Аполлоний Пергский ( греч . Ἀπολλώνιος ὁ Περγαῖος Apollṓnios ho Pergaîos ; ок. 240 г. до н.э. – ок. 190 г. до н.э. ) был древнегреческим геометром и астрономом , известным своими работами по коническим сечениям . Начав с более ранних работ Евклида и Архимеда по этой теме, он довел их до состояния, существовавшего до изобретения аналитической геометрии . Его определения терминов эллипс , парабола и гипербола используются сегодня. Вместе со своими предшественниками Евклидом и Архимедом Аполлоний обычно считается одним из величайших математиков древности. [1]
Помимо геометрии, Аполлоний работал над многими другими темами, включая астрономию. Большая часть этой работы не сохранилась, исключениями обычно являются фрагменты, на которые ссылаются другие авторы, такие как Папп Александрийский . Его гипотеза об эксцентрических орбитах , объясняющая явно аномальное движение планет , широко распространенная до средневековья , была заменена в эпоху Возрождения . В его честь назван кратер Аполлония на Луне . [2]
Несмотря на его выдающийся вклад в область математики , сохранились скудные биографические сведения об Аполлонии. Греческий комментатор VI века Евтокий Аскалонский , писая о Кониках Аполлония , утверждает: [3]
Аполлоний, геометр,... происходил из Перги в Памфилии во времена Птолемея III Эвергета , так пишет Гераклий, биограф Архимеда....
По этому отрывку можно приблизительно датировать Аполлония, [a] но конкретные годы рождения и смерти, указанные современными учеными, являются лишь предположениями. [4] Птолемей III Эвергет («благодетель») был третьим греческим династом Египта в преемственности диадохов , который правил 246–222/221 до н.э. «Времена» всегда записываются правителем или исполняющим обязанности магистрата, поэтому Аполлоний, вероятно, родился после 246 года. Личность Ираклия неизвестна.
Перга была эллинизированным городом в Памфилии , Анатолия , руины которого до сих пор сохранились. Это был центр эллинистической культуры. Евтоций, по-видимому, связывает Пергу с династией Птолемеев в Египте. Никогда не находившаяся под властью Египта Перга в 246 г. до н.э. принадлежала Империи Селевкидов , независимому государству диадохов , управляемому династией Селевкидов. В течение второй половины III века до нашей эры Перга несколько раз переходила из рук в руки, находясь то под властью Селевкидов, то под властью Атталидов Пергама на севере. Можно было ожидать, что кто-то, обозначенный как «из Перги», жил и работал там; напротив, если Аполлоний впоследствии и отождествлялся с Пергой, то не по месту его жительства. Оставшийся автобиографический материал предполагает, что он жил, учился и писал в Александрии.
Письмо греческого математика и астронома Гипсикла первоначально было частью дополнения, взятого из Книги XIV Евклида, входящей в тринадцать книг « Начал» Евклида . [5]
Василид Тирский , о Протарх, когда он прибыл в Александрию и встретил моего отца, провел большую часть своего пребывания у него из-за связи между ними, обусловленной их общим интересом к математике. И однажды, заглянув в трактат Аполлония о сравнении додекаэдра и икосаэдра , вписанных в одну и ту же сферу, т. е. по вопросу, в каком отношении они находятся друг к другу, они пришли к выводу что Аполлоний трактовал это в этой книге неправильно; соответственно, как я понял от отца, его приступили к исправлению и переписыванию. Но сам я впоследствии наткнулся на другую книгу, изданную Аполлонием, содержащую доказательство рассматриваемого вопроса, и меня очень привлекло его исследование этого вопроса. Теперь книга, изданная Аполлонием, доступна всем; поскольку он имеет большое распространение в форме, которая, по-видимому, является результатом более поздней тщательной разработки.
Некоторый автобиографический материал можно найти в сохранившихся предисловиях к книгам Коников. Это письма Аполлония, адресованные влиятельным друзьям с просьбой просмотреть книгу, приложенную к письму. Первые два предисловия адресованы Евдему Пергамскому.
Евдем, вероятно, был или стал главой исследовательского центра Пергамского музея , города, известного своими книгами и пергаментной промышленностью , от которого и произошло название « пергамент» . Исследования в греческих математических институтах, которые следовали модели афинского лицея , были частью образовательной деятельности, к которой примыкали библиотека и музей. В штате была только одна такая школа, находившаяся под королевским патронажем. Книги были редкими и дорогими, и их сбор был королевской обязанностью.
В предисловии Аполлония к Книге I Евдемус сообщает, что первые четыре книги были посвящены развитию элементов, а последние четыре - специальным темам. Аполлоний напоминает Евдему, что Коникс первоначально был запрошен Навкратом, геометром и гостем в Александрии, иначе неизвестным истории. Аполлоний предоставил Навкрату первый черновик всех восьми книг, но он называет их «без тщательной очистки» и намеревался проверить и исправить книги, выпуская каждую по мере ее завершения.
Услышав этот план от самого Аполлония, посетившего Пергам, Евдем настоял на том, чтобы Аполлоний присылал ему каждую книгу перед выпуском. На этом этапе Аполлоний, вероятно, был еще молодым геометром, который, по словам Паппа, оставался в Александрии с учениками Евклида (надолго после времен Евклида), что, возможно, было завершающим этапом его образования. Евдем, возможно, был наставником еще во времена Аполлония в Пергаме.
Между первым и вторым предисловием есть пробел. Аполлоний послал своего сына, которого тоже звали Аполлоний, родить второго. Он говорит с большей уверенностью, предлагая Юдему использовать книгу в специальных учебных группах. Аполлоний упоминает о встрече с Филонидом из Лаодикии , геометром, которого он представил Евдему в Эфесе и который стал учеником Евдема. Филонид жил преимущественно в Сирии в 1-й половине 2-го века до нашей эры. Неизвестно, указывает ли встреча на то, что Аполлоний теперь жил в Эфесе; Интеллектуальное сообщество Средиземноморья было космополитичным, и ученые в этот «золотой век математики» искали работу за рубежом, посещали друг друга, читали работы друг друга, вносили предложения, рекомендовали студентов и общались через какую-то почтовую службу. Сохранившихся писем предостаточно.
Предисловие к Книге III отсутствует, и в это время Евдем умер, — говорит Аполлоний в предисловии к Книге IV. Предисловия к книгам IV–VII представляют собой более формальный вид, представляющий собой простое изложение без личной информации. Все четыре адресованы таинственному Атталу, выбор сделан, как говорит Аполлоний, «из-за вашего искреннего желания обладать моими произведениями». По-видимому, Атталу было важно отправить рукописи Аполлония . Одна из теорий состоит в том, что Аттал - это Аттал II Филадельф (220–138 до н.э.), полководец и защитник Пергама, чей брат Евмен II был царем, и который стал соправителем после болезни своего брата в 160 г. до н.э. и вступил на престол в 158 г. до н.э. Оба брата были покровителями искусств, благодаря чему библиотека приобрела международное великолепие. Аттал был современником Филонида, и мотив Аполлония созвучен инициативе Аттала по коллекционированию книг.
В предисловии VII Аполлоний описывает Книгу VIII как «приложение… которое я позабочусь, чтобы отправить вам как можно скорее». Нет никаких записей о том, что оно когда-либо было отправлено, и Аполлоний мог умереть, не закончив его. Однако Папп Александрийский предоставил для него леммы , так что в той или иной форме он должен был находиться в обращении.
Аполлоний был плодовитым геометром, написавшим большое количество работ. Выживает только один, Коникс . Из восьми книг только первые четыре сохранились как непереведенные оригинальные тексты Аполлония. Книги 5–7 доступны только в арабском переводе Сабита ибн Курры по заказу Бану Мусы ; оригинальный греческий язык утерян. [6] Статус Книги 8 неизвестен. Первый проект существовал, но неизвестно, был ли когда-либо выпущен окончательный вариант. «Реконструкция» его, выполненная Эдмоном Галлеем, существует на латыни, но невозможно узнать, насколько она правдоподобна Аполлонию, если таковая имеется.
В греческом тексте Коники используется евклидово расположение определений, фигур и их частей; т. е. «данные», за которыми следуют предложения, «которые необходимо доказать». В книгах I-VII представлено 387 предложений. Этот тип расположения можно увидеть в любом современном учебнике геометрии по традиционному предмету. Как и в любом курсе математики, материал очень плотный и рассмотрение его обязательно медленное. У Аполлония был план каждой книги, который частично описан в Предисловиях . Заголовков или указателей плана несколько не хватает, поскольку Аполлоний больше полагался на логическое течение тем.
В книге I представлено 58 предложений. Наиболее существенное его содержание — все основные определения, касающиеся конусов и конических сечений. Эти определения не совсем совпадают с современными определениями тех же слов. Этимологически современные слова происходят от древних, но этимон часто отличается по значению от своего рефлекса .
Коническая поверхность создается отрезком линии, повернутым вокруг биссектрисы так, что конечные точки очерчивают окружности , каждая в своей плоскости . Конус , одна из ветвей двойной конической поверхности, представляет собой поверхность с точкой ( вершиной или вершиной ), кругом ( основанием ) и осью, линией, соединяющей вершину и центр основания .
Сечение (лат. sectio , греч. tome ) — воображаемое «разрезание» конуса плоскостью .
Греческие геометры были заинтересованы в использовании избранных фигур из своего инвентаря в различных приложениях техники и архитектуры, как это привыкли делать великие изобретатели, такие как Архимед. Спрос на конические сечения существовал и существует тогда. Развитие математической характеристики переместило геометрию в направлении греческой геометрической алгебры , которая визуально демонстрирует такие алгебраические основы, как присвоение значений отрезкам прямой в качестве переменных. Они использовали систему координат, промежуточную между сеткой измерений и декартовой системой координат . Теории пропорций и применения площадей позволили разработать наглядные уравнения. (См. ниже в разделе «Методы Аполлония»).
«Применение площадей» неявно спрашивает, применима ли эта площадь для данной площади и отрезка линии; то есть равен ли он квадрату на отрезке? Если да, то применимость (парабола) установлена. Аполлоний последовал за Евклидом, задав вопрос, соответствует ли прямоугольник на абсциссе любой точки сечения квадрату ординаты . [7] Если это так, то его слово-уравнение является эквивалентом одной из современных форм уравнения для параболы . Прямоугольник имеет стороны и . Именно он соответственно назвал фигуру, параболу, «приложением».
Случай «отсутствия применимости» далее делится на две возможности. Дана функция , такая, что в случае применимости , в случае неприменимости либо или . В первом случае не хватает на величину, называемую многоточием , «дефицит». В последнем случае превышение величины называется гиперболой , «избытком».
Применимость могла быть достигнута путем добавления дефицита или вычитания избытка. Фигура, компенсирующая дефицит, была названа эллипсом; для избытка — гипербола. [c] Члены современного уравнения зависят от перемещения и вращения фигуры от начала координат, но общее уравнение для эллипса,
можно разместить в форме
где дефицит, а уравнение для гиперболы,
становится
где избыток. [д]
Книга II содержит 53 предложения. Аполлоний говорит, что он намеревался охватить «свойства, связанные с диаметрами и осями, а также асимптотами и другими вещами... для пределов возможности». Его определение «диаметра» отличается от традиционного, поскольку он считает необходимым отослать предполагаемого получателя письма к своей работе за определением. Упомянутые элементы — это те, которые определяют форму и построение фигур. Касательные рассматриваются в конце книги.
Книга III содержит 56 предложений. Аполлоний заявляет о своем оригинальном открытии теорем, «которые можно использовать для построения твердых мест… трехлинейного и четырехлинейного геометрического положения …». Местом конического сечения является сечение. Задача о трехпрямом пространстве (как указано в приложении Талиаферо к Книге III) находит «место точек, расстояния которых от трех заданных фиксированных прямых линий... таковы, что квадрат одного из расстояний всегда находится в постоянном отношении к прямоугольник, содержащийся в двух других расстояниях». Это и есть доказательство применения площадей, образующих параболу. [8] В результате задачи четырех прямых получаются эллипс и гипербола. Аналитическая геометрия выводит те же локусы из более простых критериев, поддерживаемых алгеброй, а не геометрией, за которую Декарта высоко хвалили. В своих методах он превосходит Аполлония.
Книга IV содержит 57 предложений. Первая послана Атталу, а не Евдему, таким образом, она представляет его более зрелую геометрическую мысль. Тема весьма специализированная: «наибольшее число точек, в которых секции конуса могут встретиться друг с другом или с окружностью круга...» Тем не менее он говорит с энтузиазмом, называя их «значительно полезными». в решении задач (Предисловие 4). [э]
Книга V, известная только благодаря переводу с арабского языка, содержит 77 положений, больше, чем в любой другой книге. [9] Они охватывают эллипс (50 предложений), параболу (22) и гиперболу (28). [10] Это не совсем та тема, о которой в Предисловиях I и V Аполлоний говорит как о максимальной и минимальной линиях. Эти термины не поясняются. В отличие от Книги I, Книга V не содержит определений и пояснений.
Двусмысленность послужила магнитом для толкователей Аполлония, которым приходилось интерпретировать, не зная точно значения основных терминов книги. До недавнего времени преобладала точка зрения Хита: линии следует рассматривать как нормали к сечениям. [11] Нормалью в данном случае является перпендикуляр к кривой в точке касания, которую иногда называют подошвой. Если сечение построено в соответствии с системой координат Аполлония (см. Ниже в разделе «Методы Аполлония»), с диаметром (переведенным Хитом как ось) на оси X и вершиной в начале координат слева, фразеология Предложения указывают на то, что минимумы/максимумы должны быть найдены между сечением и осью. Хит пришел к такому выводу, рассматривая фиксированную точку p на разрезе, служащую одновременно точкой касания и одним концом линии. Тогда минимальное расстояние между p и некоторой точкой g на оси должно быть нормалью от p.
В современной математике нормали к кривым известны как местоположение центра кривизны той небольшой части кривой, расположенной вокруг стопы. Расстояние от подножия до центра — это радиус кривизны . Последний представляет собой радиус окружности, но для кривых, отличных от круговых, малая дуга может быть аппроксимирована дугой окружности. Искривление некруглых кривых; например, конические сечения должны меняться по сечению. Карта центра кривизны; т. е. его местоположение, когда ступня движется по сечению, называется эволютой сечения . Такая фигура, край последовательных позиций линии, сегодня называется конвертом . Хит считал, что в Книге V мы видим, как Аполлоний устанавливает логическое основание теории нормалей, эволюций и оболочек. [12]
Интерпретация Хита была признана авторитетной интерпретацией Книги V на протяжении всего 20 века, но смена века повлекла за собой изменение точки зрения. В 2001 году исследователи Аполлония Фрид и Унгуру, отдавая должное другим главам Хита, возразили против историчности анализа Хита Книги V, заявив, что он «перерабатывает оригинал, чтобы сделать его более близким по духу современному математику... из-за этого работа Хита имеет сомнительную ценность для историка, поскольку раскрывает больше ума Хита, чем разум Аполлония». [13] Некоторые из его аргументов вкратце заключаются в следующем. Ни в предисловиях, ни в самих книгах не упоминается о том, что максимумы/минимумы сами по себе являются нормальными. [f] Из 50 предложений, выбранных Хитом, которые, как утверждается, охватывают нормали, только 7, Книга V: 27–33, утверждают или подразумевают, что максимальные/минимальные линии перпендикулярны касательным. Эти семь Фрид классифицирует как изолированные, не связанные с основными положениями книги. Они никоим образом не означают, что максимумы/минимумы вообще являются нормой. В своем обширном исследовании остальных 43 предположений Фрид доказывает, что многие из них не могут быть такими. [г]
Фрид и Унгуру возражают, изображая Аполлония как продолжение прошлого, а не как предзнаменование будущего. Во-первых, это полное филологическое исследование всех упоминаний о минимальных и максимальных строках, которое раскрывает стандартную фразеологию. Всего три группы по 20-25 предложений в каждой. [14] В первую группу входит словосочетание «от точки сечения к оси», которое прямо противоположно гипотетическому «от точки сечения к оси». Первое не обязательно должно быть нормальным к чему-либо, хотя может быть и так. Учитывая фиксированную точку на оси, из всех линий, соединяющих ее со всеми точками сечения, одна будет самой длинной (максимум) и одной самой короткой (минимум). Другие фразы «в разрезе», «нарисованы из разреза», «отрезаны между разрезом и его осью», отрезаны осью — все они относятся к одному и тому же изображению.
По мнению Фрида и Унгуру, тема Книги V — это именно то, что говорит Аполлоний: максимальные и минимальные строки. Это не кодовые слова для будущих концепций, а относятся к древним концепциям, которые тогда использовались. Авторы цитируют Евклида, «Начала», книгу III, в которой рассматриваются круги, а также максимальные и минимальные расстояния от внутренних точек до окружности. [15] Не допуская какой-либо конкретной общности, они используют такие термины, как «подобный» или «аналог». Они известны тем, что ввели новый термин «невисоподобный». Конструкция neusis — это метод размещения заданного отрезка между двумя заданными кривыми. Дана точка P и линейка с отмеченным на ней отрезком. вращают линейку вокруг P, разрезая две кривые до тех пор, пока сегмент не окажется между ними. В Книге V P — точка на оси. Вращая линейку вокруг нее, определяют расстояния до сечения, по которым можно различить минимум и максимум. Методика не применима к ситуации, поэтому это не невис. Авторы используют неусис-подобный метод, видя архетипическое сходство с античным методом. [13]
Книга VI, известная только благодаря переводу с арабского языка, содержит 33 положения — меньше, чем в любой другой книге. Он также имеет большие пробелы или пробелы в тексте из-за повреждений или искажений предыдущих текстов.
Тема относительно ясна и бесспорна. В предисловии 1 говорится, что это «равные и подобные сечения конусов». Аполлоний расширяет понятия конгруэнтности и подобия, представленные Евклидом, для более элементарных фигур, таких как треугольники, четырехугольники, до конических сечений. В предисловии 6 упоминаются «разделы и сегменты», которые являются «равными и неравными», а также «похожими и несходными», и добавляется некоторая конструктивная информация.
Книга VI представляет собой возврат к основным определениям, приведенным в начале книги. « Равенство » определяется применением площадей. Если одна цифра; т. е. сечение или отрезок «прикладывается» к другому ( si applicari possit altera super alteram Галлея), они «равны» ( aequales Галлея ), если совпадают и ни одна линия одного не пересекает ни одной линии другого. Это, очевидно, стандарт соответствия , следующий Евклиду, Книга I, Общие понятия, 4: «и вещи, совпадающие ( epharmazanta ) друг с другом, равны ( isa )». Совпадение и равенство перекрываются, но это не одно и то же: применение площадей, используемых для определения сечений, зависит от количественного равенства площадей, но они могут принадлежать разным фигурам.
Между одинаковыми (homos), равными друг другу, и различными , или неравными , находятся фигуры, которые являются «одинаковыми» (homos) или подобными . Они не являются ни полностью одинаковыми, ни разными, но имеют общие аспекты и не имеют различных аспектов. Интуитивно геометры имели в виду масштаб ; например, карта аналогична топографической области. Таким образом, фигуры могли иметь большую или меньшую версию самих себя.
Аспекты, одинаковые в подобных фигурах, зависят от фигуры. В шестой книге «Начал» Евклида представлены треугольники, подобные треугольникам, имеющим одинаковые соответствующие углы. Таким образом, треугольник может иметь сколь угодно маленькие миниатюры или гигантские версии, и при этом оставаться «тем же» треугольником, что и оригинал.
В определениях Аполлония в начале Книги VI подобные правые конусы имеют одинаковые осевые треугольники. Подобные сечения и сегменты сечений находятся прежде всего в одинаковых конусах. Кроме того, для каждой абсциссы одного должна существовать абсцисса другого нужного масштаба. Наконец, абсцисса и ордината одного должны соответствовать координатам того же отношения ординаты к абсциссе, что и другого. Общий эффект выглядит так, как если бы секция или сегмент перемещались вверх и вниз по конусу для достижения другого масштаба. [час]
Книга VII, также перевод с арабского языка, содержит 51 предложение. Это последнее, что Хит рассматривает в своем издании 1896 года. В предисловии I Аполлоний не упоминает их, подразумевая, что на момент написания первого варианта они, возможно, не существовали в достаточно связной форме, чтобы их можно было описать. Аполлоний использует неясные формулировки, утверждая, что это «peri dioristikon теорематон», что Галлей перевел как «de теорематис ad детерминация релевантного», а Хит — как «теоремы, включающие определение пределов». Это язык определений, но никаких определений не последовало. Вопрос о том, может ли ссылка относиться к конкретному виду определения, является предметом рассмотрения, но на сегодняшний день ничего заслуживающего доверия не было предложено. [i] Темой Книги VII, завершенной к концу жизни и карьеры Аполлония, в Предисловии VII заявлено, что это диаметры и «фигуры, описанные на них», которые должны включать сопряженные диаметры , поскольку он во многом на них полагается. Каким образом может применяться термин «пределы» или «определения», не упоминается.
Диаметры и их сопряженные значения определены в Книге I (Определения 4–6). Не каждый диаметр имеет сопряжение. Топография диаметра (греч. диаметр) предполагает правильную изогнутую фигуру . Области неправильной формы, к которым обращаются в наше время, не входят в древние планы игры. Аполлоний имеет в виду, конечно, конические сечения, которые он описывает часто замысловатым языком: «кривая в одной плоскости» — это круг, эллипс или парабола, а «две кривые в одной плоскости» — это гипербола. Хорда — это прямая линия , две конечные точки которой находятся на фигуре; т. е. разрезает фигуру в двух местах. Если на фигуру наложена сетка параллельных хорд, то диаметр определяется как линия, делящая все хорды пополам, достигающая самой кривой в точке, называемой вершиной. Нет требований к закрытой фигуре; например, парабола имеет диаметр.
Парабола обладает симметрией в одном измерении. Если представить, что он согнут по одному диаметру, то две половины будут конгруэнтны или прилегают друг к другу. То же самое можно сказать и об одной ветви гиперболы. Сопряженные диаметры (греч. suzugeis diametroi, где сузугейс «соединены вместе»), однако, симметричны в двух измерениях. Фигуры, к которым они применяются, требуют также площадного центра (греческого кентрона), сегодня называемого центроидом , служащего центром симметрии в двух направлениях. Эти фигуры — круг, эллипс и двуветвистая гипербола. Центроид только один, его не следует путать с фокусами . Диаметр — это хорда, проходящая через центр тяжести, которая всегда делит его пополам.
Для круга и эллипса пусть на фигуру наложена сетка параллельных хорд так, что самая длинная из них является диаметром, а остальные последовательно короче, пока последняя не станет хордой, а точкой касания. Тангенс должен быть параллелен диаметру. Сопряженный диаметр делит хорды пополам, помещаясь между центроидом и точкой касания. При этом оба диаметра сопряжены друг с другом и называются сопряженной парой. Очевидно, что любые сопряженные пары окружностей перпендикулярны друг другу, но у эллипса только большая и малая оси, а во всех остальных случаях удлинение разрушает перпендикулярность.
Определены сопряжения для двух ветвей гиперболы, возникающих в результате разрезания двойного конуса одной плоскостью. Их называют сопряженными ветвями. У них одинаковый диаметр. Его центроид делит отрезок между вершинами пополам. Остается место еще для одной диаметроподобной линии: пусть сетка линий, параллельных диаметру, разрезает обе ветви гиперболы. Эти линии подобны хордам, за исключением того, что они не оканчиваются на одной и той же непрерывной кривой. Сопряженный диаметр можно провести из центроида, чтобы разделить хордоподобные линии пополам.
Эти концепции, в основном из Книги I, помогают нам начать работу с 51 положением Книги VII, подробно определяющим отношения между сечениями, диаметрами и сопряженными диаметрами. Как и в случае с некоторыми другими специализированными темами Аполлония, их полезность сегодня по сравнению с аналитической геометрией еще предстоит выяснить, хотя в предисловии VII он утверждает, что они одновременно полезны и новаторские; т. е. он берет на себя за них ответственность.
Первые печатные издания начались по большей части в 16 веке. В то время в Европе ожидалось, что научные книги будут написаны на неолатинском языке . Поскольку на латыни было написано мало математических рукописей, редакторы ранних печатных работ переводили их с греческого или арабского языка. Часто греческий и латынь сопоставлялись, при этом греческий текст представлял собой либо оригинал, либо реставрацию редактора. Критические комментарии того времени обычно писались на латыни. (Более ранние комментарии были написаны на древнем или средневековом греческом или арабском языке.) Только в XVIII и XIX веках начали появляться издания на современных языках. Репрезентативный список старопечатных изданий приведен ниже.
Сложность Коники создала интеллектуальную нишу для более поздних комментаторов, каждый из которых представлял Аполлония наиболее ясным и актуальным для своего времени способом. Они используют самые разные методы: аннотацию, обширный вводный материал, разные форматы, дополнительные рисунки, поверхностную реорганизацию путем добавления прописных букв и т. д. Есть тонкие различия в интерпретации.
Ограниченный материал о кониках когда-либо был написан на английском языке, потому что европейские математики 16–18 веков, в том числе английские математики, такие как Эдмунд Галлей и Исаак Ньютон, предпочитали неолатинский язык. В последующие столетия геометрия была восстановлена с использованием координат ( аналитическая геометрия ), а синтетические методы вышли из моды, поэтому прямое влияние Коников на математические исследования уменьшилось.
Презентации, написанные полностью на родном английском языке, начинаются с конца 19 века.
Особенно влиятельным является перевод Томаса Хита «Трактат о конических сечениях» . Его обширный вступительный комментарий включает в себя такие элементы, как словарь аполлонических геометрических терминов, дающих греческий язык, их значения и использование. [17] Отмечая, что «кажущаяся внушительная часть трактата удерживает многих от попыток ознакомиться с ним», [18] он обещает добавить заголовки, поверхностно изменив организацию, и уточнить текст с помощью современных обозначений. Таким образом, его работа ссылается на две системы организации, его собственную и систему Аполлония, перекрестные ссылки в скобках.
Хит был активен в конце 19 - начале 20 века и скончался в 1940 году, но тем временем развивалась другая точка зрения. Колледж Св. Иоанна (Аннаполис/Санта-Фе) , который с колониальных времен был военной школой, предшествовавшей Военно-морской академии США в Аннаполисе, штат Мэриленд , к которой он примыкает, в 1936 году потерял аккредитацию и оказался на грани банкротства. . В отчаянии совет вызвал Стрингфеллоу Барра и Скотта Бьюкенена из Чикагского университета , где они разрабатывали новую теоретическую программу преподавания классической литературы. Воспользовавшись этой возможностью, в 1937 году они учредили «новую программу» в Сент-Джонсе, позже названную программой « Великие книги », — фиксированную учебную программу, которая должна была преподавать произведения избранных ключевых авторов, внесших вклад в культуру западной цивилизации. В церкви Св. Иоанна Аполлония стали обучать как самого себя, а не как дополнение к аналитической геометрии .
«Наставником» Аполлония был Р. Кейтсби Талиаферро , новый доктор философии в 1937 году из Университета Вирджинии . Он преподавал до 1942 года, а затем в течение одного года в 1948 году, самостоятельно выполняя английские переводы, переводя « Альмагест » Птолемея и « Коники » Аполлония . Эти переводы вошли в серию «Великие книги западного мира» Британской энциклопедии . Включены только Книги I-III с приложением по специальным темам (перевод Книги IV Коников Майкла Н. Фрида был выпущен в 2002 году). В отличие от Хита, Талиаферро не пытался реорганизовать Аполлония, даже поверхностно, или переписать его. Его перевод на современный английский довольно близко соответствует греческому. Он в некоторой степени использует современные геометрические обозначения.
Одновременно с работами Талиаферро Айвор Томас , преподаватель Оксфорда времен Второй мировой войны, проявлял большой интерес к греческой математике. Он спланировал сборник избранных вариантов, который был реализован во время его военной службы в качестве офицера Королевского Норфолкского полка . После войны он нашел пристанище в Классической библиотеке Леба , где занимает два тома, все переведенные Томасом, с греческим на одной стороне страницы и английским на другой, как это принято для серии Леба. Работа Томаса послужила руководством для золотого века греческой математики. Что касается Аполлония, он включает в основном только те части Книги I, которые определяют разделы.
Остальные сочинения Аполлония фрагментарны или утеряны. Многие из утраченных произведений описаны или упомянуты комментаторами. Кроме того, есть идеи, приписываемые Аполлонию другими авторами без документации. Достоверны они или нет, но это слухи. Некоторые авторы идентифицируют Аполлония как автора определенных идей, поэтому названных в его честь. Другие пытаются выразить Аполлония в современных обозначениях или фразеологии с неопределенной степенью точности.
Эдмон Галлей реконструировал De Rationissectione и De Spatiisectione . За пределами этих работ, за исключением нескольких фрагментов, заканчивается документация, которую можно было бы каким-либо образом интерпретировать как идущую от Аполлония.
Помимо Коников , Папп упоминает и другие трактаты Аполлония:
Каждая из них была разделена на две книги и — вместе с « Данными », «Поризмами » и «Поверхностными точками » Евклида и « Кониками » Аполлония — были, согласно Паппу, включены в тело античного анализа. [8] Далее следуют описания шести работ, упомянутых выше.
De Rationissectione стремился решить простую задачу: учитывая две прямые линии и точку в каждой, провести через третью данную точку прямую, пересекающую две фиксированные линии так, чтобы части пересекались между данными точками в них и точками пересечения. при этом третья линия может иметь заданное соотношение. [8]
Де Спатии Секцион обсудил аналогичную проблему, требующую, чтобы прямоугольник, содержащийся в двух точках пересечения, был равен заданному прямоугольнику. [8]
В конце 17 века Эдвард Бернар обнаружил версию De Rationis Divisione в Бодлианской библиотеке . Хотя он начал перевод, именно Галлей закончил его и включил в том 1706 года вместе с восстановлением De Spatiisectione .
Desectione Determinata решает проблемы способом, который можно назвать аналитической геометрией одного измерения; с вопросом о нахождении на прямой точек, находящихся в пропорции к остальным. [20] Конкретные задачи таковы: по двум, трем или четырем точкам на прямой найти на ней другую точку, расстояния которой от данных точек удовлетворяют условию, что квадрат на одной или прямоугольник, содержащийся в двух, имеет заданное значение. отношение либо (1) к квадрату на оставшейся одной, либо к прямоугольнику, содержащемуся в оставшихся двух, либо (2) к прямоугольнику, содержащемуся в оставшихся одной и другой данной прямой. Некоторые пытались восстановить текст, чтобы найти решение Аполлония, среди них Снеллиус ( Виллеброрд Снелл , Лейден , 1698); Александр Андерсон из Абердина , в приложении к его «Аполлонию Редививусу» (Париж, 1612 г.); и Роберт Симсон в его Opera quaedam reliqua (Глазго, 1776 г.), безусловно, лучшая попытка. [8]
Де Тактибус поставил следующую общую задачу: учитывая положение трех объектов (точек, прямых линий или кругов), опишите круг, проходящий через данные точки и касающийся данных прямых линий или кругов. Самый трудный и исторически интересный случай возникает, когда тремя данными предметами являются круги. В 16 веке Виета представил эту проблему (иногда известную как проблема Аполлона) Адриану Роману , который решил ее с помощью гиперболы . Виета в этой связи предложил более простое решение, что в конечном итоге привело его к восстановлению всего трактата Аполлония в небольшой работе « Аполлоний Галл» (Париж, 1600 г.). История проблемы подробно описана в предисловии к краткому изданию Дж. В. Камерера « Аполлонии Пергеи, квае суперсунт, ac maxime Lemmata Pappi in hos Libras, cum Observationibus и т. д.» (Gothae, 1795, 8vo). [8]
Целью De Inclinationibus было продемонстрировать, как можно вставить прямую линию заданной длины, стремящуюся к заданной точке, между двумя заданными (прямыми или круговыми) линиями. Хотя Марин Гетальдич и Хьюго д'Омерик ( «Геометрический анализ» , Кадис, 1698 г.) пытались выполнить реставрацию, лучшая попытка была сделана Сэмюэлем Хорсли (1770 г.). [8]
De Locis Planis — это совокупность предложений, относящихся к локусам, которые представляют собой прямые линии или круги. Поскольку Папп дает несколько полные подробности своих положений, этот текст также видел попытки восстановить его не только П. Ферма ( Oeuvres , i., 1891, стр. 3–51) и Ф. Скутена (Лейден, 1656), но и Ф. Скутена (Лейден, 1656). также, что наиболее успешно, Р. Симсоном (Глазго, 1749). [8]
Древние писатели ссылаются на другие сочинения Аполлония, уже не дошедшие до нас:
Эквивалентность двух описаний движения планет, одного с использованием эксцентриков, а другого с помощью деферентов и эпициклов , приписывается Аполлонию. Птолемей описывает эту эквивалентность в «Альмагесте» .
По словам Хита, [21] «Методы Аполлония» не были для него личными; какое бы влияние он ни оказал на более поздних теоретиков, это было влияние геометрии, а не его собственных нововведений в технике. Хит говорит:
Прежде чем подробно рассмотреть методы, использованные в «Кониках», можно в целом сказать, что они неуклонно следуют общепринятым принципам геометрического исследования, которые нашли свое окончательное выражение в «Началах» Евклида.
Говоря о геометрах золотого века, современные ученые используют термин «метод» для обозначения визуального, реконструктивного способа, которым геометр дает результат, эквивалентный тому, который дает сегодня алгебра. В качестве простого примера: алгебраический метод вычисления площади квадрата состоит в возведении в квадрат длины его стороны; аналогичный геометрический метод заключается в построении зрительного квадрата. Геометрические методы золотого века могли дать большинство результатов элементарной алгебры.
Хит продолжает использовать термин « геометрическая алгебра» для обозначения методов всего золотого века. [k] Этот термин был определен Генри Берчардом Файном в 1890 году или ранее, который применил его к «Геометрии» Рене Декарта , первой полноценной работе по аналитической геометрии . [22] Установив в качестве предварительного условия, что «две алгебры формально идентичны, фундаментальные операции которых формально одинаковы», Файн говорит, что работа Декарта «это не... просто числовая алгебра, но то, что за неимением лучшего названия можно было бы назвать алгебра отрезков. Ее символика такая же, как и у числовой алгебры; ....»
Например, в Аполлонии отрезок AB (линия между точками A и B) также является числовой длиной отрезка. Он может иметь любую длину. Таким образом, AB становится тем же, что и алгебраическая переменная , такая как x (неизвестное), которой можно присвоить любое значение; например, х =3.
Переменные определяются в Аполлонии такими словесными утверждениями, как «пусть AB будет расстоянием от любой точки сечения до диаметра» — практика, которая продолжается в алгебре и сегодня. Каждый изучающий основы алгебры должен научиться преобразовывать «словесные задачи» в алгебраические переменные и уравнения, к которым применяются правила алгебры при решении задачи x . У Аполлония таких правил не было. Его решения геометрические.
Отношения, которые не поддавались графическому решению, были за пределами его понимания; однако его набор изобразительных решений произошел из набора сложных геометрических решений, которые сегодня обычно не известны (или не требуются). Одним из хорошо известных исключений является незаменимая теорема Пифагора , даже сейчас представленная прямоугольным треугольником с квадратами на его сторонах, иллюстрирующим такое выражение, как a 2 + b 2 = c 2 . Греческие геометры называли эти термины «квадратом на AB» и т. д. Точно так же площадь прямоугольника, образованного AB и CD, была «прямоугольником на AB и CD».
Эти концепции дали греческим геометрам алгебраический доступ к линейным и квадратичным функциям , последними из которых являются конические сечения. Они содержат степени 1 или 2 соответственно. Аполлоний не особо пользовался кубами (представленными в твердотельной геометрии ), хотя конус является твердым телом. Его интересовали конические сечения, которые представляют собой плоские фигуры. Степени 4 и выше были за пределами визуализации, требуя степени абстракции, недоступной в геометрии, но доступной в алгебре.
Все обычные измерения длины в общедоступных единицах, таких как дюймы, с использованием стандартных общедоступных устройств, таких как линейка, подразумевают публичное признание декартовой сетки ; то есть поверхность, разделенная на единичные квадраты, например, один квадратный дюйм, и пространство, разделенное на единичные кубы, например, один кубический дюйм. Древнегреческие единицы измерения служили такой сеткой греческим математикам еще с бронзового века. До Аполлония Менехм и Архимед уже начали размещать свои фигуры в предполагаемом окне общей сетки, ссылаясь на расстояния, которые предполагалось измерять от левой вертикальной линии, обозначающей нижнюю меру, и нижней горизонтальной линии, обозначающей низкую меру. направления прямолинейны или перпендикулярны друг другу. [23] Эти края окна становятся в декартовой системе координат осями. В качестве координат задаются прямолинейные расстояния любой точки от осей . У древних греков такого соглашения не было. Они просто ссылались на расстояния.
У Аполлония действительно есть стандартное окно, в которое он помещает свои фигуры. Вертикальные измерения проводятся по горизонтальной линии, которую он называет «диаметром». Это слово на греческом языке такое же, как и на английском, но греческий язык несколько шире в своем понимании. [24] Если фигура конического сечения разрезана сеткой параллельных линий, диаметр делит пополам все отрезки линий, включенные между ветвями фигуры. Он должен пройти через вершину (корупхе, «корона»). Таким образом, диаметр включает как открытые фигуры, такие как парабола, так и замкнутые, такие как круг. Нет указания, что диаметр должен быть перпендикулярен параллельным линиям, но Аполлоний использует только прямолинейные.
Прямолинейное расстояние от точки сечения до диаметра по-гречески называется «тетагменос», что по-гречески означает просто «продлённый». Поскольку оно всегда простирается только «вниз» (ката-) или «вверх» (ана-), переводчики интерпретируют его как ординату . В этом случае диаметр становится осью X, а вершина — началом координат. Затем ось Y становится касательной к кривой в вершине. Абсцисса тогда определяется как сегмент диаметра между ординатой и вершиной.
Используя свой вариант системы координат, Аполлонию удается в наглядной форме разработать геометрические эквиваленты уравнений для конических сечений, что ставит вопрос о том, можно ли считать его систему координат декартовой. Есть некоторые различия. Декартову систему следует рассматривать как универсальную, охватывающую все цифры во всем пространстве до проведения каких-либо вычислений. Он имеет четыре квадранта, разделенных двумя скрещенными осями. Три квадранта включают отрицательные координаты, означающие направления, противоположные опорным осям нуля.
Аполлоний не имеет отрицательных чисел, не имеет явного числа для нуля и не разрабатывает систему координат независимо от конических сечений. Он работает по существу только в Квадранте 1, все положительные координаты. Поэтому Карл Бойер, современный историк математики, говорит: [25]
Однако греческая геометрическая алгебра не предусматривала отрицательных величин; более того, система координат во всех случаях апостериорно накладывалась на данную кривую с целью изучения ее свойств... Аполлонию, величайшему геометру античности, не удалось разработать аналитическую геометрию...
Тем не менее, по мнению Бойера, трактовка кривых Аполлонием в некотором смысле похожа на современную трактовку, и его работы, кажется, предвосхищают аналитическую геометрию . [25] Аполлоний занимает своего рода промежуточную нишу между сеточной системой обычных измерений и полностью развитой декартовой системой координат аналитической геометрии. Читая Аполлония, нужно стараться не придавать его терминам современный смысл.
Аполлоний использует «Теорию пропорций», изложенную в « Началах » Евклида , книгах 5 и 6. Разработанная Евдоксом Книдским, теория занимает промежуточное положение между чисто графическими методами и современной теорией чисел. Стандартная десятичная система счисления отсутствует, как и стандартное обращение с дробями. Однако предложения на словах выражают правила обращения с дробями в арифметике. Хит предлагает заменить ими умножение и деление. [26]
Термином «величина» Евдокс надеялся выйти за рамки чисел и перейти к общему ощущению размера, значение которого оно сохраняет до сих пор. Что касается фигур Евклида, то чаще всего имеются в виду числа, что и было пифагорейским подходом. Пифагор считал, что Вселенную можно охарактеризовать количествами, и это убеждение стало современной научной догмой. Пятая книга Евклида начинается с утверждения, что величина (megethos, «размер») должна делиться без остатка на единицы (meros, «часть»). Таким образом, величина кратна единицам. Они не обязательно должны быть стандартными единицами измерения, такими как метры или футы. Одной единицей может быть любой обозначенный сегмент линии.
Далее следует, пожалуй, самое полезное фундаментальное определение, когда-либо разработанное в науке: соотношение (по-гречески logos , что примерно означает «объяснение») — это утверждение относительной величины. Даны две величины, скажем, отрезков AB и CD. отношение АВ к CD, где CD считается единицей, — это количество CD в AB; например, 3 части от 4 или 60 частей на миллион, где ppm по-прежнему использует терминологию «частей». Соотношение является основой современной дроби, которая до сих пор означает «часть» или «фрагмент» от того же латинского корня, что и перелом. Отношение является основой математического предсказания в логической структуре, называемой «пропорцией» (греч. аналогос). Пропорция гласит, что если два отрезка, AB и CD, имеют такое же соотношение, как и два других, EF и GH, то AB и CD пропорциональны EF и GH, или, как сказал бы Евклид, AB относится к CD как EF. это к GH.
Алгебра сводит это общее понятие к выражению AB/CD = EF/GH. Учитывая любые три члена, можно вычислить четвертый как неизвестный. Переставляя приведенное выше уравнение, получаем AB = (CD/GH)•EF, в котором, выраженное как y = kx, CD/GH известен как «константа пропорциональности». Грекам не составило труда получить кратные числа (греч. pollaplasiein), вероятно, путем последовательного сложения.
Аполлоний использует соотношения почти исключительно отрезков линий и площадей, которые обозначаются квадратами и прямоугольниками. Переводчики взяли на себя обязательство использовать обозначение двоеточия, введенное Лейбницем в Acta Eruditorum , 1684. [27] Вот пример из Conics , Книга I, на Предложение 11:
