Треугольный центр

В геометрии центр треугольника или центр треугольника — это точка в плоскости треугольника , которая в некотором смысле находится в середине треугольника. Например, центроид , центр описанной окружности , инцентр и ортоцентр были знакомы древним грекам и могут быть получены простыми построениями .

Каждый из этих классических центров обладает свойством инвариантности ( точнее, эквивариантности ) относительно преобразований подобия . Другими словами, для любого треугольника и любого преобразования подобия (например , поворота , отражения , растяжения или переноса ) центр преобразованного треугольника является той же точкой, что и преобразованный центр исходного треугольника. Эта инвариантность является определяющим свойством центра треугольника. Она исключает другие известные точки, такие как точки Брокара , которые не инвариантны относительно отражения и поэтому не могут считаться центрами треугольника.

Для равностороннего треугольника все центры треугольников совпадают в его центроиде. Однако центры треугольников, как правило, занимают различные положения относительно друг друга во всех других треугольниках. Определения и свойства тысяч центров треугольников собраны в Энциклопедии центров треугольников .

История

Хотя древние греки открыли классические центры треугольника, они не сформулировали никакого определения центра треугольника. После древних греков были открыты несколько специальных точек, связанных с треугольником, таких как точка Ферма , центр девяти точек , точка Лемуана , точка Жергонна и точка Фейербаха .

Во время возрождения интереса к геометрии треугольников в 1980-х годах было замечено, что эти особые точки обладают некоторыми общими свойствами, которые теперь составляют основу формального определения центра треугольника. ^[1]^[2] Энциклопедия центров треугольников Кларка Кимберлинга содержит аннотированный список более 50 000 центров треугольников. ^[3] Каждая запись в Энциклопедии центров треугольников обозначается или , где — позиционный индекс записи. Например, центроид треугольника является второй записью и обозначается или . $X(n)$ $X_{n}$ $n$ $X(2)$ $X_{2}$

Формальное определение

Действительная функция f $трех$ действительных переменных $a, b, c$ может обладать следующими свойствами:

Однородность: для некоторой константы $n$ и для всех $t$ $> 0$ . $f(ta,tb,tc)=t^{n}f(a,b,c)$
Бисимметрия по второй и третьей переменным: $f(a,b,c)=f(a,c,b).$

Если ненулевая $f$ обладает обоими этими свойствами, она называется функцией центра треугольника. Если $f$ — функция центра треугольника, а $a, b, c$ — длины сторон референтного треугольника, то точка, трилинейные координаты которой равны, называется центром треугольника. $f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b)$

Это определение гарантирует, что центры треугольников подобных треугольников соответствуют критериям инвариантности, указанным выше. По соглашению, только первая из трех трилинейных координат центра треугольника указана, поскольку две другие получены циклической перестановкой a $, b, c$ . Этот процесс известен как цикличность . ^[4]^[5]

Каждая функция центра треугольника соответствует уникальному центру треугольника. Это соответствие не является биективным . Различные функции могут определять один и тот же центр треугольника. Например, функции и обе соответствуют центроиду. Две функции центра треугольника определяют один и тот же центр треугольника тогда и только тогда, когда их отношение является функцией, симметричной относительно $a, b, c$ . $f_{1}(a,b,c)={\tfrac {1}{a}}$ $f_{2}(a,b,c)=bc$

Даже если функция центра треугольника везде хорошо определена, то же самое не всегда можно сказать о связанном с ней центре треугольника. Например, пусть будет 0, если ⁠ ⁠ и ⁠ ⁠ оба рациональны, и 1 в противном случае. Тогда для любого треугольника с целыми сторонами связанный центр треугольника оценивается как 0:0:0, что не определено. $f(a,b,c)$ ${\tfrac {a}{b}}$ ${\tfrac {a}{c}}$

Домен по умолчанию

В некоторых случаях эти функции не определены на всем ⁠ ⁠ $\mathbb {R} ^{3}.$ Например, трилинейные функции X ₃₆₅ , которые являются 365-й записью в Энциклопедии центров треугольников , таковы , что $a, b, c$ не могут быть отрицательными. Кроме того, для того, чтобы представлять стороны треугольника, они должны удовлетворять неравенству треугольника . Таким образом, на практике область определения каждой функции ограничена областью ⁠ ⁠ , где Эта область $T$ является областью всех треугольников, и она является областью по умолчанию для всех функций, основанных на треугольниках. $а^{1/2}:б^{1/2}:c^{1/2}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $a\leq b+c,\quad b\leq c+a,\quad c\leq a+b.$

Другие полезные домены

Существуют различные случаи, когда может быть желательно ограничить анализ областью, меньшей, чем $T.$ Например:

Центры X ₃ , X ₄ , X ₂₂ , X ₂₄ , X ₄₀ конкретно ссылаются на остроугольные треугольники , а именно на ту область $T$ , где $a^{2}\leq b^{2}+c^{2},\quad b^{2}\leq c^{2}+a^{2},\quad c^{2}\leq a^{2}+b^{2}.$
При дифференцировании точки Ферма и X ₁₃ важна область треугольников с углом, превышающим 2π/3; другими словами, треугольники, для которых выполняется любое из следующих условий:

$a^{2}>b^{2}+bc+c^{2};\quad b^{2}>c^{2}+ca+a^{2};\quad c^{2}>a^{2}+ab+b^{2}.$

Область, имеющая большую практическую ценность, поскольку она плотна в $T,$ но исключает все тривиальные треугольники (т. е. точки) и вырожденные треугольники (т. е. линии), — это множество всех разносторонних треугольников. Она получается путем удаления плоскостей $b = c$ , $c = a$ , $a = b$ из $T$ .

Симметрия домена

Не каждое подмножество $D \subseteq T$ является жизнеспособной областью. Для поддержки теста бисимметрии $D$ должно быть симметрично относительно плоскостей $b = c$ , $c = a$ , $a = b$ . Для поддержки цикличности оно также должно быть инвариантным относительно 2π/3 вращений вокруг прямой $a = b = c$ . Простейшей областью из всех является прямая $(t, t, t),$ которая соответствует множеству всех равносторонних треугольников .

Примеры

Окружнойцентр

Точка пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника $△ ABC$ является центром описанной окружности. Трилинейные координаты центра описанной окружности:

$a(b^{2}+c^{2}-a^{2}):b(c^{2}+a^{2}-b^{2}):c(a^{2}+b^{2}-c^{2}).$

Пусть Можно показать, что $f$ является однородной: а также бисимметричной: поэтому $f$ является функцией центра треугольника. Поскольку соответствующий центр треугольника имеет те же трилинейные линии, что и центр описанной окружности, отсюда следует, что центр описанной окружности является центром треугольника. $f\left(a,b,c\right)=a\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)$ ${\begin{align}f(ta,tb,tc)&=ta{\Bigl [}(tb)^{2}+(tc)^{2}-(ta)^{2}{\Bigr ]}\\[2pt]&=t^{3}{\Bigl [}a(b^{2}+c^{2}-a^{2}){\Bigr ]}\\[2pt]&=t^{3}f(a,b,c)\end{align}}$ ${\begin{align}f(a,c,b)&=a(c^{2}+b^{2}-a^{2})\\[2pt]&=a(b^{2}+c^{2}-a^{2})\\[2pt]&=f(a,b,c)\end{align}}$

1-й изогонический центр

Пусть $△ A'BC$ — равносторонний треугольник с основанием $BC$ и вершиной $A'$ на отрицательной стороне $BC$ , и пусть $△ AB'C$ и $△ ABC'$ — аналогично построенные равносторонние треугольники, основанные на двух других сторонах треугольника $△ ABC$ . Тогда прямые $AA', BB', CC'$ пересекаются, а точка их пересечения — первый изогональный центр. Его трилинейные координаты:

$\csc \left(A+{\frac {\pi }{3}}\right):\csc \left(B+{\frac {\pi }{3}}\right):\csc \left(C+{\frac {\pi }{3}}\right).$

Выражая эти координаты через $a, b, c$ , можно проверить, что они действительно удовлетворяют определяющим свойствам координат центра треугольника. Следовательно, 1-й изогонический центр также является центром треугольника.

Точка Ферма

Позволять

f(a,b,c)={\begin{cases}1&\quad {\text{if }}a^{2}>b^{2}+bc+c^{2}&\iff {\text{if }}A>2\pi /3\\[8pt]0&\quad \!\!\displaystyle {{{\text{if }}b^{2}>c^{2}+ca+a^{2}} \atop {{\text{ or }}c^{2}>a^{2}+ab+b^{2}}}&\iff \!\!\displaystyle {{{\text{if }}B>2\pi /3} \atop {{\text{ or }}C>2\pi /3}}\\[8pt]\csc(A+{\frac {\pi }{3}})&\quad {\text{inotherwise }}&\если A,B,C>2\пи /3\end{cases}}

Тогда $f$ бисимметрична и однородна, поэтому она является функцией центра треугольника. Более того, соответствующий центр треугольника совпадает с тупоугольной вершиной всякий раз, когда любой угол вершины превышает 2π/3, и с первым изогоническим центром в противном случае. Следовательно, этот центр треугольника есть не что иное, как точка Ферма .

Не примеры

Точки Брокара

Трилинейные координаты первой точки Брокара: Эти координаты удовлетворяют свойствам однородности и цикличности, но не бисимметрии. Поэтому первая точка Брокара не является (в общем случае) центром треугольника. Вторая точка Брокара имеет трилинейные координаты: и применимы аналогичные замечания. ${\frac {c}{b}}\ :\ {\frac {a}{c}}\ :\ {\frac {b}{a}}$ ${\frac {b}{c}}\ :\ {\frac {c}{a}}\ :\ {\frac {a}{b}}$

Первая и вторая точки Брокара являются одной из многих бицентрических пар точек, ^[6] пар точек, определяемых треугольником со свойством, что пара (но не каждая отдельная точка) сохраняется при подобиях треугольника. Несколько бинарных операций, таких как середина и трилинейное произведение, при применении к двум точкам Брокара, а также к другим бицентрическим парам, создают центры треугольников.

Некоторые известные треугольные центры

Классические треугольные центры

Недавние центры треугольников

В следующей таблице более поздних центров треугольников не упоминаются специальные обозначения для различных точек. Также для каждого центра указана только первая трилинейная координата f(a,b,c). Остальные координаты можно легко получить, используя свойство цикличности трилинейных координат.

Общие классы центров треугольников

Кимберлинг центр

В честь Кларка Кимберлинга, создавшего онлайн-энциклопедию более 32 000 треугольных центров, треугольные центры, перечисленные в энциклопедии, в совокупности называются центрами Кимберлинга . ^[8]

Центр полиномиального треугольника

Центр треугольника $P$ называется центром полиномиального треугольника , если трилинейные координаты $P$ можно выразить в виде полиномов от $a, b, c$ .

Правильный треугольный центр

Центр треугольника $P$ называется точкой правильного треугольника , если трилинейные координаты $P$ можно выразить в виде многочленов от $△, a, b, c$ , где $△$ — площадь треугольника.

Центр большого треугольника

Центр треугольника $P$ называется главным центром треугольника , если трилинейные координаты P можно выразить в виде , где ⁠ ⁠ является функцией только угла $X$ и не зависит от других углов или длин сторон. ^[9] $f(A):f(B):f(C)$ $f(X)$

Центр трансцендентного треугольника

Центр треугольника $P$ называется трансцендентным центром треугольника , если $P$ не имеет трилинейного представления, использующего только алгебраические функции от $a, b, c$ .

Разнообразный

Равнобедренные и равносторонние треугольники

Пусть $f$ будет функцией центра треугольника. Если две стороны треугольника равны (скажем, $a = b$ ), то два компонента соответствующего центра треугольника всегда равны. Следовательно, все центры равнобедренного треугольника должны лежать на его линии симметрии . Для равностороннего треугольника все три компонента равны, поэтому все центры совпадают с центроидом. Таким образом, как и у круга, у равностороннего треугольника есть единственный центр. ${\begin{aligned}f(a,b,c)&=f(b,a,c)&({\text{since }}a=b)\\&=f(b,c,a)&{\text{(by bisymmetry)}}\end{aligned}}$

Эксцентрики

Позволять $f(a,b,c)={\begin{cases}-1&\quad {\text{if }}a\geq b{\text{ and }}a\geq c,\\\;\;\;1&\quad {\text{otherwise}}.\end{cases}}$

Легко видеть, что это функция центра треугольника и (при условии, что треугольник разносторонний) соответствующий центр треугольника является вневписанным центром, противоположным наибольшему углу при вершине. Другие два вневписанных центра могут быть выбраны с помощью подобных функций. Однако, как указано выше, только один из вневписанных центров равнобедренного треугольника и ни один из вневписанных центров равностороннего треугольника никогда не может быть центром треугольника.

Биантисимметричные функции

Функция $f$ является биантисимметричной, если Если такая функция также ненулевая и однородная, то легко видеть, что отображение является функцией центра треугольника. Соответствующий центр треугольника есть В связи с этим определение функции центра треугольника иногда принимается таким образом, чтобы включать ненулевые однородные биантисимметричные функции. $f(a,b,c)=-f(a,c,b)\quad {\text{for all}}\quad a,b,c.$ $(a,b,c)\to f(a,b,c)^{2}\,f(b,c,a)\,f(c,a,b)$ $f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b).$

Новые центры из старых

Любая функция центра треугольника $f$ может быть нормализована путем умножения ее на симметричную функцию $a, b, c$ так, чтобы $n = 0.$ Нормализованная функция центра треугольника имеет тот же центр треугольника, что и исходная, а также более сильное свойство, что Вместе с нулевой функцией нормализованные функции центра треугольника образуют алгебру относительно сложения, вычитания и умножения. Это дает простой способ создания новых центров треугольников. Однако различные нормализованные функции центра треугольника часто будут определять один и тот же центр треугольника, например $f$ и $f(ta,tb,tc)=f(a,b,c)\quad {\text{for all}}\quad t>0,\ (a,b,c).$ $(abc)^{-1}(a+b+c)^{3}f.$

Неинтересные центры

Предположим, что $a, b, c$ — действительные переменные, а $α, β, γ$ — любые три действительные константы. Пусть

$f(a,b,c)={\begin{cases}\alpha &\quad {\text{if }}a<b{\text{ and }}a<c&(a{\text{ is least}}),\\[2pt]\gamma &\quad {\text{if }}a>b{\text{ and }}a>c&(a{\text{ is greatest}}),\\[2pt]\beta &\quad {\text{otherwise}}&(a{\text{ is in the middle}}).\end{cases}}$

Тогда $f$ — функция центра треугольника, а $α : β : γ$ — соответствующий центр треугольника, если стороны опорного треугольника помечены так, что $a < b < c$ . Таким образом, каждая точка потенциально является центром треугольника. Однако подавляющее большинство центров треугольников не представляют особого интереса, как и большинство непрерывных функций.

Барицентрические координаты

Если $f$ — функция центра треугольника, то таковой является и $af$ , а соответствующий центр треугольника — Поскольку это в точности барицентрические координаты центра треугольника, соответствующие $f,$ то следует, что центры треугольников могли бы с тем же успехом быть определены в терминах барицентрических координат вместо трилинейных координат. На практике несложно переключиться с одной системы координат на другую. $a\,f(a,b,c):b\,f(b,c,a):c\,f(c,a,b).$

Двоичные системы

Существуют и другие пары центров, помимо точки Ферма и 1-го изогонического центра. Другая система образована X ₃ и инцентром касательного треугольника. Рассмотрим функцию центра треугольника, заданную как:

$f(a,b,c)={\begin{cases}\cos A&{\text{if }}\triangle {\text{ is acute}},\\[2pt]\cos A+\sec B\sec C&{\text{if }}\measuredangle A{\text{ is obtuse}},\\[2pt]\cos A-\sec A&{\text{if either}}\measuredangle B{\text{ or }}\measuredangle C{\text{ is obtuse}}.\end{cases}}$

Для соответствующего центра треугольника существует четыре различных варианта: Обратите внимание, что первый из них также является центром описанной окружности. ${\begin{aligned}&{\text{if reference }}\triangle {\text{ is acute:}}\quad \cos A\ :\,\cos B\ :\,\cos C\\[6pt]&{\begin{array}{rcccc}{\text{if }}\measuredangle A{\text{ is obtuse:}}&\cos A+\sec B\sec C&:&\cos B-\sec B&:&\cos C-\sec C\\[4pt]{\text{if }}\measuredangle B{\text{ is obtuse:}}&\cos A-\sec A&:&\cos B+\sec C\sec A&:&\cos C-\sec C\\[4pt]{\text{if }}\measuredangle C{\text{ is obtuse:}}&\cos A-\sec A&:&\cos B-\sec B&:&\cos C+\sec A\sec B\end{array}}\end{aligned}}$

Рутинный расчет показывает, что в каждом случае эти трилинейки представляют инцентр касательного треугольника. Так что эта точка является центром треугольника, который является близким компаньоном описанного центра.

Бисимметрия и инвариантность

Отражение треугольника меняет порядок его сторон на противоположный. На изображении координаты относятся к треугольнику $(c, b, a)$ и (используя "|" в качестве разделителя) отражение произвольной точки равно Если $f$ является функцией центра треугольника, то отражение ее центра треугольника равно что, по бисимметрии, то же самое, что Поскольку это также центр треугольника, соответствующий $f$ относительно треугольника $($ $c$ $,$ $b$ $,$ $a$ $)$ , бисимметрия гарантирует, что все центры треугольников инвариантны при отражении. Поскольку вращения и переносы можно рассматривать как двойные отражения, они также должны сохранять центры треугольников. Эти свойства инвариантности дают обоснование для определения. $\gamma :\beta :\alpha$ $\gamma \ |\ \beta \ |\ \alpha .$ $f(c,a,b)\ |\ f(b,c,a)\ |\ f(a,b,c),$ $f(c,b,a)\ |\ f(b,a,c)\ |\ f(a,c,b).$

Альтернативная терминология

Другие названия дилатации — равномерное масштабирование , изотропное масштабирование , гомотетия и гомотеция .

Неевклидова и другие геометрии

Изучение центров треугольников традиционно связано с евклидовой геометрией , но центры треугольников можно изучать и в неевклидовой геометрии . ^[10] Центры треугольников, имеющие одинаковую форму как для евклидовой, так и для гиперболической геометрии, можно выразить с помощью гиротригонометрии . ^[11]^[12]^[13] В неевклидовой геометрии предположение о том, что сумма внутренних углов треугольника составляет 180 градусов, должно быть отброшено.

Центры тетраэдров или симплексов более высокой размерности также могут быть определены по аналогии с двумерными треугольниками. ^[13]

Некоторые центры могут быть расширены до многоугольников с более чем тремя сторонами. Центроид , например, может быть найден для любого многоугольника. Некоторые исследования были проведены по центрам многоугольников с более чем тремя сторонами. ^[14]^[15]

Смотрите также

Примечания

^ на самом деле 1-й изогонический центр, но также и точка Ферма, когда A , B , C ≤ 2π/3

^ Кимберлинг, Кларк . "Центры треугольников" . Получено 23.05.2009 . В отличие от квадратов и кругов, у треугольников много центров. Древние греки нашли четыре: инцентр, центроид, центр описанной окружности и ортоцентр. Пятый центр, найденный гораздо позже, — это точка Ферма. После этого в литературу были добавлены точки, которые теперь называются девятиточечным центром, симедианной точкой, точкой Жергонна и точкой Фейербаха, и это лишь некоторые из них. В 1980-х годах было замечено, что эти особые точки имеют некоторые общие свойства, которые теперь составляют основу формального определения центра треугольника.
^ Кимберлинг, Кларк (11 апреля 2018 г.) [1994]. «Центральные точки и центральные линии в плоскости треугольника». Mathematics Magazine . 67 (3): 163–187. doi :10.2307/2690608. JSTOR 2690608.
^ Кимберлинг, Кларк . "Это ЧАСТЬ 26: Центры X(50001) – X(52000)". Энциклопедия центров треугольников . Получено 17 июня 2022 г.
^ Weisstein, Eric W. "Triangle Center". MathWorld–A Wolfram Web Resource . Получено 25 мая 2009 г.
^ Weisstein, Eric W. "Triangle Center Function". MathWorld–A Wolfram Web Resource . Получено 1 июля 2009 г.
^ Бицентрические пары точек, Энциклопедия центров треугольников, дата обращения 2012-05-02
^ Окли, Клетус О.; Бейкер, Джастин К. (ноябрь 1978 г.). «Теорема Морли о трисекторе». The American Mathematical Monthly . 85 (9): 737–745. doi :10.1080/00029890.1978.11994688. ISSN 0002-9890.
^ Weisstein, Eric W. "Kimberling Center". MathWorld–A Wolfram Web Resource . Получено 25 мая 2009 г.
^ Weisstein, Eric W. "Major Triangle Center". MathWorld–A Wolfram Web Resource . Получено 25 мая 2009 г.
^ Рассел, Роберт А. (18.04.2019). «Центры неевклидовых треугольников». arXiv : 1608.08190 [math.MG].
^ Унгар, Абрахам А. (2009). «Гиперболические барицентрические координаты» (PDF) . Австралийский журнал математического анализа и приложений . 6 (1): 1–35., статья №18
^ Унгар, Абрахам А. (2010). Центры гиперболических треугольников: специальный релятивистский подход. Дордрехт: Springer. ISBN 978-90-481-8637-2. OCLC 663096629.
^ ab Ungar, Abraham Albert (август 2010). Барицентрическое исчисление в евклидовой и гиперболической геометрии. WORLD SCIENTIFIC. doi :10.1142/7740. ISBN 978-981-4304-93-1.
^ Аль-Шариф, Абдулла; Хаджа, Моваффак; Красопулос, Панайотис Т. (ноябрь 2009 г.). «Совпадения центров плоских четырехугольников». Результаты по математике . 55 (3–4): 231–247. doi :10.1007/s00025-009-0417-6. ISSN 1422-6383. S2CID 122725235.
^ Прието-Мартинес, Луис Фелипе; Санчес-Каусе, Ракель (2021-04-02). «Обобщение концепции центра треугольника Кимберлинга для других многоугольников». Результаты в математике . 76 (2): 81. arXiv : 2004.01677 . doi : 10.1007/s00025-021-01388-4. ISSN 1420-9012. S2CID 214795185.

Внешние ссылки

Манфред Эверс, О центрах и центральных линиях треугольников в эллиптической плоскости
Манфред Эверс, О геометрии треугольника в эллиптической и расширенной гиперболической плоскости
Кларк Кимберлинг , Центры треугольников из Университета Эвансвилля
Эд Пегг, Треугольные центры в 2D, 3D, сферических и гиперболических пространствах из Wolfram Research .
Пол Йиу, «Экскурс в геометрию треугольников» от Флоридского Атлантического университета .