Экс-тангенциальный четырехугольник

В евклидовой геометрии внесвязанный четырехугольник — это выпуклый четырехугольник , в котором продолжения всех четырех сторон касаются окружности вне четырехугольника. ^[1] Его также называют вписанным четырехугольником . ^[2] Окружность называется вневписанной , ее радиус — вневписанным , а ее центр — вневписанным центром ( $E$ на рисунке). Вневписанный центр лежит на пересечении шести биссектрис угла. Это внутренние биссектрисы угла в двух противоположных углах при вершине, внешние биссектрисы угла ( дополнительные биссектрисы угла) в двух других углах при вершине и внешние биссектрисы угла в углах, образованных там, где пересекаются продолжения противоположных сторон (см. рисунок справа, где четыре из этих шести являются пунктирными отрезками). Внесвязанный четырехугольник тесно связан с вписанным четырехугольником (где четыре стороны касаются окружности).

Другое название вневписанной окружности — вписанная окружность, ^[3] но это название также использовалось для окружности, касающейся одной стороны выпуклого четырехугольника и продолжений двух смежных сторон. В этом контексте все выпуклые четырехугольники имеют четыре вписанные окружности, но они могут иметь максимум одну вневписанную окружность. ^[4]

Особые случаи

Воздушные змеи являются примерами внекасательных четырехугольников. Параллелограммы (включая квадраты , ромбы и прямоугольники ) можно считать внекасательными четырехугольниками с бесконечным вневписанным радиусом, поскольку они удовлетворяют характеристикам в следующем разделе, но вневписанная окружность не может касаться обеих пар продолжений противоположных сторон (поскольку они параллельны). ^[4] Выпуклые четырехугольники, длины сторон которых образуют арифметическую прогрессию, всегда являются внекасательными, поскольку они удовлетворяют характеристикам ниже для длин смежных сторон.

Характеристика

Выпуклый четырехугольник является внекасательным тогда и только тогда, когда существует шесть конкурирующих биссектрис углов. Это внутренние биссектрисы углов в двух противоположных вершинах, внешние биссектрисы углов в двух других вершинах и внешние биссектрисы углов в углах, образованных там, где пересекаются продолжения противоположных сторон. ^[4]

Для целей расчета более полезной характеристикой является то, что выпуклый четырехугольник с последовательными сторонами $a, b, c, d$ является экс-тангенциальным тогда и только тогда, когда сумма двух смежных сторон равна сумме двух других сторон. Это возможно двумя способами:

a+b=c+d

или

a+d=b+c.

Это доказал Якоб Штайнер в 1846 году. ^[5] В первом случае вневписанная окружность находится вне самой большой из вершин $A$ или $C$ , тогда как во втором случае она находится вне самой большой из вершин $B$ или $D$ , при условии, что стороны четырехугольника $ABCD$ равны

a=|AB|,\ b=|BC|,\ c=|CD|,\ d=|DA|.

Способ объединения этих характеристик относительно сторон состоит в том, что абсолютные значения разностей между противоположными сторонами равны для двух пар противоположных сторон, ^[4]

|a-c|=|b-d|.

Эти уравнения тесно связаны с теоремой Пито для касательных четырехугольников , где суммы противоположных сторон равны для двух пар противоположных сторон.

Теорема Уркарта

Если противоположные стороны выпуклого четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точках $E$ и $F$ , то

|AB|+|BC|=|AD|+|DC|\quad \Leftrightarrow \quad |AE|+|EC|=|AF|+|FC|.

Импликация вправо названа в честь Л. М. Уркухарта (1902–1966), хотя она была доказана задолго до этого Августом Де Морганом в 1841 году . Дэниел Педо назвал ее самой элементарной теоремой в евклидовой геометрии, поскольку она касается только прямых линий и расстояний. ^[6] То, что на самом деле существует эквивалентность, было доказано Моваффаком Хаджей ^[6] , что делает равенство вправо еще одним необходимым и достаточным условием для того, чтобы четырехугольник был экстангенциальным.

Сравнение с касательным четырехугольником

Некоторые метрические характеристики тангенциальных четырехугольников (левый столбец в таблице) имеют очень похожие аналоги для нетангенциальных четырехугольников (средний и правый столбцы в таблице), как можно увидеть в таблице ниже. ^[4] Таким образом, выпуклый четырехугольник имеет вписанную или вневписанную окружность вне соответствующей вершины (в зависимости от столбца) тогда и только тогда, когда выполняется любое из пяти необходимых и достаточных условий, приведенных ниже.

Обозначения в этой таблице следующие: В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $P.$

$R 1, R 2, R 3, R 4$ — радиусы описанных окружностей в треугольниках $△ ABP, △ BCP, △ CDP, △ DAP$ ;
$h 1, h 2, h 3, h 4$ — высоты из $точки P$ к сторонам $a = | AB |$ , $b = | BC |$ , $c = | CD |$ , $d = | DA |$ соответственно в тех же четырех треугольниках;
$e, f, g, h$ — расстояния от вершин $A, B, C, D$ соответственно до $P$ ;
$x, y, z, w$ — углы $∠ ABD, ∠ ADB, ∠ BDC, ∠ DBC$ соответственно;
и $R a, R b, R c, R d$ — радиусы окружностей, внешне касающихся сторон $a, b, c, d$ соответственно, и продолжения двух смежных сторон для каждой стороны.

Область

Внеописанной четырехугольник $ABCD$ со сторонами $a, b, c, d$ имеет площадь

\displaystyle K={\sqrt {abcd}}\sin {\frac {B+D}{2}}.

Обратите внимание, что это та же формула, что и для площади описанного четырехугольника , и она также выводится из формулы Бретшнайдера тем же способом.

Эксрадиус

Радиус вписанной окружности для четырехугольника с последовательными сторонами $a, b, c, d$ определяется по формуле ^[4]

r={\frac {K}{|a-c|}}={\frac {K}{|b-d|}}

где $K$ — площадь четырехугольника. Для внесвязанного четырехугольника с заданными сторонами вневписанный радиус максимален , когда четырехугольник также является вписанным (и, следовательно, внесвязанным). Эти формулы объясняют, почему все параллелограммы имеют бесконечный вневписанный радиус.

Бывший бицентрический четырехугольник

Если внесоответствующий четырехугольник также имеет описанную окружность , он называется внесоответствующим четырехугольником . ^[1] Тогда, поскольку он имеет два противоположных дополнительных угла , его площадь определяется как

\displaystyle K={\sqrt {abcd}}

что то же самое, что и для вписанно-описанного четырехугольника .

Если $x$ — расстояние между центром описанной окружности и центром вневписанной окружности, то ^[1]

{\frac {1}{(R-x)^{2}}}+{\frac {1}{(R+x)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}},

где $R, r$ — радиус описанной и вневписанной окружности соответственно. Это то же самое уравнение, что и теорема Фуса для вписанно-описанного четырехугольника. Но при решении относительно $x$ мы должны выбрать другой корень квадратного уравнения для вписанно-описанного четырехугольника по сравнению с вписанно-описанным. Следовательно, для вписанно-описанного четырехугольника мы имеем ^[1]

x={\sqrt {R^{2}+r^{2}+r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}}}.

Из этой формулы следует, что

\displaystyle x>R+r,

это означает, что описанная и вневписанная окружности никогда не могут пересекаться.

Смотрите также

Ссылки

^ abcd Радич, Мирко; Калиман, Зоран и Кадум, Владимир, «Условие того, что тангенциальный четырехугольник является также хордовым», Математические коммуникации , 12 (2007) стр. 33–52.
^ Богомольный, Александр , «Расписываемые и расписываемые четырехугольники», Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles , [1]. Доступ 18.08.2011.
^ К. С. Кедлая, Geometry Unbound, 2006
^ abcdef Йозефссон, Мартин, Подобные метрические характеристики касательных и экстангенциальных четырехугольников , Forum Geometricorum, том 12 (2012), стр. 63-77 [2]
^ FG-M., Exercices de Géométrie , Éditions Jacques Gabay, Sixiéme édition, 1991, стр. 318.
^ ab Hajja, Mowaffaq, Очень короткое и простое доказательство «самой элементарной теоремы» евклидовой геометрии , Forum Geometricorum, том 6 (2006), стр. 167–169 [3]