точка Нагеля

Центр треугольника; пересечение всех трех разделителей треугольника.

  Произвольный треугольник △ ABC

  Вневписанные окружности , касающиеся сторон треугольника △ ABC в точках T _A , T _B , T _C

  Треугольник касания △ T _A T _B T _C

  Разделители периметра AT _A , BT _B , CT _C ; пересекаются в точке Нагеля N

В геометрии точка Нагеля (названная в честь Христиана Генриха фон Нагеля ) — это центр треугольника , одна из точек, связанных с данным треугольником , определение которой не зависит от расположения или масштаба треугольника. Это точка пересечения всех трех разделителей треугольника .

Строительство

Дан треугольник △ ABC , пусть T _A , T _B , T _C будут точками касания , в которых вневписанная окружность A пересекает прямую BC , вневписанная окружность B пересекает прямую CA , а вневписанная окружность C пересекает прямую AB , соответственно. Прямые AT _A , BT _B , CT _C пересекаются в точке Нагеля N треугольника △ ABC .

Другое построение точки T _A — начать с A и обвести треугольник △ ABC на половину его периметра , и аналогично для T _B и T _C. Из-за этого построения точку Нагеля иногда также называют точкой биссектрисы периметра , а отрезки AT _A , BT _B , CT _C называются разделителями треугольника .

Существует простая конструкция точки Нагеля. Начиная с каждой вершины треугольника, достаточно провести удвоенную длину противоположного ребра. Мы получим три линии, которые сходятся в точке Нагеля. ^[1]

Простая конструкция точки Нагеля

Связь с другими центрами треугольников

Точка Нагеля является изотомически сопряженной точкой Жергонна . Точка Нагеля, центроид и инцентр лежат на одной прямой, называемой линией Нагеля . Инцентр — это точка Нагеля срединного треугольника ; ^{[2] [3]} эквивалентно, точка Нагеля является инцентром антикомплементарного треугольника . Изогонально сопряженная точка точки Нагеля — это точка пересечения линий, соединяющих смешанную точку касания и противоположную вершину.

Барицентрические координаты

Ненормализованные барицентрические координаты точки Нагеля равны , где — полупериметр опорного треугольника △ ABC . ${\displaystyle (s-a:s-b:s-c)}$ ${\displaystyle s={\tfrac {a+b+c}{2}}}$

Трилинейные координаты

Трилинейные координаты точки Нагеля ^[4] имеют вид

${\displaystyle \csc ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right)\,:\,\csc ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right)\,:\,\csc ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)}$

или, что эквивалентно, в терминах длин сторон ${\displaystyle a=\left|{\overline {BC}}\right|,b=\left|{\overline {CA}}\right|,c=\left|{\overline {AB}}\right|,}$

${\displaystyle {\frac {b+c-a}{a}}\,:\,{\frac {c+a-b}{b}}\,:\,{\frac {a+b-c}{c}}.}$

История

Точка Нагеля названа в честь Христиана Генриха фон Нагеля , немецкого математика девятнадцатого века, который писал о ней в 1836 году. Ранний вклад в изучение этой точки внесли также Август Леопольд Крелле и Карл Густав Якоб Якоби . ^[5]

Смотрите также

• Мандарт инэллипс
• Точка трисекционного периметра

Ссылки

1. Дюссо, Ксавье. «Элементарное построение точки Нагеля». HAL .
2. Аноним (1896). «Проблема 73». Задачи для решения: Геометрия. American Mathematical Monthly . 3 (12): 329. doi :10.2307/2970994. JSTOR  2970994.
3. «Почему инцентр является точкой Нагеля срединного треугольника?». Полиматематика .
4. Галлатли, Уильям (1913). Современная геометрия треугольника (2-е изд.). Лондон: Hodgson. С. 20.
5. Баптист, Питер (1987). «Historische Anmerkungen zu Gergonne- und Nagel-Punkt». Sudhoffs Archiv für Geschichte der Medizin und der Naturwissenschaften . 71 (2): 230–233. МР  0936136.

Внешние ссылки

• Нагель Пойнт из Cut-the-knot
• Нагель Пойнт, Кларк Кимберлинг
• Вайсштейн, Эрик В. «Нагель-Пойнт». Математический мир .
• Коника Шпикера и обобщение линии Нагеля в разделе «Эскизы динамической геометрии». Обобщает окружность Шпикера и связанную с ней линию Нагеля.