В планарной геометрии расширенная сторона или боковая линия многоугольника — это линия , которая содержит одну сторону многоугольника. Расширение конечной стороны в бесконечную линию возникает в различных контекстах .
В тупоугольном треугольнике высоты , проведенные из остроугольных вершин, пересекают соответствующие продолженные стороны основания, но не сами стороны основания.
Вневписанные окружности треугольника , а также его вписанные окружности, не являющиеся вписанными эллипсами , касаются внешним образом одной стороны и двух других продолженных сторон.
Трилинейные координаты определяют местоположение точки на плоскости по ее относительным расстояниям от расширенных сторон референтного треугольника. Если точка находится вне треугольника, перпендикуляр из точки к боковой линии может пересекать боковую линию вне треугольника, то есть не на фактической стороне треугольника.
В треугольнике три точки пересечения, каждая из которых является внешней биссектрисой угла с противолежащей продолженной стороной, лежат на одной прямой . [1] : стр. 149
В треугольнике три точки пересечения, две из которых находятся между биссектрисой внутреннего угла и противолежащей стороной, а третья — между биссектрисой другого внешнего угла и продолженной противолежащей стороной, лежат на одной прямой. [1] : стр. 149
Внеописанным четырехугольником называется четырехугольник , для которого существует окружность, касающаяся всех четырех продолженных сторон. Вневписанный центр (центр касательной окружности) лежит на пересечении шести биссектрис угла . Это внутренние биссектрисы угла в двух противолежащих углах при вершине, внешние биссектрисы угла ( дополнительные биссектрисы угла) в двух других углах при вершине и внешние биссектрисы угла в углах, образованных при пересечении продолжений противоположных сторон.
Теорема Паскаля гласит, что если на коническом сечении (то есть эллипсе , параболе или гиперболе ) выбрать шесть произвольных точек и соединить их отрезками в любом порядке, образовав шестиугольник , то три пары противоположных сторон шестиугольника (при необходимости расширенные) встретятся в трех точках, которые лежат на прямой линии, называемой линией Паскаля шестиугольника.