stringtranslate.com

Арьябхата

Арьябхата ( ISO : Aryabhaṭa ) или Арьябхата I [3] [4] (476–550 н. э. ) [5] [6] был первым из крупных математиков - астрономов классической эпохи индийской математики и индийской астрономии . Его работы включают « Арьябхатию» (в которой упоминается, что в 3600 году Кали-юги , 499 г. н.э., ему было 23 года) [7] и « Арья- сиддханта» .

За его явное упоминание об относительности движения он также считается крупным физиком раннего периода. [8]

биография

Имя

Хотя существует тенденция неправильного написания его имени как «Арьябхатта» по аналогии с другими именами, имеющими суффикс « бхатта », его имя правильно пишется Арьябхата: каждый астрономический текст пишет его имя таким образом, [9] включая ссылки на него Брахмагупты . «более чем в ста местах поименно». [1] Более того, в большинстве случаев «Арьябхатта» тоже не укладывалась в метр. [9]

Время и место рождения

Арьябхата упоминает в «Арьябхатие» , что ему было 23 года (3600 лет назад в Кали-югу) , но это не означает, что текст был составлен в то время. Этот упомянутый год соответствует 499 году н.э. и подразумевает, что он родился в 476 году. [6] Арьябхата называл себя уроженцем Кусумапуры или Паталипутры (современная Патна , Бихар ). [1]

Другая гипотеза

Бхаскара I описывает Арьябхату как ашмакию , «принадлежащего стране Ашмаков ». Во времена Будды ветвь народа ашмака поселилась в регионе между реками Нармада и Годавари в центральной Индии. [9] [10]

Утверждалось, что ашмака (санскритское слово «камень»), откуда возникла Арьябхата, может быть нынешним Кодунгаллуром , который был исторической столицей Тируванчиккулама в древней Керале. [11] Это основано на убеждении, что Котуналлур ранее был известен как Котум-Кал-л-ур («город твердых камней»); однако старые записи показывают, что на самом деле это был Котум-кол-ур («город строгого управления»). Точно так же тот факт, что несколько комментариев к Арьябхатии пришли из Кералы, использовался для предположения, что это было главное место жизни и деятельности Арьябхаты; однако многие комментарии пришли из-за пределов Кералы, и Арьясиддханта была совершенно неизвестна в Керале. [9] К. Чандра Хари отстаивал гипотезу Кералы на основе астрономических данных. [12]

Арьябхата несколько раз упоминает «Ланку» в « Арьябхатии» , но его «Ланка» — это абстракция, обозначающая точку на экваторе на той же долготе, что и его Уджайини . [13]

Образование

Совершенно очевидно, что в какой-то момент он отправился в Кусумапур для углубленного обучения и прожил там некоторое время. [14] И индуистская, и буддийская традиция, а также Бхаскара I (629 г. н.э.) идентифицируют Кусумапуру как Паталипутру , современную Патну . [9] В стихе упоминается, что Арьябхата был главой учреждения ( кулапа ) в Кусумапуре, и, поскольку в то время университет Наланды находился в Паталипутре и имел астрономическую обсерваторию, предполагается, что Арьябхата мог быть главой а также университет Наланда. [9] Также считается, что Арьябхата основал обсерваторию в храме Солнца в Тарегане , штат Бихар. [15]

Работает

Арьябхата — автор нескольких трактатов по математике и астрономии , некоторые из которых утеряны.

Он был студентом Университета Наланда , позже стал заведующим кафедрой. Большая часть исследований, проводимых в Наланде, включала предметы из астрономии, математики, физики, биологии, медицины и других областей. Арьябхата получил свой основной источник знаний из Наланды, и его основная работа была основана на предыдущих открытиях греков, месапотамцев и самого Университета Наланды. Арьябхатия , сборник математики и астрономии, упоминался в индийской математической литературе и сохранился до наших дней. Математическая часть Арьябхатия охватывает арифметику , алгебру , плоскую тригонометрию и сферическую тригонометрию . Он также содержит цепные дроби , квадратные уравнения , ряды сумм степеней и таблицу синусов .

« Арья -сиддханта» , утраченный труд по астрономическим вычислениям, известен благодаря трудам современника Арьябхаты, Варахамихиры , а также более поздних математиков и комментаторов, включая Брахмагупту и Бхаскару I. Эта работа, по-видимому, основана на более старой Сурья-Сиддханте , которая представляла собой санскритское изложение греческих и месапотамских теорий астрономии и математики и использует отсчет полуночного дня, в отличие от восхода солнца в Арьябхатии . Также оно содержало описание нескольких астрономических инструментов: гномона ( шанку-янтра ), теневого инструмента ( чхаАйА-янтра ), возможно, устройств для измерения углов, полукруглых и круглых ( дханур-янтра / чакра-янтра ), цилиндрической палочки ясти. -янтра , устройство в форме зонтика, называемое чхатра-янтра , и водяные часы как минимум двух типов, дугообразные и цилиндрические. [10]

Третий текст, который, возможно, сохранился в арабском переводе, — это Аль-нтф или Аль-нанф . Там утверждается, что это перевод Арьябхаты, но санскритское название этого произведения неизвестно. Вероятно, датируемый IX веком, он упоминается персидским ученым и летописцем Индии Абу Райханом аль-Бируни . [10]

Арьябхатия

Прямые подробности творчества Арьябхаты известны только из «Арьябхаты» . Название «Арьябхатия» принадлежит более поздним комментаторам. Сам Арьябхата, возможно, не дал ему названия. Его ученик Бхаскара I называет это Ашмакатантрой (или трактатом Ашмаки). Его также иногда называют Арья-шатас-ашта (буквально «108 Арьябхаты»), поскольку в тексте 108 стихов. Она написана в очень лаконичном стиле, типичном для литературы по сутрам , в котором каждая строка помогает запоминать сложную систему. Таким образом, экспликация смысла осуществляется за счет комментаторов. Текст состоит из 108 стихов и 13 вводных стихов и разделен на четыре пады или главы:

  1. Гитикапада : (13 стихов): большие единицы времени — кальпа , манвантра и юга — которые представляют космологию, отличную от более ранних текстов, таких как « Веданга Джйотиша» Лагадхи (ок. I век до н. э.). Также существует таблица синусов ( джья ), данная в одном стихе. Продолжительность планетарных вращений во время Махаюги составляет 4,32 миллиона лет.
  2. Ганитапада (33 стиха): охватывающая измерения ( кшетра вьявахара ), арифметические и геометрические прогрессии, гномон /тени ( шанку - чхайА ), простые, квадратичные , одновременные и неопределенные уравнения ( кутака ).
  3. Калакрияпада (25 стихов): различные единицы времени и метод определения положения планет для данного дня, расчеты относительно вставочного месяца ( адхикамАса ), кшайа-титхи и семидневной недели с названиями дней неделя.
  4. Голапада (50 стихов): Геометрические/ тригонометрические аспекты небесной сферы , особенности эклиптики , небесного экватора , узла, формы Земли, причины смены дня и ночи, восхода знаков зодиака на горизонте и т. д. Кроме того, некоторые версии процитируйте несколько добавленных в конце колофонов , восхваляющих достоинства произведения и т. д.

Арьябхатия представила в форме стихов ряд новшеств в математике и астрономии, которые имели влияние на протяжении многих столетий. Чрезвычайная краткость текста была развита в комментариях его ученика Бхаскары I ( Бхашья , ок. 600 г. н.э.) и Нилаканты Сомаяджи в его «Арьябхатия Бхашья» (1465 г. н.э.).

Арьябхатия также известен своим описанием относительности движения. Он выразил эту относительность так: «Подобно тому, как человек в лодке, движущейся вперед, видит неподвижные объекты (на берегу) движущимися назад, так и неподвижные звезды, которые люди на Земле видят как движущиеся точно на запад». [8]

Математика

Система значений места и ноль

Система ценностей , впервые увиденная в рукописи Бахшали III века , явно присутствовала в его творчестве. Хотя французский математик Жорж Ифра не использовал символ нуля , он утверждает, что знание нуля было неявным в системе разрядов Арьябхаты как заполнителя для степеней десяти с нулевыми коэффициентами . [16]

Однако Арьябхата не использовал цифры Брахми. Продолжая санскритскую традицию ведических времен , он использовал буквы алфавита для обозначения чисел, выражая величины, например таблицу синусов в мнемонической форме. [17]

Приближение π

Арьябхата работал над приближением числа пи (π) и, возможно, пришел к выводу, что число π иррационально. Во второй части « Арьябхатиям» ( ганитапада 10) он пишет:

чатурадхикам шатамаштагунам двашаштиштатха сахасранам
аютадваявишкамбхасйасанно вриттапаринахах.

«Прибавьте четыре к 100, умножьте на восемь, а затем прибавьте 62 000. По этому правилу можно приблизить длину окружности диаметром 20 000». [18]

Отсюда следует, что для круга диаметром 20000 длина окружности будет равна 62832.

т. е. = = , что с точностью до двух частей на миллион. [19]

Предполагается, что Арьябхата использовал слово асанна (приближение) для обозначения не только того, что это приближение, но и того, что ценность несоизмерима (или иррациональна ). Если это верно, то это довольно сложное открытие, поскольку иррациональность числа пи (π) была доказана в Европе только в 1761 году Ламбертом . [20]

После того, как Ариабхатия была переведена на арабский язык (около 820 г. н.э.), это приближение было упомянуто в книге Аль-Хорезми по алгебре. [10]

Тригонометрия

В Ганитападе 6 Арьябхата дает площадь треугольника как

трибхуджасйа пхалашарирам самадалакоти бхуджардхасамваргах

это переводится как: «Для треугольника результатом перпендикуляра с половиной стороны является площадь». [21]

Арьябхата обсудил концепцию синуса в своей работе под названием ардха-джья , что буквально означает «полухорда». Для простоты люди стали называть это jya . Когда арабские писатели переводили его произведения с санскрита на арабский, они называли это джиба . Однако в арабских письменах гласные опускаются, и оно обозначается сокращением jb . Более поздние писатели заменили его на джаиб , что означает «карман» или «складка (на одежде)». (По-арабски джиба — бессмысленное слово.) Позже, в XII веке, когда Герардо Кремонский перевел эти сочинения с арабского на латынь, он заменил арабский джаиб его латинским аналогом, sinus , что означает «бухта» или «залив». ; отсюда и английское слово «синус» . [22]

Неопределенные уравнения

Проблема, представляющая большой интерес для индийских математиков с древних времен, заключалась в поиске целочисленных решений диофантовых уравнений , имеющих вид ax + by = c. (Эта проблема также изучалась в древнекитайской математике, и ее решение обычно называют китайской теоремой об остатках .) Это пример из комментария Бхаскары к Арьябхатие :

Найдите число, которое дает остаток 5 при делении на 8, остаток 4 при делении на 9 и остаток 1 при делении на 7.

То есть найдите N = 8x+5 = 9y+4 = 7z+1. Оказывается, что наименьшее значение N равно 85. В общем, диофантовые уравнения, подобные этому, могут быть чрезвычайно сложными. Они широко обсуждались в древнем ведическом тексте Сульба-сутры , более древние части которого могут датироваться 800 годом до нашей эры. Метод Арьябхаты для решения таких проблем, разработанный Бхаскарой в 621 году нашей эры, называется методом кутака (कुट्टक). Кутака означает «растирание» или «разбиение на мелкие кусочки», и этот метод включает в себя рекурсивный алгоритм для записи исходных факторов в меньших количествах. Этот алгоритм стал стандартным методом решения диофантовых уравнений первого порядка в индийской математике, и первоначально весь предмет алгебры назывался куттака-ганита или просто куттака . [23]

Алгебра

В «Арьябхатии » Арьябхата предоставил элегантные результаты для суммирования рядов квадратов и кубов: [24]

и

(см. квадрат треугольного числа )

Астрономия

Система астрономии Арьябхаты называлась системой аудаяка , в которой дни отсчитываются от удея , рассвета на Ланке или «экватора». Некоторые из его более поздних сочинений по астрономии, в которых, по-видимому, предлагалась вторая модель (или ardha-rAtrikA , полночь), утеряны, но могут быть частично реконструированы на основе обсуждения в « Кхандакадьяке » Брахмагупты . В некоторых текстах он, кажется, приписывает видимое движение небес вращению Земли . Возможно, он считал, что орбиты планет эллиптические , а не круговые. [25] [26]

Движения Солнечной системы

Арьябхата правильно утверждал, что Земля ежедневно вращается вокруг своей оси и что видимое движение звезд является относительным движением, вызванным вращением Земли, вопреки преобладавшему в то время мнению, что небо вращается. [19] На это указано в первой главе «Арьябхатии » , где он приводит число оборотов Земли за югу , [ 27] и это становится более ясным в его голе- главе: [28]

Точно так же, как кто-то в лодке, идущей вперед, видит неподвижный [объект], идущий назад, так и [кто-то] на экваторе видит неподвижные звезды, равномерно идущие на запад. Причина восхода и захода [в том, что] сфера звезд вместе с планетами [видимо?] поворачивается прямо на запад у экватора, постоянно толкаемая космическим ветром .

Арьябхата описал геоцентрическую модель Солнечной системы, в которой Солнце и Луна перемещаются по эпициклам . Они в свою очередь вращаются вокруг Земли. В этой модели, которая также встречается в «Пайтамахасиддханте» (ок. 425 г. н.э.), движение планет управляется двумя эпициклами: меньшим мандой (медленным) и большим шигхрой (быстрым). [29] Порядок планет по расстоянию от Земли принимается следующим: Луна , Меркурий , Венера , Солнце , Марс , Юпитер , Сатурн и астеризмы . [10]

Положения и периоды планет рассчитывались относительно равномерно движущихся точек. В случае Меркурия и Венеры они движутся вокруг Земли с той же средней скоростью, что и Солнце. В случае Марса, Юпитера и Сатурна они движутся вокруг Земли с определенной скоростью, отражая движение каждой планеты по зодиаку. Большинство историков астрономии считают, что эта модель двух эпициклов отражает элементы доптолемеевской греческой астрономии . [30] Другой элемент модели Арьябхаты, шигрокка , основной планетарный период по отношению к Солнцу, рассматривается некоторыми историками как признак лежащей в основе гелиоцентрической модели. [31]

Затмения

Солнечные и лунные затмения были научно объяснены Арьябхатой. Он утверждает, что Луна и планеты светятся отраженным солнечным светом. Вместо преобладающей космогонии, в которой затмения были вызваны Раху и Кету (идентифицированными как псевдопланетарные лунные узлы ), он объясняет затмения с помощью теней, отбрасываемых Землей и падающих на нее. Таким образом, лунное затмение происходит, когда Луна входит в тень Земли (стих гола.37). Он подробно обсуждает размер и протяженность тени Земли (стихи гола.38–48), а затем приводит расчеты и размер затменной части во время затмения. Позже индийские астрономы усовершенствовали расчеты, но основу составили методы Арьябхаты. Его вычислительная парадигма была настолько точной, что ученый XVIII века Гийом Ле Жантиль во время визита в Пондичерри, Индия, обнаружил, что индийские расчеты продолжительности лунного затмения 30 августа 1765 года оказались короче на 41 секунду, тогда как его диаграммы (автор Тобиас Майер, 1752 г.) были длиннее на 68 секунд. [10]

Звездные периоды

В современных английских единицах времени Арьябхата рассчитал сидерическое вращение (вращение Земли относительно неподвижных звезд) как 23 часа, 56 минут и 4,1 секунды; [32] современное значение составляет 23:56:4,091. Точно так же его значение продолжительности звездного года в 365 дней, 6 часов, 12 минут и 30 секунд (365,25858 дней) [33] представляет собой ошибку в 3 минуты и 20 секунд на протяжении года (365,25636 дней). . [34]

гелиоцентризм

Как уже упоминалось, Арьябхата выступал за астрономическую модель, в которой Земля вращается вокруг своей оси. Его модель также внесла поправки ( аномалия Шигра ) в скорости планет на небе с точки зрения средней скорости Солнца. Таким образом, было высказано предположение, что расчеты Арьябхаты были основаны на базовой гелиоцентрической модели, в которой планеты вращаются вокруг Солнца, [35] [36] [37] , хотя это было опровергнуто. [38] Было также высказано предположение, что некоторые аспекты системы Арьябхаты могли быть заимствованы из более ранней, вероятно, доптолемеевской греческой гелиоцентрической модели, о которой индийские астрономы не знали, [39] хотя доказательства скудны. [40] По общему мнению, синодическая аномалия (в зависимости от положения Солнца) не подразумевает физически гелиоцентрическую орбиту (такие поправки также присутствуют в поздневавилонских астрономических текстах ), и что система Арьябхаты не была явно гелиоцентрической. [41]

Наследие

Первый спутник Индии назван в честь Арьябхаты

Работы Арьябхаты оказали большое влияние на индийскую астрономическую традицию и оказали влияние на несколько соседних культур посредством переводов. Арабский перевод во время Золотого века ислама (ок. 820 г. н. э.) имел особое влияние . Некоторые из его результатов цитируются Аль-Хорезми , а в 10 веке Аль-Бируни заявил, что последователи Арьябхаты считали, что Земля вращается вокруг своей оси.

Его определения синуса ( jya ), косинуса ( kojya ), версуса ( utkrama-jya ) и обратного синуса ( otkram jya ) повлияли на рождение тригонометрии . Он также был первым, кто определил таблицы синуса и версуса (1 - cos  x ) с интервалом 3,75 ° от 0 ° до 90 ° с точностью до 4 десятичных знаков.

Фактически, современные названия «синус» и «косинус» представляют собой неправильную транскрипцию слов джья и коджья , введенных Арьябхатой. Как уже упоминалось, они были переведены на арабский язык как джиба и кодиба , а затем неправильно поняты Герардом Кремонским при переводе арабского текста по геометрии на латынь . Он предположил, что джиба — это арабское слово jaib , что означает «складка на одежде», L. sinus (ок. 1150 г.). [42]

Методы астрономических расчетов Арьябхаты также оказали большое влияние. Наряду с тригонометрическими таблицами они получили широкое распространение в исламском мире и использовались для расчета многих арабских астрономических таблиц ( зиджес ). В частности, астрономические таблицы в работе арабского испанского учёного Аль-Заркали (11 век) были переведены на латынь как Таблицы Толедо (12 век) и на протяжении веков оставались наиболее точными эфемеридами, использовавшимися в Европе.

Календарные расчеты, разработанные Арьябхатой и его последователями, постоянно использовались в Индии для практических целей установления Панчангама ( индуистского календаря ). В исламском мире они легли в основу календаря Джалали , введенного в 1073 году нашей эры группой астрономов, включая Омара Хайяма , [43] версии которого (измененные в 1925 году) являются национальными календарями, используемыми сегодня в Иране и Афганистане . Даты календаря Джалали основаны на фактическом солнечном транзите, как в календарях Арьябхаты и более ранних календарях Сиддханты . Этот тип календаря требует эфемерид для расчета дат. Хотя даты было трудно вычислить, сезонные ошибки в календаре Джалали были меньше, чем в григорианском календаре . [ нужна цитата ]

Университет знаний Арьябхатты (AKU) в Патне был основан правительством Бихара для развития и управления образовательной инфраструктурой, связанной с техническим, медицинским, управленческим и смежным профессиональным образованием, в его честь. Университет регулируется Законом об университете штата Бихар 2008 года.

В его честь названы первый спутник Индии Арьябхата и лунный кратер Арьябхата . Спутник Арьябхата также изображен на реверсе индийской банкноты в 2 рупии . Институтом проведения исследований в области астрономии, астрофизики и наук об атмосфере является Научно-исследовательский институт наблюдательных наук Арьябхатты (ARIES) недалеко от Найнитала, Индия. В его честь также названо межшкольное соревнование по математике Арьябхаты, [44] как и Bacillus aryabhata , вид бактерий, обнаруженный в стратосфере учеными ISRO в 2009 году. [45] [46]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ abc Бхау Даджи (1865). «Краткие заметки о возрасте и подлинности произведений Арьябхаты, Варахамихиры, Брахмагупты, Бхаттотпалы и Бхаскарачарьи». Журнал Королевского азиатского общества Великобритании и Ирландии. стр. 392–406.
  2. ^ Сингх, Дж. (1999). Стерлинговый словарь физики. Стерлинг Паблишерс Прайвит Лимитед. п. 12. ISBN 978-81-7359-124-2. Проверено 15 апреля 2023 г.
  3. ^ О'Коннор, Джей-Джей; Робертсон, Э. Ф. «Арьябхата Старший». www-history.mcs.st-andrews.ac.uk. Архивировано из оригинала 11 июля 2015 года . Проверено 18 июля 2012 г.
  4. ^ Образовательное издательство Britannica (15 августа 2010 г.). Британское руководство по числам и измерениям. Издательская группа Розен. стр. 97–. ISBN 978-1-61530-218-5.
  5. ^ Бхарати Рэй (1 сентября 2009 г.). Различные типы истории. Пирсон Образовательная Индия. стр. 95–. ISBN 978-81-317-1818-6.
  6. ^ ab BS Yadav (28 октября 2010 г.). Древние индейцы погружаются в математику. Спрингер. п. 88. ИСБН 978-0-8176-4694-3.
  7. ^ Хайди Рупп (1997). Преподавание всемирной истории: справочник. Я Шарп. стр. 112–. ISBN 978-1-56324-420-9.
  8. ^ аб С. Как, Арьябхатия. Энциклопедия Индии, 2005 г.
  9. ^ abcdef КВ Сарма (2001). «Арьябхата: его имя, время и происхождение» (PDF) . Индийский журнал истории науки . 36 (4): 105–115. Архивировано из оригинала (PDF) 31 марта 2010 года.
  10. ^ abcdef Ансари, SMR (март 1977 г.). «Арьябхата I, его жизнь и вклад». Бюллетень Астрономического общества Индии . 5 (1): 10–18. Бибкод : 1977BASI....5...10A. HDL : 2248/502.
  11. ^ Менон (2009). Введение в историю и философию науки. Пирсон Образовательная Индия. п. 52. ИСБН 978-81-317-2890-1.
  12. ↑ Радхакришнан Куттур (25 июня 2007 г.), «Арьябхата жил в Поннани?», The Hindu , заархивировано из оригинала 1 июля 2007 г.
  13. ^ См.:
    * Кларк 1930
    * С. Балачандра Рао (2000). Индийская астрономия: Введение. Ориент Блэксван. п. 82. ИСБН 978-81-7371-205-0.: «В индийской астрономии нулевой меридиан — это большой круг Земли, проходящий через северный и южный полюса, Уджайини и Ланку, где Ланка, как предполагалось, находилась на экваторе Земли».
    * Л. Сатпати (2003). Древнеиндийская астрономия. Alpha Science Int'l Ltd. с. 200. ИСБН 978-81-7319-432-0.: «Затем на экваторе определяются семь сторон света, одна из них называется Ланка, на пересечении экватора с меридиональной линией, проходящей через Удджайни. Эта Ланка, конечно, вымышленное имя и не имеет ничего общего с островом Шри-Ланка».
    * Эрнст Вильгельм. Классическая Мухурта. Кала Оккультное издательство. п. 44. ИСБН 978-0-9709636-2-8.: «Точка на экваторе, которая находится ниже города Удджайн, известна, согласно сиддхантам, как Ланка. (Это не та Ланка, которая сейчас известна как Шри-Ланка; Арьябхата очень ясно заявляет, что Ланка находится под углом 23 градуса). к югу от Удджайна.)»
    * Р.М. Пуджари; Прадип Колхе; Н.Р. Кумар (2006). Гордость Индии: взгляд на научное наследие Индии. САМСКРИТА БХАРАТИ. п. 63. ИСБН 978-81-87276-27-2.
    * Эбенезер Берджесс; Фаниндралал Гангули (1989). Сурья Сиддханта: Учебник индуистской астрономии. Мотилал Банарсидасс Publ. п. 46. ​​ИСБН 978-81-208-0612-2.
  14. ^ Кук (1997). « Математика индусов ». История математики: Краткий курс . Уайли. п. 204. ИСБН 9780471180821. Сам Арьябхата (один из по крайней мере двух математиков, носивших это имя) жил в конце V — начале VI веков в Кусумапуре (Паталиутра, деревня недалеко от города Патна) и написал книгу под названием « Арьябхатия» .
  15. ^ «Приготовьтесь к солнечному затмению» (PDF) . Национальный совет научных музеев, Министерство культуры, Правительство Индии. Архивировано из оригинала (PDF) 21 июля 2011 года . Проверено 9 декабря 2009 г.
  16. ^ Джордж. Ифра (1998). Универсальная история чисел: от предыстории до изобретения компьютера . Лондон: Джон Уайли и сыновья.
  17. ^ Дутта, Бибхутибхушан; Сингх, Авадеш Нараян (1962). История индуистской математики . Издательство «Азия», Бомбей. ISBN 81-86050-86-8.
  18. ^ Джейкобс, Гарольд Р. (2003). Геометрия: видеть, делать, понимать (Третье изд.). Нью-Йорк: WH Freeman and Company. п. 70. ИСБН 0-7167-4361-2.
  19. ^ ab Как Арьябхата правильно определил окружность Земли. Архивировано 15 января 2017 года в Wayback Machine.
  20. ^ С. Балачандра Рао (1998) [Впервые опубликовано в 1994 году]. Индийская математика и астрономия: некоторые ориентиры . Бангалор: Публикации Jnana Deep. ISBN 81-7371-205-0.
  21. ^ Роджер Кук (1997). «Математика индусов». История математики: Краткий курс . Уайли-Интерсайенс. ISBN 0-471-18082-3. Арьябхата дал правильное правило площади треугольника и неправильное правило объема пирамиды. (Он утверждал, что объем равен половине высоты, умноженной на площадь основания.)
  22. ^ Говард Ивс (1990). Введение в историю математики (6-е изд.). Издательство Saunders College, Нью-Йорк. п. 237.
  23. ^ Амартья К. Дутта, «Диофантовы уравнения: Куттака». Архивировано 2 ноября 2014 г. в Wayback Machine , Resonance , октябрь 2002 г. Также см. более ранний обзор: Математика в Древней Индии. Архивировано 2 ноября 2014 г. в Wayback Machine .
  24. ^ Бойер, Карл Б. (1991). «Математика индусов». История математики (второе изд.). John Wiley & Sons, Inc. с. 207. ИСБН 0-471-54397-7. Он дал более элегантные правила для суммы квадратов и кубов начального отрезка натуральных чисел. Шестая часть произведения трех величин, состоящая из количества слагаемых, количества слагаемых плюс один и удвоенного количества слагаемых плюс один, представляет собой сумму квадратов. Квадрат суммы ряда равен сумме кубов.
  25. ^ Джей Джей О'Коннор и Э. Ф. Робертсон, Арьябхата Старший. Архивировано 19 октября 2012 года в Wayback Machine , архив MacTutor History of Mathematics :

    «Он верит, что Луна и планеты светятся отраженным солнечным светом, невероятно он верит, что орбиты планет представляют собой эллипсы».

  26. ^ Хаяши (2008), Арьябхата I
  27. ^ Арьябхатия 1.3ab, см. Plofker 2009, стр. 111.
  28. ^ [ ачалани бхани самапашчимагани ... - голапада.9–10]. Перевод из К.С. Шуклы и К.В. Сармы, К.В. Арьябхаты из Арьябхаты , Нью-Дели: Индийская национальная академия наук, 1976. Цитируется по Plofker, 2009.
  29. ^ Пингри, Дэвид (1996). «Астрономия в Индии». У Уокера, Кристофер (ред.). Астрономия до телескопа . Лондон: Издательство Британского музея. стр. 123–142. ISBN 0-7141-1746-3.стр. 127–9.
  30. ^ Отто Нойгебауэр, «Передача планетарных теорий в древней и средневековой астрономии», Scripta Mathematica , 22 (1956), стр. 165–192; перепечатано в Отто Нойгебауэре, Астрономия и история: Избранные очерки, Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1983, стр. 129–156. ISBN 0-387-90844-7 
  31. ^ Хью Терстон, Ранняя астрономия , Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1996, стр. 178–189. ISBN 0-387-94822-8 
  32. ^ RCGupta (31 июля 1997 г.). «Арьябхата». В Хелейн Селин (ред.). Энциклопедия истории науки, техники и медицины в незападных культурах. Спрингер. п. 72. ИСБН 978-0-7923-4066-9.
  33. ^ Ансари, с. 13, таблица 1
  34. ^ Арьябхатия маратхи : आर्यभटीय , Мохан Апте, Пуна, Индия, Rajhans Publications, 2009, стр.25, ISBN 978-81-7434-480-9 
  35. ^ Концепцию индийского гелиоцентризма отстаивал Б. Л. ван дер Варден, «Гелиоцентрическая система в гричиской, персидской и индийской астрономии». Naturforschenden Gesellschaft в Цюрихе. Цюрих: Kommissionsverlag Leeman AG, 1970.
  36. ^ Б.Л. ван дер Варден, «Гелиоцентрическая система в греческой, персидской и индуистской астрономии», в книге Дэвида А. Кинга и Джорджа Салибы, изд., « От Deferent to Equant: Том исследований по истории науки в древности и средневековье». Ближний Восток в честь Э.С. Кеннеди , Анналы Нью-Йоркской академии наук, 500 (1987), стр. 529–534.
  37. ^ Хью Терстон (1996). Ранняя астрономия . Спрингер . п. 188. ИСБН 0-387-94822-8.
  38. ^ Ноэль Свердлов, «Обзор: утраченный памятник индийской астрономии», Isis , 64 (1973): 239–243.
  39. ^ Хотя Аристарху Самосскому (3 век до н. э.) приписывают выдвижение гелиоцентрической теории, версия греческой астрономии , известная в древней Индии как Паулиса Сиддханта , не содержит ссылок на такую ​​теорию.
  40. ^ Деннис Дьюк, «Эквант в Индии: математическая основа древних индийских планетарных моделей». Архив истории точных наук 59 (2005): 563–576, н. 4 «Архивная копия» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 18 марта 2009 г. Проверено 8 февраля 2016 г.{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link).
  41. ^ Ким Плофкер (2009). Математика в Индии . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. п. 111. ИСБН 978-0-691-12067-6.
  42. ^ Дуглас Харпер (2001). «Онлайн-этимологический словарь». Архивировано из оригинала 13 июля 2007 года . Проверено 14 июля 2007 г.
  43. ^ "Омар Хайям". Колумбийская энциклопедия (6-е изд.). Май 2001 г. Архивировано из оригинала 17 октября 2007 г. Проверено 10 июня 2007 г.
  44. ^ «Математика может быть интересной» . Индус . 3 февраля 2006 г. Архивировано из оригинала 1 октября 2007 г. Проверено 6 июля 2007 г.
  45. ^ «Новые микроорганизмы обнаружены в стратосфере Земли». ScienceDaily. 18 марта 2009 г. Архивировано из оригинала 1 апреля 2018 г.
  46. ^ «Пресс-релиз ISRO от 16 марта 2009 г.» . ИСРО. Архивировано из оригинала 5 января 2012 года . Проверено 24 июня 2012 г.

Цитируемые работы

Внешние ссылки

Викискладе есть медиафайлы по теме Арьябхаты .
В Wikiquote есть цитаты, связанные с Арьябхатой .