Бхаскара II

Индийский математик и астроном (ок. 1114–1185).

Доказательство Бхаскары теоремы Пифагора.

Бхаскара II (ок. 1114–1185), также известный как Бхаскарачарья («Бхаскара, учитель») и как Бхаскара II , чтобы избежать путаницы с Бхаскара I , был индийским математиком , астрономом и изобретателем. Из стихов его главного труда «Сиддханта Широмани» (सिद्धांतशिरोमणी) можно сделать вывод, что он родился в 1114 году в Виджадавиде (Виджалавида) и жил в горных хребтах Сатпуда в Западных Гатах , предположительно город Патана в Чалисгаоне, расположенный в современном регионе Хандеш в Махараштре учеными. ^[6] Он единственный древний математик, увековеченный на памятнике. В храме в Махараштре надпись, предположительно созданная его внуком Чангадевой, перечисляет родословную Бхаскарачарьи на протяжении нескольких поколений до него, а также двух поколений после него. ^{[7] [8]} Коулбрук, который был первым европейцем, переведшим (1817 г.) математическую классику Бхаскарачарьи II, называет семью махараштрианскими браминами, проживающими на берегах Годавари . ^[9]

Бхаскара II родился в семье индуистских учёных, математиков и астрономов- брахманов Дешастха и был руководителем космической обсерватории в Удджайне , главном математическом центре древней Индии. ^[10] Бхаскара и его работы представляют собой значительный вклад в математические и астрономические знания XII века. Его называли величайшим математиком средневековой Индии. ^[11] Его основная работа «Сиддханта-Широмани» ( санскритское слово «Корона трактатов») ^[12] разделена на четыре части, называемые Лилавати , Биджаганита , Грахаганита и Голадхьяя , ^[13] которые также иногда считаются четырьмя независимыми произведениями. ^[14] Эти четыре раздела посвящены арифметике, алгебре, математике планет и сфер соответственно. Он также написал еще один трактат под названием «Карана Каутухала». ^[14]

Дата, место и семья

Бхаскара называет дату своего рождения и дату написания своего основного произведения в стихе размером Арья : ^[14]

Раса-гуна-пурна-махи-сама-шаканрипа-самайе ऽ бхаван-мамотпаттих । Раса-гуна-варшена майа сиддханта-широмани рачитах ॥ ^{[ нужна цитата ]}

Это показывает, что он родился в 1036 году эпохи Шака (1114 г. н. э .) и написал « Сиддханта Широмани» , когда ему было 36 лет. ^[14] Сиддханта Широмани был завершен в 1150 году нашей эры. Он также написал еще один труд под названием «Карана-кутухала» , когда ему было 69 лет (в 1183 году). ^[14] Его работы показывают влияние Брахмагупты , Шридхары , Махавиры , Падманабхи и других предшественников. ^[14] Бхаскара жил в Патнадеви , расположенном недалеко от Патана (Чалисгаон) в окрестностях Сахьядри. ^[15]

Он родился в семье брамина Дешастха Ригведи ^[16] недалеко от Виджадавиды (Виджалавида). Мунишвара (17 век), комментатор Сиддханты Широмани из Бхаскары, дал информацию о местонахождении Виджадавиды в своей работе «Маричи Тика» следующим образом: ^[3]

Сэнсэй Уинстон Миссисипи. Вакансии गोदावर्यां Нью-Йорк

Дэниел Уилсон

В этом описании Видджалавида находится в Махараштре, недалеко от региона Видарбха и недалеко от берегов реки Годавари . Однако ученые расходятся во мнениях относительно точного местоположения. Многие ученые поместили это место недалеко от Патана в Чалисгаон Талука района Джалгаон ^[17] , тогда как часть ученых отождествила его с современным городом Бид. ^[1] Некоторые источники идентифицируют Видджалавиду как Биджапур или Бидар в Карнатаке . ^[18] Также было предложено отождествить Виджалавиду с Басаром в Телангане . ^[19]

Говорят, что Бхаскара был главой астрономической обсерватории в Удджайне , ведущем математическом центре средневековой Индии. История свидетельствует, что его прапрапрадед занимал наследственную должность придворного ученого, как и его сын и другие потомки. Его отец Махешвара ^[15] (Махешваропадхьяя ^[14] ) был математиком, астрономом ^[14] и астрологом, который преподавал ему математику, которую он позже передал своему сыну Локасамудре. Сын Локасамудры помог открыть в 1207 году школу для изучения писаний Бхаскары. Он умер в 1185 году нашей эры.

Сиддханта -Широмани

Лилавати

Страница из Лилавати , первого тома Сиддханты Широмани . Использование теоремы Пифагора в углу. издание 1650 года

Первый раздел Лилавати (также известный как патиганита или анкаганита ), названный в честь его дочери, состоит из 277 стихов. ^[14] Он охватывает вычисления, прогрессии, измерения , перестановки и другие темы. ^[14]

Биджаганита

Второй раздел «Биджаганита» (Алгебра) состоит из 213 стихов. ^[14] В нем обсуждаются ноль, бесконечность, положительные и отрицательные числа, а также неопределенные уравнения, включая (теперь называемое) уравнение Пелла , и его решение с использованием метода кутака . ^[14] В частности, он также раскрыл дело, которое столетия спустя ускользнуло от Ферма и его европейских современников. ^[14] ${\displaystyle 61x^{2}+1=y^{2}}$

Грахаганита

В третьем разделе Грахаганита , рассматривая движение планет, он рассматривал их мгновенные скорости. ^[14] Он пришел к приблизительному выводу: ^[20] Он состоит из 451 стиха.

${\displaystyle \sin y'-\sin y\approx (y'-y)\cos y}$для.

${\displaystyle y'}$близко к , или в современных обозначениях: ^[20] ${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\frac {d}{dy}}\sin y=\cos y}$.

По его словам: ^[20]

бимбардхасья котиджйа гунастриджьяхарах пхалам дорджьяйорантарам ^{[ нужна ссылка ]}

Этот результат также наблюдался ранее Мунджалачарьей (или Манджулачарьей) манасамом в контексте таблицы синусов. ^[20]

Бхаскара также заявил, что в самой высокой точке мгновенная скорость планеты равна нулю. ^[20]

Математика

Некоторые из вкладов Бхаскары в математику включают следующее:

• Доказательство теоремы Пифагора путем вычисления одной и той же площади двумя разными способами и последующего сокращения членов, чтобы получить a ² + b ² = c ² . ^[21]
• В Лилавати объясняются решения квадратных , кубических и неопределенных уравнений четвертой степени . ^[22]
• Решения неопределенных квадратных уравнений (типа ax ² + b = y ² ).
• Целые решения линейных и квадратных неопределенных уравнений ( Куттака ). Правила, которые он дает, (по сути) такие же, как и правила, данные европейскими математиками эпохи Возрождения 17 века.
• Циклический метод Чакравалы решения неопределенных уравнений вида ax ² + bx + c = y . Решение этого уравнения традиционно приписывалось Уильяму Браункеру в 1657 году, хотя его метод был более сложным, чем метод чакравалы .
• Первый общий метод поиска решения задачи x ² − ny ² = 1 (так называемое « уравнение Пелля ») был предложен Бхаскара II. ^[23]
• Решения диофантовых уравнений второго порядка, например 61 x ² + 1 = y ² . Это самое уравнение было поставлено как задача в 1657 году французским математиком Пьером де Ферма , но его решение было неизвестно в Европе до времен Эйлера в 18 веке. ^[22]
• Решал квадратные уравнения с более чем одним неизвестным и находил отрицательные и иррациональные решения. ^{[ нужна цитата ]}
• Предварительные понятия о математическом анализе .
• Предварительная концепция исчисления бесконечно малых , а также заметный вклад в интегральное исчисление . ^[24]
• предварительные представления о дифференциальном исчислении и дифференциальном коэффициенте.
• Изложенная теорема Ролля , частный случай одной из важнейших теорем анализа, теоремы о среднем значении . Следы общей теоремы о среднем можно найти и в его работах.
• Вычислены производные тригонометрических функций и формулы. (См. раздел «Исчисление» ниже.)
• В Сиддханта-Широмани Бхаскара разработал сферическую тригонометрию наряду с рядом других тригонометрических результатов. (См. раздел «Тригонометрия» ниже.)

Арифметика

Арифметический текст Бхаскары «Лилавати» охватывает темы определений, арифметических терминов, расчета процентов, арифметических и геометрических прогрессий, геометрии плоскости , геометрии твердого тела , тени гномона , методов решения неопределенных уравнений и их комбинаций .

Лилавати разделена на 13 глав и охватывает многие разделы математики, арифметики, алгебры, геометрии, а также немного тригонометрии и измерений. Более конкретно, содержание включает в себя:

• Определения.
• Свойства нуля (в том числе деление и правила действий с нулем).
• Дальнейшая обширная работа с числами, включая использование отрицательных чисел и ирративов .
• Оценка π .
• Арифметические термины, методы умножения и возведения в квадрат .
• Обратное правило трех и правила 3, 5, 7, 9 и 11.
• Проблемы, связанные с процентами и расчетом процентов.
• Неопределенные уравнения ( Куттака ), целочисленные решения (первого и второго порядка). Его вклад в эту тему особенно важен, ^{поскольку правила , которые он дает, (} по сути) такие же, как и правила, данные европейскими математиками эпохи Возрождения 17 века, однако его работы относились к 12 веку. Метод решения Бхаскары был усовершенствованием методов, найденных в работах Арьябхаты и последующих математиков.

Его работа отличается систематизацией, усовершенствованными методами и новыми темами, которые он представил. Более того, Лилавати содержала превосходные задачи, и считается, что намерение Бхаскары, возможно, заключалось в том, чтобы изучающий Лилавати занялся механическим применением метода. ^{[ нужна цитата ]}

Алгебра

Его Биджаганита (« Алгебра ») состояла из двенадцати глав. Это был первый текст, в котором признавалось, что положительное число имеет два квадратных корня (положительный и отрицательный квадратный корень). ^[25] Его работа «Биджаганита» фактически представляет собой трактат по алгебре и содержит следующие темы:

• Положительные и отрицательные числа .
• «Неизвестное» (включает определение неизвестных величин).
• Определение неизвестных величин.
• Сурды (включает оценку сурдов и их квадратных корней).
• Куттака (для решения неопределенных уравнений и диофантовых уравнений ).
• Простые уравнения (неопределенные второй, третьей и четвертой степени).
• Простые уравнения с несколькими неизвестными.
• Неопределенные квадратные уравнения (типа ax ² + b = y ² ).
• Решения неопределенных уравнений второй, третьей и четвертой степени.
• Квадратные уравнения.
• Квадратные уравнения с несколькими неизвестными.
• Операции с произведениями нескольких неизвестных.

Бхаскара вывел циклический метод чакравалы для решения неопределенных квадратных уравнений вида ax ² + bx + c = y. ^[25] Значительное значение имеет метод Бхаскары для нахождения решения задачи Nx ² + 1 = y ² (так называемое « уравнение Пелля »). ^[23]

Тригонометрия

« Сиддханта Широмани» (написанный в 1150 году) демонстрирует знания Бхаскары в области тригонометрии, включая таблицу синусов и взаимосвязи между различными тригонометрическими функциями. Он также разработал сферическую тригонометрию и другие интересные тригонометрические результаты. В частности, Бхаскара, казалось, больше интересовался тригонометрией как таковой, чем его предшественники, которые видели в ней только инструмент для вычислений. Среди многих интересных результатов, данных Бхаскарой, результаты, найденные в его работах, включают вычисление синусов углов 18 и 36 градусов, а также хорошо известные теперь формулы для и . ${\displaystyle \sin \left(a+b\right)}$ ${\displaystyle \sin \left(a-b\right)}$

Исчисление

Его работа « Сиддханта Широмани» представляет собой астрономический трактат и содержит множество теорий, которых нет в более ранних работах. ^{[ нужна цитата ]} Предварительные концепции исчисления бесконечно малых и математического анализа , а также ряд результатов в тригонометрии , дифференциальном исчислении и интегральном исчислении , найденные в работе, представляют особый интерес.

Имеющиеся данные свидетельствуют о том, что Бхаскара был знаком с некоторыми идеями дифференциального исчисления. ^[25] Бхаскара также углубляется в «дифференциальное исчисление» и предполагает, что дифференциальный коэффициент обращается в нуль при экстремальном значении функции, что указывает на знание концепции « бесконечно малых ». ^[26]

• В его работах есть свидетельства ранней формы теоремы Ролля . Современная формулировка теоремы Ролля гласит, что если , то для некоторых с . ${\displaystyle f\left(a\right)=f\left(b\right)=0}$ ${\displaystyle f'\left(x\right)=0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \ a<x<b}$
• В этой астрономической работе он предложил одну процедуру, которая выглядит предшественником методов бесконечно малых величин. С точки зрения этого, если тогда это производная синуса, хотя он не развивал понятие производной. ^[27] ${\displaystyle x\approx y}$ ${\displaystyle \sin(y)-\sin(x)\approx (y-x)\cos(y)}$
  • Бхаскара использует этот результат для определения угла положения эклиптики — величины , необходимой для точного предсказания времени затмения.
• При вычислении мгновенного движения планеты интервал времени между последовательными положениями планет был не больше трути , или 1/33750 секунды , и его мера скорости выражалась в этой бесконечно малой единице времени.
• Он знал, что когда переменная достигает максимального значения, ее дифференциал исчезает.
• Он также показал, что, когда планета находится дальше всего от Земли или ближе всего, уравнение центра (мера того, насколько далеко планета находится от положения, в котором она прогнозируется, исходя из предположения, что она должна двигаться равномерно) исчезает. Поэтому он пришел к выводу, что для некоторого промежуточного положения дифференциал уравнения центра равен нулю. ^{[ нужна цитата ]} В этом результате есть следы общей теоремы о среднем значении , одной из наиболее важных теорем в анализе, которая сегодня обычно выводится из теоремы Ролля. Формула среднего значения для обратной интерполяции синуса была позже основана Парамешварой в 15 веке в «Лилавати Бхасья» , комментарии к « Лилавати » Бхаскары .

Мадхава (1340–1425) и математики школы Кералы (включая Парамешвару) с 14 по 16 века расширили работу Бхаскары и еще больше продвинули развитие исчисления в Индии. ^{[ нужна цитата ]}

Астрономия

Используя астрономическую модель, разработанную Брахмагуптой в VII веке, Бхаскара точно определил многие астрономические величины, включая, например, продолжительность сидерического года , время, необходимое Земле для обращения вокруг Солнца, как примерно 365,2588 дней, что составляет то же, что и в Сурьясиддханте. ^[28] Современное принятое измерение составляет 365,25636 дней , разница в 3,5 минуты. ^[29]

Его текст по математической астрономии «Сиддханта Широмани» написан в двух частях: первая часть посвящена математической астрономии, а вторая часть посвящена сфере .

Двенадцать глав первой части охватывают такие темы, как:

• Средние долготы планет . _
• Истинные долготы планет.
• Три проблемы суточного вращения . Суточное движение относится к кажущемуся суточному движению звезд вокруг Земли или, точнее, вокруг двух небесных полюсов. Это вызвано вращением Земли вокруг своей оси, поэтому каждая звезда, по-видимому, движется по кругу, который называется суточным кругом.
• Сизигии .
• Лунные затмения .
• Солнечные затмения .
• Широты планет.
• Уравнение восхода солнца .
• Серп Луны . _ _
• Соединения планет друг с другом.
• Соединение планет с неподвижными звездами .
• Пути Солнца и Луны.

Вторая часть содержит тринадцать глав, посвященных сфере. Он охватывает такие темы, как:

• Похвала изучению сферы.
• Природа сферы.
• Космография и география .
• Среднее планетарное движение .
• Эксцентрическая эпициклическая модель планет.
• Армиллярная сфера .
• Сферическая тригонометрия .
• Расчеты эллипса . ^{[ нужна цитата ]}
• Первые изображения планет.
• Вычисление лунного серпа.
• Астрономические инструменты.
• Времена года .
• Проблемы астрономических расчетов.

Инженерное дело

Самое раннее упоминание о вечном двигателе относится к 1150 году, когда Бхаскара II описал колесо , которое, как он утверждал, будет работать вечно. ^[30]

Бхаскара II изобрел множество инструментов, одним из которых является Яшти-янтра . Это устройство могло варьироваться от простой палки до V-образных рейок, предназначенных специально для определения углов с помощью калиброванной шкалы. ^[31]

Легенды

В своей книге «Лилавати» он рассуждает: «И в этой величине, делителем которой является ноль, нет никаких изменений, даже когда многие количества вошли в нее или вышли [из нее], точно так же, как во время разрушения и созидания, когда толпы существ входят в [него и выходят из него, нет никаких изменений в] бесконечном и неизменном [Вишну]». ^[32]

«Смотрите!»

Несколько авторов заявили, что Бхаскара II доказал теорему Пифагора, нарисовав диаграмму и указав единственное слово «Смотрите!». ^{[33] [34]} Иногда имя Бхаскары опускается, и это называется индуистским доказательством , хорошо известным школьникам. ^[35]

Однако, как отмечает историк математики Ким Плофкер, после представления проработанного примера Бхаскара II формулирует теорему Пифагора:

Следовательно, для краткости, квадратный корень из суммы квадратов руки и стойки является гипотенузой: так это и показано. ^[36]

Далее следует:

И в противном случае, когда кто-то разместит там эти части фигуры, [просто] увидеть [достаточно]. ^[36]

Плофкер предполагает, что это дополнительное заявление может быть основным источником широко распространенного «Вот!» легенда.

Наследие

В его честь назван ряд институтов и колледжей в Индии, в том числе Бхаскарачарья Пратиштхана в Пуне, Колледж прикладных наук Бхаскарачарья в Дели, Институт космических приложений и геоинформатики Бхаскарачарья в Гандинагаре.

20 ноября 1981 года Индийская организация космических исследований (ISRO) запустила спутник «Бхаскара II» в честь математика и астронома. ^[37]

В 2015 году компания Invis Multimedia выпустила короткометражный индийский документальный фильм о математике «Бхаскарачарья» . ^{[38] [39]}

Смотрите также

• Список индийских математиков
• Стул невесты

Рекомендации

1. Виктор Дж. Кац, изд. (10 августа 2021 г.). Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: справочник. Издательство Принстонского университета. п. 447. ИСБН 978-0691114859.
2. Индийский журнал истории науки, том 35, Национальный институт наук Индии, 2000, стр. 77
3. MS Mate; Г.Т. Кулкарни, ред. (1974). Исследования по индологии и истории Средневековья: Том поздравлений профессора Г.Х. Харе. Джоши и Локханде Пракашан. стр. 42–47. ОСЛК  4136967.
4. КВ Рамеш; СП Тевари; М. Дж. Шарма, ред. (1990). Том поздравлений доктора Г.С. Гая. Агам Кала Пракашан. п. 119. ОСЛК  464078172.
5. Слушания, Конгресс истории Индии, том 40, Конгресс истории Индии, 1979, стр. 71
6. Т. А. Сарасвати (2017). «Бхаскарачарья». Культурные лидеры Индии - ученые . Отдел публикаций Министерства информации и радиовещания. ISBN 9788123024851.
7. गणिती (термин маратхи, означающий математиков) Ачьюта Годболе и доктора Тхакурдесая, Мановикас, первое издание 23, декабрь 2013 г. стр. 34.
8. Математика в Индии Ким Плофкер, Princeton University Press, 2009, стр. 182
9. Алгебра с арифметикой и измерением с санскрита Брахмегупты и Бхаскары Генри Колбрука, Схолиасты Бхаскары, стр., xxvii
10. Сахни 2019, с. 50.
11. Чопра 1982, стр. 52–54.
12. Плофкер 2009, с. 71.
13. Пулозе 1991, с. 79.
14. С. Балачандра Рао (13 июля 2014 г.), Нью-Йорк ಾರ್ಯ, Виджаявани , с. 17^{[ ненадежный источник? ]}
15. Пингри 1970, с. 299.
16. Иллюстрированный еженедельник Индии, том 95. Bennett, Coleman & Company, Limited, в Times of India Press. 1974. с. 30. Дешастхи внесли вклад в математику и литературу, а также в культурное и религиозное наследие Индии. Бхаскарачарая был одним из величайших математиков древней Индии.
17. Бхау Даджи (1865). «Краткие заметки о возрасте и подлинности произведений Арьябхаты, Варахамихиры, Брахмагупты, Бхаттотпалы и Бхаскарачарьи». Журнал Королевского азиатского общества Великобритании и Ирландии. стр. 392–406.
18. "1. Зажженные умы, стр. 39, автор APJ Абдул Калам, 2. Профессор Судакара Диведи (1855-1910), 3. Доктор Б. А. Салетор (индийская культура), 4. Публикации правительства Карнатаки, 5. Доктор Нарараджан (Лилавати 1989), 6. Подробности о профессоре Синивасе (Ганиташатра Критра, 1955 г., 7. Аалур Венкараяру (Карнатака Гатвибая, 1917 г.), 8. Заявление премьер-министра для прессы в Сараваде в 2018 г., 9. Васудев Херкал (статьи Сьюката Карнатака), 10. Манджунатх Сулали (Deccan Herald, 19/04). /2010, 11. Индийская археология 1994–96. Обзор, стр. 32, доктор Р.К. Кулкарни (статьи)».
19. Ежеквартальный отчет BISM, Poona, Vol. 63, № 1, 1984, стр. 14-22.
20. Scientist (13 июля 2014 г.), Нью-Йорк ಜನಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯ , Виджаявани , с. 21^{[ ненадежный источник? ]}
21. Стихи 128, 129 в Bijaganita Plofker, 2007, стр. 476–477.
22. Математические достижения досовременных индийских математиков фон Т. К. Путтасвами
23. Stillwell 2002, с. 74.
24. Студенты и Британника Индия. 1. От А до С, Инду Рамчандани.
25. 50 вневременных ученых автора К. Кришна Мурти
26. Шукла 1984, стр. 95–104.
27. Кук 1997, стр. 213–215.
28. "Великий математик Бхаратии Бхаскарачарья II" . Таймс оф Индия . ISSN  0971-8257 . Проверено 24 мая 2023 г.
29. IERS EOP PC Полезные константы. День СИ или средний солнечный день равен 86400 секундам СИ . Из средней долготы, относящейся к средней эклиптике и равноденствию J2000, приведенным в Саймоне, Дж. Л. и др., «Числовые выражения для формул прецессии и средних элементов для Луны и планет», Astronomy and Astrophysicals 282 (1994), 663–683. .[1]
30. Уайт 1978, стр. 52–53.
31. Селин 2008, стр. 269–273.
32. Коулбрук 1817.
33. Евс 1990, с. 228
34. Бертон 2011, с. 106
35. Мазур 2005, стр. 19–20.
36. Plofker 2007, с. 477
37. Бхаскара, НАСА, 16 сентября 2017 г.
38. "Ананд Нараянан". ИИСТ .
39. "Великий индийский математик - Бхаскарачарья". Индиявидеодоторг. 22 сентября 2015 г. Архивировано из оригинала 12 декабря 2021 г.

Библиография

• Бертон, Дэвид М. (2011), История математики: введение (7-е изд.), McGraw Hill, ISBN 978-0-07-338315-6
• Ивс, Ховард (1990), Введение в историю математики (6-е изд.), Saunders College Publishing, ISBN 978-0-03-029558-4
• Мазур, Джозеф (2005), Евклид в тропическом лесу , Плюм, ISBN 978-0-452-28783-9
• Саркар, Беной Кумар (1918), Индуистские достижения в точной науке: исследование истории развития науки , Лонгманс, Грин и другие.
• Сил, сэр Браджендранат (1915), Позитивные науки древних индусов , Лонгманс, Грин и другие.
• Коулбрук, Генри Т. (1817), Арифметика и измерение Брахмегупты и Бхаскары
• Уайт, Линн Таунсенд (1978), «Тибет, Индия и Малайя как источники западных средневековых технологий», Средневековая религия и технологии: сборник эссе, University of California Press, ISBN 978-0-520-03566-9
• Селин, Хелейн , изд. (2008), «Астрономические инструменты в Индии», Энциклопедия истории науки, технологий и медицины в незападных культурах (2-е издание) , Springer Verlag Ny, ISBN 978-1-4020-4559-2
• Шукла, Крипа Шанкар (1984), «Использование исчисления в индуистской математике», Индийский журнал истории науки , 19 : 95–104.
• Пингри, Дэвид Эдвин (1970), Перепись точных наук на санскрите, том. 146, Американское философское общество, ISBN. 9780871691460
• Плофкер, Ким (2007), «Математика в Индии», Кац, Виктор Дж. (редактор), « Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: справочник» , Princeton University Press, ISBN 9780691114859
• Плофкер, Ким (2009), Математика в Индии , Princeton University Press, ISBN 9780691120676
• Кук, Роджер (1997), «Математика индусов», История математики: краткий курс , Wiley-Interscience, стр. 213–215, ISBN 0-471-18082-3
• Пулосе, К.Г. (1991), К.Г. Пулосе (редактор), Научное наследие Индии, математика , Равиварма Самскрита грантхавали, том. 22, Правительство. Санскритский колледж (Трипунитура, Индия)
• Чопра, Пран Натх (1982), Религии и общины Индии , Vision Books, ISBN 978-0-85692-081-3
• Гунатилаке, Сусанта (1999), На пути к глобальной науке: горнодобывающие цивилизационные знания , Издательство Индианского университета, ISBN 978-0-253-21182-8
• Селин, Хелейн ; Д'Амброзио, Убиратан , ред. (2001), «Математика в разных культурах: история незападной математики», Science Across Cultures , Springer, 2 , ISBN. 978-1-4020-0260-1
• Стиллвелл, Джон (2002), Математика и ее история, Тексты для студентов по математике , Springer, ISBN 978-0-387-95336-6
• Сахни, Мадху (2019), Педагогика математики, Издательство Vikas, ISBN 978-9353383275

дальнейшее чтение

• WW Роуз Болл. Краткий обзор истории математики , 4-е издание. Дуврские публикации, 1960.
• Джордж Гевергезе Джозеф. Герб павлина: неевропейские корни математики , 2-е издание. Книги Пингвина , 2000.
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Бхаскара II», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс Университет Сент-Эндрюс , 2000 г.
• Ян Пирс. Бхаскарачарья II в архиве MacTutor. Университет Сент-Эндрюс, 2002 г.
• Пингри, Дэвид (1970–1980). «Бхаскара II». Словарь научной биографии . Том. 2. Нью-Йорк: Сыновья Чарльза Скрибнера. стр. 115–120. ISBN 978-0-684-10114-9.

Внешние ссылки

• Биография 4to40