\end{aligned}}}$

поскольку степень расширения поля равна . ${\displaystyle L/K(\alpha )}$ ${\displaystyle 2}$

Обнаружение единиц

Для кольца целых чисел алгебраического числового поля элемент является единицей тогда и только тогда, когда . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle N_{K/\mathbb {Q} }(\alpha )=\pm 1}$

Например

${\displaystyle N_{\mathbb {Q} (\zeta _{3})/\mathbb {Q} }(\zeta _{3})=1}$

где

${\displaystyle \zeta _{3}^{3}=1}$.

Таким образом, любое числовое поле , кольцо целых чисел которого содержит его , имеет его в качестве единицы. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle \zeta _{3}}$

Дополнительные свойства

Норма целого алгебраического числа снова является целым числом, поскольку она равна (с точностью до знака) свободному члену характеристического многочлена.

В алгебраической теории чисел определяются также нормы для идеалов . Это делается таким образом, что если I — ненулевой идеал в _OK , то кольцо целых чисел числового поля K , N ( I ) — это число классов вычетов в  — т.е. мощность этого конечного кольца . Следовательно, эта идеальная норма всегда является положительным целым числом. ${\displaystyle O_{K}/I}$

Когда I — главный идеал αO _K, то N ( I ) равно абсолютному значению нормы Q элемента α , где α — алгебраическое целое число .

Смотрите также

• Полевой след
• Идеальная норма
• Норма формы

Примечания

1. Ротман 2002, стр. 940
2. Ротман 2002, стр. 943
3. Lidl & Niederreiter 1997, стр. 57
4. Маллен и Панарио 2013, стр. 21
5. Роман 2006, стр. 151
6. Oggier. Введение в алгебраическую теорию чисел (PDF) . стр. 15. Архивировано из оригинала (PDF) 2014-10-23 . Получено 2020-03-28 .

Ссылки

• Лидл, Рудольф; Нидеррайтер, Харальд (1997) [1983], Конечные поля , Энциклопедия математики и ее приложений, т. 20 (второе издание), Cambridge University Press , ISBN 0-521-39231-4, ЗБЛ  0866.11069
• Маллен, Гэри Л.; Панарио, Дэниел (2013), Справочник по конечным полям , CRC Press, ISBN 978-1-4398-7378-6
• Роман, Стивен (2006), Теория поля , Graduate Texts in Mathematics , т. 158 (Второе издание), Springer, Глава 8, ISBN 978-0-387-27677-9, ЗБЛ  1172.12001
• Ротман, Джозеф Дж. (2002), Современная алгебра , Prentice Hall, ISBN 978-0-13-087868-7