Серия (математика)

Бесконечная сумма

В математике ряд — это, грубо говоря, операция прибавления бесконечного числа величин, одна за другой, к заданной исходной величине. ^[1] Изучение рядов является основной частью исчисления и его обобщения, математического анализа . Ряды используются в большинстве областей математики, даже для изучения конечных структур (например, в комбинаторике ) посредством производящих функций . Помимо повсеместного распространения в математике, бесконечные ряды также широко используются в других количественных дисциплинах, таких как физика , информатика , статистика и финансы .

Долгое время идея о том, что такое потенциально бесконечное суммирование может дать конечный результат, считалась парадоксальной . Этот парадокс был разрешен с помощью концепции предела в 17 веке. Парадокс Зенона об Ахиллесе и черепахе иллюстрирует это противоречивое свойство бесконечных сумм: Ахиллес бежит за черепахой, но когда он достигает положения черепахи в начале забега, черепаха достигает второй позиции; когда он достигает этой второй позиции, черепаха оказывается в третьей позиции и так далее. Зенон пришел к выводу, что Ахиллес никогда не сможет дотянуться до черепахи и, следовательно, этого движения не существует. Зенон разделил расу на бесконечное количество подрас, каждая из которых требует конечного количества времени, так что общее время, за которое Ахиллес поймает черепаху, определяется рядом. Разрешение парадокса состоит в том, что, хотя ряд имеет бесконечное число членов, он имеет конечную сумму, что дает Ахиллесу время, необходимое для того, чтобы догнать черепаху.

В современной терминологии любая (упорядоченная) бесконечная последовательность термов ( то есть чисел, функций или всего, что можно сложить) определяет ряд, который представляет собой операцию сложения a i _одного за другим. Чтобы подчеркнуть, что существует бесконечное число членов, ряд можно назвать бесконечным рядом . Такой ряд представляется (или обозначается) выражением вида ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )}$

$${\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots ,}$$

или, используя знак суммы ,

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}.}$$

Бесконечная последовательность сложений, подразумеваемая рядом, не может быть эффективно продолжена (по крайней мере, за конечное время). Однако если набор , которому принадлежат члены и их конечные суммы, имеет понятие предела , иногда можно присвоить значение ряду, называемому суммой ряда. Это значение является пределом при стремлении n к бесконечности (если предел существует) конечных сумм n первых членов ряда, которые называются n-ми частичными суммами ряда. То есть,

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}a_{i}.}$$

Когда этот предел существует, говорят, что ряд сходится или суммируется , или что последовательность суммируема . В этом случае предел называется суммой ряда . В противном случае говорят, что ряд расходится . ^[2] ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )}$

Обозначения обозначают как ряд — то есть неявный процесс добавления членов один за другим в течение неопределенного времени — и, если ряд сходится, сумму ряда — результат этого процесса. Это обобщение аналогичного соглашения об обозначении сложения ( процесса сложения) и его результата ( суммы a и b ) . ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}}$ ${\displaystyle a+b}$

Как правило, члены ряда происходят из кольца , часто поля действительных чисел или поля комплексных чисел . При этом множество всех рядов само по себе является кольцом (и даже ассоциативной алгеброй ), в котором сложение состоит из почленного сложения ряда, а умножение — произведение Коши . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Основные свойства

Бесконечная серия или просто серия – это бесконечная сумма, представленная бесконечным выражением вида ^[3]

$${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots ,}$$

где — любая упорядоченная последовательность термов , таких как числа , функции или что-либо еще , что можно добавить ( абелева группа ). Это выражение, которое получается из списка терминов путем их расположения рядом и соединения их символом «+». Ряд также может быть представлен с использованием обозначения суммирования , например: ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle a_{0},a_{1},\dots }$

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.}$$

Если абелева группа термов A имеет понятие предела (например, если это метрическое пространство ), то некоторый ряд, сходящийся ряд , можно интерпретировать как имеющий значение в A , называемое суммой ряда . Сюда входят распространенные случаи из исчисления , в которых группа представляет собой поле действительных чисел или поле комплексных чисел . Учитывая ряд , его k-я частичная сумма равна ^[2] ${\textstyle s=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$

$${\displaystyle s_{k}=\sum _{n=0}^{k}a_{n}=a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{k}.}$$

По определению ряд сходится к пределу L (или просто суммируется с L ), если последовательность его частичных сумм имеет предел L. ^[3] В этом случае обычно пишут ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$

$${\displaystyle L=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.}$$

Ряд называется сходящимся , если он сходится к некоторому пределу, и расходящимся, если этого не происходит. Значение этого предела, если оно существует, является тогда значением ряда.

Конвергентный ряд

Иллюстрация трех геометрических рядов с частичными суммами от 1 до 6 членов. Пунктирная линия представляет предел.

Ряд Σan называется сходящимся или _{сходящимся} , если последовательность ( sk ) _{частичных} сумм имеет конечный предел . Если предел sk бесконечен или не существует, говорят, что _ряд расходится . ^{[4] [2]} Когда существует предел частичных сумм, он называется значением (или суммой) ряда

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\lim _{k\to \infty }s_{k}=\lim _{k\to \infty }\sum _{n=0}^{k}a_{n}.}$$

Самый простой способ сходимости бесконечного ряда — это если все _n равны нулю при достаточно большом n . Такой ряд можно отождествить с конечной суммой, поэтому он бесконечен только в тривиальном смысле.

Выявление свойств сходящихся рядов, даже если бесконечное число членов ненулевых, составляет суть изучения рядов. Рассмотрим пример

$${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}+\cdots .}$$

Можно «визуализировать» ее сходимость на прямой с действительными числами : мы можем представить себе линию длиной 2 с последовательными сегментами , отмеченными длинами 1, 1/2, 1/4 и т. д. Всегда есть место, чтобы отметить следующий сегмент, потому что количество оставшихся линий всегда такое же, как и у последнего отмеченного сегмента: когда мы отметили 1/2, у нас все еще остается немаркированный кусок длиной 1/2, поэтому мы определенно можем отметить следующую 1/4. . Этот аргумент не доказывает, что сумма равна 2 (хотя это так), но доказывает, что она не превосходит  2. Другими словами, ряд имеет верхнюю границу. Учитывая, что ряд сходится, для доказательства того, что он равен 2, требуется лишь элементарная алгебра . Если ряд обозначить S , то видно, что

$${\displaystyle S/2={\frac {1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots }{2}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots .}$$

Поэтому,

$${\displaystyle S-S/2=1\Rightarrow S=2.}$$

Эту идиому можно распространить на другие, эквивалентные понятия серий. Например, повторяющаяся десятичная дробь , как в

$${\displaystyle x=0.111\dots ,}$$

кодирует серию

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{10^{n}}}.}$$

Поскольку эти ряды всегда сходятся к действительным числам (в силу так называемого свойства полноты действительных чисел), говорить о рядах таким образом — то же самое, что говорить о числах, которые они обозначают. В частности, десятичное расширение 0,111... можно отождествить с 1/9. Это приводит к аргументу, что 9 × 0,111... = 0,999... = 1 , который основан только на том факте, что предельные законы для рядов сохраняют арифметические операции ; подробнее об этом аргументе см. 0,999... .

Примеры числовых рядов

• Геометрическая серия — это такая, в которой каждый последующий член получается путем умножения предыдущего члена на постоянное число (в данном контексте называемое общим отношением). Например: ^[2]
  $${\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over 2^{n}}=2.}$$

  В общем, геометрический ряд

  $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{n}}$$

  сходится тогда и только тогда , когда , и в этом случае он сходится к . ${\textstyle |z|<1}$ ${\textstyle {1 \over 1-z}}$

• Гармоническим рядом является ряд ^[5]
  $${\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n}.}$$

  Гармонический ряд расходится .

• Перемежающийся ряд – ряд, в котором термины чередуют знаки. Примеры:
  $${\displaystyle 1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\left(-1\right)^{n-1} \over n}=\ln(2)\quad }$$

  ( чередующийся гармонический ряд ) и

  $${\displaystyle -1+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{9}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{n}}{2n-1}}=-{\frac {\pi }{4}}}$$
• Телескопическая серия
  $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(b_{n}-b_{n+1})}$$

  сходится, если _{последовательность} bn сходится к пределу L — при стремлении n к бесконечности. Тогда значение ряда равно b ₁ − L .

• Арифметико -геометрический ряд — это обобщение геометрической прогрессии, коэффициенты которого при общем отношении равны членам арифметической последовательности . Пример:
  $${\displaystyle 3+{5 \over 2}+{7 \over 4}+{9 \over 8}+{11 \over 16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{(3+2n) \over 2^{n}}.}$$
• P - серия
  $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}}$$

  сходится при p > 1 и расходится при p ≤ 1, что можно показать с помощью интегрального критерия, описанного ниже в тестах на сходимость. Как функция от p , сумма этого ряда является дзета-функцией Римана .

• Гипергеометрический ряд :
  $${\displaystyle _{r}F_{s}\left[{\begin{matrix}a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{r}\\b_{1},b_{2},\dotsc ,b_{s}\end{matrix}};z\right]:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{n}(a_{2})_{n}\dotsb (a_{r})_{n}}{(b_{1})_{n}(b_{2})_{n}\dotsb (b_{s})_{n}\;n!}}z^{n}}$$

  и их обобщения (такие как основные гипергеометрические ряды и эллиптические гипергеометрические ряды ) часто появляются в интегрируемых системах и математической физике . ^[6]

• Существуют некоторые элементарные ряды, сходимость которых еще не известна/доказана. Например, неизвестно, будет ли сериал «Флинт-Хиллз»
  $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}\sin ^{2}n}}}$$
  сходится или нет. Сходимость зависит от того, насколько хорошо можно аппроксимировать рациональными числами (что пока неизвестно). Точнее, значения n с большими числовыми вкладами в сумму являются числителями дробей, подходящих для цепной дроби , последовательности, начинающейся с 1, 3, 22, 333, 355, 103993,... (последовательность A046947 в OEIS ) . Это целые числа n , близкие к некоторому целому числу m , поэтому оно близко к и обратное ему велико. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle m\pi }$ ${\displaystyle \sin n}$ ${\displaystyle \sin m\pi =0}$

Пи

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$$

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{i+1}(4)}{2i-1}}={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}-\cdots =\pi }$$

Натуральный логарифм 2

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{i+1}}{i}}=\ln 2}$$

^[2]

$${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{(2i+1)(2i+2)}}=\ln 2}$$

$${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(i+1)(i+2)}}=2\ln(2)-1}$$

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i\left(4i^{2}-1\right)}}=2\ln(2)-1}$$

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}i}}=\ln 2}$$

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\left({\frac {1}{3^{i}}}+{\frac {1}{4^{i}}}\right){\frac {1}{i}}=\ln 2}$$

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2i(2i-1)}}=\ln 2}$$

Натуральный логарифм по основанию e

$${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{i!}}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots ={\frac {1}{e}}}$$

$${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{i!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots =e}$$

Исчисление и частичное суммирование как операции над последовательностями

Частичное суммирование принимает на вход последовательность ( an ) и дает на выходе другую последовательность _{( SN} ) . Таким образом, это унарная операция над последовательностями. Кроме того, эта функция является линейной и, следовательно, является линейным оператором в векторном пространстве последовательностей, обозначаемым Σ. Обратный оператор — это конечно-разностный оператор, обозначаемый Δ. Они ведут себя как дискретные аналоги интегрирования и дифференцирования , только для рядов (функций натурального числа), а не функций действительной переменной. Например, последовательность (1, 1, 1, ...) имеет ряды (1, 2, 3, 4, ...) в качестве частичного суммирования, что аналогично тому факту, что ${\textstyle \int _{0}^{x}1\,dt=x.}$

В информатике это известно как префиксная сумма .

Свойства серии

Ряды классифицируются не только по тому, сходятся или расходятся они, но и по свойствам членов ап ₍ абсолютная или условная сходимость); тип сходимости ряда (поточечная, равномерная); класс члена _n (действительное ли это число, арифметическая прогрессия, тригонометрическая функция); и т. д.

Неотрицательные условия

Когда n _{является} неотрицательным действительным числом для каждого _n , последовательность частичных сумм SN не убывает. Отсюда следует, что ряд Σan с неотрицательными членами сходится тогда и только тогда, когда последовательность _{частичных сумм} SN ограничена.

Например, сериал

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$$

сходится, поскольку неравенство

$${\displaystyle {\frac {1}{n^{2}}}\leq {\frac {1}{n-1}}-{\frac {1}{n}},\quad n\geq 2,}$$

а аргумент телескопической суммы подразумевает, что частичные суммы ограничены цифрой 2. Точное значение исходного ряда - это Базельская проблема .

Группировка

При группировке ряда переупорядочения ряда не происходит, поэтому теорема о рядах Римана не применяется. Частичные суммы нового ряда будут являться подпоследовательностью исходного ряда, а это означает, что если исходный ряд сходится, то же самое происходит и с новым рядом. Но для расходящихся рядов это неверно, например, 1-1+1-1+..., сгруппированные каждые два элемента, создадут 0+0+0+... ряд, который является сходящимся. С другой стороны, расходимость нового ряда означает, что исходный ряд может только расходиться, что иногда полезно, как в доказательстве Орема .

Абсолютная конвергенция

Набор

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$$

сходится абсолютно , если ряд абсолютных значений

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|}$$

сходится. Этого достаточно, чтобы гарантировать не только сходимость исходного ряда к пределу, но и то, что любое его переупорядочение сходится к тому же пределу.

Условная сходимость

Ряд действительных или комплексных чисел называется условно сходящимся (или полусходящимся ), если он сходится, но не абсолютно сходится. Известный пример — чередующийся ряд

$${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1} \over n}=1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots ,}$$

который сходится (и его сумма равна  ), но ряд, образованный путем взятия абсолютного значения каждого члена, является расходящимся гармоническим рядом . Теорема о рядах Римана гласит, что любой условно сходящийся ряд можно переупорядочить, чтобы получился расходящийся ряд, и более того, если действительные числа и являются любым вещественным числом, то можно найти такое переупорядочение, что переупорядоченный ряд сходится с суммой, равной  . ${\displaystyle \ln 2}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Тест Абеля — важный инструмент для работы с полусходящимися рядами. Если ряд имеет вид

$${\displaystyle \sum a_{n}=\sum \lambda _{n}b_{n}}$$

где частичные суммы ограничены, имеют ограниченную вариацию и существуют: ${\displaystyle B_{n}=b_{0}+\cdots +b_{n}}$ ${\displaystyle \lambda _{n}}$ ${\displaystyle \lim \lambda _{n}b_{n}}$

$${\displaystyle \sup _{N}\left|\sum _{n=0}^{N}b_{n}\right|<\infty ,\ \ \sum \left|\lambda _{n+1}-\lambda _{n}\right|<\infty \ {\text{and}}\ \lambda _{n}B_{n}\ {\text{converges,}}}$$

то ряд сходится. Это относится к поточечной сходимости многих тригонометрических рядов, как в ${\textstyle \sum a_{n}}$

$${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\sin(nx)}{\ln n}}}$$

с . Метод Абеля заключается в записи и выполнении преобразования, аналогичного интегрированию по частям (называемого суммированием по частям ), связывающего данный ряд с абсолютно сходящимся рядом ${\displaystyle 0<x<2\pi }$ ${\displaystyle b_{n+1}=B_{n+1}-B_{n}}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$

$${\displaystyle \sum (\lambda _{n}-\lambda _{n+1})\,B_{n}.}$$

Оценка ошибок усечения

Оценка ошибок усечения является важной процедурой численного анализа (особенно проверенных числовых значений и компьютерных доказательств ).

Переменная серия

Когда условия испытания знакопеременной серии удовлетворяются , происходит точная оценка погрешности. ^[7] Установить как частичную сумму данного знакопеременного ряда . Тогда справедливо следующее неравенство: ${\textstyle S:=\sum _{m=0}^{\infty }(-1)^{m}u_{m}}$ ${\displaystyle s_{n}}$ ${\textstyle s_{n}:=\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}u_{m}}$ ${\displaystyle S}$

$${\displaystyle |S-s_{n}|\leq u_{n+1}.}$$

Серия Тейлора

Теорема Тейлора — это утверждение, которое включает оценку члена ошибки при усечении ряда Тейлора .

Гипергеометрическая серия

Используя соотношение , мы можем получить оценку члена ошибки при усечении гипергеометрического ряда . ^[8]

Матричная экспонента

Для матричной экспоненты :

$${\displaystyle \exp(X):=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}X^{k},\quad X\in \mathbb {C} ^{n\times n},}$$

справедлива следующая оценка погрешности (метод масштабирования и возведения в квадрат): ^{[9] [10] [11]}

$${\displaystyle T_{r,s}(X):=\left[\sum _{j=0}^{r}{\frac {1}{j!}}(X/s)^{j}\right]^{s},\quad \|\exp(X)-T_{r,s}(X)\|\leq {\frac {\|X\|^{r+1}}{s^{r}(r+1)!}}\exp(\|X\|).}$$

Тесты сходимости

Существует множество тестов, с помощью которых можно определить, сходятся или расходятся отдельные ряды.

• Проверка n-го члена : Если, то ряд расходится; если, то тест не дает результатов. ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0}$ ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$
• Тест сравнения 1 (см. Тест прямого сравнения ): Если — абсолютно сходящийся ряд такой, что для некоторого числа и для достаточно большого , то он также абсолютно сходится. Если расходится, причем при всех достаточно больших , то также не может сходиться абсолютно (хотя условно сходящимся все же может быть, например, при переменном знаке). ${\textstyle \sum b_{n}}$ ${\displaystyle \left\vert a_{n}\right\vert \leq C\left\vert b_{n}\right\vert }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\textstyle \sum \left\vert b_{n}\right\vert }$ ${\displaystyle \left\vert a_{n}\right\vert \geq \left\vert b_{n}\right\vert }$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}}$
• Проверка сравнения 2 (см. Проверка предельного сравнения ): Если это абсолютно сходящийся ряд, такой, что при достаточно большом , то он также абсолютно сходится. Если расходится, причем при всех достаточно больших , то также не может сходиться абсолютно (хотя условно сходящимся все же может быть, например, при переменном знаке). ${\textstyle \sum b_{n}}$ ${\displaystyle \left\vert {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right\vert \leq \left\vert {\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}\right\vert }$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\textstyle \sum \left|b_{n}\right|}$ ${\displaystyle \left\vert {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right\vert \geq \left\vert {\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}\right\vert }$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}}$
• Проверка отношения : если существует такая константа, что для всех достаточно больших  , то она сходится абсолютно. Когда отношение меньше , но не меньше константы меньше , сходимость возможна, но этот тест ее не устанавливает. ${\displaystyle C<1}$ ${\displaystyle \left\vert {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right\vert <C}$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$
• Корневой тест : если существует константа такая, что для всех достаточно больших  , то сходится абсолютно. ${\displaystyle C<1}$ ${\displaystyle \left\vert a_{n}\right\vert ^{\frac {1}{n}}\leq C}$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$
• Интегральный тест : если — положительная монотонно убывающая функция, определенная на интервале с для всех  , то сходится тогда и только тогда, когда интеграл конечен. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle [1,\infty )}$ ${\displaystyle f(n)=a_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\textstyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,dx}$
• Тест конденсации Коши : если неотрицательный и невозрастающий, то два ряда и имеют одинаковую природу: оба сходятся или оба расходятся. ${\displaystyle a_{n}}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\textstyle \sum 2^{k}a_{(2^{k})}}$
• Тест чередующегося ряда : Ряд вида (с ) называется чередующимся . Такой ряд сходится, если последовательность монотонно убывает и сходится к  . Обратное, вообще говоря, неверно. ${\textstyle \sum (-1)^{n}a_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}>0}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle 0}$
• Для некоторых конкретных типов рядов существуют более специализированные тесты сходимости, например, для рядов Фурье есть тест Дини .

Серия функций

Ряд действительных или комплексных функций

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)}$$

сходится поточечно на множестве E , если ряд сходится для каждого x из E как обычный ряд действительных или комплексных чисел. Эквивалентно, частичные суммы

$${\displaystyle s_{N}(x)=\sum _{n=0}^{N}f_{n}(x)}$$

сходятся к ƒ ( x ) при N  → ∞ для каждого x  ∈  E .

Более сильное понятие сходимости ряда функций — это равномерная сходимость . Ряд сходится равномерно, если он сходится поточечно к функции ƒ ( x ), а ошибка аппроксимации предела N- й частичной суммой

$${\displaystyle |s_{N}(x)-f(x)|}$$

можно сделать минимальным независимо от x , выбрав достаточно большое N.

Для ряда желательна равномерная сходимость, поскольку в этом случае многие свойства членов ряда сохраняются в пределе. Например, если ряд непрерывных функций сходится равномерно, то предельная функция также непрерывна. Аналогично, если ƒ _n интегрируемы на замкнутом и ограниченном интервале I и сходятся равномерно , то ряд также интегрируем на I и может быть проинтегрирован почленно. Тесты на равномерную сходимость включают М-критерий Вейерштрасса , тест равномерной сходимости Абеля , тест Дини и критерий Коши .

Могут быть определены и более сложные типы сходимости ряда функций. Например, в теории меры ряд функций сходится почти всюду , если он сходится поточечно, за исключением определенного множества нулевой меры . Другие способы сходимости зависят от другой структуры метрического пространства в пространстве рассматриваемых функций. Например, ряд функций сходится в среднем на множестве E к предельной функции ƒ при условии, что

$${\displaystyle \int _{E}\left|s_{N}(x)-f(x)\right|^{2}\,dx\to 0}$$

при N  → ∞.

Силовая серия

Степенной ряд – это ряд вида

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}.}$$

Ряд Тейлора в точке c функции — это степенной ряд, который во многих случаях сходится к функции в окрестности точки c . Например, сериал

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$$

является рядом Тейлора в начале координат и сходится к нему для каждого x . ${\displaystyle e^{x}}$

Если он не сходится только в точке x = c , такой ряд сходится на некотором открытом диске сходимости с центром в точке c на комплексной плоскости, а также может сходиться в некоторых точках границы диска. _Радиус этого диска известен как радиус сходимости и в принципе может быть определен из асимптотики коэффициентов n . Сходимость равномерна на замкнутых и ограниченных (т. е. компактных ) подмножествах внутренности круга сходимости, а именно, она равномерно сходится на компактах .

Исторически такие математики, как Леонард Эйлер, свободно оперировали бесконечными рядами, даже если они не сходились. Когда в девятнадцатом веке исчисление было положено на прочную и правильную основу, всегда требовались строгие доказательства сходимости рядов.

Формальный степенной ряд

Хотя во многих случаях степенные ряды относятся к их суммам, также можно рассматривать степенные ряды как формальные суммы , что означает, что на самом деле не выполняются никакие операции сложения, а символ «+» является абстрактным символом соединения, который не обязательно интерпретируется как соответствующий сложению. В этом случае интерес представляет сама последовательность коэффициентов, а не сходимость ряда. Формальные степенные ряды используются в комбинаторике для описания и изучения последовательностей , с которыми иначе трудно справиться, например, методом производящих функций . Ряд Гильберта –Пуанкаре — формальный степенной ряд, используемый для изучения градуированных алгебр .

Даже если предел степенного ряда не рассматривается, если термины поддерживают соответствующую структуру, тогда можно определить такие операции, как сложение , умножение , производная , первообразная для степенного ряда «формально», рассматривая символ «+» как если бы он соответствовало дополнению. В наиболее распространенном случае члены происходят из коммутативного кольца , так что формальный степенной ряд можно складывать почленно и умножать через произведение Коши . В этом случае алгебра формальных степенных рядов представляет собой полную алгебру моноида натуральных чисел над лежащим в основе термокольцом. ^[12] Если базовое терминальное кольцо является дифференциальной алгеброй , то алгебра формальных степенных рядов также является дифференциальной алгеброй, при этом дифференцирование выполняется почленно.

Лоран серии

Ряды Лорана обобщают степенные ряды, допуская в ряд члены как с отрицательными, так и с положительными показателями. Таким образом, ряд Лорана — это любой ряд вида

$${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}x^{n}.}$$

Если такой ряд сходится, то, вообще говоря, это происходит не в диске, а в кольце и, возможно, в некоторых граничных точках. Ряд сходится равномерно на компактных подмножествах внутри кольца сходимости.

Серия Дирихле

Ряд Дирихле – это одна из форм

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n^{s}},}$$

где s — комплексное число . Например, если все n равны 1, то ряд Дирихле представляет собой дзета-функцию Римана _.

$${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}.}$$

Как и дзета-функция, ряды Дирихле в целом играют важную роль в аналитической теории чисел . Обычно ряд Дирихле сходится, если действительная часть s больше числа, называемого абсциссой сходимости. Во многих случаях ряд Дирихле можно расширить до аналитической функции вне области сходимости путем аналитического продолжения . Например, ряд Дирихле для дзета-функции сходится абсолютно, когда Re( s ) > 1, но дзета-функция может быть расширена до голоморфной функции, определенной на с простым полюсом в точке 1. ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{1\}}$

Этот ряд можно непосредственно обобщить до общего ряда Дирихле .

Тригонометрический ряд

Ряд функций, членами которого являются тригонометрические функции , называется тригонометрическим рядом :

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}A_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(A_{n}\cos nx+B_{n}\sin nx\right).}$$

Наиболее важным примером тригонометрического ряда является ряд Фурье функции.

История теории бесконечных рядов

Разработка бесконечных серий

Греческий математик Архимед произвел первое известное суммирование бесконечного ряда с помощью метода, который до сих пор используется в области исчисления. Он использовал метод истощения для вычисления площади под дугой параболы с суммированием бесконечного ряда и дал удивительно точное приближение π . ^{[13] [14]}

Математики школы Кералы изучали бесконечные ряды c.  1350 год нашей эры . ^[15]

В 17 веке Джеймс Грегори работал в новой десятичной системе над бесконечными рядами и опубликовал несколько рядов Маклорена . В 1715 году общий метод построения рядов Тейлора для всех функций, для которых они существуют, был предложен Бруком Тейлором . Леонард Эйлер в 18 веке разработал теорию гипергеометрических рядов и q-рядов .

Критерии сходимости

Считается, что исследование справедливости бесконечных рядов началось с Гаусса в 19 веке. Эйлер уже рассматривал гипергеометрический ряд

$${\displaystyle 1+{\frac {\alpha \beta }{1\cdot \gamma }}x+{\frac {\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{1\cdot 2\cdot \gamma (\gamma +1)}}x^{2}+\cdots }$$

по которому Гаусс опубликовал мемуары в 1812 году. В нем установлены более простые критерии сходимости, а также вопросы остатков и диапазона сходимости.

Коши (1821) настаивал на строгих критериях сходимости; он показал, что если два ряда сходятся, их произведение не обязательно сходится, и с него начинается открытие эффективных критериев. Термины «конвергенция» и «дивергенция» были введены задолго до этого Григорием (1668). Леонард Эйлер и Гаусс предложили различные критерии, а Колен Маклорен предвосхитил некоторые открытия Коши. Коши развил теорию степенных рядов , разложив сложную функцию в такой форме.

Абель (1826) в своих мемуарах о биномиальном ряду

$${\displaystyle 1+{\frac {m}{1!}}x+{\frac {m(m-1)}{2!}}x^{2}+\cdots }$$

исправил некоторые выводы Коши и дал вполне научное суммирование ряда для комплексных значений и . Он показал необходимость рассмотрения темы преемственности в вопросах конвергенции. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle x}$

Методы Коши привели к созданию специальных, а не общих критериев, и то же самое можно сказать о Раабе (1832), который провел первое тщательное исследование этого предмета, о Де Моргане (с 1842), чей логарифмический критерий Дюбуа-Реймона (1873) и Прингсхайм (1889) показал неудачу в определенном регионе; Бертрана (1842 г.), Бонне (1843 г.), Мальмстена (1846, 1847 г., последний без интеграции) ; Стоукс (1847 г.), Паукер (1852 г.), Чебышев (1852 г.) и Арндт (1853 г.).

Общие критерии начались с Куммера (1835 г.) и изучались Эйзенштейном ( 1847 г.), Вейерштрассом в его различных вкладах в теорию функций, Дини (1867 г.), Дюбуа-Реймоном (1873 г.) и многими другими. Мемуары Прингсгейма (1889) представляют наиболее полную общую теорию.

Равномерная сходимость

Теорию равномерной сходимости рассматривал Коши (1821), на его ограничения указывал Абель, но первыми, кто успешно атаковал ее, были Зейдель и Стоукс (1847–48). Коши снова взялся за эту проблему (1853 г.), признав критику Абеля и придя к тем же выводам, к которым уже пришел Стоукс. Томаэ использовал эту доктрину (1866 г.), но признание важности различия между равномерной и неравномерной сходимостью произошло с большой задержкой, несмотря на требования теории функций.

Полуконвергенция

Ряд называется полусходящимся (или условно сходящимся), если он сходится, но не является абсолютно сходящимся .

Полусходящиеся ряды изучал Пуассон (1823), который также дал общий вид остальной части формулы Маклорена. Однако наиболее важное решение проблемы принадлежит Якоби (1834), который подошёл к вопросу об остатке с другой точки зрения и пришёл к другой формуле. Это выражение было также разработано и дано Мальмстеном (1847). Шлёмильх ( Zeitschrift , Vol.I, стр. 192, 1856) также улучшил остаток Якоби и показал связь между остатком и функцией Бернулли.

$${\displaystyle F(x)=1^{n}+2^{n}+\cdots +(x-1)^{n}.}$$

Генокки (1852) внес дальнейший вклад в эту теорию.

Среди первых писателей был Вронский , чье «loi suprême» (1815) почти не признавалось, пока Кэли (1873) не сделал его известным.

ряд Фурье

Ряды Фурье исследовались в результате физических соображений в то же время, когда Гаусс, Абель и Коши разрабатывали теорию бесконечных рядов. Ряды для разложения синусов и косинусов, множественных дуг по степеням синуса и косинуса дуги были рассмотрены Якобом Бернулли (1702 г.) и его братом Иоганном Бернулли (1701 г.), а еще раньше - Виетой . Эйлер и Лагранж упростили эту тему, как и Пуансо , Шрётер , Глейшер и Куммер .

Фурье (1807) поставил перед собой другую задачу — разложить данную функцию от x через синусы или косинусы, кратные x , — проблему, которую он воплотил в своей «Аналитической теории» (1822). Эйлер уже дал формулы для определения коэффициентов ряда; Фурье был первым, кто сформулировал и попытался доказать общую теорему. Пуассон (1820–1823) также подошёл к этой проблеме с другой точки зрения. Фурье, однако, не решил вопрос о сходимости своего ряда, и этот вопрос должен был попытаться решить Коши (1826), а Дирихле (1829) решить его полностью научным образом (см. Сходимость рядов Фурье ). Трактовка Дирихле ( Crelle , 1829) тригонометрических рядов была предметом критики и улучшения со стороны Римана (1854), Гейне, Липшица , Шлефли и дю Буа-Реймона . Среди других выдающихся авторов теории тригонометрии и рядов Фурье были Дини , Эрмит , Халфен , Краузе, Байерли и Аппель .

Обобщения

Асимптотический ряд

Асимптотические ряды , иначе асимптотические разложения , представляют собой бесконечные ряды, частичные суммы которых становятся хорошими приближениями в пределе некоторой точки области. В общем, они не сходятся, но полезны как последовательности аппроксимаций, каждая из которых дает значение, близкое к желаемому ответу, для конечного числа членов. Разница в том, что асимптотический ряд не может дать столь точный ответ, как хотелось бы, в отличие от сходящегося ряда. Фактически, после определенного числа членов типичный асимптотический ряд достигает своего наилучшего приближения; если включено больше терминов, большинство таких рядов дадут худшие ответы.

Дивергентная серия

Во многих случаях желательно приписать предел ряду, который не сходится в обычном смысле. Метод суммирования - это такое присвоение предела подмножеству множества расходящихся рядов, которое правильно расширяет классическое понятие сходимости. Методы суммирования включают суммирование Чезаро , суммирование ( C , k ), суммирование Абеля и суммирование Бореля в возрастающем порядке общности (и, следовательно, применимое ко все более расходящимся рядам).

Известны различные общие результаты, касающиеся возможных методов суммирования. Теорема Сильвермана-Теплица характеризует методы матричного суммирования , которые представляют собой методы суммирования расходящегося ряда путем применения бесконечной матрицы к вектору коэффициентов. Самый общий метод суммирования расходящегося ряда неконструктивен и касается банаховых пределов .

Суммирование по произвольным наборам индексов

Определения могут быть даны для сумм по произвольному набору индексов ^[16]. Есть два основных отличия от обычного понятия ряда: во-первых, на множестве не задан определенный порядок ; во-вторых, это множество может быть несчетным. Понятие конвергенции необходимо усилить, поскольку концепция условной сходимости зависит от порядка набора индексов. ${\displaystyle I.}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$

Если это функция от набора индексов к набору, то связанная с ней «серия» представляет собой формальную сумму элементов по элементам индекса , обозначаемым ${\displaystyle a:I\mapsto G}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a(x)\in G}$ ${\displaystyle x\in I}$

$${\displaystyle \sum _{x\in I}a(x).}$$

Когда набор индексов представляет собой натуральные числа, функция представляет собой последовательность , обозначаемую A. Ряд, индексированный по натуральным числам, представляет собой упорядоченную формальную сумму, поэтому мы переписываем как, чтобы подчеркнуть порядок, индуцированный натуральными числами. Таким образом, мы получаем общепринятые обозначения для ряда, индексированного натуральными числами ${\displaystyle I=\mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle a:\mathbb {N} \mapsto G}$ ${\displaystyle a(n)=a_{n}.}$ ${\textstyle \sum _{n\in \mathbb {N} }}$ ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }}$

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots .}$$

Семейства неотрицательных чисел

При суммировании семейства неотрицательных действительных чисел определите ${\displaystyle \left\{a_{i}:i\in I\right\}}$

$${\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}=\sup \left\{\sum _{i\in A}a_{i}\,:A\subseteq I,A{\text{ finite}}\right\}\in [0,+\infty ].}$$

Если верхняя грань конечна, то множество таких чисел счетно. Действительно, для каждого мощность множества конечна, поскольку ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle a_{i}>0}$ ${\displaystyle n\geq 1,}$ ${\displaystyle \left|A_{n}\right|}$ ${\displaystyle A_{n}=\left\{i\in I:a_{i}>1/n\right\}}$

$${\displaystyle {\frac {1}{n}}\,\left|A_{n}\right|=\sum _{i\in A_{n}}{\frac {1}{n}}\leq \sum _{i\in A_{n}}a_{i}\leq \sum _{i\in I}a_{i}<\infty .}$$

Если счетно бесконечно и нумеруется как, то определенная выше сумма удовлетворяет условию ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I=\left\{i_{0},i_{1},\ldots \right\}}$

$${\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}=\sum _{k=0}^{+\infty }a_{i_{k}},}$$

${\displaystyle \infty }$

Любую сумму по неотрицательным действительным числам можно понимать как интеграл от неотрицательной функции по считающей мере , что объясняет множество сходств между двумя конструкциями.

Абелевы топологические группы

Пусть — отображение, также обозначаемое из некоторого непустого множества, в абелеву топологическую группу Хаусдорфа. Пусть — совокупность всех конечных подмножеств с, рассматриваемых как направленное множество , упорядоченных по включению с объединением в качестве соединения . Семейство называется безусловно суммируемым, если в нем существует следующий предел , который обозначается и называется суммой ${\displaystyle a:I\to X}$ ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \operatorname {Finite} (I)}$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle \operatorname {Finite} (I)}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$ ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}}$ ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle X:}$

$${\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}:=\lim _{A\in \operatorname {Finite} (I)}\ \sum _{i\in A}a_{i}=\lim \left\{\sum _{i\in A}a_{i}\,:A\subseteq I,A{\text{ finite }}\right\}}$$

${\displaystyle S:=\sum _{i\in I}a_{i}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A_{0}}$ ${\displaystyle I}$

$${\displaystyle S-\sum _{i\in A}a_{i}\in V\qquad {\text{ for every finite superset}}\;A\supseteq A_{0}.}$$

Поскольку оно не является полностью упорядоченным , это предел не последовательности частичных сумм, а скорее сети . ^{[17] [18]} ${\displaystyle \operatorname {Finite} (I)}$

Для каждой окрестности начала координат в существует меньшая окрестность такая, что Отсюда следует, что конечные частичные суммы безусловно суммируемого семейства образуют сеть Коши , то есть для каждой окрестности начала координат в существует конечное подмножество такого, что ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V-V\subseteq W.}$ ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A_{0}}$ ${\displaystyle I}$

$${\displaystyle \sum _{i\in A_{1}}a_{i}-\sum _{i\in A_{2}}a_{i}\in W\qquad {\text{ for all finite supersets }}\;A_{1},A_{2}\supseteq A_{0},}$$

${\displaystyle a_{i}\in W}$ ${\displaystyle i\in I\setminus A_{0}}$ ${\displaystyle A_{1}:=A_{0}\cup \{i\}}$ ${\displaystyle A_{2}:=A_{0}}$

Когда является полным , семейство безусловно суммируемо тогда и только тогда, когда конечные суммы удовлетворяют последнему условию сети Коши. Если полно и безусловно суммируемо в , то для каждого подмножества соответствующее подсемейство также безусловно суммируемо в ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle J\subseteq I,}$ ${\displaystyle \left(a_{j}\right)_{j\in J},}$ ${\displaystyle X.}$

Когда сумма семейства неотрицательных чисел в определенном ранее расширенном смысле конечна, то она совпадает с суммой в топологической группе ${\displaystyle X=\mathbb {R} .}$

Если семейство in безусловно суммируемо, то для каждой окрестности начала координат in существует конечное подмножество такое, что для каждого индекса, не входящего в If , является пространством с первой счетностью , то из этого следует, что множество таких семейств счетно. Это не обязательно должно быть верно в общей абелевой топологической группе (см. примеры ниже). ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A_{0}\subseteq I}$ ${\displaystyle a_{i}\in W}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle A_{0}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle a_{i}\neq 0}$

Безусловно сходящийся ряд

Предположим, что если семейство безусловно суммируемо в хаусдорфовой абелевой топологической группе , то ряд в обычном смысле сходится и имеет ту же сумму: ${\displaystyle I=\mathbb {N} .}$ ${\displaystyle a_{n},n\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle X,}$

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}.}$$

По своей природе определение безусловной суммируемости нечувствительно к порядку суммирования. Если безусловно суммируем, то ряд остается сходящимся после любой перестановки набора индексов с той же суммой, ${\displaystyle \sum a_{n}}$ ${\displaystyle \sigma :\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{\sigma (n)}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.}$$

И наоборот, если каждая перестановка ряда сходится, то этот ряд сходится безусловно. Когда оно полное , то безусловная сходимость также эквивалентна тому, что все подряды сходятся; если это банахово пространство , это эквивалентно тому, что для каждой последовательности знаков ряд ${\displaystyle \sum a_{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varepsilon _{n}=\pm 1}$

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\varepsilon _{n}a_{n}}$$

сходится в ${\displaystyle X.}$

Ряды в топологических векторных пространствах

Если — топологическое векторное пространство (ТВП) и (возможно, несчетное ) семейство в , то это семейство суммируемо [19], если предел сети существует ^в где — направленное множество всех конечных подмножеств направленных по включению и ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lim _{A\in \operatorname {Finite} (I)}x_{A}}$ ${\displaystyle \left(x_{A}\right)_{A\in \operatorname {Finite} (I)}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {Finite} (I)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$ ${\textstyle x_{A}:=\sum _{i\in A}x_{i}.}$

Она называется абсолютно суммируемой , если, кроме того, каждая непрерывная полунорма семейства суммируема. Если — нормируемое пространство и если — абсолютно суммируемое семейство, то обязательно все, кроме счетного набора единиц, равны нулю. Следовательно, в нормированных пространствах обычно необходимо рассматривать только ряды со счетным числом членов. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \left(p\left(x_{i}\right)\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x_{i}}$

Суммируемые семейства играют важную роль в теории ядерных пространств .

Ряды в банаховых и полунормированных пространствах

Понятие ряда легко распространить на случай полунормированного пространства . Если — последовательность элементов нормированного пространства и если то ряд сходится к в, если последовательность частичных сумм ряда сходится к в ; а именно, ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \sum x_{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle \left(\sum _{n=0}^{N}x_{n}\right)_{N=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \left\|x-\sum _{n=0}^{N}x_{n}\right\|\to 0\quad {\text{ as }}N\to \infty .}$$

В более общем смысле сходимость рядов может быть определена в любой абелевой топологической группе Хаусдорфа . В частности, в этом случае сходится к , если последовательность частичных сумм сходится к ${\displaystyle \sum x_{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$

Если — полунормированное пространство , то понятие абсолютной сходимости принимает вид: Ряд векторов в сходится абсолютно, если ${\displaystyle (X,|\cdot |)}$ ${\textstyle \sum _{i\in I}x_{i}}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \sum _{i\in I}\left|x_{i}\right|<+\infty }$$

в этом случае все значения, кроме не более чем счетного числа, обязательно равны нулю. ${\displaystyle \left|x_{i}\right|}$

Если счетный ряд векторов в банаховом пространстве сходится абсолютно, то он сходится безусловно, но обратное справедливо только в конечномерных банаховых пространствах (теорема Дворецкого и Роджерса (1950)).

Хорошо упорядоченные суммы

Условно сходящимся рядом можно считать, если это вполне упорядоченное множество, например, порядковое число . В этом случае определите с помощью трансфинитной рекурсии : ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \alpha _{0}.}$

$${\displaystyle \sum _{\beta <\alpha +1}a_{\beta }=a_{\alpha }+\sum _{\beta <\alpha }a_{\beta }}$$

и для предельного ординала ${\displaystyle \alpha ,}$

$${\displaystyle \sum _{\beta <\alpha }a_{\beta }=\lim _{\gamma \to \alpha }\sum _{\beta <\gamma }a_{\beta }}$$

если этот предел существует. Если до этого все пределы существуют, то ряд сходится. ${\displaystyle \alpha _{0},}$

Примеры

1. Учитывая функцию в абелевой топологической группе, определите для каждого ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle a\in X,}$
   $${\displaystyle f_{a}(x)={\begin{cases}0&x\neq a,\\f(a)&x=a,\\\end{cases}}}$$

   функция, поддержка которой является одноэлементной. Тогда ${\displaystyle \{a\}.}$

   $${\displaystyle f=\sum _{a\in X}f_{a}}$$

   в топологии поточечной сходимости (т. е. сумма берется в бесконечной группе произведений ). ${\displaystyle Y^{X}}$

2. При определении разбиений единицы строятся суммы функций по произвольному набору индексов. ${\displaystyle I,}$
   $${\displaystyle \sum _{i\in I}\varphi _{i}(x)=1.}$$

   Хотя формально для этого требуется понятие сумм несчетных рядов, по построению для каждого данного числа имеется только конечное число ненулевых членов в сумме, поэтому вопросов о сходимости таких сумм не возникает. На самом деле обычно предполагается большее: семейство функций локально конечно, то есть для каждого существует окрестность, в которой все функции, кроме конечного числа, обращаются в нуль. Любое свойство регулярности, такое как непрерывность, дифференцируемость, сохраняющееся при конечных суммах, будет сохраняться и для суммы любого поднабора этого семейства функций. ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varphi _{i},}$

3. На первом несчетном ординале, рассматриваемом как топологическое пространство в топологии порядка , постоянная функция, заданная выражением, удовлетворяет ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle f:\left[0,\omega _{1}\right)\to \left[0,\omega _{1}\right]}$ ${\displaystyle f(\alpha )=1}$
   $${\displaystyle \sum _{\alpha \in [0,\omega _{1})}f(\alpha )=\omega _{1}}$$

   (другими словами, копии 1 есть ) только в том случае, если взять предел по всем счетным частичным суммам, а не по конечным частичным суммам. Это пространство неразделимо. ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$

Смотрите также

• Непрерывная дробь
• Тесты сходимости
• Конвергентный ряд
• Дивергентная серия
• Бесконечные композиции аналитических функций
• Бесконечное выражение
• Бесконечный продукт
• Итерированная бинарная операция
• Список математических рядов
• Префиксная сумма
• Преобразование последовательности
• Расширение серии

Рекомендации

1. Томпсон, Сильванус ; Гарднер, Мартин (1998). Исчисление стало проще. ISBN 978-0-312-18548-0.
2. Weisstein, Эрик В. «Сериал». mathworld.wolfram.com . Проверено 30 августа 2020 г.
3. Своковски 1983, с. 501
4. Майкл Спивак, Исчисление
5. "Бесконечная серия". www.mathsisfun.com . Проверено 30 августа 2020 г.
6. Гаспер, Г., Рахман, М. (2004). Основной гипергеометрический ряд. Издательство Кембриджского университета .
7. Положительные и отрицательные термины: чередующиеся серии
8. Йоханссон, Ф. (2016). Строгое вычисление гипергеометрических функций. Препринт arXiv arXiv:1606.06977.
9. Хайэм, Нью-Джерси (2008). Функции матриц: теория и вычисления. Общество промышленной и прикладной математики .
10. Хайэм, Нью-Джерси (2009). Еще раз о методе масштабирования и возведения в квадрат матричной экспоненты. Обзор SIAM, 51(4), 747-764.
11. Как и как не вычислять экспоненту матрицы
12. Николя Бурбаки (1989), Алгебра , Спрингер: §III.2.11.
13. О'Коннор, Джей Джей и Робертсон, EF (февраль 1996 г.). «История исчисления». Университет Сент-Эндрюс . Проверено 7 августа 2007 г.
14. К., Бидвелл, Джеймс (30 ноября 1993 г.). «Возвращение к Архимеду и Пи». Школьная наука и математика . 94 (3).{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
15. «Индейцы опередили «открытие» Ньютона на 250 лет» . manchester.ac.uk .
16. Жан Дьедонне, Основы математического анализа , Academic Press
17. Бурбаки, Николя (1998). Общая топология: главы 1–4 . Спрингер. стр. 261–270. ISBN 978-3-540-64241-1.
18. Шоке, Гюстав (1966). Топология . Академическая пресса. стр. 216–231. ISBN 978-0-12-173450-3.
19. Шефер и Вольф 1999, стр. 179–180.

Библиография

• Бромвич, Т.Дж. Введение в теорию бесконечных рядов MacMillan & Co., 1908 г., исправлено в 1926 г., переиздано в 1939, 1942, 1949, 1955, 1959, 1965 гг.
• Дворецкий, Арье; Роджерс, К. Эмброуз (1950). «Абсолютная и безусловная сходимость в нормированных линейных пространствах». Учеб. Натл. акад. наук. США . 36 (3): 192–197. Бибкод : 1950PNAS...36..192D. дои : 10.1073/pnas.36.3.192 . ПМЦ  1063182 . ПМИД  16588972.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Своковски, Эрл В. (1983), Исчисление с аналитической геометрией (альтернативное издание), Бостон: Приндл, Вебер и Шмидт, ISBN 978-0-87150-341-1
• Уолтер Рудин, Принципы математического анализа (McGraw-Hill: Нью-Йорк, 1964).
• Питч, Альбрехт (1972). Ядерные локально-выпуклые пространства . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-05644-0. ОСЛК  539541.
• Робертсон, AP (1973). Топологические векторные пространства . Кембридж, Англия: Университетское издательство. ISBN 0-521-29882-2. ОСЛК  589250.
• Райан, Рэймонд (2002). Введение в тензорные произведения банаховых пространств . Лондон Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 1-85233-437-1. ОСЛК  48092184.
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. ОСЛК  840278135.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. ОКЛК  853623322.
• Вонг (1979). Пространства Шварца, ядерные пространства и тензорные произведения . Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6. ОСЛК  5126158.

МР 0033975

Внешние ссылки

• «Серия», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Учебное пособие по бесконечной серии
• «Серия-Основы». Интернет-заметки Пола по математике.
• «Коллекция сериалов Show-Me» (PDF) . Лесли Грин.