Брахмагупта

Индийский математик и астроном (598–668).

Брахмагупта ( ок.  598 – ок.  668 н. э. ) был индийским математиком и астрономом . Он является автором двух ранних работ по математике и астрономии : «Брахмасфутасиддханта » (BSS, «правильно установленное учение о Брахме », датированное 628 годом), теоретического трактата, и « Кхандакхадьяка » («съедобный кусочек», датированное 665 годом), более практического труда. текст.

В 628 году нашей эры Брахмагупта впервые описал гравитацию как силу притяжения и для ее описания использовал термин «гурутвакаршанам (गुरुत्वाकर्षणम्)» на санскрите. ^{[1] [2] [3] [4]}

Брахмагупте приписывают первое четкое описание квадратной формулы (решения квадратного уравнения) ^[5] в его главном труде « Брахма-спхута-сиддханта» . ^[6]

Жизнь и карьера

Брахмагупта, по его собственному утверждению, родился в 598 году нашей эры. Родился в Бхилламале в Гурджарадесе ^[7] (современный Бхинмал в Раджастхане , Индия) во время правления правителя династии Чавда Вьяграхамукхи. Его предки, вероятно, были выходцами из Синда. ^{[8] [9]} Он был сыном Джишнугупты и был индусом по религии, в частности, шиваитом . ^[10] Он жил и работал там большую часть своей жизни. Притхудака Свамин , более поздний комментатор, называл его Бхилламалачарьей , учителем из Бхилламалы. ^[11]

Бхилламала была столицей Гуджарадеши , второго по величине королевства Западной Индии, включающего южный Раджастхан и северный Гуджарат на территории современной Индии. Это был также центр обучения математике и астрономии. Он стал астрономом школы Брахмапакши , одной из четырех основных школ индийской астрономии того периода. Он изучал пять традиционных сиддхант по индийской астрономии, а также работы других астрономов, включая Арьябхату I , Латадеву, Прадьюмну, Варахамихиру , Симху, Шрисену, Виджаянандина и Вишнучандру. ^[11]

В 628 году, в возрасте 30 лет, он составил « Брахмаспхутасиддханта» («улучшенный трактат о Брахме»), который считается переработанной версией принятой Сиддханты школы астрономии Брахмапакши . Ученые утверждают, что он внес в свою редакцию большую оригинальность, добавив значительное количество нового материала. Книга состоит из 24 глав по 1008 стихов в арьья-метре . Большая часть книги посвящена астрономии, но она также содержит ключевые главы по математике, включая алгебру, геометрию, тригонометрию и алгоритмику, которые, как полагают, содержат новые идеи, принадлежащие самому Брахмагупте. ^{[11] [12] [13]}

Позже Брахмагупта переехал в Удджаини , Аванти , ^[14] крупный центр астрономии в центральной Индии. В возрасте 67 лет он написал свой следующий известный труд « Кханда-кхадьяка» — практическое руководство по индийской астрономии в категории карана , предназначенное для студентов. ^[14]

Брахмагупта умер в 668 году нашей эры, и предполагается, что он умер в Удджайне.

Работает

Брахмагупта составил следующие трактаты:

• Брахмасфутасиддханта , ^[15] составленная в 628 году н. э.
• Кхандахадьяка , ^[15] составлен в 665 году н.э.
• Grahanārkajñāna , ^[15] (описано в одной рукописи)

Прием

Математические достижения Брахмагупты были продолжены Бхаскаром II , прямым потомком Удджайна, который описал Брахмагупту как ганака-чакра-чудамани (жемчужина круга математиков). Притхудака Свамин написал комментарии к обеим своим работам, переведя сложные стихи на более простой язык и добавив иллюстрации. Лалла и Бхаттотпала в VIII и IX веках писали комментарии к Кханда-кхадьяке . ^[16] Дальнейшие комментарии продолжали писаться и в XII веке. ^[14]

Через несколько десятилетий после смерти Брахмагупты Синд в 712 году нашей эры перешел под власть Арабского халифата. В Гурджарадесу (« Аль-Байламан в Джурзе », по мнению арабских историков) отправлялись экспедиции . Королевство Бхилламала, похоже, было уничтожено, но Удджайн отразил атаки . Двор халифа Аль-Мансура (754–775) принял посольство из Синда, в том числе астролога по имени Канака, который принес (возможно, выучил наизусть) астрономические тексты, в том числе тексты Брахмагупты. Тексты Брахмагупты были переведены на арабский язык Мухаммадом аль-Фазари , астрономом при дворе Аль-Мансура, под именами Синдхинд и Аракханд . Непосредственным результатом стало распространение десятичной системы счисления, используемой в текстах. Математик Аль-Хорезми (800–850 гг. н.э.) написал текст под названием аль-Джам валь-тафрик би хисал-аль-Хинд («Сложение и вычитание в индийской арифметике»), который был переведен на латынь в 13 веке как Algorithmi de numero indorum. . Благодаря этим текстам десятичная система счисления и арифметические алгоритмы Брахмагупты распространились по всему миру. Аль-Хорезми также написал свою собственную версию Синдхинд , опираясь на версию Аль-Фазари и включив элементы Птолемея. Индийские астрономические материалы широко распространялись на протяжении веков и даже вошли в средневековые латинские тексты. ^{[17] [18] [19]}

Историк науки Джордж Сартон назвал Брахмагупту «одним из величайших ученых своей расы и величайшим своего времени». ^[14]

Математика

Алгебра

Брахмагупта дал решение общего линейного уравнения в восемнадцатой главе «Брахмаспхутасиддханты »:

Разница между рупасами , инвертированная и разделенная на разницу [коэффициентов] [неизвестных], является неизвестным в уравнении. Рупы [вычитаются сбоку] ниже того, из которого нужно вычесть квадрат и неизвестное . ^[20]

что является решением уравнения bx + c = dx + e , где rupas относится к константам c и e . Данное решение эквивалентно x =е - с/б - д.

Далее он дал два эквивалентных решения общего квадратного уравнения.

18.44. Уменьшите на среднее [число] квадратный корень из руп , умноженный на четырехкратный квадрат и увеличенный на квадрат среднего [числа]; остаток разделите на удвоенный квадрат. [Результат —] среднее [число].
18.45. Что бы ни было квадратным корнем из руп , умноженным на квадрат [и] увеличенным на квадрат половины неизвестного, уменьшенным на половину неизвестного [и] разделившим [остаток] на его квадрат. [Результат] неизвестен. ^[20]

которые являются, соответственно, решениями уравнения ax ² + bx = c , эквивалентными

${\displaystyle x={\frac {\pm {\sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}}$

и

${\displaystyle x={\frac {\pm {\sqrt {ac+{\tfrac {b^{2}}{4}}}}-{\tfrac {b}{2}}}{a}}}$

Он продолжал решать системы одновременных неопределенных уравнений , утверждая, что искомая переменная сначала должна быть выделена, а затем уравнение должно быть разделено на коэффициент искомой переменной . В частности, он рекомендовал использовать «пульверизатор» для решения уравнений с множеством неизвестных.

18.51. Вычтите цвета, отличные от первого цвета. [Остаток], разделенный на первый [коэффициент цвета], является мерой первого. [Термины] два на два [считаются] [при приведении к] одинаковым делителям, [и так далее] неоднократно. Если [цветов] много, [нужно использовать пульверизатор]. ^[20]

Подобно алгебре Диофанта , алгебра Брахмагупты была синкопированной. Сложение обозначалось размещением чисел рядом, вычитание — установкой точки над вычитаемым, а деление — размещением делителя под делимым, аналогично нашему обозначению, но без черты. Умножение, эволюция и неизвестные величины обозначались сокращениями соответствующих терминов. ^[21] Степень греческого влияния на эту синкопу , если таковая имеется, неизвестна, и вполне возможно, что и греческая, и индийская синкопа могут происходить из общего вавилонского источника. ^[21]

Арифметика

Четыре фундаментальных действия (сложение, вычитание, умножение и деление) были известны во многих культурах до Брахмагупты. Эта нынешняя система основана на индуистско-арабской системе счисления и впервые появилась в «Брахмаспхутасиддханте» . Брахмагупта описывает умножение следующим образом:

Множимое повторяется, как строка для крупного рогатого скота, всякий раз, когда в множителе есть целые части, и многократно умножается на них, а произведения суммируются. Это умножение. Либо множимое повторяется столько раз, сколько в множителе составных частей. ^[22]

Индийская арифметика была известна в средневековой Европе как modus Indorum, что означает «метод индейцев». В «Брахмаспхутасиддханте» описаны четыре метода умножения, включая гомутрику , которая, как говорят, близка к современным методам. ^[23] В начале двенадцатой главы своей «Брахмаспхутасиддханты », озаглавленной «Вычисление», он также подробно описывает операции с дробями. Ожидается, что читатель знает основные арифметические операции, включая извлечение квадратного корня, хотя он объясняет, как найти куб и кубический корень целого числа, а затем дает правила, облегчающие вычисление квадратов и квадратных корней. Затем он дает правила обращения с пятью типами комбинаций дробей:а/с+б/с;а/с×б/д;а/1+б/д;а/с+б/д×а/с"="а ( д + б )/CD; иа/с−б/д×а/с"="а ( d - б )/CD. ^[24]

Квадраты и кубики

Затем Брахмагупта дает сумму квадратов и кубов первых n целых чисел.

12.20. Сумма квадратов равна тому, что [сумма] умножается на два, [количество] шагов[ов] увеличивается на единицу [и] делится на три. Сумма кубиков равна квадрату этой [суммы] Стопки из них с одинаковыми шарами [также можно вычислить]. ^[25]

Здесь Брахмагупта нашел результат в виде суммы первых n целых чисел, а не в виде n , как это принято в современной практике. ^[26]

Он дает сумму квадратов первых n натуральных чисел какп ( п + 1)(2 п + 1)/6и сумму кубов первых n натуральных чисел как (п ( п + 1)/2)²
.

Нуль

« Брахмаспхутасиддханта » Брахмагупты — первая книга, в которой приводятся правила арифметических манипуляций, применимые к нулю и отрицательным числам . ^[27] «Брахмаспхутасиддханта » — самый ранний известный текст, в котором ноль рассматривается как самостоятельное число, а не просто как цифра-заполнитель для обозначения другого числа, как это было у вавилонян, или как символ отсутствия количества, как это было у вавилонян. Птолемей и римляне . В восемнадцатой главе своей «Брахмаспхутасиддханты » Брахмагупта описывает операции с отрицательными числами. Он впервые описывает сложение и вычитание,

18.30. [Сумма] двух положительных значений является положительными, двух отрицательных отрицательных; положительного и отрицательного [сумма] есть их разность; если они равны, то это ноль. Сумма отрицательного и нуля отрицательна, [что] положительного и нулевого положительного, [а что] двух нулей равна нулю.

[...]

18.32. Отрицательное значение минус ноль является отрицательным, положительное [минус ноль] является положительным; ноль [минус ноль] равен нулю. Когда нужно вычесть положительное из отрицательного или отрицательное из положительного, его следует прибавить. ^[20]

Далее он описывает умножение:

18.33. Произведение отрицательного и положительного является отрицательным, двух отрицательных - положительным, а положительных - положительным; произведение нуля и отрицательного числа, нуля и положительного числа или двух нулей равно нулю. ^[20]

Но его описание деления на ноль отличается от нашего современного понимания:

18.34. Положительное, разделенное на положительное, или отрицательное, разделенное на отрицательное, является положительным; ноль, разделенный на ноль, равен нулю; положительное, разделенное на отрицательное, является отрицательным; отрицание, разделенное на положительное, [также] отрицательно.
18.35. Отрицательное или положительное число, разделенное на ноль, имеет этот [ноль] в качестве делителя, или ноль, разделенный на отрицательный или положительный результат, [имеет этот отрицательный или положительный делитель]. Квадрат отрицательного или положительного является положительным; [квадрат] нуля равен нулю. То, чему [квадрат] является квадратом, является [его] квадратным корнем. ^[20]

Здесь Брахмагупта утверждает, что0/0= 0, а что касается вопроса оа/0где a ≠ 0, он не взял на себя обязательства. ^[28] Его правила арифметики с отрицательными числами и нулем довольно близки к современному пониманию, за исключением того, что в современной математике деление на ноль остается неопределенным .

Диофантовый анализ

Пифагоровы тройки

В двенадцатой главе своей «Брахмаспхутасиддханты» Брахмагупта приводит формулу, полезную для создания пифагорейских троек :

12.39. Высота горы, умноженная на заданный множитель, — это расстояние до города; оно не стирается. Если его разделить на множитель, увеличенный на два, это будет прыжок одного из двоих, совершивших одно и то же путешествие. ^[29]

Или, другими словами, если d =мх/х + 2, то путешественник, который «прыгнет» вертикально вверх на расстояние d с вершины горы высотой m , а затем по прямой доедет до города на горизонтальном расстоянии mx от подножия горы, пройдет такое же расстояние, как тот, кто спускается вертикально с горы, а затем движется по горизонтали к городу. ^[29] Геометрически это означает, что если прямоугольный треугольник имеет основание длиной a = mx и высоту длиной b = m + d , то длина c его гипотенузы определяется выражением c = m (1 + Икс ) - d . И действительно, элементарная алгебраическая манипуляция показывает, что a ² + b ² = c ² всякий раз, когда d имеет указанное значение. Кроме того, если m и x рациональны, то рациональны и d , a , b и c . Таким образом, тройку Пифагора можно получить из a , b и c , умножив каждое из них на наименьшее общее кратное их знаменателей .

Уравнение Пелла

Далее Брахмагупта дал рекуррентное соотношение для генерации решений определенных случаев диофантовых уравнений второй степени, таких как Nx ² + 1 = y ² (называемое уравнением Пелля ), с помощью алгоритма Евклида . Алгоритм Евклида был известен ему как «измельчитель», поскольку он разбивает числа на все более мелкие части. ^[30]

Характер квадратов:
18,64. [Запишите] двойной квадратный корень из данного квадрата на множитель и увеличьте или уменьшите на произвольное [число]. Произведение первой [пары], умноженное на множитель, на произведение последней [пары] является последним вычисленным.
18.65. Сумма произведений молнии стоит первой. Добавка равна произведению добавок. Два квадратных корня, разделенные прибавкой или вычитанием, представляют собой аддитивные рупы . ^[20]

Ключом к его решению была тождественность, ^[31]

${\displaystyle (x_{1}^{2}-Ny_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ny_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2})^{2}-N(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2}}$

которое является обобщением тождества, открытого Диофантом ,

${\displaystyle (x_{1}^{2}-y_{1}^{2})(x_{2}^{2}-y_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2})^{2}-(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2}.}$

Используя его тождество и тот факт, что если ( x ₁ , y ₁ ) и ( x ₂ , y ₂ ) являются решениями уравнений x ² − Ny ² = k ₁ и x ² − Ny ² = k ₂ соответственно, то ( x ₁ x ₂ + Ny ₁ y ₂ , x ₁ y ₂ + x ₂ y ₁ ) является решением уравнения x ² − Ny ² = k ₁ k ₂ , он смог найти интегральные решения уравнения Пелла с помощью ряда уравнений вида Икс ² - Ny ² знак равно k _я . Брахмагупта не смог применить свое решение равномерно для всех возможных значений N , а лишь смог показать, что если x ² − Ny ² = k имеет целочисленное решение для k = ±1, ±2 или ±4, то x ² − Ny ² = 1 имеет решение. Решение общего уравнения Пелла пришлось бы ждать до Бхаскары II в ок.  1150 год нашей эры . ^[31]

Геометрия

Формула Брахмагупты

Схема для справки

Самым известным результатом Брахмагупты в геометрии является его формула для вписанных четырёхугольников . Учитывая длины сторон любого вписанного четырехугольника, Брахмагупта дал приблизительную и точную формулу площади фигуры:

21.12. Приблизительная площадь равна произведению половин сумм сторон и противоположных сторон треугольника и четырехугольника. Точная [площадь] — это квадратный корень из произведения половин сумм сторон, уменьшенных на [каждую] сторону четырехугольника. ^[25]

Таким образом, учитывая длины p , q , r и s вписанного четырехугольника, приблизительная площадь равнап + р/2·д + с/2в то время как, полагая t =п + д + р + с/2, точная площадь

√ ( т - п )( т - q )( т - р )( т - s ) .

Хотя Брахмагупта прямо не утверждает, что эти четырехугольники являются циклическими, из его правил очевидно, что это так. ^[32] Формула Герона является частным случаем этой формулы, и ее можно получить, приравняв одну из сторон нулю.

Треугольники

Брахмагупта посвятил значительную часть своей работы геометрии. Одна теорема дает длины двух сегментов, на которые делится основание треугольника по его высоте:

22.12. Основание уменьшалось и увеличивалось на разность квадратов сторон, разделенных основанием; при делении на два они являются истинными сегментами. Перпендикуляр [высота] — это квадратный корень из квадрата стороны, уменьшенного на квадрат ее отрезка. ^[25]

Таким образом, длины двух отрезков равны1/2( б ±с ² - а ²/б) .

Далее он дает теорему о рациональных треугольниках . Треугольник с рациональными сторонами a , b , c и рациональной площадью имеет вид:

${\displaystyle a={\frac {1}{2}}\left({\frac {u^{2}}{v}}+v\right),\ \ b={\frac {1}{2}}\left({\frac {u^{2}}{w}}+w\right),\ \ c={\frac {1}{2}}\left({\frac {u^{2}}{v}}-v+{\frac {u^{2}}{w}}-w\right)}$

для некоторых рациональных чисел u , v и w . ^[33]

Теорема Брахмагупты

Теорема Брахмагупты утверждает, что AF = FD .

Брахмагупта продолжает:

23.12. Квадратный корень из суммы двух произведений сторон и противоположных сторон неравного четырехугольника является диагональю. Квадрат диагонали уменьшается на квадрат половины суммы основания и вершины; квадратный корень — это перпендикуляр [высоты]. ^[25]

Итак, в «неравном» вписанном четырехугольнике (то есть равнобедренной трапеции ) длина каждой диагонали равна √pr + qs .

Он продолжает давать формулы для длин и площадей геометрических фигур, таких как радиус описанной окружности равнобедренной трапеции и разностороннего четырехугольника, а также длины диагоналей в разностороннем вписанном четырехугольнике. Это приводит к знаменитой теореме Брахмагупты :

12.30–31. Если представить себе два треугольника внутри [вписанного четырёхугольника] с неравными сторонами, то две диагонали — это два основания. Два их сегмента — это отдельно верхний и нижний сегменты, [образующиеся] на пересечении диагоналей. Два [нижних сегмента] двух диагоналей представляют собой две стороны треугольника; основание [четырехугольника является основанием треугольника]. Его перпендикуляр — это нижняя часть [центрального] перпендикуляра; верхняя часть [центрального] перпендикуляра равна половине суммы перпендикуляров [сторон], уменьшенной на нижнюю [часть центрального перпендикуляра]. ^[25]

Пи

В стихе 40 он дает значения π ,

12.40. Диаметр и квадрат радиуса, [каждый] умноженные на 3, представляют собой [соответственно] практическую длину окружности и площадь [круга]. Точные [значения] представляют собой квадратные корни из квадратов этих двух, умноженные на десять. ^[25]

Поэтому Брахмагупта использует 3 как «практическое» значение π и как «точное» значение π с погрешностью менее 1%. ${\displaystyle {\sqrt {10}}\approx 3.1622\ldots }$

Размеры и конструкции

В некоторых стихах перед 40-м Брахмагупта приводит конструкции различных фигур с произвольными сторонами. По сути, он манипулировал прямоугольными треугольниками, создавая равнобедренные треугольники, разносторонние треугольники, прямоугольники, равнобедренные трапеции, равнобедренные трапеции с тремя равными сторонами и разносторонний вписанный четырехугольник.

Придав значение числа Пи, он занимается геометрией плоских фигур и твердых тел, например, поиском объемов и площадей поверхностей (или пустых пространств, вырытых в твердых телах). Он находит объемы прямоугольных призм, пирамид и усеченную форму квадратной пирамиды. Далее он находит среднюю глубину ряда ям. Для объема усеченной пирамиды он дает «прагматическое» значение как глубину, умноженную на квадрат среднего значения ребер верхней и нижней граней, а «поверхностный» объем он дает как глубину, умноженную на их среднее значение. область. ^[34]

Тригонометрия

Таблица синуса

Во второй главе своей «Брахмасфутасиддханты» , озаглавленной «Планетарные истинные долготы» , Брахмагупта представляет таблицу синусов:

2,2–5. Синусы: Прародители, близнецы; Большая Медведица, близнецы, Веды; боги, огни, шесть; ароматы, кости, боги; луна, пять, небо, луна; луна, стрелы, солнца [...] ^[35]

Здесь Брахмагупта использует имена объектов для обозначения цифр значащих цифр, как это было принято с числовыми данными в санскритских трактатах. Прародители представляют 14 Прародителей («Ману») в индийской космологии или 14, «близнецы» означают 2, «Большая Медведица» представляет семь звезд Большой Медведицы или 7, «Веды» относятся к 4 Ведам или 4, игральные кости представляют собой количество сторон традиционного игрального кубика или 6 и так далее. Эту информацию можно перевести в список синусов: 214, 427, 638, 846, 1051, 1251, 1446, 1635, 1817, 1991, 2156, 2312, 2459, 2594, 2719, 2832, 2933, 3021, 3096, 3. 159 , 3207, 3242, 3263 и 3270, с радиусом 3270 (эти числа обозначают ) . ^[36] ${\displaystyle 3270\sin {\frac {\pi n}{48}}}$ ${\displaystyle n=1,\dots ,24}$

Формула интерполяции

В 665 году Брахмагупта разработал и использовал особый случай интерполяционной формулы Ньютона-Стирлинга второго порядка для интерполяции новых значений синусоидальной функции из других значений, уже занесенных в таблицу. ^[37] Формула дает оценку значения функции f при значении a + xh ее аргумента (при h > 0 и −1 ≤ x ≤ 1 ), когда ее значение уже известно при a − h , a и а + ч .

Формула оценки такова:

${\displaystyle f(a+xh)\approx f(a)+x{\frac {\Delta f(a)+\Delta f(a-h)}{2}}+x^{2}{\frac {\Delta ^{2}f(a-h)}{2}}.}$

где ∆ — пряморазностный оператор первого порядка , т.е.

${\displaystyle \Delta f(a)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ f(a+h)-f(a).}$

Ранняя концепция гравитации

Брахмагупта в 628 году впервые описал гравитацию как силу притяжения, используя для ее описания термин «гурутвакаршанам (गुरुत्वाकर्षणम्)»: ^{[1] [2] [3] [4]}

Земля со всех сторон одна и та же; все люди на земле стоят прямо, и все тяжелые предметы падают на землю по закону природы, ибо природе земли свойственно притягивать и удерживать вещи, как воде свойственно течь... Если что-то хочет проникнуть глубже земли, пусть попробует. Земля — единственное низкое существо, и семена всегда возвращаются в нее, куда бы вы их ни бросили, и никогда не поднимаются вверх от земли. ^{[38] [39] [а]}

Астрономия

Брахмагупта подверг резкой критике работы конкурирующих астрономов, а его «Брахмаспхутасиддханта» демонстрирует один из самых ранних расколов среди индийских математиков. Раздел касался в первую очередь применения математики в физическом мире, а не самой математики. В случае Брахмагупты разногласия в основном возникли из-за выбора астрономических параметров и теорий. ^[40] Критика конкурирующих теорий появляется на протяжении первых десяти астрономических глав, а одиннадцатая глава полностью посвящена критике этих теорий, хотя в двенадцатой и восемнадцатой главах никакой критики не появляется. ^[40]

Некоторые из важных вкладов, внесенных Брахмагуптой в астрономию, — это его методы расчета положения небесных тел во времени ( эфемерид ), их восхода и захода, соединений , а также расчета солнечных и лунных затмений . ^[41]

В седьмой главе своей «Брахмаспхутасиддханты» , озаглавленной «Лунный полумесяц» , Брахмагупта опровергает идею о том, что Луна находится дальше от Земли, чем Солнце. ^{[ нужны разъяснения ]} Он делает это, объясняя освещение Луны Солнцем. ^[42]

1. Если бы Луна находилась над Солнцем, как бы сила прироста и убывания и т. д. могла быть получена из расчета долготы Луны? Ближняя половина всегда будет яркой.

2. Как видимая солнцем половина горшка, стоящего на солнечном свете, ярка, а невидимая половина темна, так и [освещение] луны, [если она находится] под солнцем.

3. Яркость увеличивается по направлению к солнцу. В конце яркого [т. е. растущего] полумесяца ближняя половина яркая, а дальняя половина темная. Следовательно, высота рогов [полумесяца может быть получена] путем расчета. [...] ^[43]

Он объясняет, что, поскольку Луна находится ближе к Земле, чем Солнце, степень освещенности части Луны зависит от относительных положений Солнца и Луны, и это можно вычислить по величине угла между двумя тела. ^[42]

Дальнейшие работы по изучению долгот планет, суточного вращения, лунных и солнечных затмений, восходов и заходов, серпа Луны и соединений планет обсуждаются в его трактате « Кхандакадьяка» .

Смотрите также

• Тождество Брахмагупты – Фибоначчи
• Формула Брахмагупты
• Теорема Брахмагупты
• Метод Чакравалы
• Список индийских математиков
• История науки и техники на Индийском субконтиненте

Рекомендации

Примечания

1. Источником этой цитаты является «Индия» Аль-Бируни (ок. 1030 г.). ^[38]

Цитаты

1. Пиковер, Клиффорд (2008). Архимед Хокингу: законы науки и великие умы, стоящие за ними. Издательство Оксфордского университета. п. 105. ИСБН 978-0-19-979268-9.
2. Бозе, Майнак Кумар (1988). Поздняя классическая Индия. А. Мукерджи и Ко.^{[ нужна страница ]}
3. Сен, Амартия (2005). Спорный индеец . Аллен Лейн. п. 29. ISBN 978-0-7139-9687-6.
4. Терстон, Хью (1993). Ранняя астрономия . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94107-3.^{[ нужна страница ] [ не удалось пройти проверку ]}
5. Брэдли, Майкл. Рождение математики: от древности до 1300 г. , с. 86 (Издательство Информационной базы, 2006 г.)
6. Маккензи, Дана. Вселенная в нулевых словах: история математики, рассказанная посредством уравнений , с. 61 (Издательство Принстонского университета, 2012).
7. Сачау, Эдвард К. (1910), Индия Альберуни, Том I, Лондон: Кеган Пол, Тренч и Трубнер, стр. 153 – через archive.org, Брахма-сиддханта , так называемая от Брахмана, составленная Брахмагуптой, сыном Джишну, из города Бхилламала между Мултаном и Анхилварой, в 16 йоджанах от последнего места (?)
8. Цай 2023, с. 114; Кук 1997, с. 208
9. Айяппаппаниккар (1997). Средневековая индийская литература: обзоры и подборки. Сахитья Академия. п. 493. ИСБН 978-81-260-0365-5.
10. Бхаттачарья 2011, с. 185: «Брахмагупта, один из самых знаменитых математиков Востока, да и всего мира, родился в 598 году нашей эры в городе Бхилламала во время правления короля Вьяграмукха из династии Чапа».
11. Гупта 2008, с. 162.
12. Бхаттачарья 2011, стр. 185–186.
13. Бозе, Сен и Суббараяппа 1971.
14. Гупта 2008, с. 163.
15. Пингри, Дэвид Э. (1970–1994). Перепись точных наук Пингри на санскрите. АПС. стр. A4, 256 и далее, A5, 239–240 и др.
16. Бхаттачарья 2011, с. 185.
17. Авари 2013, с. 32.
18. Янг, MJL; Лэтэм, доктор медицинских наук; Серджант, Р.Б. (2 ноября 2006 г.), Религия, обучение и наука в период Аббасидов, Cambridge University Press, стр. 302–303, ISBN. 978-0-521-02887-5
19. ван Бладель, Кевин (28 ноября 2014 г.), «Индийская астрономия восьмого века в двух городах мира», в книге Асада К. Ахмеда; Бенхам Садеги; Роберт Г. Хойланд (ред.), Исламские культуры, исламские контексты: очерки в честь профессора Патрисии Кроун , BRILL, стр. 257–294, ISBN 978-90-04-28171-4
20. Плофкер (2007, стр. 428–434)
21. Boyer (1991, «Китай и Индия», стр. 221) «он был первым, кто дал общее решение линейного диофантового уравнения ax + by = c , где a , b и c — целые числа. [.. .] Большая заслуга Брахмагупты в том, что он дал все целые решения линейного диофантова уравнения, тогда как сам Диофант удовлетворился тем, что дал одно частное решение неопределенного уравнения. Поскольку Брахмагупта использовал некоторые из тех же примеров, что и Диофант, мы снова видим вероятность греческого влияния в Индии – или возможность того, что они оба использовали общий источник, возможно, из Вавилонии.Интересно также отметить, что алгебра Брахмагупты, как и алгебра Диофанта, была синкопирована. обозначаются сопоставлением, вычитанием путем постановки точки над вычитаемым и делением путем размещения делителя под делимым, как в нашей дробной записи, но без черточки.Операции умножения и эволюции (извлечение корней), а также неизвестные количества были представлены сокращениями соответствующих слов».
22. Брахмагупта; Бхаскара II (1817 г.). Алгебра с арифметикой и измерением с санскрита Брахмегупты и Бхаскары. Перевод Генри Томаса Колбрука . Джон Мюррей . п. 319.
23. Тивари, Сарджу (1992), Математика в истории, культуре, философии и науке: от древних времен до современности, Mittal Publications, стр. 91–, ISBN 978-81-7099-404-6
24. Плофкер (2007, стр. 422). Очевидно, читатель знаком с основными арифметическими операциями, вплоть до извлечения квадратного корня; Брахмагупта просто отмечает некоторые моменты, касающиеся применения их к дробям. Однако описаны процедуры нахождения куба и кубического корня целого числа (по сравнению с очень похожей формулировкой Арьябхаты). За ними следуют правила пяти типов комбинаций: [...]
25. Плофкер (2007, стр. 421–427)
26. Плофкер (2007, стр. 423) Здесь суммы квадратов и кубов первых n целых чисел определяются через сумму самих n целых чисел;
27. Каплан, Роберт (1999). Ничто, что есть: естественная история нуля . Лондон: Аллен Лейн/The Penguin Press. стр. 68–75. Бибкод : 2000tnti.book.....К.
28. Бойер (1991, стр. 220): Однако и здесь Брахмагупта несколько испортил дело, утверждая, что 0 ÷ 0 = 0, а по щекотливому вопросу a ÷ 0 он не взял на себя никаких обязательств.
29. Плофкер (2007, стр. 426)
30. Стиллвелл (2004, стр. 44–46): В седьмом веке нашей эры индийский математик Брахмагупта дал рекуррентное соотношение для генерации решений x ² − Dy ² = 1, как мы увидим в главе 5. Индейцы называли евклидово соотношение алгоритм «пульверизатор», потому что он разбивает числа на все более мелкие кусочки. Чтобы получить возвращение, нужно знать, что прямоугольник, пропорциональный оригиналу, со временем возвращается, и этот факт был строго доказан только в 1768 году Лагранжем.
31. Стиллвелл (2004, стр. 72–74)
32. Плофкер (2007, стр. 424) Брахмагупта прямо не заявляет, что он обсуждает только фигуры, вписанные в круги, но это подразумевается этими правилами для вычисления их радиуса окружности.
33. Стиллвелл (2004, стр. 77)
34. Плофкер (2007, стр. 427) После геометрии плоских фигур Брахмагупта обсуждает вычисление объемов и площадей поверхности твердых тел (или пустых пространств, вырытых из твердых тел). За его простыми правилами для объемов прямоугольной призмы и пирамиды следует более двусмысленное, которое может относиться к нахождению средней глубины последовательности путов различной глубины. Следующая формула, очевидно, имеет дело с объемом усеченной пирамиды квадратной пирамиды, где «прагматический» объем — это произведение глубины на квадрат среднего значения ребер верхней и нижней граней, а «поверхностный» объем — это глубина раз их среднюю площадь.
35. Плофкер (2007, стр. 419)
36. Плофкер (2007, стр. 419–420) Таблица синусов Брахмагупты, как и многие другие числовые данные в санскритских трактатах, закодирована в основном в системе записи конкретных чисел, в которой имена объектов используются для представления цифр позиционных чисел, начиная с наименее значимо. [...]
    В индийской космологии существует четырнадцать Прародителей («Ману»); «близнецы», конечно, означает 2; семь звезд Большой Медведицы («Мудрецы») для 7, четыре Веды и четыре стороны традиционных игральных костей, используемых в азартных играх, для 6 и так далее. Таким образом, Брахмагупта перечисляет свои первые шесть синусов как 214, 427, 638, 846, 1051, 1251. (Его оставшиеся восемнадцать синусов — это 1446, 1635, 1817, 1991, 2156, 2312, 2459, 2594, 2719, 2832, 29. 33, 3021, 3096, 3159, 3207, 3242, 3263, 3270). Пайтамахасиддханта , однако, определяет начальное значение синуса 225 (хотя остальная часть таблицы синусоид утеряна), подразумевая тригонометрический радиус R = 3438 приблизительно = C(') / 2π: традиция следовала, как мы уже говорили видел Арьябхата. Никто не знает, почему Брахмагупта решил нормализовать эти значения до R = 3270.
37. Джозеф (2000, стр. 285–86).
38. Индия Альберуни. Лондон: Кеган Пол, Тренч, Трюбнер и компания, 1910. Электронная репродукция. Том. 1 и 2. Нью-Йорк: Библиотеки Колумбийского университета, 2006. с. 272 . Проверено 3 июня 2014 г.
39. Китаб аль-Джавхаратайн аль-'атикатайн аль-ма'иатайн мин аль-шафра' ва-аль-байда': аль-захаб ва-аль-фидах Картинка по теме: الذهب والفضة. Каир: Матбаат Дар аль-Кутуб ва-аль-Васаик аль-Кавмия би-аль-Кахира. 2004. стр. 43–44, 87. OCLC  607846741.
40. Плофкер (2007, стр. 418–419)
41. Терези, Дик (2002). Утерянные открытия: древние корни современной науки . Саймон и Шустер. п. 135. ИСБН 0-7432-4379-Х.
42. Плофкер (2007, стр. 419–420) Брахмагупта обсуждает освещение Луны Солнцем, опровергая идею, поддерживаемую в Священных Писаниях, а именно, что Луна находится дальше от Земли, чем Солнце. Фактически, как он объясняет, поскольку Луна находится ближе, размер освещенной части Луны зависит от относительных положений Луны и Солнца и может быть вычислен по величине углового расстояния α между ними.
43. Плофкер (2007, стр. 420)

Библиография

• Цай, Тяньсинь (25 июля 2023 г.). Краткая история математики: прогулка по цивилизациям нашего мира. Спрингер Природа. ISBN 978-3-031-26841-0.
• Авари, Бурджор (2013), Исламская цивилизация в Южной Азии: история мусульманской власти и присутствия на Индийском субконтиненте , Routledge, ISBN 978-0-415-58061-8
• Бозе, Д.М.; Сен, СН; Суббараяппа, Б.В. (1971), Краткая история науки в Индии , Нью-Дели: Индийская национальная академия наук, стр. 95–97, заархивировано из оригинала 8 декабря 2015 г.
• Бхаттачарья, Р.К. (2011), «Брахмагупта: древний индийский математик», в Б.С. Ядаве; Ман Мохан (ред.), «Древние индийские скачки в математику», Springer Science & Business Media, стр. 185–192, ISBN 978-0-8176-4695-0
• Бойер, Карл Б. (1991), История математики, John Wiley & Sons, Inc, ISBN 0-471-54397-7
• Кук, Роджер (1997), История математики: краткий курс, Wiley-Interscience, ISBN 0-471-18082-3
• Гупта, Радха Чаран (2008), «Брахмагупта», в Селин, Хелейн (редактор), Энциклопедия истории науки, технологий и медицины в незападных культурах , Springer, стр. 162–163, ISBN 978-1-4020-4559-2
• Джозеф, Джордж Г. (2000), Герб павлина, Princeton University Press, ISBN 0-691-00659-8
• О'Лири, Де Лейси (2001) [впервые опубликовано в 1948 году], Как греческая наука перешла к арабам (2-е изд.), Goodword Books, ISBN 8187570245
• Плофкер, Ким (2007), «Математика в Индии», Виктор Кац (редактор), « Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: справочник» , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-11485-9
• Стиллвелл, Джон (2004), Математика и ее история (второе изд.), Springer Science + Business Media Inc., ISBN 0-387-95336-1
• Хоккей, Томас, изд. (2007), «Брахмагупта», Биографическая энциклопедия астрономов , Springer Science & Business Media, стр. 165, ИСБН 978-0387304007

дальнейшее чтение

• Сецуро Икеяма (2003). Брахмаспхутасиддханта (глава 21) Брахмагупты с комментариями Притхудхакасвамина, критически отредактированная, с английским переводом и примечаниями . ИНСА.
• Дэвид Пингри. Перепись точных наук на санскрите (CESS) . Американское философское общество. А4, с. 254.
• Шаши С. Шарма. Математика и астрономы Древней Индии. Издательство Питамбар. ISBN 9788120914216.
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Брахмагупта», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс

Внешние ссылки

• Брахма-спхута-сиддханта Брахмагупты под редакцией Рама Сварупа Шармы, Индийский институт астрономических и санскритских исследований, 1966. Введение на английском языке, текст на санскрите, комментарии на санскрите и хинди (PDF)
• Алгебра с арифметикой и измерением, с санскрита Брахмегупты и Бхаскары в Интернет-архиве , перевод Генри Томаса Колбрука . [1]