Педальный треугольник

В планиметрии педальный треугольник получается путем проецирования точки на стороны треугольника .

Более конкретно, рассмотрим треугольник $△ ABC$ и точку $P$ , которая не является одной из вершин $A, B, C.$ Опустите перпендикуляры из $P$ на три стороны треугольника (их может потребоваться создать, т. е. $продолжить). Обозначьте L, M, N пересечения прямых из P$ со сторонами $BC$ , AC , AB $.$ Тогда педальный треугольник будет $△$ $LMN$ .

Если $△ ABC$ не является тупоугольным треугольником и $P$ является ортоцентром , то углы $△ LMN$ равны $180° - 2 A$ , $180° - 2 B$ и $180° - 2 C$ . ^[1]

Расположение выбранной точки $P$ относительно выбранного треугольника $△ ABC$ приводит к некоторым особым случаям:

Если $P$ — ортоцентр , то $△ LMN$ — ортотреугольник .
Если $P$ — инцентр , то $△ LMN$ — треугольник интактного касания .
Если $P$ — центр описанной окружности , то $△ LMN$ — серединный треугольник .
Если $P$ находится на описанной окружности треугольника, $△ LMN$ сжимается в линию ( линию педали или линию Симсона ).

Вершины педального треугольника внутренней точки $P$ , как показано на верхней диаграмме, делят стороны исходного треугольника таким образом, чтобы удовлетворялась теорема Карно : ^[2]

$|AN|^{2}+|BL|^{2}+|CM|^{2}=|NB|^{2}+|LC|^{2}+|MA|^{2}.$

Трилинейные координаты

Если $P$ имеет трилинейные координаты $p : q : r$ , то вершины $L, M, N$ педального треугольника $P$ задаются как ${\begin{array}{ccccccc}L&=&0&:&q+p\cos C&:&r+p\cos B\\[2pt]M&=&p+q\cos C&:&0&:&r+q\cos A\\[2pt]N&=&p+r\cos B&:&q+r\cos A&:&0\end{array}}$

Антипедальный треугольник

Одна вершина, $L'$ , антипедального треугольника P является точкой пересечения перпендикуляра к $BP$ через $B$ и перпендикуляра к $CP$ $через$ C. $Его$ другие вершины, $M'$ и $N'$ , строятся аналогично. Трилинейные координаты задаются как ${\begin{array}{ccrcrcr}L'&=&-(q+p\cos C)(r+p\cos B)&:&(r+p\cos B)(p+q\cos C)&:&(q+p\cos C)(p+r\cos B)\\[2pt]M'&=&(r+q\cos A)(q+p\cos C)&:&-(r+q\cos A)(p+q\cos C)&:&(p+q\cos C)(q+r\cos A)\\[2pt]N'&=&(q+r\cos A)(r+p\cos B)&:&(p+r\cos B)(r+q\cos A)&:&-(p+r\cos B)(q+r\cos A)\end{array}}$

Например, внецентральный треугольник является треугольником, антипедальным относительно инцентра.

Предположим, что $P$ не лежит ни на одной из расширенных сторон $BC, CA, AB$ , и пусть $P -1$ обозначает изогональное сопряжение P. Педальный треугольник $P$ гомотетичен антипедальному треугольнику $P$ $-1$ . Гомотетичный центр (который является центром треугольника тогда и только тогда, когда $P$ $является$ центром треугольника) — это точка, заданная в трилинейных координатах как

$ap(p+q\cos C)(p+r\cos B)\ :\ bq(q+r\cos A)(q+p\cos C)\ :\ cr(r+p\cos B)(r+q\cos A)$

Произведение площадей педального треугольника точки $P$ и антипедального треугольника точки $P -1$ равно квадрату площади $△ ABC$ .

Педальный круг

Окружность педали определяется как описанная окружность треугольника педали. Обратите внимание, что окружность педали не определяется для точек, лежащих на описанной окружности треугольника.

Педальный круг изогональных сопряжений

Для любой точки $P,$ не лежащей на описанной окружности треугольника, известно, что $P$ и ее изогональная сопряженная точка $P*$ имеют общую педальную окружность, центр которой является серединой этих двух точек. ^[3]

Ссылки

^ "Тригонометрия/Круги и треугольники/Педальный треугольник - Wikibooks, открытые книги для открытого мира". en.wikibooks.org . Получено 31 октября 2020 г.
^ Альфред С. Посаментье ; Чарльз Т. Салкинд (1996). Сложные задачи по геометрии . Нью-Йорк: Довер. С. 85-86. ISBN 9780486134864. OCLC 829151719.
^ Хонсбергер, Росс (1995-01-01). Эпизоды в евклидовой геометрии девятнадцатого и двадцатого века. Математическая ассоциация Америки. ISBN 978-0-88385-951-3.

Внешние ссылки

Mathworld: Педальный треугольник
Симсон Лайн
Педальный треугольник и изогональная сопряженность
педальный треугольник и педальный круг - интерактивная иллюстрация