Проблема Аполлония

Рисунок 2: Четыре пары дополнительных решений задачи Аполлония; данные круги черные.

В евклидовой планиметрии задача Аполлония состоит в построении окружностей, которые касаются трех данных окружностей на плоскости (рисунок 1). Аполлоний Пергский (ок. 262 г. до н. э. – ок. 190 г. до н. э.) поставил и решил эту знаменитую задачу в своей работе Ἐπαφαί ( Epaphaí , «Касания»); эта работа была утеряна , но сохранилось сообщение Паппа Александрийского о его результатах, датированное IV в. н. э . Три данных окружности в общем случае имеют восемь различных окружностей, которые касаются их (рисунок 2), пара решений для каждого способа разделить три данных окружности на два подмножества (существует 4 способа разделить множество мощности 3 на 2 части).

В XVI веке Адриан ван Румен решил задачу с помощью пересекающихся гипербол , но это решение не использует только линейку и циркульные построения. Франсуа Виет нашел такое решение, используя предельные случаи : любой из трех заданных кругов может быть сжат до нулевого радиуса (точка) или расширен до бесконечного радиуса (прямая). Подход Виета, который использует более простые предельные случаи для решения более сложных, считается правдоподобной реконструкцией метода Аполлония. Метод ван Румена был упрощен Исааком Ньютоном , который показал, что задача Аполлония эквивалентна нахождению положения по разнице его расстояний до трех известных точек. Это имеет применение в системах навигации и позиционирования, таких как LORAN .

Позже математики ввели алгебраические методы, которые преобразуют геометрическую задачу в алгебраические уравнения . Эти методы были упрощены за счет использования симметрий, присущих задаче Аполлония: например, окружности решения обычно встречаются парами, причем одно решение охватывает заданные окружности, а другое исключает (рисунок 2). Жозеф Диас Жергонн использовал эту симметрию для предоставления элегантного решения с помощью линейки и циркуля, в то время как другие математики использовали геометрические преобразования, такие как отражение в окружности, для упрощения конфигурации заданных окружностей. Эти разработки обеспечивают геометрическую настройку для алгебраических методов (используя геометрию сфер Ли ) и классификацию решений в соответствии с 33 существенно различными конфигурациями заданных окружностей.

Проблема Аполлония стимулировала множество дальнейших работ. Были изучены обобщения на три измерения — построение сферы, касающейся четырех данных сфер, — и за их пределами . Особое внимание было уделено конфигурации трех взаимно касающихся окружностей. Рене Декарт дал формулу, связывающую радиусы окружностей решения и данных окружностей, теперь известную как теорема Декарта . Решение проблемы Аполлония итеративным способом в этом случае приводит к аполлоновой сетке , которая является одним из самых ранних фракталов, описанных в печати, и играет важную роль в теории чисел через окружности Форда и метод окружностей Харди–Литтлвуда .

Постановка проблемы

Общая формулировка задачи Аполлония заключается в построении одной или нескольких окружностей, которые касаются трех заданных объектов на плоскости, где объектом может быть линия, точка или окружность любого размера. ^[1]^[2]^[3]^[4] Эти объекты могут быть расположены любым образом и могут пересекать друг друга; однако, они обычно считаются различными, что означает, что они не совпадают. Решения задачи Аполлония иногда называют окружностями Аполлония , хотя этот термин также используется для других типов окружностей, связанных с Аполлонием.

Свойство касания определяется следующим образом. Во-первых, предполагается, что точка, линия или окружность касаются самой себя; следовательно, если данная окружность уже касается двух других данных объектов, это считается решением проблемы Аполлония. Говорят, что два различных геометрических объекта пересекаются, если у них есть общая точка. По определению, точка касается окружности или прямой, если она пересекает их, то есть если она лежит на них; таким образом, две различные точки не могут быть касательными. Если угол между прямыми или окружностями в точке пересечения равен нулю, они называются касательными ; точка пересечения называется точкой касания или точкой касания . (Слово «касательная» происходит от латинского причастия настоящего времени tangens , что означает «касающийся».) На практике две различные окружности являются касательными, если они пересекаются только в одной точке; если они пересекаются в нуле или двух точках, они не касаются. То же самое справедливо для линии и окружности. Две различные линии не могут касаться в плоскости, хотя две параллельные линии можно рассматривать как касательные в точке на бесконечности в инверсной геометрии (см. ниже). ^[5]^[6]

Окружность решения может быть как внутренне, так и внешне касательной к каждой из данных окружностей. Внешнее касание — это касание, при котором две окружности отгибаются друг от друга в точке соприкосновения; они лежат по разные стороны от касательной в этой точке и исключают друг друга. Расстояние между их центрами равно сумме их радиусов. Напротив, внутреннее касание — это касание, при котором две окружности изгибаются одинаково в точке соприкосновения; две окружности лежат по одну сторону от касательной, и одна окружность охватывает другую. В этом случае расстояние между их центрами равно разнице их радиусов. В качестве иллюстрации на рисунке 1 розовая окружность решения внутренне касается среднего заданного черного круга справа, тогда как она внешне касается наименьшего и наибольшего заданных кругов слева.

Задачу Аполлония можно также сформулировать как задачу нахождения одной или нескольких точек, таких, что разности их расстояний до трех заданных точек равны трем известным значениям. Рассмотрим окружность решения радиусом r _s и три заданные окружности радиусами r ₁ , r ₂ и r ₃ . Если окружность решения касается всех трех заданных окружностей внешним образом, то расстояния между центром окружности решения и центрами заданных окружностей равны d ₁ = r ₁ + r _s , d ₂ = r ₂ + r _s и d ₃ = r ₃ + r _s , соответственно. Следовательно, разности этих расстояний являются константами, такими как d ₁ − d ₂ = r ₁ − r ₂ ; они зависят только от известных радиусов заданных окружностей, а не от радиуса r _s окружности решения, который сокращается. Эта вторая формулировка проблемы Аполлония может быть обобщена до внутренних касательных окружностей решения (для которых расстояние между центрами равно разности радиусов), путем замены соответствующих разностей расстояний на суммы расстояний, так что радиус окружности решения r _s снова сокращается. Переформулировка в терминах расстояний между центрами полезна в приведенных ниже решениях Адриана ван Румена и Исаака Ньютона , а также в гиперболическом позиционировании или трилатерации, которая является задачей определения местоположения по разнице расстояний до трех известных точек. Например, навигационные системы, такие как LORAN, идентифицируют местоположение приемника по разнице во времени прибытия сигналов из трех фиксированных позиций, которые соответствуют разнице расстояний до этих передатчиков. ^[7]^[8]

История

Богатый репертуар геометрических и алгебраических методов был разработан для решения проблемы Аполлония, ^[9]^[10], которую называли «самой известной из всех» геометрических задач. ^[3] Первоначальный подход Аполлония Пергского был утерян, но реконструкции были предложены Франсуа Виэтом и другими, основанными на подсказках в описании Паппа Александрийского . ^[11]^[12] Первый новый метод решения был опубликован в 1596 году Адрианом ван Руменом , который определил центры окружностей решения как точки пересечения двух гипербол . ^[13]^[14] Метод ван Румена был усовершенствован в 1687 году Исааком Ньютоном в его «Началах» , ^[15]^[16] и Джоном Кейси в 1881 году. ^[17]

Несмотря на успешное решение проблемы Аполлония, метод ван Румена имеет недостаток. Ценным свойством классической евклидовой геометрии является возможность решать задачи, используя только циркуль и линейку . ^[18] Многие построения невозможны с использованием только этих инструментов, например, деление угла на три равные части . Однако многие такие «невозможные» задачи можно решить с помощью пересекающихся кривых, таких как гиперболы, эллипсы и параболы ( конические сечения ). Например, удвоение куба (задача построения куба в два раза большего объема данного куба) не может быть выполнено с использованием только линейки и циркуля, но Менехм показал, что задачу можно решить с помощью пересечений двух парабол . ^[19] Таким образом, решение ван Румена, которое использует пересечение двух гипербол, не определяло, удовлетворяет ли задача свойству линейки и циркуля.

Друг Ван Румена Франсуа Виет , который изначально убедил ван Румена заняться проблемой Аполлония, разработал метод, в котором использовались только циркуль и линейка. ^[20] До решения Виета Региомонтан сомневался, можно ли решить проблему Аполлония с помощью линейки и циркуля. ^[21] Сначала Виет решил несколько простых частных случаев проблемы Аполлония, таких как нахождение окружности, проходящей через три заданные точки, которая имеет только одно решение, если точки различны; затем он перешел к решению более сложных частных случаев, в некоторых случаях сжимая или расширяя заданные окружности. ^[1] Согласно сообщению Паппа IV века, собственная книга Аполлония по этой проблеме, озаглавленная Ἐπαφαί ( Epaphaí , «Касательные»; лат. De tactionibus , De contactibus ), следовала аналогичному прогрессивному подходу. ^[11] Таким образом, решение Виета считается правдоподобной реконструкцией решения Аполлония, хотя другие реконструкции были опубликованы независимо тремя разными авторами. ^[22]

Несколько других геометрических решений проблемы Аполлония были разработаны в 19 веке. Наиболее примечательными являются решения Жана-Виктора Понселе (1811) ^[23] и Жозефа Диаса Жергонна (1814). ^[24] В то время как доказательство Понселе опирается на гомотетические центры окружностей и силу точечной теоремы, метод Жергонна использует сопряженное отношение между прямыми и их полюсами в окружности. Методы, использующие инверсию окружности, были впервые предложены Юлиусом Петерсеном в 1879 году; ^[25] одним из примеров является метод кольцевого решения HSM Coxeter . ^[2] Другой подход использует геометрию сферы Ли , ^[26] которая была разработана Софусом Ли .

Алгебраические решения проблемы Аполлония были впервые предложены в 17 веке Рене Декартом и принцессой Елизаветой Богемской , хотя их решения были довольно сложными. ^[9] Практические алгебраические методы были разработаны в конце 18 и 19 веках несколькими математиками, включая Леонарда Эйлера , ^[27] Николя Фусса , ^[9] Карла Фридриха Гаусса , ^[28] Лазаря Карно , ^[29] и Огюстена Луи Коши . ^[30]

Методы решения

Пересекающиеся гиперболы

Решение Адриана ван Румена (1596) основано на пересечении двух гипербол . ^[13]^[14] Пусть данные окружности будут обозначены как C ₁ , C ₂ и C ₃ . Ван Румен решил общую задачу, решив более простую задачу, задачу нахождения окружностей, которые касаются двух данных окружностей, таких как C ₁ и C ₂ . Он заметил, что центр окружности, касающейся обеих данных окружностей, должен лежать на гиперболе , фокусы которой являются центрами данных окружностей. Чтобы понять это, обозначим радиусы окружности решения и двух данных окружностей как r _s , r ₁ и r ₂ соответственно (рисунок 3). Расстояние d ₁ между центрами окружности решения и C ₁ равно либо r _s + r ₁ , либо r _s − r ₁ , в зависимости от того, выбраны ли эти окружности для внешнего или внутреннего касания соответственно. Аналогично, расстояние d ₂ между центрами окружности решения и C ₂ равно либо r _s + r ₂ , либо r _s − r ₂ , снова в зависимости от выбранного ими касания. Таким образом, разность d ₁ − d ₂ между этими расстояниями всегда является константой, которая не зависит от r _s . Это свойство, иметь фиксированную разность между расстояниями до фокусов , характеризует гиперболы, поэтому возможные центры окружности решения лежат на гиперболе. Вторую гиперболу можно нарисовать для пары данных окружностей C ₂ и C ₃ , где внутреннее или внешнее касание решения и C ₂ должно быть выбрано в соответствии с таковым для первой гиперболы. Пересечение этих двух гипербол (если таковое имеется) дает центр окружности решения, которая имеет выбранные внутреннее и внешнее касания к трем данным окружностям. Полный набор решений задачи Аполлония можно найти, рассматривая все возможные комбинации внутреннего и внешнего касания окружности решения к трем заданным окружностям.

Исаак Ньютон (1687) усовершенствовал решение Ван Румена, так что центры окружностей решения были расположены на пересечениях прямой с окружностью. ^[15] Ньютон формулирует задачу Аполлония как задачу трилатерации : определить точку Z из трех данных точек A , B и C так, чтобы разности расстояний от Z до трех данных точек имели известные значения. ^[31] Эти четыре точки соответствуют центру окружности решения ( Z ) и центрам трех данных окружностей ( A , B и C ).

Вместо решения двух гипербол Ньютон строит их направляющие линии . Для любой гиперболы отношение расстояний от точки Z до фокуса A и до направляющей является фиксированной константой, называемой эксцентриситетом . Две направляющие пересекаются в точке T , и из их двух известных отношений расстояний Ньютон строит прямую, проходящую через T , на которой должна лежать Z. Однако отношение расстояний TZ/TA также известно; следовательно, Z также лежит на известной окружности, поскольку Аполлоний показал, что окружность можно определить как множество точек, которые имеют заданное отношение расстояний до двух фиксированных точек. (Кстати, это определение является основой биполярных координат .) Таким образом, решения задачи Аполлония являются пересечениями прямой с окружностью.

Реконструкция Виета

Как описано ниже, проблема Аполлония имеет десять особых случаев, в зависимости от природы трех заданных объектов, которые могут быть окружностью ( C ), линией ( L ) или точкой ( P ). По обычаю, эти десять случаев различаются трехбуквенными кодами, такими как CCP . ^[32] Виет решил все десять этих случаев, используя только построения с помощью циркуля и линейки, и использовал решения более простых случаев для решения более сложных случаев. ^[1]^[20]

Виет начал с решения случая PPP (три точки), следуя методу Евклида в его «Началах» . Из этого он вывел лемму, соответствующую степени точечной теоремы, которую он использовал для решения случая LPP (прямая и две точки). Следуя Евклиду во второй раз, Виет решил случай LLL (три прямые), используя биссектрисы угла . Затем он вывел лемму для построения прямой, перпендикулярной биссектрисе угла, которая проходит через точку, которую он использовал для решения задачи LLP (две прямые и точка). Это объясняет первые четыре случая задачи Аполлония, те, которые не включают окружности.

Для решения оставшихся проблем Виет использовал тот факт, что заданные окружности и окружность решения могут быть изменены в тандеме, сохраняя при этом их касания (рисунок 4). Если радиус окружности решения изменяется на величину Δ r , радиус ее внутренне касательных заданных окружностей должен быть также изменен на Δ r , тогда как радиус ее внешне касательных заданных окружностей должен быть изменен на −Δ r . Таким образом, по мере того, как окружность решения расширяется, внутренне касательные заданные окружности должны расширяться в тандеме, тогда как внешне касательные заданные окружности должны сжиматься, чтобы сохранить свои касания.

Виет использовал этот подход, чтобы сжать один из заданных кругов до точки, тем самым сведя задачу к более простому, уже решенному случаю. Сначала он решил случай CLL (круг и две прямые), сжав круг до точки, сделав его случаем LLP . Затем он решил случай CLP (круг, прямая и точка), используя три леммы. Снова сжав один круг до точки, Виет преобразовал случай CCL в случай CLP . Затем он решил случай CPP (круг и две точки) и случай CCP (два круга и точка), последний случай с помощью двух лемм. Наконец, Виет решил общий случай CCC (три круга), сжав один круг до точки, сделав его случаем CCP .

Алгебраические решения

Проблема Аполлония может быть сформулирована как система из трех уравнений для центра и радиуса окружности решения. ^[33] Поскольку три заданных окружности и любая окружность решения должны лежать в одной плоскости, их положения могут быть указаны в терминах координат ( _x, _{y) их центров. Например, положения центров трех заданных окружностей могут быть записаны как (x1, y1), (x2, y2}) и ( x3 , _y3) , тогда как положение центра окружности решения может быть записано как ( _xs, ys ₎ . Аналогично радиусы заданных окружностей и окружности решения могут быть записаны как _r1_, r2 , r3 и rs _, соответственно. Требование, чтобы окружность решения должна точно касаться каждой из трех _{заданных} окружностей _, может быть выражено в _виде трех _{связанных} квадратных уравнений для xs , _ys_иrs _:

\left(x_{s}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{s}-y_{1}\right)^{2}=\left(r_{s}-s_{1}r_{1}\right)^{2}

\left(x_{s}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{s}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{s}-s_{2}r_{2}\right)^{2}

\left(x_{s}-x_{3}\right)^{2}+\left(y_{s}-y_{3}\right)^{2}=\left(r_{s}-s_{3}r_{3}\right)^{2}.

Три числа s ₁ , s ₂ и s ₃ в правой части , называемые знаками, могут быть равны ±1 и указывать, должна ли искомая окружность решения касаться соответствующей заданной окружности внутренне ( s = 1) или внешне ( s = −1). Например, на рисунках 1 и 4 розовое решение касается изнутри заданной окружности среднего размера справа и снаружи наименьшего и наибольшего заданных окружностей слева; если заданные окружности упорядочены по радиусу, то знаки для этого решения будут "− + −" . Поскольку три знака могут быть выбраны независимо, существует восемь возможных наборов уравнений (2 × 2 × 2 = 8) , каждый набор соответствует одному из восьми типов кругов решения.

Общая система из трех уравнений может быть решена методом результирующих . При перемножении все три уравнения имеют x _s² + y _s² в левой части и r _s² в правой части. Вычитание одного уравнения из другого устраняет эти квадратичные члены; оставшиеся линейные члены могут быть переставлены, чтобы получить формулы для координат x _s и y _s

x_{s}=M+Nr_{s}

y_{s}=P+Qr_{s}

где M , N , P и Q — известные функции заданных окружностей и выбора знаков. Подстановка этих формул в одно из исходных трех уравнений дает квадратное уравнение для r _s , которое можно решить с помощью квадратной формулы . Подстановка числового значения r _s в линейные формулы дает соответствующие значения x _s и y _s .

Знаки s ₁ , s ₂ и s ₃ в правых частях уравнений могут быть выбраны восемью возможными способами, и каждый выбор знаков дает до двух решений, поскольку уравнение для r _s является квадратным . Это может означать (неверно), что существует до шестнадцати решений задачи Аполлония. Однако из-за симметрии уравнений, если ( r _s , x _s , y _s ) является решением со знаками s _i , то также будет и (− r _s , x _s , y _s ) с противоположными знаками − s _i , что представляет собой ту же окружность решения. Следовательно, задача Аполлония имеет не более восьми независимых решений (рисунок 2). Один из способов избежать этого двойного подсчета — рассматривать только окружности решения с неотрицательным радиусом.

Два корня любого квадратного уравнения могут быть трех возможных типов: два различных действительных числа , два одинаковых действительных числа (т. е. вырожденный двойной корень) или пара комплексно сопряженных корней. Первый случай соответствует обычной ситуации; каждая пара корней соответствует паре решений, которые связаны инверсией окружности , как описано ниже (рисунок 6). Во втором случае оба корня идентичны, что соответствует окружности решения, которая преобразуется в себя при инверсии. В этом случае одна из данных окружностей сама является решением задачи Аполлония, и число различных решений уменьшается на единицу. Третий случай комплексно сопряженных радиусов не соответствует геометрически возможному решению задачи Аполлония, поскольку окружность решения не может иметь мнимый радиус; поэтому число решений уменьшается на два. Задача Аполлония не может иметь семь решений, хотя она может иметь любое другое число решений от нуля до восьми. ^[12]^[34]

Геометрия сферы Ли

Те же алгебраические уравнения могут быть выведены в контексте геометрии сферы Ли . ^[26] Эта геометрия представляет окружности, линии и точки единым образом, как пятимерный вектор X = ( v , c _x , c _y , w , sr ), где c = ( c _x , c _y ) — центр окружности, а r — ее (неотрицательный) радиус. Если r не равно нулю, знак s может быть положительным или отрицательным; для визуализации s представляет ориентацию окружности, при этом окружности против часовой стрелки имеют положительное s , а окружности по часовой стрелке имеют отрицательное s . Параметр w равен нулю для прямой линии и единице в противном случае.

В этом пятимерном мире существует билинейное произведение, подобное скалярному произведению :

\left(X_{1}\mid X_{2}\right):=v_{1}w_{2}+v_{2}w_{1}+\mathbf {c} _{1}\cdot \mathbf {c} _{2}-s_{1}s_{2}r_{1}r_{2}.

Квадрика Ли определяется как те векторы, произведение которых на самих себя (их квадратная норма ) равно нулю, ( X | X ) = 0. Пусть X ₁ и X ₂ — два вектора, принадлежащие этой квадрике; норма их разности равна

\left(X_{1}-X_{2}\mid X_{1}-X_{2}\right)=2\left(v_{1}-v_{2}\right)\left(w_{1}-w_{2}\right)+\left(\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2}\right)\cdot \left(\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2}\right)-\left(s_{1}r_{1}-s_{2}r_{2}\right)^{2}.

Произведение распределяется по сложению и вычитанию (точнее, оно является билинейным ):

\left(X_{1}-X_{2}\mid X_{1}-X_{2}\right)=\left(X_{1}\mid X_{1}\right)-2\left(X_{1}\mid X_{2}\right)+\left(X_{2}\mid X_{2}\right).

Так как ( X ₁ | X ₁ ) = ( X ₂ | X ₂ ) = 0 (оба принадлежат квадрике Ли) и так как w ₁ = w ₂ = 1 для окружностей, произведение любых двух таких векторов на квадрике равно

-2\left(X_{1}\mid X_{2}\right)=\left|\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2}\right|^{2}-\left(s_{1}r_{1}-s_{2}r_{2}\right)^{2}.

где вертикальные полосы, зажатые между c ₁ − c _{2 ,} представляют собой длину этого вектора разности, т. е. евклидову норму . Эта формула показывает, что если два квадратичных вектора X ₁ и X ₂ ортогональны (перпендикулярны) друг другу, то есть если ( X ₁ | X ₂ ) = 0, то их соответствующие окружности касаются. Ибо если два знака s ₁ и s ₂ одинаковы (т. е. окружности имеют одинаковую «ориентацию»), окружности касаются изнутри; расстояние между их центрами равно разнице радиусов

\left|\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2}\right|^{2}=\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}.

Наоборот, если два знака s ₁ и s ₂ различны (т.е. окружности имеют противоположные «ориентации»), то окружности касаются внешне; расстояние между их центрами равно сумме радиусов .

\left|\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2}\right|^{2}=\left(r_{1}+r_{2}\right)^{2}.

Таким образом, задачу Аполлония можно переформулировать в геометрии Ли как задачу нахождения перпендикулярных векторов на квадрике Ли; в частности, цель состоит в том, чтобы определить векторы решения X _sol , которые принадлежат квадрике Ли и также ортогональны (перпендикулярны) векторам X ₁ , X ₂ и X _{3 ,} соответствующим данным окружностям.

\left(X_{\mathrm {sol} }\mid X_{\mathrm {sol} }\right)=\left(X_{\mathrm {sol} }\mid X_{1}\right)=\left(X_{\mathrm {sol} }\mid X_{2}\right)=\left(X_{\mathrm {sol} }\mid X_{3}\right)=0

Преимущество этой переформулировки в том, что можно использовать теоремы линейной алгебры о максимальном числе линейно независимых , одновременно перпендикулярных векторов. Это дает другой способ вычисления максимального числа решений и распространения теоремы на пространства более высокой размерности. ^[26]^[35]

Инверсионные методы

Естественным вариантом для задачи Аполлония является инверсивная геометрия . ^[4]^[12] Основная стратегия инверсивных методов заключается в преобразовании данной задачи Аполлония в другую задачу Аполлония, которую проще решить; решения исходной задачи находятся из решений преобразованной задачи путем отмены преобразования. Кандидаты на преобразования должны преобразовывать одну задачу Аполлония в другую; следовательно, они должны преобразовывать заданные точки, окружности и линии в другие точки, окружности и линии, но не в другие фигуры. Инверсия окружности обладает этим свойством и позволяет разумно выбирать центр и радиус инверсионной окружности. Другие кандидаты включают изометрии евклидовой плоскости ; однако они не упрощают задачу, поскольку они просто сдвигают , вращают и отражают исходную задачу.

Инверсия в окружности с центром O и радиусом R состоит из следующей операции (рисунок 5): каждая точка P отображается в новую точку P' так, что O , P и P' лежат на одной прямой, а произведение расстояний P и P' до центра O равно квадрату радиуса R.

{\overline {\mathbf {OP} }}\cdot {\overline {\mathbf {OP^{\prime }} }}=R^{2}.

Таким образом, если P лежит вне круга, то P' лежит внутри, и наоборот. Когда P совпадает с O , говорят, что инверсия отправляет P в бесконечность. (В комплексном анализе «бесконечность» определяется в терминах сферы Римана .) Инверсия имеет полезное свойство, заключающееся в том, что линии и окружности всегда преобразуются в линии и окружности, а точки всегда преобразуются в точки. Окружности обычно преобразуются в другие окружности при инверсии; однако, если окружность проходит через центр окружности инверсии, она преобразуется в прямую линию, и наоборот. Важно, что если окружность пересекает окружность инверсии под прямым углом (пересекается перпендикулярно), она остается неизменной при инверсии; она преобразуется в себя.

Инверсии окружности соответствуют подмножеству преобразований Мёбиуса на сфере Римана . Плоская задача Аполлония может быть перенесена на сферу с помощью обратной стереографической проекции ; следовательно, решения плоской задачи Аполлония также относятся к ее аналогу на сфере. Возможны и другие инверсные решения плоской задачи, помимо общих, описанных ниже. ^[36]

Пары решений методом инверсии

Решения проблемы Аполлония обычно встречаются парами; для каждого круга решения существует круг сопряженного решения (рисунок 6). ^[1] Один круг решения исключает заданные круги, которые заключены в его сопряженном решении, и наоборот. Например, на рисунке 6 один круг решения (розовый, вверху слева) охватывает два заданных круга (черные), но исключает третий; наоборот, его сопряженное решение (также розовый, внизу справа) охватывает этот третий заданный круг, но исключает два других. Два круга сопряженного решения связаны инверсией , с помощью следующего аргумента.

В общем случае любые три различных окружности имеют единственную окружность — радикальную окружность — которая пересекает их все перпендикулярно; центр этой окружности является радикальным центром трех окружностей. ^[4] Для иллюстрации оранжевый круг на рисунке 6 пересекает черные заданные окружности под прямым углом. Инверсия в радикальной окружности оставляет заданные окружности неизменными, но преобразует две сопряженные розовые окружности решения друг в друга. При той же инверсии соответствующие точки касания двух окружностей решения преобразуются друг в друга; для иллюстрации на рисунке 6 две синие точки, лежащие на каждой зеленой линии, преобразуются друг в друга. Следовательно, линии, соединяющие эти сопряженные точки касания, инвариантны относительно инверсии; поэтому они должны проходить через центр инверсии, который является радикальным центром (зеленые линии, пересекающиеся в оранжевой точке на рисунке 6).

Инверсия в кольцо

Если две из трех заданных окружностей не пересекаются, можно выбрать центр инверсии так, чтобы эти две заданные окружности стали концентрическими . ^[2]^[12] При этой инверсии окружности решений должны попадать в кольцо между двумя концентрическими окружностями. Следовательно, они принадлежат двум однопараметрическим семействам. В первом семействе (рисунок 7) решения не охватывают внутреннюю концентрическую окружность, а вращаются как шарикоподшипники в кольце. Во втором семействе (рисунок 8) окружности решений охватывают внутреннюю концентрическую окружность. Обычно для каждого семейства существует четыре решения, что дает восемь возможных решений, соответствующих алгебраическому решению.

Когда две из данных окружностей концентричны, задача Аполлония может быть легко решена с помощью метода Гаусса . ^[28] Радиусы трех данных окружностей известны, как и расстояние d _non от общего концентрического центра до неконцентрической окружности (рисунок 7). Окружность решения может быть определена по ее радиусу r _s , углу θ и расстояниям d _s и d _T от ее центра до общего концентрического центра и центра неконцентрической окружности соответственно. Радиус и расстояние d _s известны (рисунок 7), а расстояние d _T = r _s ± r _non зависит от того, касается ли окружность решения неконцентрической окружности внутренне или внешне. Следовательно, по закону косинусов ,

{\ displaystyle \ cos \ theta = {\ frac {d_ {\ mathrm {s} } ^ {2} + d _ {\ mathrm {non} } ^ {2} -d_ {\ mathrm {T} } ^ {2} }{2d_{\mathrm {s} }d_{\mathrm {non} }}}\equiv C_{\pm }.}

Здесь для краткости определена новая константа C , а нижний индекс указывает, является ли решение касательным к внешней или внутренней поверхности. Простая тригонометрическая перестановка дает четыре решения

\theta =\pm 2\arctan \left({\sqrt {\frac {1-C}{1+C}}}\right).

Эта формула представляет четыре решения, соответствующие двум выборам знака θ и двум выборам для C. Остальные четыре решения могут быть получены тем же методом, используя замены для r _s и d _s, указанные на рисунке 8. Таким образом, все восемь решений общей задачи Аполлония могут быть найдены этим методом.

Любые исходные две непересекающиеся заданные окружности можно сделать концентрическими следующим образом. Строится радикальная ось двух заданных окружностей; выбрав две произвольные точки P и Q на этой радикальной оси, можно построить две окружности с центрами в P и Q , которые пересекают две заданные окружности ортогонально. Эти две построенные окружности пересекаются друг с другом в двух точках. Инверсия в одной такой точке пересечения F превращает построенные окружности в прямые линии, исходящие из F , а две заданные окружности — в концентрические окружности, причем третья заданная окружность становится другой окружностью (в общем случае). Это следует из того, что система окружностей эквивалентна набору аполлоновых окружностей , образуя биполярную систему координат .

Изменение размера и инверсия

Полезность инверсии может быть значительно увеличена путем изменения размера. ^[37]^[38] Как отмечено в реконструкции Виета, три заданных круга и круг решения могут быть изменены в тандеме, сохраняя их касания. Таким образом, исходная задача Аполлония трансформируется в другую задачу, которую может быть проще решить. Например, четыре круга могут быть изменены так, чтобы один заданный круг был сжат до точки; в качестве альтернативы, два заданных круга часто могут быть изменены так, чтобы они касались друг друга. В-третьих, заданные пересекающиеся круги могут быть изменены так, чтобы они стали непересекающимися, после чего может быть применен метод инвертирования в кольцо. Во всех таких случаях решение исходной задачи Аполлония получается из решения преобразованной задачи путем отмены изменения размера и инвертирования.

Сжатие заданного круга в точку

В первом подходе заданные окружности сжимаются или раздуваются (соответственно их касанию) до тех пор, пока одна заданная окружность не сожмется до точки P. [ ^37] В этом случае задача Аполлония вырождается в предельный случай ККП , который является задачей нахождения окружности решения, касательной к двум оставшимся заданным окружностям, которая проходит через точку P. Инверсия в окружности с центром в P преобразует две заданные окружности в новые окружности, а окружность решения — в прямую. Следовательно, преобразованное решение представляет собой прямую, касательную к двум преобразованным заданным окружностям. Существует четыре таких линии решения, которые могут быть построены из внешних и внутренних гомотетических центров двух окружностей. Повторная инверсия в P и отмена изменения размера преобразует такую линию решения в желаемую окружность решения исходной задачи Аполлония. Все восемь общих решений могут быть получены путем сжатия и расширения окружностей в соответствии с различными внутренними и внешними касательными каждого решения; Однако различные заданные круги могут быть сжаты в точку для различных решений.

Изменение размера двух заданных окружностей до касания

Во втором подходе радиусы данных окружностей изменяются соответствующим образом на величину Δ r так, чтобы две из них были касательными (касающимися). ^[38] Их точка касания выбирается как центр инверсии в окружности , которая пересекает каждую из двух касающихся окружностей в двух местах. После инверсии соприкасающиеся окружности становятся двумя параллельными прямыми: их единственная точка пересечения отправляется в бесконечность при инверсии, поэтому они не могут встретиться. Та же инверсия преобразует третью окружность в другую окружность. Решением инвертированной задачи должна быть либо (1) прямая линия, параллельная двум данным параллельным прямым и касательная к преобразованной третьей данной окружности; или (2) окружность постоянного радиуса, которая касается двух данных параллельных прямых и преобразованной данной окружности. Повторная инверсия и корректировка радиусов всех окружностей на Δ r дает окружность решения, касательную к исходным трем окружностям.

Решение Жергонна

Подход Жергонна заключается в рассмотрении окружностей решения парами. ^[1] Пусть пара окружностей решения будет обозначена как C _A и C _B (розовые окружности на рисунке 6), а их точки касания с тремя заданными окружностями будут обозначены как A ₁ , A ₂ , A ₃ и B ₁ , B ₂ , B ₃ соответственно. Решение Жергонна направлено на определение местоположения этих шести точек и, таким образом, на решение для двух окружностей решения.

Идея Жергонна заключалась в том, что если бы можно было построить прямую L _{1 так, чтобы}A ₁ и B ₁ гарантированно попадали на нее, то эти две точки можно было бы определить как точки пересечения L ₁ с заданной окружностью C ₁ (рисунок 6). Остальные четыре точки касания можно было бы расположить аналогичным образом, найдя прямые L ₂ и L ₃ , содержащие A ₂ и B ₂ , и A ₃ и B ₃ , соответственно. Чтобы построить прямую, такую как L ₁ , нужно определить две точки, лежащие на ней; но эти точки не обязательно должны быть точками касания. Жергонн смог определить две другие точки для каждой из трех прямых. Одна из двух точек уже была определена: радикальный центр G лежит на всех трех прямых (рисунок 6).

Чтобы определить вторую точку на прямых L ₁ , L ₂ и L ₃ , Жергонн отметил обратную связь между этими прямыми и радикальной осью R окружностей решения, C _A и C _B . Чтобы понять эту обратную связь, рассмотрим две касательные к окружности C _{1 ,} проведенные в ее точках касания A ₁ и B ₁ с окружностями решения; пересечение этих касательных линий является точкой полюса L ₁ в C ₁ . Поскольку расстояния от этой точки полюса до точек касания A ₁ и B ₁ равны, эта точка полюса также должна лежать на радикальной оси R окружностей решения, по определению (рисунок 9). Связь между точками полюса и их полярными линиями обратная; если полюс L ₁ в C ₁ лежит на R , полюс R в C ₁ должен, наоборот, лежать на L ₁ . Таким образом, если мы можем построить R , мы можем найти его полюс _P1_вC1 , что _дает необходимую вторую точку на L1 (рисунок 10).

Жергонн нашел радикальную ось R неизвестных окружностей решения следующим образом. Любая пара окружностей имеет два центра подобия ; эти две точки являются двумя возможными пересечениями двух касательных прямых к двум окружностям. Следовательно, три заданные окружности имеют шесть центров подобия, по два для каждой отдельной пары заданных окружностей. Примечательно, что эти шесть точек лежат на четырех прямых, по три точки на каждой прямой; более того, каждая прямая соответствует радикальной оси потенциальной пары окружностей решения. Чтобы показать это, Жергонн рассмотрел прямые, проходящие через соответствующие точки касания на двух из заданных окружностей, например, прямую, определяемую A ₁ / A _{2 ,} и прямую, определяемую B ₁ / B ₂ . Пусть X ₃ будет центром подобия для двух окружностей C ₁ и C ₂ ; тогда A ₁ / A ₂ и B ₁ / B ₂ являются парами антигомологичных точек , и их прямые пересекаются в точке X ₃ . Отсюда следует, что произведения расстояний равны

{\overline {X_{3}A_{1}}}\cdot {\overline {X_{3}A_{2}}}={\overline {X_{3}B_{1}}}\cdot {\overline {X_{3}B_{2}}}

что подразумевает, что X ₃ лежит на радикальной оси двух окружностей решения. Тот же аргумент можно применить к другим парам окружностей, так что три центра подобия для данных трех окружностей должны лежать на радикальных осях пар окружностей решения.

Подводя итог, искомая линия L ₁ определяется двумя точками: радикальным центром G трех данных окружностей и полюсом в C ₁ одной из четырех линий, соединяющих гомотетические центры. Нахождение того же полюса в C ₂ и C ₃ дает L ₂ и L ₃ соответственно; таким образом, можно найти все шесть точек, из которых можно найти одну пару окружностей решения. Повторение этой процедуры для оставшихся трех гомотетических-центральных линий дает еще шесть решений, что дает всего восемь решений. Однако, если линия L _k не пересекает свою окружность C _k для некоторого k , то для этой гомотетической-центральной линии нет пары решений.

Теория пересечений

Методы современной алгебраической геометрии , и в частности теория пересечений , могут быть использованы для решения проблемы Аполлония. При таком подходе проблема переосмысливается как утверждение об окружностях в комплексной проективной плоскости . Решения, включающие комплексные числа, допускаются, а вырожденные ситуации подсчитываются с кратностью. Когда это сделано, всегда есть восемь решений проблемы. ^[39]

Каждое квадратное уравнение в $X$ , $Y$ и $Z определяет уникальную конику, ее исчезающее локус. Наоборот, каждая коника в комплексной проективной плоскости имеет уравнение, и это уравнение уникально с точностью до общего масштабного множителя$ $($ потому что изменение масштаба уравнения не меняет его исчезающее локус). Таким образом, множество всех коник может быть параметризовано пятимерным проективным пространством $P5$ , где соответствие имеет вид

\{[X:Y:Z]\in \mathbf {P} ^{2} \ двоеточие AX^{2}+BXY+CY^{2}+DXZ+EYZ+FZ^{2}=0 \}\leftrightarrow [A:B:C:D:E:F]\in \mathbf {P} ^{5}.

Окружность в комплексной проективной плоскости определяется как коника, проходящая через две точки $O$ $+$ $= [1 :$ $i$ $: 0]$ и $O$ $-$ $= [1 : -$ $i$ $: 0]$ , где $i$ обозначает квадратный корень из −1 $.$ Точки $O$ $+$ и $O$ $-$ называются круговыми точками . Проективное многообразие всех окружностей является подмногообразием $P$ $5 ,$ состоящим из тех точек, которые соответствуют коникам, проходящим через круговые точки. Подстановка круговых точек в уравнение для общей коники дает два уравнения

A+Bi-C=0,

A-Bi-C=0.

Взятие суммы и разности этих уравнений показывает, что это эквивалентно наложению условий

А=С

и .

B=0

Следовательно, многообразие всех окружностей представляет собой трехмерное линейное подпространство $P 5$ . После масштабирования и дополнения квадрата эти уравнения также демонстрируют, что каждая коника, проходящая через круговые точки, имеет уравнение вида

(X-aZ)^{2}+(Y-bZ)^{2}=r^{2}Z^{2},

что является гомогенизацией обычного уравнения окружности в аффинной плоскости. Следовательно, изучение окружностей в указанном выше смысле почти эквивалентно изучению окружностей в общепринятом смысле. Единственное отличие состоит в том, что указанный выше смысл допускает вырожденные окружности, которые являются объединением двух прямых. Невырожденные окружности называются гладкими окружностями , в то время как вырожденные называются сингулярными окружностями. Существует два типа сингулярных окружностей. Один из них — это объединение прямой на бесконечности $Z = 0$ с другой прямой в проективной плоскости (возможно, снова прямой на бесконечности), а другой — это объединение двух прямых в проективной плоскости, по одной через каждую из двух круговых точек. Это пределы гладких окружностей, когда радиус $r$ стремится к $+\infty$ и $0$ соответственно. В последнем случае ни одна точка на любой из двух прямых не имеет действительных координат, за исключением начала координат $[0 : 0 : 1]$ .

Пусть $D$ — фиксированная гладкая окружность. Если $C$ — любая другая окружность, то по определению окружности $C$ и $D$ пересекаются в окружностях $O +$ и $O -$ . Поскольку $C$ и $D$ — конические сечения, теорема Безу подразумевает, что $C$ и $D$ пересекаются в четырех точках, если считать эти точки с надлежащей кратностью пересечения . То есть, существует четыре точки пересечения $O +$ , $O -$ , $P$ , и $Q$ , но некоторые из этих точек могут столкнуться. Задача Аполлония касается ситуации, когда $P = Q$ , что означает, что кратность пересечения в этой точке равна $2$ ; если $P$ также равно окружности, это следует интерпретировать как кратность пересечения, равную $3$ .

Пусть $Z D$ — многообразие окружностей, касающихся $D.$ Это многообразие — квадратичный конус в $P 3$ всех окружностей. Чтобы увидеть это, рассмотрим соответствие инцидентности

\Phi =\{(r,C)\in D\times \mathbf {P} ^{3}\colon C{\text{ касается }}D{\text{ в точке }}r\}.

Для кривой, которая является локусом сходимости одного уравнения $f = 0$ , условие, что кривая пересекает $D$ в точке $r$ с кратностью $m,$ означает, что разложение ряда Тейлора функции $f | D$ обращается в нуль до порядка $m$ в точке $r$ ; следовательно, это $m$ линейных условий на коэффициенты функции $f$ . Это показывает, что для каждого $r$ слой $Φ$ над $r$ представляет собой $P 1 ,$ вырезанное двумя линейными уравнениями в пространстве окружностей. Следовательно, $Φ$ является неприводимым размерности $2.$ Поскольку можно показать окружность, касающуюся $D$ только в одной точке, общий элемент $Z D$ должен быть касательным только в одной точке. Следовательно, проекция $Φ \to P 2$ , отправляющая $(r, C)$ в $C,$ является бирациональным морфизмом . Из этого следует, что образ $Φ$ , который есть $Z D$ , также неприводим и двумерен.

Чтобы определить форму $Z D$ , зафиксируем две различные окружности $C 0$ и $C \infty$ , не обязательно касающиеся $D$ . Эти две окружности определяют пучок , то есть линию $L$ в $P 3$ окружностей. Если уравнениями $C 0$ и $C \infty$ являются $f$ и $g$ , соответственно, то точки на $L$ соответствуют окружностям, уравнения которых имеют вид $Sf + Tg$ , где $[S : T]$ — точка $P 1$ . Точки, где $L$ пересекает $Z D ,$ — это в точности окружности в пучке, которые касаются $D$ .

Существует две возможности для количества точек пересечения. Одна из них заключается в том, что либо $f,$ либо $g$ , скажем $f$ , является уравнением для $D.$ В этом случае $L$ является прямой, проходящей через $D.$ Если $C \infty$ касается $D$ , то такова же каждая окружность в пучке, и, следовательно, $L$ содержится в $Z D.$ Другая возможность заключается в том, что ни $f,$ ни $g$ не являются уравнениями для $D.$ В этом случае функция $(f / g)| D$ является частным квадратичных функций, ни одна из которых не равна нулю тождественно. Следовательно, она равна нулю в двух точках и имеет полюса в двух точках. Это точки в $C 0 \cap D$ и $C \infty \cap D$ соответственно, подсчитанные с кратностью и с вычетом круговых точек. Рациональная функция определяет морфизм $D \to P 1$ степени два. Слой над $[S : T] \in P 1$ — это множество точек $P$ , для которых $f (P) T = g (P) S$ . Это как раз те точки, в которых окружность, уравнение которой есть $Tf - Sg ,$ пересекает $D$ . Точками ветвления этого морфизма являются окружности, касающиеся $D$ . По формуле Римана–Гурвица существует ровно две точки ветвления, и поэтому $L$ пересекает $Z D$ в двух точках. Вместе эти две возможности пересечения $L$ и $Z D$ показывают, что $Z D$ является квадратичным конусом. Все такие конусы в $P 3$ одинаковы с точностью до замены координат, так что это полностью определяет форму $Z D$ .

Чтобы завершить рассуждение, пусть $D 1$ , $D 2$ и $D 3$ — три окружности. Если пересечение $Z D 1 \cap Z D 2 \cap Z D 3$ конечно, то оно имеет степень $23 = 8$ , и, следовательно, существует восемь решений задачи Аполлония, подсчитанных с кратностью. Чтобы доказать, что пересечение в общем случае конечно, рассмотрим соответствие инцидентности

\Psi =\{(D_{1},D_{2},D_{3},C)\in (\mathbf {P} ^{3})^{4}\colon C{\text{ касается всех }}D_{i}\}.

Существует морфизм, который проецирует $Ψ$ на его конечный множитель $P 3$ . Слой над $C$ — это $Z C 3$ . Он имеет размерность $6$ , поэтому $Ψ$ имеет размерность $9$ . Поскольку $(P 3) 3$ также имеет размерность $9$ , общий слой проекции из $Ψ$ на первые три множителя не может иметь положительную размерность. Это доказывает, что в общем случае существует восемь решений, подсчитанных с кратностью. Поскольку можно продемонстрировать конфигурацию, в которой восемь решений различны, общая конфигурация должна иметь все восемь решений различны.

Радиусы

В общей задаче с восемью окружностями решения обратные величины радиусов четырех окружностей решения в сумме дают то же значение, что и обратные величины радиусов остальных четырех окружностей решения ^[40]

Особые случаи

Десять комбинаций точек, окружностей и линий

Задача Аполлония заключается в построении одной или нескольких окружностей, касающихся трех заданных объектов на плоскости, которые могут быть окружностями, точками или прямыми. Это приводит к десяти типам задачи Аполлония, по одной для каждой комбинации окружностей, прямых и точек, которые могут быть обозначены тремя буквами, C , L , или P , чтобы обозначить, являются ли заданные элементы окружностью, прямой или точкой соответственно (таблица 1). ^[32] Например, тип задачи Аполлония с заданной окружностью, прямой и точкой обозначается как CLP .

Некоторые из этих особых случаев гораздо проще решить, чем общий случай трех заданных окружностей. Два самых простых случая — это задачи на проведение окружности через три заданные точки ( PPP ) или касательной к трем прямым ( LLL ), которые впервые были решены Евклидом в его «Началах» . Например, задачу PPP можно решить следующим образом. Центр окружности решения одинаково удален от всех трех точек и, следовательно, должен лежать на перпендикулярной серединной линии любых двух. Следовательно, центр является точкой пересечения любых двух перпендикулярных серединных линий. Аналогично, в случае LLL центр должен лежать на прямой, делящей угол пополам в трех точках пересечения между тремя заданными прямыми; следовательно, центр лежит в точке пересечения двух таких биссектрис угла. Поскольку в каждой точке пересечения трех заданных прямых есть две такие биссектрисы, существует четыре решения общей задачи LLL ( вписанная и вневписанная окружности треугольника, образованного тремя прямыми).

Точки и линии можно рассматривать как частные случаи окружностей; точку можно рассматривать как окружность бесконечно малого радиуса, а линию можно рассматривать как бесконечно большую окружность, центр которой также находится в бесконечности. С этой точки зрения общая задача Аполлония заключается в построении окружностей, касающихся трех данных окружностей. Девять других случаев, включающих точки и линии, можно рассматривать как предельные случаи общей задачи. ^[32]^[12] Эти предельные случаи часто имеют меньше решений, чем общая задача; например, замена данной окружности данной точкой вдвое сокращает число решений, поскольку точку можно рассматривать как бесконечно малую окружность, которая касается либо внутренне, либо внешне.

Количество решений

Проблема подсчета числа решений различных типов проблемы Аполлония относится к области исчислительной геометрии . ^[12]^[41] Общее число решений для каждого из десяти типов проблемы Аполлония приведено в Таблице 1 выше. Однако специальные расположения заданных элементов могут изменить число решений. Для иллюстрации, проблема Аполлония не имеет решения, если одна окружность разделяет две (Рисунок 11); чтобы коснуться обеих заданных сплошных окружностей, окружность решения должна была бы пересечь заданную штриховую окружность; но этого она сделать не может, если она должна коснуться штриховой окружности по касательной. И наоборот, если все три заданные окружности касаются в одной и той же точке, то любая окружность, касающаяся в одной и той же точке, является решением; такие проблемы Аполлония имеют бесконечное число решений. Если какие-либо из заданных окружностей идентичны, то также существует бесконечность решений. Если идентичны только две заданные окружности, то существуют только две различные заданные окружности; центры окружностей решения образуют гиперболу , как это было использовано в одном из решений задачи Аполлония.

Исчерпывающий перечень числа решений для всех возможных конфигураций трех заданных окружностей, точек или линий был впервые предпринят Мьюирхедом в 1896 году ^[42] , хотя более ранняя работа была проделана Столлом ^[43] и Study. ^[44] Однако работа Мьюирхеда была неполной; она была расширена в 1974 году ^[45] , а окончательное перечисление с 33 различными случаями было опубликовано в 1983 году. ^[12] Хотя решения проблемы Аполлония обычно встречаются парами, связанными инверсией, в некоторых случаях возможно нечетное число решений, например, единственное решение для PPP или когда один или три из заданных кругов сами являются решениями. (Пример последнего приведен в разделе о теореме Декарта .) Однако не существует задач Аполлония с семью решениями. ^[34]^[43] Альтернативные решения, основанные на геометрии окружностей и сфер, были разработаны и использованы в более высоких измерениях. ^[26]^[35]

Взаимно касающиеся данные окружности: окружности Содди и теорема Декарта

Если три заданные окружности взаимно касаются, задача Аполлония имеет пять решений. Три решения — это сами заданные окружности, поскольку каждая касается самой себя и двух других заданных окружностей. Оставшиеся два решения (показаны красным на рисунке 12) соответствуют вписанным и описанным окружностям и называются окружностями Содди . ^[46] Этот особый случай задачи Аполлония также известен как задача о четырех монетах . ^[47] Три заданных окружности этой задачи Аполлония образуют цепь Штейнера , касательную к двум окружностям Содди.

Рисунок 12: Два решения (красные) задачи Аполлония с взаимно касающимися заданными окружностями (черные), помеченные их кривизной.

Любой круг Содди, взятый вместе с тремя заданными кругами, дает набор из четырех кругов, которые взаимно касаются в шести точках. Радиусы этих четырех кругов связаны уравнением, известным как теорема Декарта . В письме 1643 года к принцессе Елизавете Богемской ^[48] Рене Декарт показал, что

(k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{s})^{2}=2(k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+k_{3}^{2}+k_{s}^{2})

где k _s = 1/ r _s и r _s — кривизна и радиус окружности решения, соответственно, и аналогично для кривизн k ₁ , k ₂ и k ₃ и радиусов r ₁ , r ₂ и r ₃ трех данных окружностей. Для каждого набора из четырех взаимно касающихся окружностей существует второй набор из четырех взаимно касающихся окружностей, которые касаются в тех же шести точках. ^[2]^[49]

Теорема Декарта была переоткрыта независимо в 1826 году Якобом Штайнером ^[50] , в 1842 году Филиппом Бикрофтом ^[2]^[49] и снова в 1936 году Фредериком Содди ^[51] . Содди опубликовал свои выводы в научном журнале Nature в виде стихотворения «Точный поцелуй» , первые две строфы которого воспроизведены ниже. Первая строфа описывает окружности Содди, тогда как вторая строфа дает теорему Декарта. В стихотворении Содди говорится, что две окружности «целуются», если они касаются, тогда как термин «изгиб» относится к кривизне k окружности.

Для пары губ, чтобы поцеловать, возможно,
Не требуется тригонометрии.
Это не так, когда четыре круга целуют
Каждый из трех других.
Чтобы это произошло, четыре должны быть
Как три в одном или один в трех.
Если один в трех, без сомнения,
Каждый получает три поцелуя извне.
Если три в одном, тогда этот один
Трижды поцелован изнутри.

Четыре круга к поцелую приходят.
Чем меньше, тем изгиб.
Изгиб - это просто обратная величина
Расстояния от центра.
Хотя их интрига оставила Евклида немым
Теперь нет необходимости в правиле большого пальца.
Поскольку нулевой изгиб - это абсолютно прямая линия
, А вогнутые изгибы имеют знак минус,
Сумма квадратов всех четырех изгибов
- Это половина квадрата их суммы.

Различные расширения теоремы Декарта были получены Дэниелом Педоу . ^[52]

Обобщения

Задача Аполлония может быть расширена для построения всех окружностей, пересекающих три заданные окружности под точным углом θ или под тремя заданными углами пересечения θ ₁ , θ ₂ и θ ₃ ; ^[50] обычная задача Аполлония соответствует особому случаю, в котором угол пересечения равен нулю для всех трех заданных окружностей. Другое обобщение является двойственным к первому расширению, а именно, для построения окружностей с тремя заданными касательными расстояниями от трех заданных окружностей. ^[26]

Проблему Аполлония можно распространить с плоскости на сферу и другие квадратичные поверхности . Для сферы задача состоит в построении всех окружностей (границ сферических шапок ), которые касаются трех заданных окружностей на сфере. ^[24]^[53]^[54] Эту сферическую задачу можно преобразовать в соответствующую плоскую задачу с помощью стереографической проекции . После построения решений плоской задачи соответствующие решения сферической задачи можно определить путем обращения стереографической проекции. Еще более общо можно рассмотреть задачу четырех касательных кривых, которые получаются в результате пересечений произвольной квадратичной поверхности и четырех плоскостей, задачу, впервые рассмотренную Шарлем Дюпеном . ^[9]

Решая задачу Аполлония повторно, чтобы найти вписанную окружность, промежутки между взаимно касательными окружностями могут быть заполнены сколь угодно мелко, образуя аполлонову упаковку , также известную как упаковка Лейбница или аполлоновская упаковка . ^[55] Эта упаковкa является фракталом , будучи самоподобной и имея размерность d , которая точно не известна, но составляет примерно 1,3, ^[56] что выше, чем у регулярной (или спрямляемой ) кривой ( d = 1), но меньше, чем у плоскости ( d = 2). Аполлоновская упаковкa была впервые описана Готфридом Лейбницем в 17 веке и является изогнутым предшественником треугольника Серпинского 20 века . ^[57] Аполлоновская упаковкa также имеет глубокие связи с другими областями математики; например, это предельное множество групп Клейна . ^[58]

Конфигурация окружности, касательной к четырем окружностям на плоскости, имеет особые свойства, которые были объяснены Лармором (1891) ^[59] и Лакланом (1893). ^[60] Такая конфигурация также является основой теоремы Кейси ^[17] , которая сама по себе является обобщением теоремы Птолемея ^[37] .

Расширение проблемы Аполлония на три измерения, а именно, проблема нахождения пятой сферы, которая касается четырех данных сфер, может быть решена аналогичными методами. ^[9] Например, заданная и решающая сферы могут быть изменены так, чтобы одна заданная сфера сжалась до точки, сохраняя касание. ^[38] Инверсия в этой точке сводит проблему Аполлония к нахождению плоскости, которая касается трех данных сфер. В общем случае существует восемь таких плоскостей, которые становятся решениями исходной задачи путем обращения инверсии и изменения размера. Эта проблема была впервые рассмотрена Пьером де Ферма , ^[61] и на протяжении столетий было разработано множество альтернативных методов решения. ^[62]

Проблему Аполлония можно распространить даже на d измерений, чтобы построить гиперсферы , касающиеся заданного набора из d + 1 гиперсфер. ^[41] После публикации Фредериком Содди повторного вывода теоремы Декарта в 1936 году несколько человек решили (независимо) случай взаимного касания, соответствующий окружностям Содди в d измерениях. ^[63]

Приложения

Основным применением проблемы Аполлония, сформулированной Исааком Ньютоном, является гиперболическая трилатерация , которая стремится определить положение по разнице расстояний по крайней мере до трех точек. ^[8] Например, корабль может стремиться определить свое положение по разнице во времени прибытия сигналов от трех синхронизированных передатчиков. Решения проблемы Аполлония использовались в Первой мировой войне для определения местоположения артиллерийского орудия по времени, когда выстрел был слышен в трех разных позициях, ^[9] а гиперболическая трилатерация является принципом, используемым системой Decca Navigator и LORAN . ^[7] Аналогично, местоположение самолета может быть определено по разнице во времени прибытия сигнала его транспондера на четыре приемные станции. Эта задача мультилатерации эквивалентна трехмерному обобщению проблемы Аполлония и применима к глобальным навигационным спутниковым системам (см. GPS#Геометрическая интерпретация ). ^[31] Он также используется для определения положения кричащих животных (таких как птицы и киты), хотя проблема Аполлония не имеет значения, если скорость звука меняется в зависимости от направления (т.е. среда передачи не изотропна ). ^[64]

Проблема Аполлония имеет и другие приложения. В Книге 1, Предложении 21 в его Principia , Исаак Ньютон использовал свое решение проблемы Аполлония для построения орбиты в небесной механике из центра притяжения и наблюдений касательных линий к орбите, соответствующей мгновенной скорости . ^[9] Частный случай проблемы Аполлония, когда все три окружности касаются, используется в методе кругов Харди–Литтлвуда аналитической теории чисел для построения контура Ганса Радемахера для комплексного интегрирования, заданного границами бесконечного множества окружностей Форда, каждая из которых касается нескольких других. ^[65] Наконец, проблема Аполлония была применена к некоторым типам проблем упаковки , которые возникают в разнородных областях, таких как коды исправления ошибок, используемые на DVD , и разработка фармацевтических препаратов, которые связываются с определенным ферментом патогенной бактерии . ^[66]

Смотрите также

Ссылки

^ abcde Dörrie H (1965). «Проблема касания Аполлония». 100 великих проблем элементарной математики: их история и решения . Нью-Йорк: Довер. С. 154–160 (§32).
^ abcde Coxeter HSM (1 января 1968 г.). «Проблема Аполлония». The American Mathematical Monthly . 75 (1): 5–15. doi :10.2307/2315097. ISSN 0002-9890. JSTOR 2315097.
^ ab Coolidge JL (1916). Трактат об окружности и сфере . Оксфорд: Clarendon Press. С. 167–172.
^ abc Coxeter HSM , Greitzer SL (1967). Geometry Revisited . Вашингтон : MAA . ISBN 978-0-88385-619-2.
^ Coxeter, HSM (1969). Введение в геометрию (2-е изд.). Нью-Йорк: Wiley. ISBN 978-0-471-50458-0.
^ Needham, T (2007). Визуальный комплексный анализ . Нью-Йорк: Oxford University Press. С. 140–141. ISBN 978-0-19-853446-4.
^ ab Хофманн-Велленхоф Б, Легат К, Визер М, Лихтенеггер Х (2003). Навигация: принципы позиционирования и наведения . Спрингер. ISBN 978-3-211-00828-7.
^ ab Schmidt, RO (1972). "Новый подход к геометрии определения разницы дальностей". IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems . AES-8 (6): 821–835. Bibcode :1972ITAES...8..821S. doi :10.1109/TAES.1972.309614. S2CID 51648067.
^ abcdefg Альтиллер-Корт Н (1961). «Проблема Аполлония». Учитель математики . 54 : 444–452. doi :10.5951/MT.54.6.0444.
^ Габриэль-Мари Ф (1912). Упражнения по геометрии, дополнение к разоблачению геометрических методов и 2000 ответов на вопросы (на французском языке). Экскурсии: Maison A. Mame et Fils . стр. 18–20, 673–677.
^ аб Папп (1876). Ф Хультш (ред.). Pappi Alexandrini Collectionis Quae Supersunt (на латыни) (изд. в 3-х томах).
^ abcdefg Bruen A, Fisher JC, Wilker JB (1983). «Аполлоний путем инверсии». Mathematics Magazine . 56 (2): 97–103. doi :10.2307/2690380. JSTOR 2690380.
^ Аб ван Румен А (1596). Проблема Apolloniacum quo datis tribus circulis, quaeritur quartus eos contingens, antea a... Франсиско Вьета... omnibus mathematicis... ad construendum propositum, jam vero per Belgam... constructum (на латыни). Вюрцбург: Typis Georgii Fleischmanni. (на латыни)
^ ab Newton I (1974). DT Whiteside (ред.). Математические труды Исаака Ньютона, том VI: 1684–1691 . Кембридж: Cambridge University Press. стр. 164. ISBN 0-521-08719-8.
^ аб Ньютон I (1687). Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica . Книга I, раздел IV, лемма 16.
^ Newton I (1974). DT Whiteside (ред.). Математические труды Исаака Ньютона, том VI: 1684–1691 . Кембридж: Cambridge University Press. стр. 162–165, 238–241. ISBN 0-521-08719-8.
^ ab Casey J (1886) [1881]. Продолжение первых шести книг «Начал Евклида» . Hodges, Figgis & co. стр. 122. ISBN 978-1-4181-6609-0.
^ Курант Р., Роббинс Х. (1943). Что такое математика? Элементарный подход к идеям и методам . Лондон: Oxford University Press. С. 125–127, 161–162. ISBN 0-19-510519-2.
^ Bold B (1982). Известные проблемы геометрии и как их решать. Dover Publications. С. 29–30. ISBN 0-486-24297-8.
^ аб Виет Ф. (1600). «Аполлоний Галл. Seu, Exsuscitata Apolloni Pergæi Περι Επαφων Geometria». У Франса ван Скутена (ред.). Франциски Вьета Опера Математика (на латыни). ex officina B. et A. Elzeviriorum (Lugduni Batavorum) (опубликовано в 1646 г.). стр. 325–346. (на латыни)
^ Бойер CB , Мерцбах, Калифорнийский университет (1991). «Аполлоний Пергский». История математики (2-е изд.). John Wiley & Sons, Inc. с. 322. ИСБН 0-471-54397-7.
^ Симсон Р. (1734) Математический сборник , том VII, стр. 117. Цойтен Х.Г. (1886). Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum (на немецком языке). Копенгаген: неизвестно. стр. 381–383.

Хит, Томас Литтл . История греческой математики , том II: От Аристарха до Диофанта . Оксфорд: Clarendon Press. С. 181–185, 416–417.
^ Понселе СП (январь 1811 г.). «Решения дополнительных проблем геометрии и механики». Переписка sur l'École Impériale Polytechnique (на французском языке). 2 (3): 271–273.
^ аб Жергон Дж (1813–1814). «Recherche du cercle qui en touche trois autres sur une sphere». Энн. Математика. Приложение Pures. (на французском языке). 4 .
^ Петерсен Дж. (1879). Методы и теории решения задач геометрических построений, применяемые к 410 задачам . Лондон: Sampson Low, Marston, Searle & Rivington. С. 94–95 (пример 403).
^ abcde Zlobec BJ, Kosta NM (2001). «Конфигурации циклов и проблема Аполлония». Rocky Mountain Journal of Mathematics . 31 (2): 725–744. doi : 10.1216/rmjm/1020171586 .
^ Эйлер Л. (1790). «Решение проблемы легко, quo quaeritur circulus, qui datos tres circulos tangat» (PDF) . Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae (на латыни). 6 : 95–101.Перепечатано в Opera Omnia Эйлера , серия 1, том 26, стр. 270–275.
^ аб Гаусс CF (1873). Верке, 4. Группа (на немецком языке) (переиздано в 1973 году изд. Георга Олмса Верлага (Хильдесхайм).). Геттинген: Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften. стр. 399–400. ISBN 3-487-04636-9.
^ Карно Л. (1801). De la корреляция в геометрических фигурах (на французском языке). Париж: Неизвестный издатель. С. № 158–159.
Карно Л. (1803 г.). Геометрия положения (на французском языке). Париж: Неизвестный издатель. стр. 390, §334.
^ Коши А.Л. (июль 1806 г.). «Du cercle касательная к трем cercles donnés». Переписка sur l'École Polytechnique (на французском языке). 1 (6): 193–195.
^ ab Hoshen J (1996). «Уравнения GPS и проблема Аполлония». Труды IEEE по аэрокосмическим и электронным системам . 32 (3): 1116–1124. Bibcode : 1996ITAES..32.1116H. doi : 10.1109/7.532270. S2CID 30190437.
^ abc Altshiller-Court N (1952). College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (2-е издание, исправленное и дополненное). Нью-Йорк: Barnes and Noble. С. 222–227. ISBN 978-0-486-45805-2.
Хартшорн, Робин (2000). Геометрия: Евклид и далее . Нью-Йорк: Springer Verlag. С. 346–355, 496, 499. ISBN 978-0-387-98650-0.
Руше, Эжен; Ш де Комберус (1883). Traité de géométrie (на французском языке) (5-е издание, исправленное и дополненное изд.). Париж: Готье-Виллар. стр. 252–256. ОСЛК 252013267.
^ Coaklay GW (1860). «Аналитические решения десяти задач на касания окружностей; а также пятнадцати задач на касания сфер». The Mathematical Monthly . 2 : 116–126.
^ аб Педо Д (1970). «Недостающий седьмой круг». Элементы математики . 25 :14–15.
^ ab Knight RD (2005). «Проблема контакта Аполлония и контактная геометрия Ли». Журнал геометрии . 83 (1–2): 137–152. doi :10.1007/s00022-005-0009-x. S2CID 122228528.
^ Salmon G (1879). Трактат о конических сечениях, содержащий отчет о некоторых наиболее важных современных алгебраических и геометрических методах . Лондон: Longmans, Green and Co. стр. 110–115, 291–292. ISBN 0-8284-0098-9.
^ abc Johnson RA (1960). Advanced Euclidean Geometry: An Elementary treatise on the geometry of the Triangle and the Circle (переиздание издания 1929 года под ред. Houghton Mifflin). New York: Dover Publications. стр. 117–121 (задача Аполлония), 121–128 (теоремы Кейси и Харта). ISBN 978-0-486-46237-0.
^ abc Ogilvy, CS (1990). Excursions in Geometry . Dover. стр. 48–51 (задача Аполлония), 60 (расширение на касательные сферы). ISBN 0-486-26530-7.
^ Эйзенбуд, Дэвид и Харрис, Джо, 3264 и все такое: Второй курс алгебраической геометрии . Cambridge University Press, 2016. ISBN 978-1107602724 . С. 66–68.
^ Милорад Р. Стеванович, Предраг Б. Петрович и Марина М. Стеванович, «Радиусы окружностей в задаче Аполлония», Forum Geometricorum 17 (2017), 359–372: Теорема 1. http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201735.pdf
^ ab Dreschler K, Sterz U (1999). «Проблема контакта Аполлония в n-пространстве с точки зрения исчислительной геометрии». Acta Mathematica Universitatis Comeniae . 68 (1): 37–47.
^ Muirhead RF (1896). «О числе и природе решений проблемы контакта Аполлона». Труды Эдинбургского математического общества . 14 : 135–147, прикрепленные рисунки 44–114. doi : 10.1017/S0013091500031898 .
^ аб Столл V (1876). «Zum Проблема Аполлония». Mathematische Annalen (на немецком языке). 6 (4): 613–632. дои : 10.1007/BF01443201. S2CID 120097802.
^ Исследование E (1897). «Аполлоническая проблема». Mathematische Annalen (на немецком языке). 49 (3–4): 497–542. дои : 10.1007/BF01444366. S2CID 120984176.
^ Фицджеральд Дж. М. (1974). «Заметка о проблеме Аполлония». Журнал геометрии . 5 : 15–26. doi :10.1007/BF01954533. S2CID 59444157.
^ Эппштейн Д. (1 января 2001 г.). «Касательные сферы и центры треугольников». The American Mathematical Monthly . 108 (1): 63–66. arXiv : math/9909152 . doi :10.2307/2695679. ISSN 0002-9890. JSTOR 2695679. S2CID 14002377.
↑ Oldknow A (1 апреля 1996 г.). «Треугольник Эйлера–Жергонна–Содди треугольника». The American Mathematical Monthly . 103 (4): 319–329. doi :10.2307/2975188. ISSN 0002-9890. JSTOR 2975188.
Вайсштайн, Э.В. «Задача о четырех монетах». Математический мир . Проверено 6 октября 2008 г.
^ Descartes R , Œuvres de Descartes, Correspondance IV , (К. Адам и П. Таннери, ред.), Париж: Leopold Cert 1901. (на французском языке)
^ ab Beecroft H (1842). «Свойства окружностей во взаимном контакте». Дневник леди и джентльмена . 139 : 91–96.
Beecroft H (1846). "Неизвестное название". Дневник леди и джентльмена : 51.(Статья MathWords в Интернете, архив 2008-01-18 на Wayback Machine )
^ аб Штайнер Дж (1826). «Einige geometrische Betrachtungen». Журнал для королевы и математики . 1 : 161–184, 252–288. дои : 10.1515/crll.1826.1.161. S2CID 122065577.
↑ Soddy F (20 июня 1936 г.). «Точный поцелуй». Nature . 137 (3477): 1021. Bibcode : 1936Natur.137.1021S. doi : 10.1038/1371021a0 .
↑ Pedoe D (1 июня 1967 г.). «О теореме в геометрии». Amer. Math. Monthly . 74 (6): 627–640. doi :10.2307/2314247. ISSN 0002-9890. JSTOR 2314247.
^ Карно Л. (1803). Геометрия положения . Париж: Неизвестный издатель. стр. 415, §356.
^ Ваннсон (1855). «Контакт с кругами в сфере, по геометрии». Nouvelles Annales de Mathématiques (на французском языке). XIV : 55–71.
^ Kasner E, Supnick F (декабрь 1943 г.). «Аполлоновская упаковка кругов». Proc. Natl. Acad. Sci. USA . 29 (11): 378–384. Bibcode :1943PNAS...29..378K. doi : 10.1073/pnas.29.11.378 . ISSN 0027-8424. PMC 1078636 . PMID 16588629.
^ Бойд, Дэвид В. (1973). «Улучшенные границы для констант упаковки дисков». Aequationes Mathematicae . 9 : 99–106. doi :10.1007/BF01838194. S2CID 121089590.
Бойд, Дэвид В. (1973). «Остаточное множество размерности упаковки Аполлона». Mathematika . 20 (2): 170–174. doi :10.1112/S0025579300004745.
МакМаллен, Кертис Т. (1998). "Размерность Хаусдорфа и конформная динамика III: Вычисление размерности" (PDF) . American Journal of Mathematics . 120 (4): 691–721. doi :10.1353/ajm.1998.0031. S2CID 15928775.
^ Мандельброт Б. (1983). Фрактальная геометрия природы. Нью-Йорк: WH Freeman. стр. 170. ISBN 978-0-7167-1186-5.
Aste T, Weaire D (2008). В погоне за идеальной упаковкой (2-е изд.). Нью-Йорк: Taylor and Francis. стр. 131–138. ISBN 978-1-4200-6817-7.
^ Мамфорд Д. , Серия C, Райт Д. (2002). Жемчужины Индры: Видение Феликса Кляйна . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. С. 196–223. ISBN 0-521-35253-3.
^ Лармор А. (1891). «Контакты систем окружностей». Труды Лондонского математического общества . 23 : 136–157. doi :10.1112/plms/s1-23.1.135.
^ Лаклан Р. (1893). Элементарный трактат о современной чистой геометрии . Лондон: Macmillan. стр. §383–396, стр. 244–251. ISBN 1-4297-0050-5.
^ де Ферма П , Varia Opera Mathematica , с. 74, Толос, 1679 г.
^ Эйлер Л. (1810). «Решение проблемы легко, quo quaeritur sphaera, quae datas quatuor sphaeras utcunque dispositas contingat» (PDF) . Мемуары Академии наук Санкт-Петербурга (на латыни). 2 : 17–28.Перепечатано в Opera Omnia Эйлера , серия 1, том 26, стр. 334–343. Карно Л. (1803 г.). Геометрия положения (на французском языке). Париж: Imprimerie de Crapelet, chez JBM Duprat. стр. 357, §416.

Ашетт JNP (сентябрь 1808 г.). «Sur le contact des spheres; sur la sphere tangente à quatre spheres données; sur le cercle касательная к трем cercles donnés». Переписка sur l'École Polytechnique (на французском языке). 1 (2): 27–28.
Франсэ Ж (январь 1810 г.). «Для сферы касательной к четырем сферам». Переписка sur l'École Impériale Polytechnique (на французском языке). 2 (2): 63–66.
Франсэ Ж (январь 1813 г.). «Аналитическое решение проблемы касательной к четырем сферам». Переписка sur l'École Impériale Polytechnique (на французском языке). 2 (5): 409–410.
Дюпен С. (январь 1813 г.). «Воспоминания о сферах». Переписка sur l'École Impériale Polytechnique (на французском языке). 2 (5): 423.
Рей Т. (1879). Synthetische Geometrie der Kugeln (PDF) (на немецком языке). Лейпциг: Б. Г. Тойбнер.
Серрет Ж.А. (1848). «Для сферы касательной к четырем сферам». Журнал для королевы и математики . 1848 (37): 51–57. doi : 10.1515/crelle-1848-18483704. S2CID 201061558.
Кокли Г. В. (1859–1860). «Аналитические решения десяти задач на касания окружностей; а также пятнадцати задач на касания сфер». The Mathematical Monthly . 2 : 116–126.
Alvord B (1 января 1882 г.). «Пересечение кругов и пересечение сфер». American Journal of Mathematics . 5 (1): 25–44, с четырьмя страницами рисунков. doi :10.2307/2369532. ISSN 0002-9327. JSTOR 2369532.
^ Gossett T (1937). "The Kiss Precise". Nature . 139 (3506): 62. Bibcode : 1937Natur.139Q..62.. doi : 10.1038/139062a0 .
^ Spiesberger, JL (2004). «Геометрия определения местоположения звуков по различиям во времени прохождения: изодиахроны». Журнал Акустического общества Америки . 116 (5): 3168–3177. Bibcode : 2004ASAJ..116.3168S. doi : 10.1121/1.1804625. PMID 15603162. S2CID 626749.
^ Apostol TM (1990). Модулярные функции и ряды Дирихле в теории чисел (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97127-8.
^ Льюис Р. Х., Бриджет С. (2003). «Уравнения конического касания и проблемы Аполлония в биохимии и фармакологии». Математика и компьютеры в моделировании . 61 (2): 101–114. CiteSeerX 10.1.1.106.6518 . doi :10.1016/S0378-4754(02)00122-2.

Дальнейшее чтение

В Wikisource есть оригинальный текст, относящийся к этой статье:

Свойства окружностей, находящихся во взаимном контакте

На французском Викиресурсе есть оригинальный текст, относящийся к этой статье:

Решение Понселе проблемы Аполлония

Boyd, DW (1973). «Оскулирующая упаковка трехмерной сферы». Canadian Journal of Mathematics . 25 (2): 303–322. doi : 10.4153/CJM-1973-030-5 . S2CID 120042053.
Калландро, Эдуард (1949). Célèbres problèmes mathématiques (на французском языке). Париж: Альбин Мишель. стр. 219–226. ОСЛК 61042170.
Камерер, Дж. Г. (1795). Apollonii de Tactionibus, quae supersunt, ac maxime lemmata Pappi, in hos libros Graece nunc primum edita, e codicibus рукописи, cum Vietae librorum Apollonii restitutione, adjectis Observeibus, Computibus, ac Issuetis Apolloniani historia (на латыни). Гота: Эттингер.
Gisch D, Ribando JM (2004). "Apollonius' Problem: A Study of Solutions and Their Connections" (PDF) . American Journal of Undergraduate Research . 3 : 15–25. doi : 10.33697/ajur.2004.010 . Архивировано из оригинала (PDF) 2008-04-15 . Получено 2009-04-16 .
Папп Александрийский (1933). Паппюс д'Александри: Математический сборник (на французском языке). Париж. ОСЛК 67245614.{{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )Перевод, введение и примечания Пауля Вер Экке.
Саймон, М (1906). Über die Entwicklung der Elementargeometerie im XIX. Ярхундерт (на немецком языке). Берлин: Тойбнер. стр. 97–105.
Уэллс, Д. (1991). Словарь любопытной и интересной геометрии издательства Penguin . Нью-Йорк: Penguin Books. С. 3–5. ISBN 0-14-011813-6.

Внешние ссылки

На Викискладе есть медиафайлы по теме «Проблема Аполлония».

"Спросите решение у доктора Математики". Mathforum . Получено 2008-05-05 .
Вайсштейн, Эрик В. «Проблема Аполлония». MathWorld .
"Проблема Аполлония". Cut The Knot . Получено 2008-05-05 .
Кункель, Пол. «Касательные окружности». Whistler Alley . Получено 2008-05-05 .
Остин, Дэвид (март 2006 г.). «Когда поцелуй подразумевает тригонометрию». Тематическая колонка на сайте Американского математического общества . Получено 05.05.2008 .