Полупериметр

Половина суммы длин сторон многоугольника

В геометрии полупериметр многоугольника равен половине его периметра . Хотя он имеет такое простое происхождение от периметра, полупериметр появляется достаточно часто в формулах для треугольников и других фигур, поэтому ему дано отдельное название. Когда полупериметр встречается как часть формулы, он обычно обозначается буквой s .

Мотивация: треугольники

В любом треугольнике расстояние вдоль границы треугольника от вершины до точки на противоположном ребре, которой касается вневписанная окружность , равно полупериметру.

Полупериметр чаще всего используется для треугольников; формула для полупериметра треугольника со сторонами длиной a, b, c

${\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}.}$

Характеристики

В любом треугольнике любая вершина и точка, где противолежащая вневписанная окружность касается треугольника, делят периметр треугольника на две равные длины, тем самым создавая два пути, каждый из которых имеет длину, равную полупериметру. Если A, B, B', C' показаны на рисунке, то отрезки, соединяющие вершину с противолежащей касательной вневписанной окружностью ( AA' , BB' , CC' , показаны красным на схеме), называются разделителями , а

${\displaystyle {\begin{aligned}s&=|AB|+|A'B|=|AB|+|AB'|=|AC|+|A'C|\\&=|AC|+|AC'|=|BC|+|B'C|=|BC|+|BC'|.\end{aligned}}}$

Три разветвителя сходятся в точке Нагеля треугольника.

Скалыватель треугольника — это отрезок прямой, который делит периметр треугольника пополам и имеет одну конечную точку в середине одной из трех сторон. Таким образом, любой скапыватель, как и любой разделитель, делит треугольник на два пути, каждый из которых имеет длину, равную полупериметру. Три скапывателя сходятся в центре окружности Шпикера , которая является вписанной окружностью срединного треугольника ; центр Шпикера — это центр масс всех точек на ребрах треугольника.

Линия, проходящая через центр треугольника, делит его периметр пополам тогда и только тогда, когда она также делит пополам его площадь.

Полупериметр треугольника равен периметру его срединного треугольника .

По неравенству треугольника длина наибольшей стороны треугольника меньше полупериметра.

Формулы, включающие полупериметр

Для треугольников

Площадь A любого треугольника равна произведению его вписанного радиуса (радиуса вписанной окружности) на его полупериметр:

${\displaystyle A=rs.}$

Площадь треугольника также можно вычислить по его полупериметру и длинам сторон a, b, c, используя формулу Герона :

${\displaystyle A={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}.}$

Радиус описанной окружности R треугольника также можно вычислить из полупериметра и длин сторон:

${\displaystyle R={\frac {abc}{4{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}.}$

Эту формулу можно вывести из закона синусов .

Внутренний радиус равен

${\displaystyle r={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}.}$

Закон котангенсов определяет котангенсы половинных углов при вершинах треугольника через полупериметр, стороны и радиус вписанной окружности.

Длина внутренней биссектрисы угла, противолежащей стороне длины a, равна ^[1]

${\displaystyle t_{a}={\frac {2{\sqrt {bcs(s-a)}}}{b+c}}.}$

В прямоугольном треугольнике радиус вневписанной окружности на гипотенузе равен полупериметру. Полупериметр равен сумме радиуса вписанной окружности и удвоенного радиуса описанной окружности. Площадь прямоугольного треугольника равна, где a, b — катеты. ${\displaystyle (s-a)(s-b)}$

Для четырехугольников

Формула для полупериметра четырехугольника со сторонами a, b, c, d имеет вид

${\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}.}$

Одна из формул площади треугольника, включающая полупериметр, применима также к касательным четырехугольникам , которые имеют вписанную окружность и в которых (согласно теореме Пито ) пары противоположных сторон имеют длины, сумма которых составляет полупериметр, а именно, площадь равна произведению радиуса вписанной окружности на полупериметр:

${\displaystyle K=rs.}$

Простейшая форма формулы Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника имеет вид, аналогичный формуле Герона для площади треугольника:

${\displaystyle K={\sqrt {\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)\left(s-d\right)}}.}$

Формула Бретшнайдера обобщает это на все выпуклые четырехугольники:

${\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}},}$

в котором α и γ — два противоположных угла.

Четыре стороны вписанно-описанного четырехугольника являются четырьмя решениями уравнения четвертой степени, параметризованного полупериметром, радиусом вписанной окружности и радиусом описанной окружности .

Правильные многоугольники

Площадь выпуклого правильного многоугольника равна произведению его полупериметра на его апофему .

Круги

Полупериметр круга , также называемый полуокружностью , прямо пропорционален его радиусу r :

${\displaystyle s=\pi \cdot r.\!}$

Коэффициент пропорциональности — это число пи , π .

Смотрите также

• Полудиаметр

Ссылки

1. Джонсон, Роджер А. (2007). Продвинутая евклидова геометрия . Минеола, Нью-Йорк: Довер. стр. 70. ISBN 9780486462370.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Полупериметр». MathWorld .