Поддержка (математика)

Part of the domain of a mathematical function where the function takes non-zero values

В математике поддержка вещественнозначной функции — это подмножество области определения функции , содержащее элементы, которые не отображаются в ноль . Если областью определения является топологическое пространство , то носитель вместо этого определяется как наименьшее замкнутое множество , содержащее все точки, не отображенные в ноль. Это понятие очень широко используется в математическом анализе . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Формулировка

Предположим, что это действительная функция, областью определения которой является произвольное множество . ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X.}$Теоретико-множественное обеспечение написанного— это набор точек, вкоторыхнеравно нулю: ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (f),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle \operatorname {supp} (f)=\{x\in X\,:\,f(x)\neq 0\}.}$$

Носителем является наименьшее подмножество со свойством, равным нулю в дополнении к подмножеству. Если для всех точек, кроме конечного, говорят , что ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)=0}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle f}$конечная поддержка .

Если множество имеет дополнительную структуру (например, топологию ), то носитель определяется аналогичным образом как наименьшее подмножество соответствующего типа, такое, что обращается в нуль в подходящем смысле на своем дополнении. Понятие поддержки также естественным образом распространяется на функции, принимающие значения в более общих наборах, чем на другие объекты, такие как меры или распределения . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Закрытая поддержка

Наиболее распространенная ситуация возникает, когда это топологическое пространство (такое как действительное линейное или трехмерное евклидово пространство ) и непрерывная вещественная (или комплексная ) функция. В этом случае ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$поддержка , ${\displaystyle f}$,или ${\displaystyle \operatorname {supp} (f)}$замкнутый носитель , определяется топологически какзамыкание(взятое в) подмножествагдене равно нулю^[1][2][3], то есть ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle \operatorname {supp} (f):=\operatorname {cl} _{X}\left(\{x\in X\,:\,f(x)\neq 0\}\right)={\overline {f^{-1}\left(\{0\}^{\mathrm {c} }\right)}}.}$$

Поскольку пересечение замкнутых множеств замкнуто, это пересечение всех замкнутых множеств, содержащих теоретико-множественный носитель ${\displaystyle \operatorname {supp} (f)}$ ${\displaystyle f.}$

Например, если функция определяется ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1-x^{2}&{\text{if }}|x|<1\\0&{\text{if }}|x|\geq 1\end{cases}}}$$

замыкание ${\displaystyle \operatorname {supp} (f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [-1,1],}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (-1,1)}$ ${\displaystyle [-1,1].}$

Понятие замкнутого носителя обычно применяется к непрерывным функциям, но это определение имеет смысл для произвольных действительных или комплекснозначных функций в топологическом пространстве, и некоторые авторы не требуют, чтобы (или ) были непрерывными. ^[4] ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {C} }$

Компактная поддержка

Функции скомпактный носитель в топологическом пространстве— это те, чей замкнутый носитель являетсякомпактнымподмножеством.Если— действительная прямая или-мерное евклидово пространство, то функция имеет компактный носитель тогда и только тогда, когда она имеет ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ограниченный носитель , поскольку подмножествокомпактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Например, определенная выше функция является непрерывной функцией с компактным носителем. Если это гладкая функция, то, поскольку она тождественна на открытом подмножестве, все частные производные всех порядков также тождественны на открытом подмножестве. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [-1,1].}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\smallsetminus \operatorname {supp} (f),}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\smallsetminus \operatorname {supp} (f).}$

Условие компактности сильнее условия исчезновения на бесконечности . Например, функция, определенная ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}$$

${\displaystyle f(x)\to 0}$ ${\displaystyle |x|\to \infty ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Гладкие функции с компактным носителем в евклидовом пространстве называются функциями рельефа . Смягчители являются важным частным случаем функций рельефа, поскольку их можно использовать в теории распределения для создания последовательностей гладких функций, аппроксимирующих негладкие (обобщенные) функции посредством свертки .

В хороших случаях функции с компактным носителем плотны в пространстве функций, исчезающих на бесконечности, но это свойство требует некоторой технической работы для обоснования на конкретном примере. В качестве интуитивного подсказки для более сложных примеров и на языке пределов для любой функции на действительной прямой , которая обращается в нуль на бесконечности, можно аппроксимировать выбором подходящего компактного подмножества такого, что ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \left|f(x)-I_{C}(x)f(x)\right|<\varepsilon }$$

индикаторная функция ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle I_{C}}$ ${\displaystyle C.}$

Основная поддержка

Если это топологическое пространство с мерой с борелевской мерой (например , измеримое по Лебегу подмножество пространства, снабженное мерой Лебега), то обычно идентифицируются функции, которые равны почти всюду. В этом случае ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \mu }$Существенный носитель записаннойизмеримой функцииопределяется как наименьшее замкнутое подмножествотакого, что-почти всюду внеЭквивалентно,является дополнением наибольшегооткрытого множества, на котором-почти всюду^[5] ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {ess\,supp} (f),}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f=0}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle \operatorname {ess\,supp} (f)}$ ${\displaystyle f=0}$ ${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle \operatorname {ess\,supp} (f):=X\setminus \bigcup \left\{\Omega \subseteq X:\Omega {\text{ is open and }}f=0\,\mu {\text{-almost everywhere in }}\Omega \right\}.}$$

Существенный носитель функции зависит как от меры , так и от и может быть строго меньше замкнутого носителя. Например, если функция Дирихле относится к иррациональным и рациональным числам и снабжена мерой Лебега, то носителем является весь интервал , но существенный носитель пуст, так как почти всюду равен нулевой функции . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [0,1],}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

В анализе почти всегда хочется использовать существенную поддержку функции, а не ее закрытую поддержку, когда два множества различны, поэтому часто пишут просто как поддержку и называют ее поддержкой. ^{[5] [6]} ${\displaystyle \operatorname {ess\,supp} (f)}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (f)}$

Обобщение

Если — произвольное множество, содержащее нуль, понятие носителя немедленно обобщается на функции. Поддержка также может быть определена для любой алгебраической структуры с единицей (например , группы , моноида или композиционной алгебры ), в которой единичный элемент принимает на себя роль нуль. Например, семейство функций от натуральных чисел до целых чисел представляет собой несчетное множество целочисленных последовательностей. Подсемейство — это счетное множество всех целочисленных последовательностей, которые имеют лишь конечное число ненулевых элементов. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f:X\to M.}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \left\{f\in \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }:f{\text{ has finite support }}\right\}}$

Функции конечного носителя используются при определении алгебраических структур, таких как групповые кольца и свободные абелевы группы . ^[7]

В теории вероятностей и меры

В теории вероятностей поддержку распределения вероятностей можно рассматривать как замыкание множества возможных значений случайной величины, имеющей это распределение. Однако есть некоторые тонкости, которые следует учитывать при работе с общими распределениями, определенными на сигма-алгебре , а не на топологическом пространстве.

Более формально, если - случайная величина, то носителем является наименьшее замкнутое множество такое, что ${\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R_{X}\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle P\left(X\in R_{X}\right)=1.}$

Однако на практике носитель дискретной случайной величины часто определяется как набор , а носитель непрерывной случайной величины определяется как набор, где – функция плотности вероятности (теоретико-множественный носитель). ^[8] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R_{X}=\{x\in \mathbb {R} :P(X=x)>0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R_{X}=\{x\in \mathbb {R} :f_{X}(x)>0\}}$ ${\displaystyle f_{X}(x)}$ ${\displaystyle X}$

Обратите внимание, что слово « поддержка» может относиться к логарифму вероятности функции плотности вероятности. ^[9]

Поддержка дистрибутива

Можно также говорить о поддержке распределения , такого как дельта-функция Дирака на реальной прямой. В этом примере мы можем рассматривать тестовые функции , которые являются гладкими функциями с поддержкой, не включая точку. Поскольку (распределение , применяемое как линейный функционал к ) предназначено для таких функций, мы можем сказать, что поддержка есть только . Поскольку меры (в том числе вероятностные меры ) на действительной прямой являются частными случаями распределений, то точно так же можно говорить и о носителе меры. ${\displaystyle \delta (x)}$ ${\displaystyle F,}$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle \delta (F)}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \{0\}}$

Предположим, что это распределение, и это открытое множество в евклидовом пространстве такое, что для всех тестовых функций, таких, что носитель содержится в Тогда, говорят, что оно исчезает в Теперь, если оно исчезает в произвольном семействе открытых множеств, то для любая тестовая функция , поддерживаемая простым аргументом, основанная на компактности поддержки и разбиении единицы, также показывает это. Следовательно , мы можем определить носитель как дополнение наибольшего открытого множества, на котором обращается в нуль. Например, поддержка дельты Дирака ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle f(\phi )=0.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \bigcup U_{\alpha },}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle f(\phi )=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{0\}.}$

Единая поддержка

В частности, в анализе Фурье интересно изучитьЕдинственная поддержка дистрибутива. Это имеет интуитивную интерпретацию как набор точек, в которых распределениене может быть гладкой функцией.

Например, преобразование Фурье ступенчатой ​​функции Хевисайда можно с точностью до постоянных коэффициентов рассматривать как (функцию) , за исключением того, что хотя это явно особая точка, точнее сказать, что преобразование распределения имеет сингулярную поддержку. : его невозможно точно выразить как функцию по отношению к тестовым функциям с поддержкой, включающей его. Его можно выразить как применение несобственного интеграла главного значения Коши . ${\displaystyle 1/x}$ ${\displaystyle x=0.}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle 0.}$

Для распределений нескольких переменных сингулярные носители позволяют определить множества волновых фронтов и понять принцип Гюйгенса с точки зрения математического анализа . Сингулярные носители также могут использоваться для понимания явлений, специфичных для теории распределений, таких как попытки «перемножить» распределения (возведение в квадрат дельта-функции Дирака терпит неудачу - главным образом потому, что сингулярные носители умножаемых распределений должны быть непересекающимися).

Семья поддержки

Абстрактное понятиесемейство носителей натопологическом пространстве, пригодном длятеории пучков, было определеноАнри Картаном. При распространениидвойственности Пуанкаренамногообразияидея «компактного носителя» естественным образом возникает с одной стороны двойственности; см., например,когомологии Александера-Спанье. ${\displaystyle X,}$

Бредон, «Теория пучка» (2-е издание, 1997 г.) дает такие определения. Семейство замкнутых подмножеств называется семейством носителей , если оно замкнуто вниз и замкнуто относительно конечного объединения . Его протяженность - это объединение над паракомпактным семейством носителей, которое, кроме того, удовлетворяет тому, что любое in с топологией подпространства является паракомпактным пространством ; и есть некоторые , в которых есть окрестности . Если — локально компактное пространство , предполагается, что по Хаусдорфу семейство всех компактных подмножеств удовлетворяет дальнейшим условиям, что делает его паракомпактным. ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Phi .}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle X}$

Смотрите также

• Ограниченная функция  – математическая функция, набор значений которой ограничен.
• Функция Bump  – плавная и компактная функция
• Поддержка модуля
• Теорема Титчмарша о свертке

Цитаты

1. Фолланд, Джеральд Б. (1999). Реальный анализ, 2-е изд . Нью-Йорк: Джон Уайли. п. 132.
2. Хёрмандер, Ларс (1990). Линейные дифференциальные уравнения в частных производных I, 2-е изд . Берлин: Springer-Verlag. п. 14.
3. Паскуччи, Андреа (2011). Методы PDE и мартингейла в ценообразовании опционов . Серия Боккони и Спрингер. Берлин: Springer-Verlag. п. 678. дои : 10.1007/978-88-470-1781-8. ISBN 978-88-470-1780-1.
4. Рудин, Уолтер (1987). Реальный и комплексный анализ, 3-е изд . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 38.
5. Либ, Эллиотт ; Потеря, Майкл (2001). Анализ . Аспирантура по математике. Том. 14 (2-е изд.). Американское математическое общество . п. 13. ISBN 978-0821827833.
6. Аналогичным образом вместо ее супремума используется существенная верхняя грань измеримой функции.
7. Томаш, Качиньский (2004). Вычислительная гомология . Мишайков, Константин Михаил, Мрозек, Мариан. Нью-Йорк: Спрингер. п. 445. ИСБН 9780387215976. ОКЛК  55897585.
8. Табога, Марко. «Поддержка случайной величины». statlect.com . Проверено 29 ноября 2017 г.
9. Эдвардс, AWF (1992). Вероятность (Расширенная ред.). Балтимор: Издательство Университета Джонса Хопкинса. стр. 31–34. ISBN 0-8018-4443-6.

Рекомендации

• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. ОСЛК  21163277.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. ОКЛК  853623322.