В геометрии вписанная плоская фигура или тело — это фигура, которая заключена и «плотно прилегает» к другой геометрической фигуре или телу. [ 1] Сказать, что «фигура F вписана в фигуру G», означает в точности то же самое, что и «фигура G описана около фигуры F». Окружность или эллипс , вписанные в выпуклый многоугольник (или сфера или эллипсоид, вписанные в выпуклый многогранник ), касаются каждой стороны или грани внешней фигуры (но см. Вписанная сфера для семантических вариантов). Многоугольник, вписанный в окружность, эллипс или многоугольник (или многогранник, вписанный в сферу, эллипсоид или многогранник), имеет каждую вершину на внешней фигуре; если внешняя фигура является многоугольником или многогранником, то на каждой стороне внешней фигуры должна быть вершина вписанного многоугольника или многогранника. Вписанная фигура не обязательно уникальна по ориентации; это легко увидеть, например, когда заданная внешняя фигура представляет собой круг; в этом случае поворот вписанной фигуры дает другую вписанную фигуру, конгруэнтную исходной .
Радиус вписанной окружности или сферы, если таковой существует, является радиусом вписанной окружности или сферы.
Приведенное выше определение предполагает, что рассматриваемые объекты встроены в двух- или трехмерное евклидово пространство , но его можно легко обобщить на более высокие измерения и другие метрические пространства .
Для альтернативного использования термина «вписанный» см. задачу о вписанном квадрате , в которой квадрат считается вписанным в другую фигуру (даже невыпуклую), если все четыре его вершины находятся на этой фигуре.
Характеристики
В каждый круг можно вписать треугольник с любыми тремя заданными углами (в сумме, конечно, 180°), и каждый треугольник можно вписать в некоторый круг (который называется описанным кругом или описанной окружностью).
В каждую окружность вписан правильный многоугольник с n сторонами, для любого n ≥ 3, и каждый правильный многоугольник может быть вписан в некоторую окружность (называемую описанной окружностью).
Каждый правильный многоугольник имеет вписанную окружность (называемую его вписанной окружностью), и каждая окружность может быть вписана в некоторый правильный многоугольник с n сторонами, для любого n ≥ 3.
Не каждый многоугольник с более чем тремя сторонами имеет вписанную окружность; те многоугольники, которые имеют, называются касательными многоугольниками . Не каждый многоугольник с более чем тремя сторонами является вписанным многоугольником окружности; те многоугольники, которые вписаны таким образом, называются циклическими многоугольниками .
Каждый треугольник имеет бесконечное множество вписанных эллипсов . Один из них — окружность, а другой — вэллипс Штейнера , который касается треугольника в серединах сторон.
Каждый остроугольный треугольник имеет три вписанных квадрата . В прямоугольном треугольнике два из них объединены и совпадают друг с другом, так что есть только два различных вписанных квадрата. Тупоугольный треугольник имеет один вписанный квадрат, одна сторона которого совпадает с частью самой длинной стороны треугольника.
Треугольник Рело или, в более общем смысле, любая кривая постоянной ширины может быть вписана с любой ориентацией внутрь квадрата соответствующего размера.
/File:Rhombic_tricontahedron_cube_tetrahedron.gif){kind=link}