Вписанные и вневписанные окружности

Окружности, касающиеся всех трех сторон треугольника

Вписанная и вневписанная окружности треугольника.

  Расширенные стороны треугольника △ ABC

  Вписанная окружность ( центр в точке I )

  Вневписанные окружности (вневписанные центры в точках J _A , J _B , J _C )

 Биссектрисы  внутренних углов

  Биссектрисы внешнего угла (образующие внецентренный треугольник)

В геометрии вписанная окружность треугольника — это самая большая окружность , которая может быть вписана в треугольник; она касается ( касается ) трех сторон. Центр вписанной окружности — это центр треугольника, называемый инцентром треугольника . ^[1]

Вневписанная окружность [ 2 ^] треугольника — это окружность, лежащая вне треугольника, касающаяся одной из его сторон и касающаяся продолжений двух других . Каждый треугольник имеет три различных вневписанных окружности, каждая из которых касается одной из сторон треугольника. ^[3]

Центр вписанной окружности, называемый инцентром , можно найти как пересечение трех внутренних биссектрис угла . ^{[3] [4]} Центр вневписанной окружности является пересечением внутренней биссектрисы одного угла ( например, в вершине A ) и внешних биссектрис двух других. Центр этой вневписанной окружности называется вневписанным центром относительно вершины A или вневписанным центром A. [ ^3] Поскольку внутренняя биссектриса угла перпендикулярна его внешней биссектрисе, то из этого следует , что центр вписанной окружности вместе с тремя центрами вневписанных окружностей образуют ортоцентрическую систему . ^[5]

Вписанная окружность и вписанный центр

Предположим, что имеет вписанную окружность с радиусом и центром . Пусть будет длиной , длиной и длиной . Также пусть , , и будут точками касания, где вписанная окружность касается , , и . ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ${\displaystyle T_{A}}$ ${\displaystyle T_{B}}$ ${\displaystyle T_{C}}$ ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}}$

Инцентр

Инцентр — это точка пересечения биссектрис внутреннего угла . ${\displaystyle \angle ABC,\angle BCA,{\text{ and }}\angle BAC}$

Расстояние от вершины до инцентра равно: ^{[ необходима ссылка ]} ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle I}$ $${\displaystyle d(A,I)=c\,{\frac {\sin {\frac {B}{2}}}{\cos {\frac {C}{2}}}}=b\,{\frac {\sin {\frac {C}{2}}}{\cos {\frac {B}{2}}}}.}$$

Трилинейные координаты

Трилинейные координаты для точки в треугольнике — это отношение всех расстояний к сторонам треугольника. Поскольку инцентр находится на одинаковом расстоянии от всех сторон треугольника, трилинейные координаты для инцентра равны ^[6] $${\displaystyle \ 1:1:1.}$$

Барицентрические координаты

Барицентрические координаты для точки в треугольнике дают веса, такие что точка является средневзвешенным значением положений вершин треугольника. Барицентрические координаты для инцентра задаются как $${\displaystyle \ a:b:c}$$

где , , и - длины сторон треугольника, или, что эквивалентно (используя теорему синусов ), ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ $${\displaystyle \sin A:\sin B:\sin C}$$

где , , и — углы при трех вершинах. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$

Декартовы координаты

Декартовы координаты инцентра являются средневзвешенным значением координат трех вершин с использованием длин сторон треугольника относительно периметра (то есть с использованием барицентрических координат, приведенных выше, нормализованных для суммы к единице) в качестве весов. Веса положительны, поэтому инцентр лежит внутри треугольника, как указано выше. Если три вершины расположены в , , и , а стороны, противоположные этим вершинам, имеют соответствующие длины , , и , то инцентр находится в ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle (x_{a},y_{a})}$ ${\displaystyle (x_{b},y_{b})}$ ${\displaystyle (x_{c},y_{c})}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ $${\displaystyle \left({\frac {ax_{a}+bx_{b}+cx_{c}}{a+b+c}},{\frac {ay_{a}+by_{b}+cy_{c}}{a+b+c}}\right)={\frac {a\left(x_{a},y_{a}\right)+b\left(x_{b},y_{b}\right)+c\left(x_{c},y_{c}\right)}{a+b+c}}.}$$

Радиус

Радиус вписанной окружности в треугольнике со сторонами длиной , , определяется по формуле ^[7] ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ $${\displaystyle r={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}},}$$

где полупериметр. ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$

Точки касания вписанной окружности делят стороны на отрезки длиной от , от , и от . ^[8] ${\displaystyle s-a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle s-b}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle s-c}$ ${\displaystyle C}$

См. формулу Герона .

Расстояния до вершин

Обозначив инцентр как , расстояния от инцентра до вершин в сочетании с длинами сторон треугольника подчиняются уравнению ^[9] ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle I}$ $${\displaystyle {\frac {{\overline {IA}}\cdot {\overline {IA}}}{{\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {IB}}\cdot {\overline {IB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac {{\overline {IC}}\cdot {\overline {IC}}}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1.}$$

Кроме того, ^[10] $${\displaystyle {\overline {IA}}\cdot {\overline {IB}}\cdot {\overline {IC}}=4Rr^{2},}$$

где и — радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника соответственно. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle r}$

Другие свойства

Совокупность центров треугольников может быть представлена ​​в виде группы при покоординатном умножении трилинейных координат; в этой группе инцентр образует единичный элемент . ^[6]

Вписанная окружность и ее свойства радиуса

Расстояния между вершиной и ближайшими точками соприкосновения

Расстояния от вершины до двух ближайших точек касания равны, например: ^[11] $${\displaystyle d\left(A,T_{B}\right)=d\left(A,T_{C}\right)={\tfrac {1}{2}}(b+c-a)=s-a.}$$

Другие свойства

Если высоты сторон с длинами , , и равны , , и , то радиус вписанной окружности равен одной трети гармонического среднего этих высот; то есть, ^[12] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle h_{a}}$ ${\displaystyle h_{b}}$ ${\displaystyle h_{c}}$ ${\displaystyle r}$ $${\displaystyle r={\frac {1}{{\dfrac {1}{h_{a}}}+{\dfrac {1}{h_{b}}}+{\dfrac {1}{h_{c}}}}}.}$$

Произведение радиуса вписанной окружности и радиуса описанной окружности треугольника со сторонами , и равно ^[13] ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ $${\displaystyle rR={\frac {abc}{2(a+b+c)}}.}$$

Вот некоторые соотношения между сторонами, радиусом вписанной окружности и радиусом описанной окружности: ^[14] $${\displaystyle {\begin{aligned}ab+bc+ca&=s^{2}+(4R+r)r,\\a^{2}+b^{2}+c^{2}&=2s^{2}-2(4R+r)r.\end{aligned}}}$$

Любая линия, проходящая через треугольник, которая делит пополам и площадь треугольника, и его периметр, проходит через инцентр треугольника (центр его вписанной окружности). Для любого данного треугольника их может быть один, два или три. ^[15]

Обозначая центр вписанной окружности как , имеем ^[16] ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle I}$

$${\displaystyle {\frac {{\overline {IA}}\cdot {\overline {IA}}}{{\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {IB}}\cdot {\overline {IB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac {{\overline {IC}}\cdot {\overline {IC}}}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1}$$

и ^{[17] : 121, #84} $${\displaystyle {\overline {IA}}\cdot {\overline {IB}}\cdot {\overline {IC}}=4Rr^{2}.}$$

Радиус вписанной окружности не превышает одной девятой суммы высот. ^{[18] : 289}

Квадрат расстояния от инцентра до описанного центра определяется по формуле ^{[19] : 232} ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle O}$ $${\displaystyle {\overline {OI}}^{2}=R(R-2r)={\frac {a\,b\,c\,}{a+b+c}}\left[{\frac {a\,b\,c\,}{(a+b-c)\,(a-b+c)\,(-a+b+c)}}-1\right]}$$

а расстояние от инцентра до центра окружности с девятью точками равно ^{[19] : 232} ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle {\overline {IN}}={\tfrac {1}{2}}(R-2r)<{\tfrac {1}{2}}R.}$$

Инцентр лежит в срединном треугольнике (вершины которого являются серединами сторон). ^{[19] : 233, Лемма 1}

Отношение к площади треугольника

Радиус вписанной окружности связан с площадью треугольника. ^[20] Отношение площади вписанной окружности к площади треугольника меньше или равно , причем равенство справедливо только для равносторонних треугольников . ^[21] ${\displaystyle \pi {\big /}3{\sqrt {3}}}$

Предположим, что имеет вписанную окружность с радиусом и центром . Пусть будет длиной , длиной и длиной . Теперь вписанная окружность касается в некоторой точке , и поэтому является прямой. Таким образом, радиус является высотой . Следовательно, имеет длину основания и высоту , и поэтому имеет площадь . Аналогично, имеет площадь и имеет площадь . Поскольку эти три треугольника разлагаются , мы видим , что площадь равна: и ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ${\displaystyle T_{C}}$ ${\displaystyle \angle AT_{C}I}$ ${\displaystyle T_{C}I}$ ${\displaystyle \triangle IAB}$ ${\displaystyle \triangle IAB}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}cr}$ ${\displaystyle \triangle IAC}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}br}$ ${\displaystyle \triangle IBC}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ar}$ ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle \Delta {\text{ of }}\triangle ABC}$ $${\displaystyle \Delta ={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)r=sr,}$$         ${\displaystyle r={\frac {\Delta }{s}},}$

где - площадь, а - его полупериметр . ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$

Для альтернативной формулы рассмотрим . Это прямоугольный треугольник, одна сторона которого равна , а другая — . То же самое верно для . Большой треугольник состоит из шести таких треугольников, а его общая площадь равна: ^{[ необходима ссылка ]} ${\displaystyle \triangle IT_{C}A}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r\cot {\tfrac {A}{2}}}$ ${\displaystyle \triangle IB'A}$ $${\displaystyle \Delta =r^{2}\left(\cot {\tfrac {A}{2}}+\cot {\tfrac {B}{2}}+\cot {\tfrac {C}{2}}\right).}$$

Треугольник Жергонна и точка

  Треугольник △ АВС

  Вписанная окружность ( центр в точке I )

  Контактный треугольник △ T _A T _B T _C

  Прямые между противоположными вершинами △ ABC и △ T _A T _B T _C (пересекаются в точке Жергонна G _e )

Треугольник Жергонна (из ) определяется тремя точками касания вписанной окружности на трех сторонах. Противоположная точка касания обозначается , и т.д. ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T_{A}}$

Этот треугольник Жергонна, , также известен как контактный треугольник или треугольник интокасания . Его площадь равна ${\displaystyle \triangle T_{A}T_{B}T_{C}}$ ${\displaystyle \triangle ABC}$ $${\displaystyle K_{T}=K{\frac {2r^{2}s}{abc}}}$$

где , , и — площадь, радиус вписанной окружности и полупериметр исходного треугольника, а , , и — длины сторон исходного треугольника. Это та же площадь, что и у треугольника соприкосновения . ^[22] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

Три линии , и пересекаются в одной точке, называемой точкой Жергонна , обозначаемой как (или центр треугольника X ₇ ). Точка Жергонна лежит в открытом ортоцентроидальном диске, проколотом в его собственном центре, и может быть любой точкой в ​​нем. ^[23] ${\displaystyle AT_{A}}$ ${\displaystyle BT_{B}}$ ${\displaystyle CT_{C}}$ ${\displaystyle G_{e}}$

Точка Жергонна треугольника обладает рядом свойств, включая то, что она является точкой симедианы треугольника Жергонна. ^[24]

Трилинейные координаты вершин треугольника Intouch задаются формулой ^{[ требуется ссылка ]} $${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}T_{A}&=&0&:&\sec ^{2}{\frac {B}{2}}&:&\sec ^{2}{\frac {C}{2}}\\[2pt]T_{B}&=&\sec ^{2}{\frac {A}{2}}&:&0&:&\sec ^{2}{\frac {C}{2}}\\[2pt]T_{C}&=&\sec ^{2}{\frac {A}{2}}&:&\sec ^{2}{\frac {B}{2}}&:&0.\end{array}}}$$

Трилинейные координаты для точки Жергонна задаются как ^{[ требуется ссылка ]} $${\displaystyle \sec ^{2}{\tfrac {A}{2}}:\sec ^{2}{\tfrac {B}{2}}:\sec ^{2}{\tfrac {C}{2}},}$$

или, что то же самое, по закону синусов , $${\displaystyle {\frac {bc}{b+c-a}}:{\frac {ca}{c+a-b}}:{\frac {ab}{a+b-c}}.}$$

Вневписанные окружности и вневписанные центры

  Расширенные стороны △ ABC

  Вписанная окружность ( центр в точке I )

  Вневписанные окружности (вневписанные центры в точках J _A , J _B , J _C )

 Биссектрисы  внутренних углов

  Биссектрисы внешнего угла (образующие внецентренный треугольник)

Вневписанная окружность [ 2 ^] треугольника — это окружность, лежащая вне треугольника, касающаяся одной из его сторон и касающаяся продолжений двух других . Каждый треугольник имеет три различных вневписанных окружности, каждая из которых касается одной из сторон треугольника. ^[3]

Центр вневписанной окружности является пересечением внутренней биссектрисы одного угла ( например, вершины ) и внешних биссектрис двух других. Центр этой вневписанной окружности называется вневписанным центром относительно вершины , или вневписанным центром . [ ^3] Поскольку внутренняя биссектриса угла перпендикулярна его внешней биссектрисе, то из этого следует, что центр вписанной окружности вместе с тремя центрами вневписанных окружностей образуют ортоцентрическую систему . ^[5] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Трилинейные координаты эксцентров

В то время как инцентр имеет трилинейные координаты , внецентральные имеют трилинейные координаты ^{[ необходима ссылка ]} ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle 1:1:1}$ $${\displaystyle {\begin{array}{rrcrcr}J_{A}=&-1&:&1&:&1\\J_{B}=&1&:&-1&:&1\\J_{C}=&1&:&1&:&-1\end{array}}}$$

Эксрадии

Радиусы вневписанных окружностей называются вневписанными радиусами .

Радиус вневписанной окружности, противоположной (соприкасающейся с центром в точке ), равен ^{[25] [26]} , где ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle BC}$ ${\displaystyle J_{A}}$ $${\displaystyle r_{a}={\frac {rs}{s-a}}={\sqrt {\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}},}$$ ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c).}$

См. формулу Герона .

Вывод формулы эксрадиуса

Источник: ^[25]

Пусть вневписанная окружность со стороной касается стороны, продолженной в , и пусть радиус этой вневписанной окружности равен , а ее центр равен . Тогда — высота , поэтому имеет площадь . По аналогичным рассуждениям, имеет площадь и имеет площадь . Таким образом, площадь треугольника равна . ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle AC}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle r_{c}}$ ${\displaystyle J_{c}}$ ${\displaystyle J_{c}G}$ ${\displaystyle \triangle ACJ_{c}}$ ${\displaystyle \triangle ACJ_{c}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}br_{c}}$ ${\displaystyle \triangle BCJ_{c}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ar_{c}}$ ${\displaystyle \triangle ABJ_{c}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}cr_{c}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \triangle ABC}$ $${\displaystyle \Delta ={\tfrac {1}{2}}(a+b-c)r_{c}=(s-c)r_{c}}$$

Итак, по симметрии, обозначим радиус вписанной окружности, . ${\displaystyle r}$ $${\displaystyle \Delta =sr=(s-a)r_{a}=(s-b)r_{b}=(s-c)r_{c}}$$

По закону косинусов имеем $${\displaystyle \cos A={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}}$$

Объединяя это с идентичностью , мы имеем ${\displaystyle \sin ^{2}\!A+\cos ^{2}\!A=1}$ $${\displaystyle \sin A={\frac {\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}{2bc}}}$$

Но и так ${\displaystyle \Delta ={\tfrac {1}{2}}bc\sin A}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta &={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}\\[5mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\[5mu]&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}},\end{aligned}}}$$

что является формулой Герона .

Объединяя это с , мы имеем ${\displaystyle sr=\Delta }$ $${\displaystyle r^{2}={\frac {\Delta ^{2}}{s^{2}}}={\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}.}$$

Аналогично, дает ${\displaystyle (s-a)r_{a}=\Delta }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&r_{a}^{2}={\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}\\[4pt]&\implies r_{a}={\sqrt {\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}}.\end{aligned}}}$$

Другие свойства

Из приведенных выше формул видно, что вневписанные окружности всегда больше вписанной и что наибольшая вневписанная окружность касается самой длинной стороны, а наименьшая вневписанная окружность касается самой короткой стороны. Далее, объединение этих формул дает: ^[27] $${\displaystyle \Delta ={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}.}$$

Другие свойства excircle

Круговая оболочка вневписанных окружностей касается изнутри каждой из вневписанных окружностей и, таким образом, является окружностью Аполлония . ^[28] Радиус этой окружности Аполлония равен , где — радиус вписанной окружности, а — полупериметр треугольника. ^[29] ${\displaystyle {\tfrac {r^{2}+s^{2}}{4r}}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s}$

Следующие соотношения справедливы между радиусами вписанной окружности , описанной окружности , полупериметра и вневписанной окружности : [ ^14] ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle r_{a}}$ ${\displaystyle r_{b}}$ ${\displaystyle r_{c}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}r_{a}+r_{b}+r_{c}&=4R+r,\\r_{a}r_{b}+r_{b}r_{c}+r_{c}r_{a}&=s^{2},\\r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}&=\left(4R+r\right)^{2}-2s^{2}.\end{aligned}}}$$

Окружность, проходящая через центры трех вневписанных окружностей, имеет радиус . ^[14] ${\displaystyle 2R}$

Если — ортоцентр , то ^[14] ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \triangle ABC}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}r_{a}+r_{b}+r_{c}+r&={\overline {AH}}+{\overline {BH}}+{\overline {CH}}+2R,\\r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}&={\overline {AH}}^{2}+{\overline {BH}}^{2}+{\overline {CH}}^{2}+(2R)^{2}.\end{aligned}}}$$

Треугольник Нагеля и точка Нагеля

  Расширенные стороны треугольника △ ABC

  Вневписанные окружности △ ABC (касательные в точках T _A , T _B , T _C )

  Треугольник Нагеля/Экстача △ T _A T _B T _C

  Разделители : линии, соединяющие противоположные вершины △ ABC и △ T _A T _B T _C (пересекаются в точке Нагеля N )

Треугольник Нагеля или треугольник касания обозначается вершинами , , и , которые являются тремя точками, в которых вневписанные окружности касаются опорной точки и где находится напротив , и т. д. Он также известен как треугольник касания . Описанная окружность касания называется окружностью Мандарта . ^{[ требуется ссылка ]} ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle T_{A}}$ ${\displaystyle T_{B}}$ ${\displaystyle T_{C}}$ ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle T_{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \triangle T_{A}T_{B}T_{C}}$ ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle \triangle T_{A}T_{B}T_{C}}$

Три отрезка и называются разделителями треугольника; каждый из них делит периметр треугольника пополам, [ ^{необходима ссылка ]} ${\displaystyle {\overline {AT_{A}}}}$ ${\displaystyle {\overline {BT_{B}}}}$ ${\displaystyle {\overline {CT_{C}}}}$ $${\displaystyle {\overline {AB}}+{\overline {BT_{A}}}={\overline {AC}}+{\overline {CT_{A}}}={\frac {1}{2}}\left({\overline {AB}}+{\overline {BC}}+{\overline {AC}}\right).}$$

Разделители пересекаются в одной точке — точке Нагеля треугольника (или центре треугольника X ₈ ). ${\displaystyle N_{a}}$

Трилинейные координаты вершин треугольника касания задаются формулой ^{[ требуется ссылка ]} $${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}T_{A}&=&0&:&\csc ^{2}{\frac {B}{2}}&:&\csc ^{2}{\frac {C}{2}}\\[2pt]T_{B}&=&\csc ^{2}{\frac {A}{2}}&:&0&:&\csc ^{2}{\frac {C}{2}}\\[2pt]T_{C}&=&\csc ^{2}{\frac {A}{2}}&:&\csc ^{2}{\frac {B}{2}}&:&0\end{array}}}$$

Трилинейные координаты для точки Нагеля задаются как ^{[ требуется ссылка ]} $${\displaystyle \csc ^{2}{\tfrac {A}{2}}:\csc ^{2}{\tfrac {B}{2}}:\csc ^{2}{\tfrac {C}{2}},}$$

или, что то же самое, по закону синусов , $${\displaystyle {\frac {b+c-a}{a}}:{\frac {c+a-b}{b}}:{\frac {a+b-c}{c}}.}$$

Точка Нагеля является изотомически сопряженной точкой Жергонна. ^{[ необходима ссылка ]}

Связанные конструкции

Девятиточечный круг и точка Фейербаха

Окружность девяти точек касается вписанной и вневписанной окружности

В геометрии девятиточечная окружность — это окружность , которую можно построить для любого заданного треугольника . Она так названа, потому что проходит через девять важных конциклических точек, определяемых треугольником. Эти девять точек : ^{[30] [31]}

• Середина каждой стороны треугольника
• Подножие каждой высоты​
• Середина отрезка прямой , соединяющего каждую вершину треугольника с ортоцентром (где пересекаются три высоты; эти отрезки прямой лежат на соответствующих им высотах).

В 1822 году Карл Фейербах открыл, что окружность любого треугольника, проходящая через девять точек, касается снаружи трех его вневписанных окружностей и изнутри его вписанной окружности ; этот результат известен как теорема Фейербаха . Он доказал, что: ^[32]

... окружность, проходящая через основания высот треугольника, касается всех четырех окружностей, которые в свою очередь касаются трех сторон треугольника ... (Фейербах 1822)

Центр треугольника , в котором вписанная окружность и окружность девяти точек соприкасаются, называется точкой Фейербаха .

Внутрицентральные и внецентральные треугольники

Точки пересечения биссектрис внутреннего угла с отрезками , , и являются вершинами вписанного треугольника . Трилинейные координаты для вершин вписанного треугольника задаются как ^{[ необходима ссылка ]} ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle BC}$ ${\displaystyle CA}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle \triangle A'B'C'}$ $${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}A'&=&0&:&1&:&1\\[2pt]B'&=&1&:&0&:&1\\[2pt]C'&=&1&:&1&:&0\end{array}}}$$

Внецентральный треугольник исходного треугольника имеет вершины в центрах вневписанных окружностей исходного треугольника. Его стороны лежат на внешних биссектрисах углов исходного треугольника (см. рисунок вверху страницы). Трилинейные координаты вершин внецентрального треугольника задаются как ^{[ необходима ссылка ]} ${\displaystyle \triangle A'B'C'}$ $${\displaystyle {\begin{array}{ccrcrcr}A'&=&-1&:&1&:&1\\[2pt]B'&=&1&:&-1&:&1\\[2pt]C'&=&1&:&1&:&-1\end{array}}}$$

Уравнения для четырех окружностей

Пусть будет переменной точкой в ​​трилинейных координатах , и пусть , , . Четыре описанные выше окружности эквивалентно задаются любым из двух данных уравнений: ^{[33] : 210–215} ${\displaystyle x:y:z}$ ${\displaystyle u=\cos ^{2}\left(A/2\right)}$ ${\displaystyle v=\cos ^{2}\left(B/2\right)}$ ${\displaystyle w=\cos ^{2}\left(C/2\right)}$

• Вписанный круг: $${\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz-2wuzx-2uvxy&=0\\[4pt]{\textstyle \pm {\sqrt {x}}\cos {\tfrac {A}{2}}\pm {\sqrt {y{\vphantom {t}}}}\cos {\tfrac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\tfrac {C}{2}}}&=0\end{aligned}}}$$
• ${\displaystyle A}$-excircle: $${\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz+2wuzx+2uvxy&=0\\[4pt]{\textstyle \pm {\sqrt {-x}}\cos {\tfrac {A}{2}}\pm {\sqrt {y{\vphantom {t}}}}\cos {\tfrac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\tfrac {C}{2}}}&=0\end{aligned}}}$$
• ${\displaystyle B}$-excircle: $${\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz-2wuzx+2uvxy&=0\\[4pt]{\textstyle \pm {\sqrt {x}}\cos {\tfrac {A}{2}}\pm {\sqrt {-y{\vphantom {t}}}}\cos {\tfrac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\tfrac {C}{2}}}&=0\end{aligned}}}$$
• ${\displaystyle C}$-excircle: $${\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz+2wuzx-2uvxy&=0\\[4pt]{\textstyle \pm {\sqrt {x}}\cos {\tfrac {A}{2}}\pm {\sqrt {y{\vphantom {t}}}}\cos {\tfrac {B}{2}}\pm {\sqrt {-z}}\cos {\tfrac {C}{2}}}&=0\end{aligned}}}$$

Теорема Эйлера

Теорема Эйлера утверждает, что в треугольнике: $${\displaystyle (R-r)^{2}=d^{2}+r^{2},}$$

где и — радиус описанной и вписанной окружности соответственно, а — расстояние между центром описанной и вписанной окружностей. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle d}$

Для вневписанных окружностей уравнение аналогично: $${\displaystyle \left(R+r_{\text{ex}}\right)^{2}=d_{\text{ex}}^{2}+r_{\text{ex}}^{2},}$$

где — радиус одной из вневписанных окружностей, а — расстояние между центром описанной окружности и центром этой вневписанной окружности. ^{[34] [35] [36]} ${\displaystyle r_{\text{ex}}}$ ${\displaystyle d_{\text{ex}}}$

Обобщение на другие многоугольники

Некоторые (но не все) четырехугольники имеют вписанную окружность. Они называются касательными четырехугольниками . Среди их многочисленных свойств, возможно, наиболее важным является то, что их две пары противоположных сторон имеют равные суммы. Это называется теоремой Пито . ^[37]

В более общем смысле, многоугольник с любым числом сторон, в который вписана окружность (то есть касательная к каждой стороне), называется касательным многоугольником . ^{[ необходима ссылка ]}

Смотрите также

• Циркумгон  – геометрическая фигура, описывающая окружность.
• Описанная окружность  — окружность, проходящая через вершины треугольника.
• Внеописанным четырехугольником  называется выпуклый четырехугольник, все стороны которого касаются внешней окружности.
• Теорема Харкорта  – Площадь треугольника по его сторонам и расстояниям от вершин до любой прямой, касательной к вписанной окружности.
• Циркумконическое и инконическое  – коническое сечение, проходящее через вершины треугольника или касающееся его сторон.
• Вписанная сфера  – сфера, касательная к каждой грани многогранника.
• Степень точки  – Относительное расстояние точки от окружности.
• Эллипс Штейнера  – уникальный эллипс, касательный ко всем 3 серединам сторон данного треугольника.
• Тангенциальный четырехугольник  – многоугольник, все четыре стороны которого касаются окружности.
• Треугольный конический
• Лемма о вписанном и вневписанном центрах  – утверждение о свойствах вписанных и описанных окружностей

Примечания

1. Кей (1969, стр. 140)
2. Altshiller-Court (1925, стр. 74)
3. Альтшиллер-Корт (1925, стр. 73)
4. Кей (1969, стр. 117)
5. Johnson 1929, стр. 182.
6. Энциклопедия центров треугольников. Архивировано 19 апреля 2012 г. на Wayback Machine , дата обращения 28 октября 2014 г.
7. Кей (1969, стр. 201)
8. Чу, Томас, Пентагон , весна 2005 г., стр. 45, задача 584.
9. Аллер, Патрисия Р.; Чжоу, Цзюньминь; Яо, Хайшэнь (март 2012 г.), «Доказательство тождества эллипса девятнадцатого века», Mathematical Gazette , 96 : 161–165, doi :10.1017/S0025557200004277, S2CID  124176398.
10. Альтшиллер-Корт, Натан (1980), College Geometry , Dover Publications. №84, стр. 121.
11. Математическая газета , июль 2003 г., 323-324.
12. Кей (1969, стр. 203)
13. Джонсон 1929, стр. 189, № 298(d).
14. "Белл, Эми, "Теорема Хансена о прямоугольном треугольнике, ее обратная теорема и обобщение", Forum Geometricorum 6, 2006, 335–342" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2021-08-31 . Получено 2012-05-05 .
15. Кодокостас, Димитриос, «Уравнители треугольников», Mathematics Magazine 83, апрель 2010 г., стр. 141-146.
16. Аллер, Патрисия Р.; Чжоу, Цзюньминь; и Яо, Хайшэнь, «Доказательство тождества эллипса девятнадцатого века», Mathematical Gazette 96, март 2012 г., 161-165.
17. Альтшиллер-Корт, Натан. College Geometry , Dover Publications, 1980.
18. Посаментье, Альфред С. и Леманн, Ингмар. Секреты треугольников , Prometheus Books, 2012.
19. Franzsen, William N. (2011). «Расстояние от инцентра до линии Эйлера» (PDF) . Forum Geometricorum . 11 : 231–236. MR  2877263. Архивировано из оригинала (PDF) 2020-12-05 . Получено 2012-05-09 ..
20. Коксетер, Х.С.М. «Введение в геометрию» , 2-е изд., Wiley, 1961.
21. Минда, Д. и Фелпс, С., «Треугольники, эллипсы и кубические многочлены», American Mathematical Monthly 115, октябрь 2008 г., 679-689: Теорема 4.1.
22. Weisstein, Eric W. «Контактный треугольник». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/ContactTriangle.html
23. Кристофер Дж. Брэдли и Джефф К. Смит, «Расположение центров треугольников», Forum Geometricorum 6 (2006), 57–70. http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200607index.html
24. Деков, Деко (2009). "Математика, генерируемая компьютером: точка Жергонна" (PDF) . Журнал компьютерной евклидовой геометрии . 1 : 1–14. Архивировано из оригинала (PDF) 2010-11-05.
25. Altshiller-Court (1925, стр. 79)
26. Кей (1969, стр. 202)
27. Бейкер, Маркус, «Сборник формул для площади плоского треугольника», Annals of Mathematics , часть 1 в т. 1(6), январь 1885 г., 134–138. (См. также часть 2 в т. 2(1), сентябрь 1885 г., 11–18.)
28. Гринберг, Дарий и Ю, Пол, «Круг Аполлония как круг Таккера», Forum Geometricorum 2, 2002: стр. 175-182.
29. Стеванович, Милорад Р., «Окружность Аполлония и связанные с ней треугольные центры», Forum Geometricorum 3, 2003, 187-195.
30. Альтшиллер-Корт (1925, стр. 103–110)
31. Кей (1969, стр. 18, 245)
32. Фейербах, Карл Вильгельм ; Бузенгейгер, Карл Гериберт Игнац (1822), Eigenschaften einiger merkwürdigen Punkte des geradlinigen Dreiecks und mehrerer durch sie bestimmten Linien und Picturen. Eine analytisch-trigonometrische Abhandlung (изд. монографии), Нюрнберг: Wiessner.
33. Уитворт, Уильям Аллен. Трилинейные координаты и другие методы современной аналитической геометрии двух измерений , Forgotten Books, 2012 (оригинал Deighton, Bell, and Co., 1866). http://www.forgottenbooks.com/search?q=Trilinear+coordinates&t=books
34. Нельсон, Роджер, «Неравенство треугольника Эйлера с помощью доказательства без слов», Mathematics Magazine 81(1), февраль 2008 г., 58-61.
35. Джонсон 1929, стр. 187.
36. Емельянов, Лев, и Емельянова, Татьяна. «Формула Эйлера и поризм Понселе», Forum Geometricorum 1, 2001: стр. 137–140.
37. Йозефссон (2011, см., в частности, стр. 65–66.)

Ссылки

• Альтшиллер-Корт, Натан (1925), Геометрия колледжа: Введение в современную геометрию треугольника и окружности (2-е изд.), Нью-Йорк: Barnes & Noble , LCCN  52013504
• Джонсон, Роджер А. (1929), «X. Вписанные и выписанные окружности» , Современная геометрия , Houghton Mifflin, стр. 182–194
• Josefsson, Martin (2011), «Больше характеристик касательных четырехугольников» (PDF) , Forum Geometricorum , 11 : 65–82, MR  2877281, архивировано из оригинала (PDF) 2016-03-04 , извлечено 2023-03-14
• Кей, Дэвид С. (1969), College Geometry , Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон , LCCN  69012075
• Кимберлинг, Кларк (1998). «Центры треугольников и центральные треугольники». Congressus Numerantium (129): i–xxv, 1–295.
• Кисс, Шандор (2006). «Треугольники орто-интач и интач-орто-интач». Форум Geometricorum (6): 171–177.

Внешние ссылки

• Вывод формулы радиуса вписанной окружности треугольника
• Вайсштейн, Эрик В. «Круг». Математический мир .

Интерактивный

• Треугольник в центре Треугольник в окружности Вписанная окружность правильного многоугольника С интерактивной анимацией
• Построение центра треугольника / вписанной окружности с помощью циркуля и линейки Интерактивная анимированная демонстрация
• Теорема о равных вписанных окружностях в Cut-the-Knot
• Теорема о пяти вписанных окружностях в Cut-the-Knot
• Пары вписанных окружностей в четырехугольнике в точке разрезания узла
• Интерактивный Java-апплет для InCenter