Срединный треугольник

В евклидовой геометрии срединный треугольник или треугольник средней точки треугольника $△$ $ABC$ — это треугольник с вершинами в серединах сторон треугольника $AB, AC, BC$ . Это случай $n$ $= 3$ срединного многоугольника многоугольника с $n$ сторонами. Срединный треугольник — это не то же самое, что срединный треугольник , который $является$ треугольником, стороны которого имеют ту же длину, что и медианы △ $ABC$ .

Каждая сторона срединного треугольника называется средней линией (или срединным отрезком ). В общем случае средняя линия треугольника — это отрезок прямой, соединяющий середины двух сторон треугольника. Она параллельна третьей стороне и имеет длину, равную половине длины третьей стороны.

Характеристики

$M$ : центр описанной окружности $△ ABC$ , ортоцентр $△ DEF$
$N$ : инцентр $△ ABC$ , точка Нагеля $△ DEF$
$S$ : центроид $△ ABC$ и $△ DEF$

Срединный треугольник также можно рассматривать как изображение треугольника $△ ABC$ , преобразованное гомотетией с центром в центроиде с отношением -1/2. Таким образом, стороны срединного треугольника равны половине и параллельны соответствующим сторонам треугольника ABC. Следовательно, срединный треугольник обратно подобен и имеет тот же центроид и медианы с треугольником $△ ABC$ . Из этого также следует, что периметр срединного треугольника равен полупериметру треугольника $△ ABC$ , а площадь составляет одну четверть площади треугольника $△ ABC$ . Кроме того, четыре треугольника, на которые исходный треугольник разделен срединным треугольником, все взаимно конгруэнтны по SSS , поэтому их площади равны, и, таким образом, площадь каждого составляет 1/4 площади исходного треугольника. ^[1]^{: стр.177}

Ортоцентр срединного треугольника совпадает с центром описанной окружности треугольника $△$ $ABC$ . Этот факт дает инструмент для доказательства коллинеарности центра описанной окружности, центроида и ортоцентра. Срединный треугольник является педальным треугольником центра описанной окружности. Окружность девяти точек описывает срединный треугольник, и поэтому центр девяти точек является центром описанной окружности срединного треугольника.

Точка Нагеля срединного треугольника является инцентром его референтного треугольника. ^[2]^{: стр.161, Теория 337}

Серединный треугольник исходного треугольника конгруэнтен треугольнику, вершины которого являются серединами между ортоцентром исходного треугольника и его вершинами. ^[2]^{: стр.103, №206, стр.108, №1}

Инцентр треугольника лежит в его срединном треугольнике. [ ^3]^{: стр.233, Лемма 1}

Точка внутри треугольника является центром вписанного в него эллипса тогда и только тогда, когда точка лежит внутри срединного треугольника. ^[4]^{: стр.139}

Срединный треугольник — единственный вписанный треугольник , у которого ни один из трех других внутренних треугольников не имеет меньшей площади. ^[5]^{: стр. 137}

Опорный треугольник и его срединный треугольник являются ортологическими треугольниками .

Координаты

Пусть — длины сторон треугольника. Трилинейные координаты вершин срединного треугольника задаются выражением $a=|BC|,b=|CA|,c=|AB|$ $\треугольник ABC.$ $\треугольник EFD$

{\begin{alignedat}{3}E&={}\,0&&:{\frac {1}{b}}&&:{\frac {1}{c}},\\[5mu]F&={}{\frac {1}{a}}&&:\,0&&:{\frac {1}{c}},\\[5mu]D&={}{\frac {1}{a}}&&:{\frac {1}{b}}&&:\,0.\end{alignedat}}

Антикомплементарный треугольник

Если — срединный треугольник, то — антикомплементарный треугольник или антимедиальный треугольник . Антикомплементарный треугольник образован тремя прямыми, параллельными сторонам : параллельной, проходящей через, параллельной, проходящей через и параллельной, проходящей через $\треугольник EFD$ $\треугольник ABC,$ $\треугольник ABC$ $\треугольник EFD.$ $\треугольник ABC$ $\треугольник ABC$ $AB$ $С,$ $AC$ $Б,$ $до н.э.$ $А.$

Трилинейные координаты вершин треугольника, антикомплементарного к , задаются формулой $\треугольник E'F'D'$ $\треугольник ABC$

{\begin{alignedat}{3}E'&=-{\frac {1}{a}}&&:{\phantom {-}}{\frac {1}{b}}&&:{\phantom {-}}{\frac {1}{c}},\\[5mu]F'&={\phantom {-}}{\frac {1}{a}}&&:-{\frac {1}{b}}&&:{\phantom {-}}{\frac {1}{c}},\\[5mu]D'&={\phantom {-}}{\frac {1}{a}}&&:{\phantom {-}}{\frac {1}{b}}&&:-{\frac {1}{c}}.\end{alignedat}}

Название «антикомплементарный треугольник» соответствует тому факту, что его вершины являются антикомплементами вершин исходного треугольника. Вершины срединного треугольника являются дополнениями $А,Б,В$ $А,Б,В.$

Смотрите также

Средний ёж , аналогичная концепция для более общих выпуклых множеств

Ссылки

^ Посаментье, Альфред С. и Леманн, Ингмар. Секреты треугольников , Prometheus Books, 2012.
^ ab Altshiller-Court, Nathan. College Geometry . Dover Publications, 2007.
^ Францсен, Уильям Н.. «Расстояние от инцентра до прямой Эйлера», Forum Geometricorum 11 (2011): 231–236.
^ Чакериан, ГД «Искаженный взгляд на геометрию». Гл. 7 в Mathematical Plums (редактор Р. Хонсбергер). Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, 1979.
^ Торрехон, Рикардо М. «О неравенстве вписанного треугольника Эрдёша», Forum Geometricorum 5, 2005, 137–141. http://forumgeom.fau.edu/FG2005volume5/FG200519index.html

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. "Серединный треугольник". MathWorld .
Вайсштейн, Эрик В. «Антикомплементарный треугольник». MathWorld .