История алгебры

По сути, алгебру можно рассматривать как выполнение вычислений, аналогичных арифметическим, но с нечисловыми математическими объектами. Однако до 19 века алгебра по существу состояла из теории уравнений . Например, основная теорема алгебры принадлежит теории уравнений и в настоящее время не считается принадлежащей алгебре (фактически, каждое доказательство должно использовать полноту действительных чисел , что не является алгебраическим свойством).

В данной статье описана история теории уравнений, названной здесь «алгеброй», от истоков до возникновения алгебры как отдельной области математики .

Этимология

Слово «алгебра» происходит от арабского слова الجبر аль-джабр и происходит из трактата, написанного в 830 году средневековым персидским математиком Аль-Хваризми , чье арабское название « Китаб аль-мухтасар фи Хисаб аль-Габр». ва-ль-мукабала , можно перевести как «Сборная книга по расчетам путем завершения и балансирования» . В трактате дано систематическое решение линейных и квадратных уравнений . Согласно одной истории, «[я] не уверен, что именно означают термины аль-джабр и мукабала , но обычная интерпретация аналогична той, которая подразумевалась в предыдущем переводе. Слово «аль-джабр» предположительно означало что-то вроде: «восстановление» или «завершение» и, по-видимому, относится к переносу вычтенных членов на другую сторону уравнения; считается, что слово «мукабала» относится к «сокращению» или «уравновешиванию», то есть к отмене подобных членов. На противоположных сторонах уравнения. Арабское влияние в Испании, спустя долгое время после времен аль-Хорезми, обнаруживается в « Дон Кихоте », где слово «алгебриста» используется для обозначения костоправа, то есть «реставратора». ^[1] Этот термин используется аль-Хорезми для описания введенных им операций « сокращение » и «балансировка», имея в виду перенос вычтенных членов в другую часть уравнения, то есть отмену подобных членов. на противоположных сторонах уравнения. ^[2]

Этапы алгебры

Алгебраическое выражение

Алгебра не всегда использовала символику, которая сейчас повсеместно распространена в математике; вместо этого он прошел три отдельных этапа. Этапы развития символической алгебры примерно следующие: ^[3]

• Риторическая алгебра , в которой уравнения записываются полными предложениями. Например, риторическая форма: «Вещь плюс один равно двум» или, возможно, «Вещь плюс 1 равно 2». Риторическая алгебра была впервые разработана древними вавилонянами и оставалась доминирующей до 16 века. ${\displaystyle x+1=2}$

• Синкопированная алгебра , в которой используется некоторая символика, но которая не содержит всех характеристик символической алгебры. Например, может существовать ограничение, согласно которому вычитание может использоваться только один раз в пределах одной части уравнения, чего нет в случае символической алгебры. Синкопированные алгебраические выражения впервые появились в « Арифметике » Диофанта (3 век нашей эры), а затем в « Брахма Спхута Сиддханта » Брахмагупты (7 век).
• Символическая алгебра , в которой используется полная символика. Первые шаги к этому можно увидеть в работах нескольких исламских математиков , таких как Ибн аль-Банна (13-14 века) и аль-Каласади (15 век), хотя полностью символическая алгебра была разработана Франсуа Виетом (16 век). Позже Рене Декарт (17 век) ввёл современные обозначения (например, использование х — см. ниже) и показал, что проблемы, возникающие в геометрии , могут быть выражены и решены в терминах алгебры ( декартова геометрия ).

Не менее важным, чем использование или отсутствие символики в алгебре, была степень решаемых уравнений. Квадратные уравнения играли важную роль в ранней алгебре; и на протяжении большей части истории, вплоть до раннего Нового времени, все квадратные уравнения относились к одной из трех категорий.

• ${\displaystyle x^{2}+px=q}$
• ${\displaystyle x^{2}=px+q}$
• ${\displaystyle x^{2}+q=px}$

где и положительны. Эта трихотомия возникает потому, что квадратные уравнения вида с и положительные не имеют положительных корней . ^[4] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle x^{2}+px+q=0,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

Между риторической и синкопированной стадиями символической алгебры классическими греческими и ведическими индийскими математиками была разработана геометрическая конструктивная алгебра, в которой алгебраические уравнения решались с помощью геометрии. Например, уравнение вида решалось путем нахождения стороны квадрата площади ${\displaystyle x^{2}=A}$ ${\displaystyle A.}$

Концептуальные этапы

Помимо трех этапов выражения алгебраических идей некоторые авторы выделяли четыре концептуальных этапа в развитии алгебры, происходившие наряду с изменениями в выражениях. Эти четыре этапа были следующими: ^[5]

• Геометрический этап , на котором понятия алгебры в основном геометрические. Это восходит к вавилонянам и продолжилось у греков , а позже было возрождено Омаром Хайямом .
• Этап решения статических уравнений , цель которого — найти числа, удовлетворяющие определенным соотношениям. Отход от геометрической стадии восходит к Диофанту и Брахмагупте , но алгебра не перешла окончательно к стадии решения статических уравнений до тех пор, пока Аль-Хорезми не представил обобщенные алгоритмические процессы для решения алгебраических задач.
• Стадия динамической функции , где движение является основной идеей. Идея функции начала появляться у Шарафа ад-Дина ат-Туси , но алгебра окончательно не перешла на стадию динамических функций до Готфрида Лейбница .
• Абстрактная стадия , на которой центральную роль играет математическая структура. Абстрактная алгебра во многом является продуктом XIX и XX веков.

Вавилон

Планшет Plimpton 322 .

Истоки алгебры можно проследить до древних вавилонян , ^[6] которые разработали позиционную систему счисления , которая очень помогла им в решении риторических алгебраических уравнений. Вавилоняне были заинтересованы не в точных решениях, а в приближениях, поэтому они обычно использовали линейную интерполяцию для аппроксимации промежуточных значений. ^[7] Одной из самых известных табличек является табличка Plimpton 322 , созданная примерно в 1900–1600 годах до н. э., на которой представлена ​​таблица пифагорейских троек и представлены одни из самых передовых математических достижений, предшествовавших греческой математике. ^[8]

Вавилонская алгебра была гораздо более развитой, чем египетская алгебра того времени; тогда как египтян в основном интересовали линейные уравнения, вавилоняне больше интересовались квадратными и кубическими уравнениями . ^[7] Вавилоняне разработали гибкие алгебраические операции, с помощью которых они могли складывать равные к равным и умножать обе части уравнения на одинаковые величины, чтобы исключить дроби и множители. ^[7] Они были знакомы со многими простыми формами факторизации , [ ^7] трехчленными квадратными уравнениями с положительными корнями, ^[9] и многими кубическими уравнениями, ^[10] хотя неизвестно, смогли ли они свести общие кубические уравнения уравнение. ^[10]

Древний Египет

Часть папируса Ринда .

Древнеегипетская алгебра имела дело в основном с линейными уравнениями, в то время как вавилоняне сочли эти уравнения слишком элементарными и развили математику на более высоком уровне, чем египтяне. ^[7]

Папирус Ринда, также известный как папирус Ахмеса, представляет собой древнеегипетский папирус, написанный ок. 1650 г. до н.э., автор Ахмес, который переписал его из более ранней работы, которую он датировал между 2000 и 1800 гг. до н.э. ^[11] Это самый обширный древнеегипетский математический документ, известный историкам. ^[12] Папирус Ринда содержит задачи, в которых решаются линейные уравнения формы и , где и известны, а то, что называется «ага» или кучей, является неизвестным. ^[13] Возможно, но маловероятно, что решения были получены с использованием «метода ложного положения» или regula falsi , когда сначала определенное значение подставляется в левую часть уравнения, а затем выполняются необходимые арифметические вычисления. Готово, в-третьих, результат сравнивается с правой частью уравнения и, наконец, правильный ответ находится с помощью пропорций. В некоторых задачах автор «проверяет» свое решение, написав тем самым одно из самых ранних известных простых доказательств. ^[13] ${\displaystyle x+ax=b}$ ${\displaystyle x+ax+bx=c}$ ${\displaystyle a,b,}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle x,}$

Греческая математика

Один из старейших сохранившихся фрагментов « Начал » Евклида , найденный в Оксиринхе и датированный примерно 100 годом нашей эры ( P. Oxy. 29 ). Диаграмма прилагается к книге II, предложению 5. ^[14]

Иногда утверждают, что у греков не было алгебры, но это оспаривается. ^[15] Ко времени Платона греческая математика претерпела радикальные изменения. Греки создали геометрическую алгебру , в которой термины были представлены сторонами геометрических объектов, ^[16] обычно линиями, с которыми были связаны буквы, ^[17] и с помощью этой новой формы алгебры они смогли находить решения уравнений, используя изобретённый ими процесс, известный как «применение площадей». ^[16] «Применение площадей» — это лишь часть геометрической алгебры, и она подробно рассмотрена в « Началах » Евклида .

Примером геометрической алгебры может быть решение линейного уравнения. Древние греки решали это уравнение, рассматривая его как равенство площадей, а не как равенство между отношениями и отношениями . Греки строили прямоугольник со сторонами длины , а затем расширяли сторону прямоугольника к длине, и, наконец, они завершили бы расширенный прямоугольник, чтобы найти сторону прямоугольника, которая является решением. ^[16] ${\displaystyle ax=bc.}$ ${\displaystyle a:b}$ ${\displaystyle c:x.}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle a,}$

Цветение Тимарида

Ямвлих в «Introductio arithmatica» говорит, что Тимарид (ок. 400 г. до н. э. – ок. 350 г. до н. э.) работал с одновременными линейными уравнениями. ^[18] В частности, он создал знаменитое тогда правило, известное как «цветок Тимарида» или как «цветок Тимарида», которое гласит:

Если дана сумма величин, а также сумма каждой пары, содержащей ту или иную величину, то эта конкретная величина равна разности сумм этих пар и первой данной суммы. ^[19] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1/(n-2)}$

Доказательство из « Начал » Евклида о том, что для данного отрезка существует равносторонний треугольник, включающий этот отрезок в качестве одной из своих сторон.

или, используя современные обозначения, решение следующей системы линейных уравнений с неизвестными, ^[18] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle x+x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1}=s}$
${\displaystyle x+x_{1}=m_{1}}$
${\displaystyle x+x_{2}=m_{2}}$
${\displaystyle \vdots }$
${\displaystyle x+x_{n-1}=m_{n-1}}$

является,

${\displaystyle x={\cfrac {(m_{1}+m_{2}+...+m_{n-1})-s}{n-2}}={\cfrac {(\sum _{i=1}^{n-1}m_{i})-s}{n-2}}.}$

Ямвлих продолжает описывать, как некоторые системы линейных уравнений, не находящиеся в этой форме, могут быть помещены в эту форму. ^[18]

Евклид Александрийский

Эллинистический математик Евклид подробно описывает геометрическую алгебру.

Евклид ( греч . Εὐκλείδης ) был греческим математиком, который процветал в Александрии , Египет , почти наверняка во время правления Птолемея I (323–283 до н.э.). ^{[20] [21]} Ни год, ни место его рождения ^[20] не установлены, ни обстоятельства его смерти.

Евклида считают «отцом геометрии ». Его «Элементы» — самый успешный учебник в истории математики . ^[20] Хотя он является одним из самых известных математиков в истории, ему не приписывают никаких новых открытий; скорее его помнят за его отличные объяснительные способности. ^[22] « Начала» не являются, как иногда думают, собранием всех греческих математических знаний на тот момент; скорее, это элементарное введение в него. ^[23]

Элементы

Геометрическая работа греков, типичным примером которой являются « Начала » Евклида , обеспечила основу для обобщения формул, выходящих за рамки решения конкретных проблем, в более общие системы формулирования и решения уравнений.

Книга II « Начал» содержит четырнадцать положений, которые во времена Евклида имели чрезвычайно важное значение для занятий геометрической алгеброй. Эти предложения и их результаты являются геометрическими эквивалентами нашей современной символической алгебры и тригонометрии. ^[15] Сегодня, используя современную символическую алгебру, мы позволяем символам обозначать известные и неизвестные величины (т.е. числа), а затем применяем к ним алгебраические операции, в то время как во времена Евклида величины рассматривались как отрезки прямых, а затем результаты выводились с использованием аксиом или теорем. геометрии. ^[15]

Многие основные законы сложения и умножения включены или доказаны геометрически в «Началах» . Например, предложение 1 Книги II гласит:

Если имеются две прямые линии и одна из них разрезана на любое количество отрезков, то прямоугольник, содержащийся в двух прямых, равен прямоугольникам, содержащимся в неразрезанной прямой и каждом из отрезков.

Но это не что иное, как геометрическая версия (левого) распределительного закона , ; а в книгах V и VII «Начал » демонстрируются коммутативные и ассоциативные законы умножения . ^[15] ${\displaystyle a(b+c+d)=ab+ac+ad}$

Многие основные уравнения были также доказаны геометрически. Например, предложение 5 книги II доказывает, что ^[24] , а предложение 4 книги II доказывает, что ^[15] ${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b),}$ ${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.}$

Кроме того, многие уравнения имеют геометрические решения. Например, предложение 6 книги II дает решение квадратного уравнения , а предложение 11 книги II дает решение ^[25] ${\displaystyle ax+x^{2}=b^{2},}$ ${\displaystyle ax+x^{2}=a^{2}.}$

Данные

«Данные» — это работа, написанная Евклидом для использования в школах Александрии и предназначавшаяся для использования в качестве сопутствующего тома к первым шести книгам «Начал » . Книга содержит около пятнадцати определений и девяносто пять утверждений, из которых около двух десятков утверждений служат алгебраическими правилами или формулами. ^[26] Некоторые из этих утверждений являются геометрическими эквивалентами решений квадратных уравнений. ^[26] Например, Data содержит решения уравненийи знакомого вавилонского уравнения ^[26] ${\displaystyle dx^{2}-adx+b^{2}c=0}$ ${\displaystyle xy=a^{2},x\pm y=b.}$

Конические сечения

Коническое сечение – это кривая, возникающая в результате пересечения конуса с плоскостью . Существует три основных типа конических сечений: эллипсы (включая круги ), параболы и гиперболы . Считается, что конические сечения были открыты Менехмом ^[27] (ок. 380 г. до н. э. – ок. 320 г. до н. э.), и поскольку работа с коническими сечениями эквивалентна работе с соответствующими уравнениями, они играли геометрические роли, эквивалентные кубическим уравнениям и другим уравнения более высокого порядка.

Менехм знал, что в параболе выполняется уравнение, где – константа, называемая широкой прямой кишкой , хотя ему не был известен тот факт, что любое уравнение с двумя неизвестными определяет кривую. ^[28] Он, по-видимому, вывел эти свойства конических сечений и других. Используя эту информацию, теперь стало возможным найти решение проблемы дублирования куба путем определения точек пересечения двух парабол, что эквивалентно решению кубического уравнения. ^[28] ${\displaystyle y^{2}=lx}$ ${\displaystyle l}$

Евтоций сообщает нам , что метод, который он использовал для решения кубического уравнения, принадлежит Дионисодору (250–190 гг. до н. э.). Дионисодор решил кубику посредством пересечения прямоугольной гиперболы и параболы. Это было связано с задачей Архимеда « О сфере и цилиндре» . Конические сечения изучались и использовались на протяжении тысячелетий греческими, а затем исламскими и европейскими математиками. В частности, знаменитая «Коника» Аполлония Пергского , помимо других тем, посвящена коническим сечениям.

Китай

Китайская математика датируется по крайней мере 300 г. до н. э. , и ее появлением является «Чжоуби Суаньцзин» , который обычно считается одним из старейших китайских математических документов. ^[29]

Девять глав о математическом искусстве

Девять глав о математическом искусстве

«Чиу-чан суань-шу», или «Девять глав математического искусства» , написанные около 250 г. до н. э., являются одной из самых влиятельных книг по математике в Китае и содержат около 246 задач. В восьмой главе рассматривается решение одновременных определенных и неопределенных линейных уравнений с использованием положительных и отрицательных чисел, причем одна задача связана с решением четырех уравнений с пятью неизвестными. ^[29]

Морское зеркало круговых измерений

Цэ-юань хай-цзин , или «Морское зеркало круговых измерений» , представляет собой сборник из примерно 170 задач, написанных Ли Чжи (или Ли Е) (1192–1279 гг. н. э.). Он использовал фан фа , или метод Горнера , для решения уравнений степени до шести, хотя и не описал свой метод решения уравнений. ^[30]

Математический трактат в девяти разделах

Шу-шу цю-чан , или Математический трактат в девяти разделах , был написан богатым губернатором и министром Цинь Цзю-шао (ок. 1202 – ок. 1261). С введением метода решения одновременных сравнений , который теперь называется китайской теоремой об остатках , он знаменует собой высшую точку в китайском неопределенном анализе ^{[ нужны разъяснения ]} . ^[30]

Магические квадраты

Треугольник Ян Хуэй (Паскаля), изображенный древними китайцами с помощью стержневых цифр .

Самые ранние известные магические квадраты появились в Китае. ^[31] В девяти главах автор решает систему одновременных линейных уравнений, помещая коэффициенты и постоянные члены линейных уравнений в магический квадрат (т.е. матрицу) и выполняя операции сокращения столбцов на магическом квадрате. ^[31] Самые ранние известные магические квадраты порядка больше трех приписываются Ян Хуэю (ок. 1261–1275), который работал с магическими квадратами порядка десяти. ^[32]

Драгоценное зеркало четырех стихий

Ссы-юань ю-чиен《四元玉鑒》, или Драгоценное зеркало четырех стихий , было написано Чу Ши-цзе в 1303 году и знаменует собой пик развития китайской алгебры. Четыре элемента , называемые небом, землей, человеком и материей, представляли четыре неизвестных величины в его алгебраических уравнениях. Сы -юань ю-цянь имеет дело с одновременными уравнениями и уравнениями степеней до четырнадцати. Для решения этих уравнений автор использует метод веера fa , сегодня называемый методом Горнера . ^[33]

« Драгоценное зеркало» открывается диаграммой арифметического треугольника ( треугольника Паскаля ) с использованием символа круглого нуля, но Чу Ши-цзе отрицает это. Похожий треугольник появляется в работе Ян Хуэя, но без символа нуля. ^[34]

В «Драгоценном зеркале» приведено множество уравнений суммирования, приведенных без доказательства . Вот некоторые из итогов: ^[34]

${\displaystyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}={n(n+1)(2n+1) \over 3!}}$

${\displaystyle 1+8+30+80+\cdots +{n^{2}(n+1)(n+2) \over 3!}={n(n+1)(n+2)(n+3)(4n+1) \over 5!}}$

Диофант

Обложка издания 1621 года « Арифметики » Диофанта , переведенной на латынь Клодом Гаспаром Баше де Мезириаком .

Диофант был эллинистическим математиком, жившим ок. 250 г. н.э., но неопределенность этой даты настолько велика, что она может отклоняться более чем на столетие. Он известен тем, что написал «Арифметику» , трактат, первоначально состоявший из тринадцати книг, но из которых сохранились только первые шесть. ^[35] Арифметика — самая ранняя из сохранившихся работ, в которых арифметические задачи решаются с помощью алгебры. Однако Диофант не изобрел метод алгебры, существовавший до него. ^[36] Алгебра практиковалась и распространялась устно практиками, а Диофант осваивал методы решения арифметических задач. ^[37]

В современной алгебре многочлен — это линейная комбинация переменной x, состоящая из возведения в степень, скалярного умножения, сложения и вычитания. Алгебра Диофанта, подобно средневековой арабской алгебре, представляет собой совокупность объектов разных типов без каких-либо операций ^[38]

Например, у Диофанта многочлен «6 4 ′ обратные степени, 25 степеней без 9 единиц», который в современных обозначениях представляет собой набор объектов одного типа с 25 объектами второго типа, в которых отсутствуют 9 объектов третьего рода без операции. подарок. ^[39] ${\displaystyle 6{\tfrac {1}{4}}x^{-1}+25x^{2}-9}$ ${\displaystyle 6{\tfrac {1}{4}}}$

Подобно средневековой арабской алгебре, Диофант использует три этапа для решения задачи по алгебре:

1) Называется неизвестное и составляется уравнение.

2) Уравнение упрощается до стандартной формы (аль-джабр и аль-мукабала по-арабски).

3) Решается упрощенное уравнение ^[40]

Диофант не дает классификации уравнений на шесть типов, как Аль-Хорезми в дошедших до нас частях «Арифметики». Он говорит, что позже даст решение трехчленным уравнениям, так что эта часть работы, возможно, просто потеряна ^[37]

В Арифметике Диофант первым использовал символы для неизвестных чисел, а также сокращения для степеней чисел, отношений и операций; ^[41] таким образом, он использовал то, что сейчас известно как синкопированная алгебра. Основное отличие диофантовой синкопированной алгебры от современных алгебраических обозначений состоит в том, что в первой отсутствовали специальные символы для операций, отношений и экспонент. ^[42]

Так, например, то, что мы напишем как

${\displaystyle x^{3}-2x^{2}+10x-1=5,}$

который можно переписать как

${\displaystyle \left({x^{3}}1+{x}10\right)-\left({x^{2}}2+{x^{0}}1\right)={x^{0}}5,}$

будет записано в синкопированной записи Диофанта как

${\displaystyle \mathrm {K} ^{\upsilon }{\overline {\alpha }}\;\zeta {\overline {\iota }}\;\,\pitchfork \;\,\Delta ^{\upsilon }{\overline {\beta }}\;\mathrm {M} {\overline {\alpha }}\,\;}$ἴ ${\displaystyle \sigma \;\,\mathrm {M} {\overline {\varepsilon }}}$

где символы обозначают следующее: ^{[43] [44]}

В отличие от современных обозначений, коэффициенты идут после переменных, и это сложение представляет собой сопоставление членов. Буквальный посимвольный перевод синкопированного уравнения Диофанта в современное символическое уравнение будет следующим: ^[43]

${\displaystyle {x^{3}}1{x}10-{x^{2}}2{x^{0}}1={x^{0}}5}$

где уточнить, если используются современные круглые скобки и плюс, то приведенное выше уравнение можно переписать как: ^[43]

${\displaystyle \left({x^{3}}1+{x}10\right)-\left({x^{2}}2+{x^{0}}1\right)={x^{0}}5}$

Однако Джеффри Оукс и Джин Кристианидис считают различие между «риторической алгеброй», «синкопированной алгеброй» и «символической алгеброй» устаревшим. Задачи решались на доске с использованием некоторых обозначений, а в книгах решения записывались в «риторическом стиле». ^[45]

Арифметика также использует тождества: ^[46]

Индия

Индийские математики активно изучали системы счисления. Самые ранние известные индийские математические документы датируются примерно серединой первого тысячелетия до нашей эры (около VI века до нашей эры). ^[47]

Постоянными темами в индийской математике являются, среди прочего, определенные и неопределенные линейные и квадратные уравнения, простые измерения и тройки Пифагора. ^[48]

Арьябхата

Арьябхата (476–550) был индийским математиком, автором книги «Арьябхатия» . В нем он дал правила: ^[49]

${\displaystyle 1^{2}+2^{2}+\cdots +n^{2}={n(n+1)(2n+1) \over 6}}$

и

${\displaystyle 1^{3}+2^{3}+\cdots +n^{3}=(1+2+\cdots +n)^{2}}$

Брахма Спхута Сиддханта

Брахмагупта (628 г.) был индийским математиком, написавшим книгу «Брахма Спхута Сиддханта» . В своей работе Брахмагупта решает общее квадратное уравнение как для положительных, так и для отрицательных корней. ^[50] В неопределенном анализе Брахмагупта приводит пифагорейские триады, но это модифицированная форма старого вавилонского правила, с которым Брахмагупта, возможно, был знаком. ^[51] Он был первым, кто дал общее решение линейного диофантова уравнения, где и являются целыми числами . В отличие от Диофанта, который дал только одно решение неопределенного уравнения, Брахмагупта дал все целочисленные решения; но то, что Брахмагупта использовал некоторые из тех же примеров, что и Диофант, побудило некоторых историков рассмотреть возможность греческого влияния на работы Брахмагупты или, по крайней мере, общего вавилонского источника. ^[52] ${\displaystyle m,{\frac {1}{2}}\left({m^{2} \over n}-n\right),}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({m^{2} \over n}+n\right),}$ ${\displaystyle ax+by=c,}$ ${\displaystyle a,b,}$ ${\displaystyle c}$

Как и алгебра Диофанта, алгебра Брахмагупты была синкопированной. Сложение обозначалось размещением чисел рядом, вычитание — установкой точки над вычитаемым, а деление — размещением делителя под делимым, аналогично нашим современным обозначениям, но без черты. Умножение, эволюция и неизвестные величины обозначались сокращениями соответствующих терминов. ^[52] Степень греческого влияния на эту синкопу, если таковая имеется, неизвестна, и вполне возможно, что как греческая, так и индийская синкопа могут происходить из общего вавилонского источника. ^[52]

Бхаскара II

Бхаскара II (1114 – ок. 1185) был ведущим математиком XII века. В алгебре он дал общее решение уравнения Пелла . ^[52] Он является автором книг «Лилавати» и «Виджа-Ганита» , которые содержат задачи, связанные с определенными и неопределенными линейными и квадратными уравнениями, а также тройками Пифагора ^[48] , и он не может различать точные и приближенные утверждения. ^[53] Многие проблемы в Лилавати и Виджа-Ганите взяты из других индуистских источников, и поэтому Бхаскара лучше всего справляется с неопределенным анализом. ^[53]

Бхаскара использует начальные символы названий цветов как символы неизвестных переменных. Так, например, то, что мы сегодня напишем как

${\displaystyle (-x-1)+(2x-8)=x-9}$

Бхаскара написал бы так

. _ .

да 1 ру 1

.

да 2 ru 8

.

Сумма 1 ru 9

где «я» указывает на первый слог слова « черный» , а «ру» взято из слова «вид» . Точки над цифрами обозначают вычитание.

Исламский мир

Страница из «Сборника по расчету путем завершения и балансировки» .

В первом веке существования Исламской Арабской империи почти не было научных или математических достижений, поскольку арабы с их недавно завоеванной империей еще не обрели никакого интеллектуального стремления, а исследования в других частях мира угасли. Во второй половине VIII века в исламе произошло культурное пробуждение, а исследования в области математики и естественных наук увеличились. ^[54] Говорят, что мусульманскому халифу Аббасидов аль-Мамуну (809–833) приснился сон, в котором ему явился Аристотель, и, как следствие, аль-Мамун приказал сделать арабский перевод как можно большего количества греческих произведений, в том числе «Альмагест » Птолемея и « Начала » Евклида . Греческие произведения будут переданы мусульманам Византийской империей в обмен на договоры, поскольку между двумя империями существовал непростой мир. ^[54] Многие из этих греческих работ были переведены Сабитом ибн Куррой (826–901), который перевел книги, написанные Евклидом, Архимедом, Аполлонием, Птолемеем и Евтокием. ^[55]

Арабские математики выделили алгебру как самостоятельную дисциплину и дали ей название «алгебра» ( аль-джабр ). Они были первыми, кто начал преподавать алгебру в элементарной форме и ради самой алгебры. ^[56] Есть три теории о происхождении арабской алгебры. Первый подчеркивает индуистское влияние, второй подчеркивает месопотамское или персидско-сирийское влияние, а третий подчеркивает греческое влияние. Многие учёные полагают, что это результат сочетания всех трёх источников. ^[57]

На протяжении всего времени своего пребывания у власти арабы пользовались полностью риторической алгеброй, где зачастую даже числа записывались словами. В конечном итоге арабы заменили прописанные числа (например, двадцать два) арабскими цифрами (например, 22), но арабы не приняли и не разработали синкопированную или символическую алгебру ^[55] до тех пор, пока не появилась работа Ибн аль-Банны , который разработал символическая алгебра в 13 веке, а затем Абу аль-Хасан ибн Али аль-Каласади в 15 веке.

Аль-Джабр валь Мукабала

Слева: оригинальная арабская печатная рукопись «Книги алгебры» Аль-Хорезми . Справа: страница из книги Фредрика Розена «Алгебра Аль-Хорезми» на английском языке .

Мусульманский ^[58] персидский математик Мухаммад ибн Муса аль -Хорезми , которого называют отцом ^{[59] [60] [61]} или основателем ^{[62] [63]} алгебры , был преподавателем «Дома мудрости » ( Bait al-Hikma ) в Багдаде, который был основан Аль-Мамуном. Аль-Хорезми, умерший около 850 г. н.э., написал более полдюжины математических и астрономических работ. ^[54] Одна из самых известных книг аль-Хорезми называется « Аль-джабр ва'ль мукабала», или «Сборная книга по расчетам путем завершения и балансировки» , и в ней дается исчерпывающее описание решения многочленов до второй степени . ^[64] В книге также представлены фундаментальные концепции « редукции » и «балансировки», относящиеся к переносу вычтенных членов на другую сторону уравнения, то есть отмене подобных членов на противоположных сторонах уравнения. Это операция, которую аль-Хорезми первоначально назвал « аль-Джабр» . ^[65] Название «алгебра» происходит от слова « аль-джабр » в названии его книги.

Р. Рашед и Анджела Армстронг пишут:

«Текст Аль-Хорезми можно рассматривать как отличный не только от вавилонских табличек , но и от « Арифметики » Диофанта . Он больше не касается ряда проблем, которые необходимо решить, а представляет собой изложение , которое начинается с примитивных терминов, в которых комбинации должны дать все возможные прообразы уравнений, которые отныне явно составляют истинный объект исследования. С другой стороны, идея уравнения сама по себе появляется с самого начала и, можно сказать, в родовом виде, поскольку она не просто возникает в ходе решения задачи, а специально призван определить бесконечный класс задач». ^[66]

Аль-Джабр разделен на шесть глав, каждая из которых посвящена разным типам формул. Первая глава «Аль-Джабра» посвящена уравнениям, квадраты которых равны их корням. Вторая глава посвящена квадратам, равным числу. Третья глава посвящена корням, равным числу. Четвертая глава посвящена квадратам и корням, равным числу. Пятая глава посвящена уравнениям, равным числу. квадраты и числа равны корням , а шестая и последняя глава посвящена корням и числам, равным квадратам ^[67] ${\displaystyle \left(ax^{2}=bx\right),}$ ${\displaystyle \left(ax^{2}=c\right),}$ ${\displaystyle \left(bx=c\right),}$ ${\displaystyle \left(ax^{2}+bx=c\right),}$ ${\displaystyle \left(ax^{2}+c=bx\right),}$ ${\displaystyle \left(bx+c=ax^{2}\right).}$

Страницы из арабской копии книги XIV века, на которых показаны геометрические решения двух квадратных уравнений.

В «Аль-Джабре» аль-Хорезми использует геометрические доказательства, ^[17] он не признает корень ^[67] и имеет дело только с положительными корнями. ^[68] Он также признает, что дискриминант должен быть положительным, и описал метод завершения квадрата , хотя и не оправдывает эту процедуру. ^[69] Греческое влияние проявляется в геометрических основах Аль-Джабра ^{[57] [70]} и в одной задаче, взятой у Герона. ^[71] Он использует буквенные диаграммы, но все коэффициенты во всех его уравнениях являются конкретными числами, поскольку у него не было возможности выразить с помощью параметров то, что он мог выразить геометрически; хотя предполагается общность метода. ^[17] ${\displaystyle x=0,}$

Аль-Хорезми, скорее всего, не знал об «Арифметике» Диофанта , ^[72] которая стала известна арабам где-то до X века. ^[73] И хотя аль-Хорезми, скорее всего, знал о работе Брахмагупты, Аль-Джабр полностью риторический, и цифры даже прописываются словами. ^[72] Так, например, то, что мы напишем как

${\displaystyle x^{2}+10x=39}$

Диофант написал бы так: ^[74]

${\displaystyle \Delta ^{\Upsilon }{\overline {\alpha }}\varsigma {\overline {\iota }}\,\;}$ἴ ${\displaystyle \sigma \;\,\mathrm {M} \lambda {\overline {\theta }}}$

А аль-Хорезми написал бы так: ^[74]

Один квадрат и десять корней равны тридцати девяти дирхемам ; то есть, каким должен быть квадрат, который, умноженный на десять собственных корней, составит тридцать девять?

Логические необходимости в смешанных уравнениях

'Абд аль-Хамид ибн Тюрк является автором рукописи под названием « Логические необходимости в смешанных уравнениях» , которая очень похожа на «Аль- Джабр» аль- Хварзими и была опубликована примерно в то же время, а, возможно, даже раньше, чем « Аль-Джабр» . ^[73] Рукопись дает точно такую ​​же геометрическую демонстрацию, как и в Аль-Джабре , и в одном случае тот же пример, что и в Аль-Джабре , и даже выходит за рамки Аль-Джабра , давая геометрическое доказательство того, что если дискриминант равен отрицательно, то квадратное уравнение не имеет решения. ^[73] Сходство между этими двумя работами привело некоторых историков к выводу, что арабская алгебра, возможно, была хорошо развита ко времени аль-Хорезми и Абд аль-Хамида. ^[73]

Абу Камиль и аль-Караджи

Арабские математики рассматривали иррациональные числа как алгебраические объекты. ^[75] Египетский математик Абу Камил Шуджа ибн Аслам (ок. 850–930) был первым, кто принял иррациональные числа (часто в форме квадратного корня , кубического корня или корня четвертой степени ) в качестве решений квадратных уравнений или в качестве коэффициентов в уравнение. ^[76] Он также был первым, кто решил одновременно три нелинейных уравнения с тремя неизвестными переменными . ^[77]

Аль-Караджи (953–1029), также известный как Аль-Кархи, был преемником Абу аль-Вафа аль-Бузджани (940–998) и открыл первое численное решение уравнений вида [ ^78] Караджи рассматривал только положительные корни. ^[78] Он также считается первым человеком, освободившим алгебру от геометрических операций и заменившим их арифметическими операциями , которые сегодня лежат в основе алгебры. Его работа по алгебре и многочленам дала правила арифметических операций по управлению многочленами. Историк математики Ф. Вепке в « Extrait du Fakhri», «Traité d'Algèbre par Abou Bekr Mohammed Ben Alhacan Alkarkhi» ( Париж , 1853 г.) похвалил Аль-Караджи за то, что он «первый, кто представил теорию алгебраического исчисления». Исходя из этого, Аль-Караджи исследовал биномиальные коэффициенты и треугольник Паскаля . ^[79] ${\displaystyle ax^{2n}+bx^{n}=c.}$

Омар Хайям, Шараф ад-Дин ат-Туси и аль-Каши

Омар Хайям

Чтобы решить уравнение третьей степени, Хайям построил параболу — круг с диаметром и вертикальную линию, проходящую через точку пересечения. Решение определяется длиной отрезка горизонтальной линии от начала координат до пересечения вертикальной линии и оси -. ${\displaystyle x^{3}+a^{2}x=b}$ ${\displaystyle x^{2}=ay,}$ ${\displaystyle b/a^{2},}$ ${\displaystyle x}$

Омар Хайям (ок. 1050–1123) написал книгу по алгебре, которая вышла за рамки Аль-Джабра и включила уравнения третьей степени. ^[80] Омар Хайям предоставил как арифметические, так и геометрические решения квадратных уравнений, но он дал только геометрические решения для общих кубических уравнений , поскольку ошибочно полагал, что арифметические решения невозможны. ^[80] Его метод решения кубических уравнений с использованием пересекающихся коник использовался Менехмом , Архимедом и Ибн аль-Хайсамом (Альхазеном) , но Омар Хайям обобщил этот метод, чтобы охватить все кубические уравнения с положительными корнями. ^[80] Он рассматривал только положительные корни и не пошел дальше третьей степени. ^[80] Он также видел сильную связь между геометрией и алгеброй. ^[80]

В XII веке Шараф ад-Дин ат-Туси (1135–1213) написал «Аль-Муадалат » ( «Трактат об уравнениях »), в котором рассматривались восемь типов кубических уравнений с положительными решениями и пять типов кубических уравнений, которые не могут быть решены. иметь положительные решения. Он использовал то, что позже будет известно как « метод Руффини - Хорнера », для численной аппроксимации корня кубического уравнения. Он также разработал концепции максимумов и минимумов кривых для решения кубических уравнений, которые могут не иметь положительных решений. ^[81] Он понимал важность дискриминанта кубического уравнения и использовал раннюю версию формулы Кардано ^[82] для поиска алгебраических решений определенных типов кубических уравнений. Некоторые ученые, такие как Рошди Рашид, утверждают, что Шараф ад-Дин открыл производную кубических многочленов и осознал ее значение, в то время как другие ученые связывают свое решение с идеями Евклида и Архимеда. ^[83]

Шараф ад-Дин также разработал понятие функции . ^{[ нужна цитата ]} В своем анализе уравнения, например, он начинает с изменения формы уравнения на . Затем он утверждает, что вопрос о том, имеет ли уравнение решение, зависит от того, достигнет ли «функция» в левой части значения . Чтобы определить это, он находит максимальное значение функции. Он доказывает, что максимальное значение имеет место при , что и дает функциональное значение . Затем Шараф ад-Дин заявляет, что если это значение меньше , положительных решений нет; если оно равно , то в точке существует одно решение ; а если оно больше , то существует два решения: одно между и и одно между и . ^[84] ${\displaystyle x^{3}+d=bx^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}(b-x)=d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle x={\frac {2b}{3}}}$ ${\displaystyle {\frac {4b^{3}}{27}}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle x={\frac {2b}{3}}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\frac {2b}{3}}}$ ${\displaystyle {\frac {2b}{3}}}$ ${\displaystyle b}$

В начале 15 века Джамшид аль-Каши разработал раннюю форму метода Ньютона для численного решения уравнения и поиска корней . ^[85] Аль-Каши также разработал десятичные дроби и утверждал, что открыл это сам. Однако Дж. Леннарт Берггренн отмечает, что он ошибался, поскольку десятичные дроби впервые были использованы за пять столетий до него багдадским математиком Абуль -Хасаном аль-Уклидиси еще в X веке. ^[77] ${\displaystyle x^{P}-N=0}$ ${\displaystyle N}$

Аль-Хассар, Ибн аль-Банна и аль-Каласади

Аль-Хассар , математик из Марокко , специализирующийся на исламском наследовании в XII веке, разработал современную символическую математическую систему обозначений дробей , где числитель и знаменатель разделены горизонтальной чертой. Такое же дробное обозначение вскоре появилось в работах Фибоначчи в 13 веке. ^[86]

Абу аль-Хасан ибн Али аль-Каласади (1412–1486) был последним крупным средневековым арабским алгебраистом, предпринявшим первую попытку создания алгебраической записи после Ибн аль-Банны двумя столетиями ранее, который сам был первым, кто сделал такую попытка со времен Диофанта и Брахмагупты в древние времена. ^[87] Однако в синкопированных обозначениях его предшественников не хватало символов для математических операций . ^[42] Аль-Каласади «сделал первые шаги к введению алгебраической символики, используя буквы вместо чисел» ^[87] и «используя короткие арабские слова или только их начальные буквы в качестве математических символов». ^[87]

Европа и Средиземноморский регион

Подобно тому, как смерть Гипатии сигнализирует о закрытии Александрийской библиотеки как математического центра, смерть Боэция сигнализирует о конце математики в Западной Римской империи . Хотя в Афинах велась определенная работа , она подошла к концу, когда в 529 году византийский император Юстиниан закрыл языческие философские школы. 529 год теперь считается началом средневекового периода. Ученые бежали с Запада на более гостеприимный Восток, особенно в Персию , где они нашли убежище при царе Хосрове и основали то, что можно было бы назвать «Афинской Академией в изгнании». ^[88] По договору с Юстинианом Хосров в конечном итоге вернет ученых в Восточную империю . В Средние века европейская математика находилась в самом низу своего развития: математические исследования состояли в основном из комментариев к древним трактатам; и большая часть этих исследований была сосредоточена в Византийской империи . Концом средневекового периода считается падение Константинополя турками в 1453 году .

Позднее Средневековье

В XII веке наблюдался поток переводов с арабского языка на латынь , а к XIII веку европейская математика начала конкурировать с математикой других стран. Решение кубического уравнения Фибоначчи в 13 веке символизирует начало возрождения европейской алгебры.

В то время как исламский мир приходил в упадок после 15 века, европейский мир находился на подъеме. И именно здесь алгебра получила дальнейшее развитие.

Символическая алгебра

Современные обозначения арифметических операций были введены между концом 15-го века и началом 16-го века Йоханнесом Видманом и Михаэлем Стифелем . В конце 16 века Франсуа Виет ввел символы, которые теперь называются переменными , для обозначения неопределенных или неизвестных чисел. Это создало новую алгебру, состоящую из вычислений с символьными выражениями, как если бы они были числами.

Другим ключевым событием в дальнейшем развитии алгебры стало общее алгебраическое решение уравнений кубической и четвертой степени , разработанное в середине 16 века. Идея определителя была развита японским математиком Кова Секи в 17 веке, а десять лет спустя — Готфридом Лейбницем с целью решения систем одновременных линейных уравнений с использованием матриц . Габриэль Крамер также работал над матрицами и определителями в 18 веке.

Символ х

По традиции первая неизвестная переменная в алгебраической задаче в настоящее время обозначается символом , а если есть вторая или третья неизвестная, то они обозначаются соответственно и . Алгебраические символы обычно печатаются курсивом , чтобы отличить их от знака умножения. ${\displaystyle {\mathit {x}}}$ ${\displaystyle {\mathit {y}}}$ ${\displaystyle {\mathit {z}}}$ ${\displaystyle x}$

Историки-математики ^[89] в целом согласны с тем, что использование в алгебре было введено Рене Декартом и впервые опубликовано в его трактате «Геометрия» (1637). ^{[90] [91]} В этой работе он использовал буквы из начала алфавита для известных величин и буквы из конца алфавита для неизвестных. ^[92] Было высказано предположение, что позже он остановился на (вместо ) первого неизвестного шрифта из-за его относительно большего количества во французских и латинских типографских шрифтах того времени. ^[93] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (a,b,c,\ldots )}$ ${\displaystyle (z,y,x,\ldots )}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z}$

В 19 веке были предложены три альтернативные теории происхождения алгебраического слова : (1) символ, используемый немецкими алгебраистами и предположительно произошедший от рукописной буквы, ошибочно принятой за ; ^[94] (2) цифра 1 косым перечеркиванием ; ^[95] и (3) арабский/испанский источник (см. ниже). Но швейцарско-американский историк математики Флориан Каджори изучил их и обнаружил, что всем трем не хватает конкретных доказательств; Каджори назвал Декарта создателем и описал его как «свободного от традиций [,] и их выбора чисто произвольно». ^[96] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x,y,}$ ${\displaystyle z}$

Тем не менее, испано-арабская гипотеза продолжает присутствовать в массовой культуре и сегодня. ^[97] Утверждается, что алгебраическое слово является аббревиатурой предполагаемого заимствования арабского слова в староиспанском языке. Теория возникла в 1884 году у немецкого востоковеда Поля де Лагарда , вскоре после того, как он опубликовал свое издание испанско-арабского двуязычного глоссария 1505 года ^[98] , в котором испанский cosa («вещь») сочетался с его арабским эквивалентом شىء ( shay ^ʔ ), транскрибируется как xei . (Звук «ш» в староиспанском языке обычно писался ). Очевидно, Лагард знала, что арабские математики на «риторической» стадии развития алгебры часто использовали это слово для обозначения неизвестной величины. Он предположил, что «нет ничего более естественного» («Nichts war также natürlicher...»), чем использование инициала арабского слова, латинизированного как древнеиспанское , для использования в алгебре. ^[99] Более поздний читатель переосмыслил гипотезу Лагард как «доказавшую» эту точку зрения. ^[100] Лагард не знала, что ранние испанские математики использовали не транскрипцию арабского слова, а его перевод на свой язык «cosa». ^[101] В нескольких составленных исторических словарях испанского языка не встречается ни слова xei , ни подобных ему форм. ^{[102] [103]} ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x}$

Готфрид Лейбниц

Хотя математическое понятие функции было неявным в тригонометрических и логарифмических таблицах , существовавших в его время, Готфрид Лейбниц был первым, в 1692 и 1694 годах, кто использовал его явно для обозначения любого из нескольких геометрических понятий, полученных из кривой, таких как абсцисса , ордината , тангенс , хорда и перпендикуляр . ^[104] В 18 веке «функция» утратила эти геометрические ассоциации.

Лейбниц понял, что коэффициенты системы линейных уравнений можно объединить в массив, который теперь называется матрицей , которым можно манипулировать, чтобы найти решение системы, если таковое имеется. Этот метод позже был назван методом исключения Гаусса . Лейбниц также открыл булеву алгебру и символическую логику , также имеющие отношение к алгебре.

Абстрактная алгебра

Способность заниматься алгеброй – это навык, развиваемый в рамках математического образования . Как объяснил Эндрю Уорвик, студенты Кембриджского университета в начале 19 века практиковали «смешанную математику», ^[105] выполняя упражнения, основанные на физических переменных, таких как пространство, время и вес. Со временем связь переменных с физическими величинами исчезла по мере развития математической техники. Со временем математика полностью сосредоточилась на абстрактных многочленах , комплексных числах , гиперкомплексных числах и других понятиях. Приложение к физическим ситуациям тогда называлось прикладной математикой или математической физикой , а область математики расширилась и включила абстрактную алгебру . Например, проблема конструктивных чисел выявила некоторые математические ограничения, и была развита область теории Галуа .

Отец алгебры

Титул «отца алгебры» часто приписывают персидскому математику Аль-Хорезми , ^{[106] [107] [108]} поддерживаемому историками математики , такими как Карл Бенджамин Бойер , ^[106] Соломон Гандз и Бартель Леендерт ван дер Варден . ^[109] Однако этот вопрос является спорным, и название иногда приписывают эллинистическому математику Диофанту . ^{[106] [110]} Те, кто поддерживает Диофанта, указывают на то, что алгебра, найденная в Аль-Джабре, является более элементарной , чем алгебра, найденная в Арифметике , и что Арифметика синкопирована, в то время как Аль-Джабр является полностью риторическим. ^[106] Однако историк математики Курт Фогель выступает против того, чтобы Диофант имел этот титул, ^[111] поскольку его математика была не намного более алгебраической, чем у древних вавилонян . ^[112]

Сторонники Аль-Хорезми указывают на то, что он дал исчерпывающее объяснение алгебраическому решению квадратных уравнений с положительными корнями ^[113] и был первым, кто преподавал алгебру в элементарной форме и ради нее самой, тогда как Диофант был в первую очередь занимался теорией чисел . ^[56] Аль-Хорезми также представил фундаментальную концепцию «сокращения» и «балансировки» (для обозначения которой он первоначально использовал термин аль-джабр ), имея в виду перенос вычтенных членов в другую часть уравнения, что То есть сокращение одинаковых членов на противоположных сторонах уравнения. ^[65] Другие сторонники Аль-Хорезми указывают на то, что его алгебра больше не занимается «серией проблем , которые необходимо решить, а представляет собой изложение , которое начинается с примитивных терминов, в которых комбинации должны давать все возможные прототипы уравнений, которые отныне явно составляют истинный объект исследования». Они также указывают на его трактовку уравнения ради него самого и «в общем виде, поскольку оно не просто возникает в ходе решения задачи, а специально призвано определить бесконечный класс задач». ^[66] Виктор Дж. Кац считает Аль-Джабра первым настоящим текстом по алгебре, который до сих пор существует. ^[114]

Досовременная алгебра была разработана и использовалась купцами и геодезистами как часть того, что Йенс Хойруп назвал «донаучной» традицией. Диофант использовал этот метод алгебры в своей книге, в частности для неопределенных задач, а Аль-Хорезми написал одну из первых книг на арабском языке об общем методе решения уравнений. ^[37]

Смотрите также

• Математический портал

• Аль-Мансур  - второй халиф Аббасидов (годы правления 754–775)
• Хронология алгебры  - Известные события в истории алгебры

Рекомендации

1. Бойер (1991:229)
2. Джеффри А. Оукс, Хайтам М. Альхатиб, Упрощение уравнений в арабской алгебре , Historia Mathematica, 34 (2007), 45-61, ISSN  0315-0860, [1]
3. (Бойер 1991, «Возрождение и упадок греческой математики», стр. 180) «Было сказано, что можно выделить три стадии исторического развития алгебры: (1) риторическая или ранняя стадия, на которой все написано полностью выраженной в словах, (2) синкопированное или промежуточное состояние, в котором принимаются некоторые сокращения, и (3) символическая или заключительная стадия. Такое произвольное разделение развития алгебры на три стадии, конечно, является поверхностным. чрезмерное упрощение; но оно может эффективно служить первым приближением к тому, что произошло»»
4. (Boyer 1991, «Месопотамия», стр. 32) «До нового времени не было мысли о решении квадратного уравнения вида , где и положительны, поскольку уравнение не имеет положительного корня. Следовательно, квадратные уравнения в древности и средневековье времена — и даже в ранний современный период — были разделены на три типа: (1) (2) (3) « ${\displaystyle x^{2}+px+q=0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle x^{2}+px=q}$ ${\displaystyle x^{2}=px+q}$ ${\displaystyle x^{2}+q=px}$
5. Кац, Виктор Дж.; Бартон, Билл (октябрь 2007 г.), «Этапы истории алгебры с последствиями для преподавания», Educational Studies in Mathematics , 66 (2): 185–201, doi : 10.1007/s10649-006-9023-7, S2CID  120363574
6. Струик, Дирк Дж. (1987). Краткая история математики . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-60255-4.
7. (Boyer 1991, «Месопотамия», стр. 30) «Вавилонские математики, не колеблясь, интерполировали пропорциональные части для приближения промежуточных значений. Линейная интерполяция, по-видимому, была обычной процедурой в древней Месопотамии, и позиционное обозначение удобно подходило для правило трех. [...] таблица, необходимая в вавилонской алгебре; этот предмет достиг значительно более высокого уровня в Месопотамии, чем в Египте. Многие тексты задач древневавилонского периода показывают, что решение полного трехчленного квадратного уравнения Это не представляло для вавилонян серьезных трудностей, поскольку были развиты гибкие алгебраические операции: они могли переставлять члены в уравнениях, добавляя равные к равным, и умножать обе части на одинаковые величины, чтобы удалять дроби или исключать множители . получить, поскольку они были знакомы со многими простыми формами факторизации.... Египетская алгебра много занималась линейными уравнениями, но вавилоняне, очевидно, находили их слишком элементарными, чтобы уделять им много внимания. [...] В другой задаче в древневавилонском тексте мы находим два одновременных линейных уравнения с двумя неизвестными величинами, называемыми соответственно «первым серебряным кольцом» и «вторым серебряным кольцом».» ${\displaystyle 4ab}$ ${\displaystyle (a-b)^{2}}$ ${\displaystyle (a+b)^{2}}$
8. Джойс, Дэвид Э. (1995). «Плимптон 322». Глиняная табличка с каталожным номером 322 из коллекции Г. А. Плимптона в Колумбийском университете, возможно, является самой известной математической табличкой и, конечно, самой фотографируемой, но она заслуживает еще большей известности. Он был написан в период Старого Вавилона между -1900 и -1600 годами и демонстрирует наиболее развитую математику до развития греческой математики. {{cite journal}}: Требуется цитировать журнал |journal=( помощь )
9. (Бойер 1991, «Месопотамия», стр. 31) «Решение квадратного уравнения с тремя членами, похоже, намного превосходило алгебраические возможности египтян, но Нойгебауэр в 1930 году обнаружил, что с такими уравнениями эффективно справлялись вавилоняне. в некоторых из самых старых проблемных текстов».
10. (Boyer 1991, «Месопотамия», стр. 33) «В Египте нет записей о решении кубических уравнений, но среди вавилонян есть много примеров этого. [...] Независимо от того, были ли вавилоняне или нет Способность привести общую четырехчленную кубику ax ³ + bx ² + cx = d к их нормальной форме неизвестна».
11. (Boyer 1991, «Египет», стр. 11) «Он был куплен в 1959 году в курортном городе на Ниле шотландским антикваром Генри Райндом; поэтому его часто называют Папирусом Ринда или, реже, как Папирусом Ахмеса. Папирус в честь писца, чьей рукой он был скопирован примерно в 1650 г. до н.э. Писец сообщает нам, что материал взят из прототипа из Среднего царства, существовавшего примерно в 2000–1800 гг. до н.э.».
12. (Бойер 1991, «Египет», стр. 19) «Большая часть нашей информации о египетской математике была получена из Папируса Ринда или Ахмеса, самого обширного математического документа из древнего Египта; но есть и другие источники».
13. (Boyer 1991, «Египет», стр. 15–16) «Описанные до сих пор египетские проблемы лучше всего классифицировать как арифметические, но есть и другие, которые попадают в класс, к которому уместно применять термин алгебраические. Они не касаются конкретных конкретных объектов, таких как хлеб и пиво, и не требуют операций над известными числами. Вместо этого они требуют эквивалента решений линейных уравнений вида или , где a и b и c известны, а x неизвестен. Неизвестное - это упоминается как «ага» или куча. [...] Решение, данное Ахмесом, - это не решение современных учебников, а одна из предложенных характеристик процедуры, теперь известной как «метод ложной позиции» или «правило ложь». Конкретное ложное значение было предложено учеными 1920-х годов, и операции, указанные в левой части знака равенства, выполняются над этим предполагаемым числом. Недавние исследования показывают, что писцы не угадывали в этих ситуациях. Записаны точные ответы на рациональные числа. Серия египетских дробей сбила с толку ученых 1920-х годов. Заверенный результат показывает, что Ахмес «проверил» результат, показав, что 16 + 1/2 + 1/8, добавленные ровно к седьмой части этого числа (что составляет 2 + 1/4 + 1/8), действительно дает 19. Здесь мы видим еще один значительный шаг в развитии математики, поскольку проверка — это простой пример доказательства». ${\displaystyle x+ax=b}$ ${\displaystyle x+ax+bx=c}$
14. Билл Кассельман . «Одна из древнейших дошедших до нас диаграмм Евклида». Университет Британской Колумбии . Проверено 26 сентября 2008 г.
15. (Boyer 1991, «Евклид Александрийский», стр. 109) «Книга II «Элементов» короткая , содержит всего четырнадцать предложений, ни одно из которых не играет никакой роли в современных учебниках; однако во времена Евклида эта книга имела большое значение. Это резкое несоответствие между древними и современными взглядами легко объяснимо: сегодня мы имеем символическую алгебру и тригонометрию, которые заменили геометрические эквиваленты из Греции. Например, в предложении 1 Книги II говорится: «Если существуют две прямые линии, один из них можно разрезать на любое количество отрезков, то прямоугольник, содержащийся в двух прямых, равен прямоугольникам, содержащимся в неразрезанной прямой и каждом из отрезков». Эта теорема утверждает (рис. 7.5), что AD (AP + PR + RB) = AD·AP + AD·PR + AD·RB представляет собой не что иное, как геометрическое изложение одного из фундаментальных законов арифметики, известного сегодня как закон распределения: В более поздних книгах «Начал» (V и VII) мы находим демонстрации коммутативных и ассоциативных законов умножения. В то время как в наше время величины обозначаются буквами, под которыми понимаются числа (известные или неизвестные), с которыми мы работаем с помощью алгоритмических правил алгебры, во времена Евклида величины изображались как отрезки прямых, удовлетворяющие аксионам и теоремам геометрии. Иногда утверждают, что у греков не было алгебры, но это явно неверно. У них была Книга II «Начал » , представляющая собой геометрическую алгебру и служившая во многом той же цели, что и наша символическая алгебра. Не может быть никаких сомнений в том, что современная алгебра значительно облегчает манипулирование отношениями между величинами. Но несомненно также верно и то, что греческий геометр, сведущий в четырнадцати теоремах «алгебры» Евклида, был гораздо более искусным в применении этих теорем к практическим измерениям, чем опытный геометр сегодня. Древняя геометрическая «алгебра» не была идеальным инструментом, но и далеко не неэффективной. Утверждение Евклида (предложение 4): «Если прямую линию разрезать наугад, то квадрат в целом равен квадратам на отрезках и вдвое большему прямоугольнику, заключенному в отрезках», — это многословный способ сказать, что « ${\displaystyle a(b+c+d)=ab+ac+ad.}$ ${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$
16. (Boyer 1991, «Героический век», стр. 77–78) «Независимо от того, пришла ли дедукция в математику в шестом веке до нашей эры или в четвертом, и была ли несоизмеримость открыта до или после 400 года до нашей эры, не может быть никаких сомнений в том, что греческая математика ко времени Платона претерпела радикальные изменения. [...] «Геометрическая алгебра» должна была занять место старой «арифметической алгебры», и в этой новой алгебре не могло быть добавления линий к площадям или площадей Отныне должна была соблюдаться строгая однородность членов в уравнениях, а месопотамская нормальная форма = b должна была интерпретироваться геометрически. [...] Таким образом, греки построили решение квадратных уравнений с помощью их процесс, известный как «применение площадей», часть геометрической алгебры, которая полностью охвачена « Началами » Евклида . [...] Линейное уравнение , например, рассматривалось как равенство площадей , а не как пропорция — равенство двух отношений и Следовательно, при построении четвертой пропорции в этом случае принято было строить прямоугольник OCDB со сторонами b = OB и с = OC (рис. 5.9), а затем по OC откладывать ОА = а . Завершаем прямоугольник OCDB и рисуем диагональ OE, разрезающую CD в P. Теперь ясно, что CP — искомая линия для прямоугольника OARS, равного по площади прямоугольнику OCDB». ${\displaystyle xy=A,x\pm y=b,}$ ${\displaystyle ax=bc,}$ ${\displaystyle ax}$ ${\displaystyle bc,}$ ${\displaystyle a:b}$ ${\displaystyle c:x.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x,}$
17. (Boyer 1991, «Европа в Средневековье», стр. 258) «В арифметических теоремах в « Элементах » Евклида VII – IX числа были представлены отрезками прямых, к которым были прикреплены буквы, а геометрические доказательства в аль- В « Алгебре » Хорезми использовались буквенные диаграммы; но все коэффициенты в уравнениях, используемых в алгебре , представляют собой конкретные числа, независимо от того, представлены ли они цифрами или записаны словами. Идея общности подразумевается в изложении аль-Хорезми, но у него не было схемы для алгебраически выражая общие положения, которые так легко доступны в геометрии».
18. (Heath 1981a, «The («Цветение») Тимарида», стр. 94–96) Тимарид Паросский, уже упомянутый древний пифагореец (стр. 69), был автором правила для решения определенного набора одновременных задач. простые уравнения, связывающие неизвестные величины. Это правило, очевидно, было хорошо известно, поскольку оно было названо особым именем [...] «цветок» или «цветение» Тимарида. [...] Правило сформулировано очень неясно, но по сути оно гласит, что, если у нас есть следующие уравнения, связывающие неизвестные величины , а именно [...] Ямвлих, наш информатор по этому вопросу, продолжает показывать, что другие типы уравнения можно свести к этому, так что их правило не «оставит нас в беде» и в этих случаях». ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-1},}$
19. (Флегг 1983, «Неизвестные числа», стр. 205) «Говорят, что у Тимарида (четвертый век) было это правило для решения определенного набора линейных уравнений с неизвестными: если задана сумма величин, а также сумма каждая пара содержит определенное количество, то это определенное количество равно разности сумм этих пар и первой данной суммы». ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$
    ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1/(n-2)}$
20. (Boyer 1991, «Евклид Александрийский», стр. 100) «но к 306 г. до н.э. контроль над египетской частью империи прочно находился в руках Птолемея I, и этот просвещенный правитель смог обратить свое внимание на конструктивные усилия Среди первых его действий было основание в Александрии школы или института, известного как Музей, не имевшего аналогов в свое время. В качестве учителей школы он призвал группу ведущих ученых, среди которых был автор самых невероятных успешный когда-либо написанный учебник математики — « Начала» ( Stoichia ) Евклида. Учитывая известность автора и его бестселлера, о жизни Евклида известно на удивление мало. Его жизнь была настолько неясной, что ни одно место рождения не связано с его именем».
21. (Бойер 1991, «Евклид Александрийский», стр. 101) «История, рассказанная выше в связи с просьбой Александра Великого о легком введении в геометрию, повторяется в случае Птолемея, которого, как сообщается, Евклид заверил, что «В геометрии нет королевской дороги».
22. (Boyer 1991, «Евклид Александрийский», стр. 104) «Некоторые преподаватели, вероятно, преуспели в исследованиях, другие были лучше приспособлены для работы администраторами, а третьи отличались преподавательскими способностями. Судя по отчетам, которые мы Есть мнение, что Евклид вполне определенно вписывается в последнюю категорию. Ему не приписывают никаких новых открытий, но он отличался своими объяснительными способностями».
23. (Бойер 1991, «Евклид Александрийский», стр. 104) « Начала» не были, как иногда думают, сборником всех геометрических знаний; вместо этого это был вводный учебник, охватывающий всю элементарную математику».
24. (Boyer 1991, «Евклид Александрийский», стр. 110) «То же самое справедливо и для Элементов II.5, которые содержат то, что мы должны рассматривать как непрактичный обход слова » ${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}$
25. (Boyer 1991, «Евклид Александрийский», стр. 111) «Точно аналогичным образом квадратное уравнение решается с использованием II.6: если прямую линию разделить пополам и к ней добавить прямую линию в прямой линии, прямоугольник, содержащийся в целом (с добавленной прямой) и добавленной прямой вместе с квадратом на половине, равен квадрату на прямой, составленной из половины и добавленной прямой.[.. .] причем II.11 является важным частным случаем II.6. Здесь Евклид решает уравнение " ${\displaystyle ax+x^{2}=b^{2}}$ ${\displaystyle ax+x^{2}=a^{2}}$
26. (Boyer 1991, «Евклид Александрийский», стр. 103) « Данные Евклида », работа, дошедшая до нас как через греческий, так и через арабский язык. Кажется, она была написана для использования в школах Александрии и служила в качестве дополнительный том к первым шести книгам «Элементов » почти так же, как руководство по таблицам дополняет учебник. [...] Он открывается пятнадцатью определениями, касающимися величин и мест. Основная часть текста состоит из девяноста пяти утверждений. относительно последствий условий и величин, которые могут быть заданы в задаче. [...] Существует около двух десятков подобных утверждений, служащих алгебраическими правилами или формулами. [...] Некоторые из утверждений являются геометрическими эквивалентами решения задачи квадратные уравнения. Например[...] Устранение мы имеем или из которого Геометрическое решение, данное Евклидом, эквивалентно этому, за исключением того, что перед радикалом используется отрицательный знак. Утверждения 84 и 85 в Данных представляют собой геометрические замены знакомые вавилонские алгебраические решения систем , которые снова являются эквивалентами решений одновременных уравнений». ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (a-x)dx=b^{2}c}$ ${\displaystyle dx^{2}-adx+b^{2}c=0,}$ ${\displaystyle x={\frac {a}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}-b^{2}\left({\frac {c}{d}}\right)}}.}$ ${\displaystyle xy=a^{2},x\pm y=b,}$
27. (Boyer 1991, «Евклидов синтез», стр. 103) «Евтоций и Прокл приписывают открытие конических сечений Менехму, который жил в Афинах в конце четвертого века до нашей эры. Прокл, цитируя Эратосфена, ссылается на «конические сечения». триады секций Менехма». Поскольку эта цитата взята сразу после обсуждения «сечения прямоугольного конуса» и «сечения остроугольного конуса», предполагается, что конические сечения были получены путем разрезания конуса. с плоскостью, перпендикулярной одному из его элементов. Тогда, если угол при вершине конуса острый, полученное сечение (называемое окситомом ) представляет собой эллипс. Если угол прямой, то сечение ( ортотом ) является параболой, а если угол тупой, сечение ( амблитома ) — гипербола (см. рис. 5.7)».
28. (Boyer 1991, «Эпоха Платона и Аристотеля», стр. 94–95) «Если OP = y и OD = x — координаты точки P, мы имеем ).OV или, при подстановке равных, y ² = R'D.OV = AR'.BC/AB.DO.BC/AB = AR'.BC ² /AB ² .x Поскольку отрезки AR ', BC и AB одинаковы для всех точек P на кривой EQDPG , мы можем написать уравнение кривой, «сечения прямоугольного конуса», как где - константа, позже известная как широкая прямая кишка кривой. [...] Менехм, по-видимому, вывел эти свойства конические сечения и другие. Поскольку этот материал имеет строковое сходство с использованием координат, как показано выше, иногда утверждается, что Менехм обладал аналитической геометрией. Такое суждение оправдано лишь частично, поскольку Менехм определенно не знал что любое уравнение с двумя неизвестными величинами определяет кривую. Фактически, общее понятие уравнения с неизвестными величинами было чуждо греческой мысли. [...] Он наткнулся на коники в успешных поисках кривых с соответствующими свойствами к дублированию куба. В современных обозначениях решение легко достигается. Смещая извилистую плоскость (рис. 6.2), мы можем найти параболу при любой широкой прямой кишке. Тогда, если мы хотим дублировать куб с ребром, мы располагаем на прямоугольном конусе две параболы: одну с широкой прямой кишкой, а другую с широкой прямой кишкой [...] Вероятно, Менехм знал, что дублирование также может быть достигнуто. с помощью прямоугольной гиперболы и параболы». ${\displaystyle y^{2}=R}$
    
    ${\displaystyle y^{2}=lx,}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 2a.}$
29. (Boyer 1991, «Китай и Индия», стр. 195–197) «оценки Чжоу Пей Суан Цзин , обычно считающейся старейшей математической классикой, различаются почти на тысячу лет. [...] A дата около 300 г. до н. э. могла бы показаться разумной, что ставит ее в тесную конкуренцию другому трактату, « Цю-чан суань-шу» , составленному около 250 г. до н. э., то есть незадолго до династии Хань (202 г. до н. э.). [...] Почти такой же старой в « Чжоу Пэй» и, возможно, самой влиятельной из всех китайских математических книг была « Чуй-чан суань-шу» , или «Девять глав математического искусства» . Эта книга включает 246 задач по геодезии, сельскому хозяйству, партнерству, инженерному делу, налогообложение, расчет, решение уравнений и свойства прямоугольных треугольников. [...] Восьмая глава из девяти глав важна решением задач одновременных линейных уравнений с использованием как положительных, так и отрицательных чисел. Последняя проблема в глава включает в себя четыре уравнения с пятью неизвестными, и тема неопределенных уравнений осталась любимой среди восточных народов».
30. (Boyer 1991, «Китай и Индия», стр. 204) «Ли Чжи (или Ли Йе, 1192–1279), пекинский математик, которому Хубилай-хан предложил правительственный пост в 1206 году, но он вежливо нашел повод Отклоните его. Его «Цэ-юань хай-цзин» ( «Морское зеркало измерений круга ») включает 170 задач, связанных с[...] некоторыми задачами, ведущими к уравнениям четвертой степени. Хотя он не описал свой метод Решение уравнений, в том числе некоторых шестой степени, похоже, не сильно отличалось от той формы, которую использовали Чу Ши-цзе и Горнер. Другими, кто использовал метод Горнера, были Цинь Цзю-шао (ок. 1202 – ок. 1261). ) и Ян Хуэй (ок. 1261–1275). Первый был беспринципным губернатором и министром, который приобрел огромное богатство в течение ста дней после вступления в должность. Его Шу-шу цзю-чан ( «Математический трактат в девяти разделах ») отмечает Высшая точка китайского неопределенного анализа с изобретением процедур для решения одновременных сравнений».
31. (Boyer 1991, «Китай и Индия», стр. 197) «Китайцы особенно любили скороговорки; поэтому неудивительно, что там появилась первая запись (древнего, но неизвестного происхождения) о магическом квадрате. [. ..] Забота о таких закономерностях заставила автора Девяти глав решить систему одновременных линейных уравнений [...] путем выполнения операций со столбцами над матрицей [...], чтобы свести ее к [...] вторая форма представляет собой уравнения = 24, из которых легко последовательно находятся значения и ». ${\displaystyle 36z=99,5y+z=24,}$ ${\displaystyle 3x+2y+z=39}$ ${\displaystyle z,y,}$ ${\displaystyle x}$
32. (Boyer 1991, «Китай и Индия», стр. 204–205) «То же самое устройство «Хорнера» использовал Ян Хуэй, о жизни которого почти ничего не известно и работы которого сохранились лишь частично. Среди его вкладов: до наших дней дошли самые ранние китайские магические квадраты порядка выше третьего, в том числе по два порядка с четвертого по восьмой и по одному порядку девятого и десятого».
33. (Boyer 1991, «Китай и Индия», стр. 203) «Последним и величайшим из математиков династии Сун был Чу Чжи-цзе ( фл. 1280–1303), однако мы мало знаем о нем -, [...] Больший исторический и математический интерес представляет « Ссы-юань ю-цянь» (« Драгоценное зеркало четырех элементов ») 1303 года. Небо, земля, человек и материя представляют собой изображения четырех неизвестных величин в одном и том же уравнении. Книга знаменует собой вершину развития китайской алгебры, поскольку в ней рассматриваются одновременные уравнения и уравнения степеней до четырнадцати. в нем автор описывает метод трансформации, который он называет фан фа , элементы которого возникли задолго до этого в Китае, но который обычно носит имя Горнера, жившего на полтысячелетия позже».
34. (Boyer 1991, «Китай и Индия», стр. 205) «Некоторые из многих обобщений серий, найденных в « Драгоценном зеркале» , следующие: [...] Однако никаких доказательств не приведено, и эта тема не кажется и продолжалось снова в Китае примерно до девятнадцатого века. [...] « Драгоценное зеркало» открывается схемой арифметического треугольника, неуместно известного на Западе как «треугольник Паскаля». (См. иллюстрацию.) [... ] Чу отказывается от признания треугольника, называя его «диаграммой старого метода нахождения восьмой и младших степеней». Подобное расположение коэффициентов до шестой степени появилось в работе Ян Хуэя, но без круглого нуля. символ."
35. (Бойер 1991, «Возрождение и упадок греческой математики», стр. 178) Неопределенность в отношении жизни Диофанта настолько велика, что мы не знаем точно, в каком веке он жил. Обычно считается, что его расцвет произошел около 250 г. н. э., но иногда предполагаются даты на столетие или более раньше или позже [...] Если эта загадка исторически точна, Диофант дожил до восьмидесяти четырех лет. [...] Главный известный нам диофантов труд — это « Арифметика» , трактат, первоначально состоявший из тринадцати книг, из которых сохранились только первые шесть».
36. Оукс, Джеффри; Кристианидис, Жан. Арифметика Диофанта. Полный перевод и комментарии . п. 80.
37. Оукс, Джеффри; Кристианидис, Жан (2013). «Практика алгебры в поздней античности: решение проблем Диофанта Александрийского». История Математики . 40 (2): 158–160. дои : 10.1016/j.hm.2012.09.001 .
38. Оукс, Джеффри; Кристианидис, Жан (2013). «Практика алгебры в поздней античности: решение проблем Диофанта Александрийского». История Математики . 40 : 150.
39. Оукс, Джеффри; Кристианидис, Жан (2023). Арифметика Диофанта. Полный перевод и комментарии . стр. 51–52.
40. Оукс, Джеффри; Кристианидис, Жан (2021). Арифметика Диофанта. Полный перевод и комментарии . стр. 53–66.
41. (Boyer 1991, «Возрождение и упадок греческой математики», стр. 180–182) «В этом отношении ее можно сравнить с великими классиками ранней александрийской эпохи; однако она не имеет практически ничего общего с ними или, фактически, , с любой традиционной греческой математикой. Она представляет собой по существу новую ветвь и использует другой подход. Будучи оторванной от геометрических методов, она во многом напоминает вавилонскую алгебру. Но тогда как вавилонские математики занимались преимущественно приближенными решениями определенных уравнений до третьей степени Арифметика Диофанта (такая, какая она у нас) почти целиком посвящена точному решению уравнений, как определенных , так и неопределенных . [...] Во всех шести сохранившихся книгах Арифметики имеется систематическое использование сокращений для степеней чисел, отношений и операций.Неизвестное число обозначается символом, напоминающим греческую букву ζ (возможно, последнюю букву арифмоса). [...] Вместо этого это сборник из примерно 150 задач, все они разработаны на основе конкретных численных примеров, хотя, возможно, предполагалась общность метода. Не разрабатываются постулаты и не предпринимаются попытки найти все возможные решения. В случае квадратных уравнений с двумя положительными корнями выдается только больший из них, а отрицательные корни не распознаются. Не проводится четкого различия между определенными и неопределенными задачами, и даже для последних, число решений которых вообще не ограничено, дается только один ответ. Диофант решал задачи, связанные с несколькими неизвестными числами, умело выражая все неизвестные величины, где это возможно, через только одно из них».
42. (Бойер 1991, «Возрождение и упадок греческой математики», стр. 178) «Главное различие между диофантовой синкопой и современной алгебраической записью заключается в отсутствии специальных символов для операций и отношений, а также экспоненциальной записи».
43. (Дербишир, 2006, «Отец алгебры», стр. 35–36)
44. (Кук 1997, «Математика в Римской империи», стр. 167–168)
45. Оукс, Джеффри; Кристианидис, Жан (2023). Арифметика Диофанта. Полный перевод и комментарии . стр. 78–79. У этой трихотомии есть два основных недостатка. Во-первых, язык, написанный в книгах, не всегда является тем языком, на котором решались задачи. В арабском языке задачи часто решались в виде записей на доске или какой-либо другой временной поверхности, а затем для включения в книгу составлялся риторический вариант. Кроме того, из-за двумерного характера арабской записи ее можно было бы писать и читать визуально, независимо от реальной или воображаемой речи. Таким образом, оно прекрасно вписывается в «символическую» категорию Нессельмана. Риторическая версия того же произведения, напротив, была отнесена к категории «риторических». Эти два способа записи алгебры не отражают два этапа развития алгебры, а представляют собой разные способы выражения одних и тех же идей. Во-вторых, Нессельман не осознавал концептуальных различий между домодернистской и современной алгеброй и, таким образом, не мог оценить скачок, сделанный во времена Виета и Декарта, который включал радикальный сдвиг в интерпретации обозначений.
46. (Boyer 1991, «Европа в средние века», стр. 257) «В книге часто используются идентичности [...], которые появились у Диофанта и широко использовались арабами».
47. (Boyer 1991, «Математика индусов», стр. 197) «Самые старые сохранившиеся документы по индуистской математике представляют собой копии работ, написанных в середине первого тысячелетия до нашей эры, примерно в то время, когда жили Фалес и Пифагор. [. ..] из шестого века до нашей эры»
48. (Бойер 1991, «Китай и Индия», стр. 222) «Ливаванти , как и Виджа-Ганита , содержит множество задач, касающихся любимых индуистских тем; линейные и квадратичные уравнения, как определенные, так и неопределенные, простые измерения, арифметические и геометрические прогрессии, сурды, пифагорейские триады и другие».
49. (Boyer 1991, «Математика индусов», стр. 207) «Он дал более элегантные правила для суммы квадратов и кубов начального сегмента натуральных чисел. Шестая часть произведения трех величин, состоящая из количество членов, количество членов плюс один и удвоенное количество членов плюс один — это сумма квадратов. Квадрат суммы ряда — это сумма кубов».
50. (Boyer 1991, «Китай и Индия», стр. 219) «Брахмагупта (эт. 628), который жил в Центральной Индии несколько более чем через столетие после Арьябхаты [...] в тригонометрии своей самой известной работы, Брахмаспхута Сиддханта , [...] здесь мы находим общие решения квадратных уравнений, включая два корня даже в тех случаях, когда один из них отрицателен».
51. (Boyer 1991, «Китай и Индия», стр. 220) «Индуистская алгебра особенно примечательна развитием неопределенного анализа, в который Брахмагупта внес несколько вкладов. Во-первых, в его работе мы находим правило формирования пифагорейских чисел. триады, выраженные в форме ; но это лишь видоизмененная форма старого вавилонского правления, с которым он, возможно, был знаком». ${\displaystyle m,1/2\left(m^{2}/n-n\right),1/2\left(m^{2}/n+n\right)}$
52. (Boyer 1991, «Китай и Индия», стр. 221) «он был первым, кто дал общее решение линейного диофантова уравнения , где и являются целыми числами. [...] Большая заслуга Брахмагупты в том, что он дал все целые решения линейного Диофанта уравнения, тогда как сам Диофант удовлетворился тем, что дал одно частное решение неопределенного уравнения. Поскольку Брахмагупта использовал некоторые из тех же примеров, что и Диофант, мы снова видим вероятность греческого влияния в Индии - или возможность того, что они оба использовали общий источник, возможно, из Вавилонии.Интересно также отметить, что алгебра Брахмагупты, как и алгебра Диофанта, была синкопированной.Сложение обозначалось сопоставлением, вычитание - помещением точки над вычитание и деление путем помещения делителя под делимым, как в наших дробных обозначениях, но без черточки.Операции умножения и эволюции (извлечение корня), а также неизвестные величины изображались сокращениями соответствующих слов. [...] Бхаскара (1114 – ок. 1185), ведущий математик двенадцатого века. Именно он заполнил некоторые пробелы в работе Брахмагупты, дав общее решение уравнения Пелля и рассмотрев проблему деления на ноль». ${\displaystyle ax+by=c,}$ ${\displaystyle a,b,}$ ${\displaystyle c}$
53. (Boyer 1991, «Китай и Индия», стр. 222–223) «При рассмотрении круга и сферы Лилавати также не может различать точные и приблизительные утверждения. [...] Многие из проблем Бхаскары в Ливавати и Виджа-Ганита, очевидно, были заимствованы из более ранних индуистских источников; поэтому неудивительно, что автор лучше всех справляется с неопределенным анализом».
54. (Boyer 1991, «Арабская гегемония», стр. 227) «Первое столетие Мусульманской империи было лишено научных достижений. Этот период (примерно с 650 по 750 годы) был фактически, возможно, надиром в Если бы не внезапное культурное пробуждение в исламе во второй половине восьмого века, значительно больше древняя наука и математика были бы потеряны. [...] Однако именно во время халифата аль-Мамуна (809–833 гг.) Арабы полностью отдались своей страсти к переводу. Говорят, что халифу приснился сон в котором появился Аристотель, и, как следствие, аль-Мамун решил создать арабские версии всех греческих произведений, которые ему удалось достать, включая « Альмагест » Птолемея и полную версию « Начал » Евклида. Арабы поддерживали непростой мир, греческие рукописи были получены по мирным договорам. Аль-Мамун основал в Багдаде «Дом мудрости» (Бейт аль-хикма), сравнимый с древним музеем в Александрии. Среди преподавателей был математик и астроном Мухаммед ибн-Муса аль-Хорезми, имя которого, как и имя Евклида, впоследствии стало нарицательным в Западной Европе. Ученый, умерший где-то до 850 года, написал более полдюжины астрономических и математических работ, самые ранние из которых, вероятно, были основаны на синдхах, пришедших из Индии».
55. (Boyer 1991, «Арабская гегемония», стр. 234) «но работа аль-Хорезми имела серьезный недостаток, который нужно было устранить, прежде чем она могла эффективно служить своей цели в современном мире: необходимо было разработать символическую нотацию, чтобы заменить риторическую форму. Такого шага арабы никогда не предпринимали, за исключением замены числовых слов числовыми знаками. [...] Сабит был основателем школы переводчиков, особенно с греческого и сирийского языков, и ему мы обязаны огромный долг за переводы на арабский язык произведений Евклида, Архимеда, Аполлония, Птолемея и Евтоция».
56. Гандз и Саломан (1936), Источники алгебры аль-Хорезми , Осирис i, стр. 263–277: «В некотором смысле Хорезми больше имеет право называться «отцом алгебры», чем Диофант, потому что Хорезми является первым, кто преподает алгебру в элементарной форме, и ради нее самой Диофант в первую очередь занимается теорией алгебры. цифры».
57. (Boyer 1991, «Арабская гегемония», стр. 230) «Аль-Хорезми продолжил: «Что касается чисел, мы сказали достаточно о шести типах уравнений. Теперь, однако, необходимо, чтобы мы продемонстрировали геометрически истинность тех же задач, которые мы объяснили в цифрах». о происхождении арабской алгебры: одна подчеркивает индуистское влияние, другая подчеркивает месопотамскую или сирийско-персидскую традицию, а третья указывает на греческое вдохновение. Вероятно, к истине можно приблизиться, если объединить три теории».
58. (Boyer 1991, «Арабская гегемония», стр. 228–229) «В предисловии автора на арабском языке содержится грубая похвала пророку Мухаммеду и аль-Мамуну, «Повелителю правоверных».»
59. Корбин, Генри (1998). Путешествие и посланник: Иран и философия. Североатлантические книги. п. 44. ИСБН 978-1-55643-269-9. Архивировано из оригинала 28 марта 2023 года . Проверено 19 октября 2020 г.
60. Бойер, Карл Б., 1985. История математики , с. 252. Издательство Принстонского университета. «Диофанта иногда называют отцом алгебры, но этот титул более уместно принадлежит аль-Хорезми...», «...Аль-Джабр ближе к современной элементарной алгебре, чем работы Диофанта или Брахмагупты. .."
61. С. Гандз, Источники алгебры аль-Хорезми, Osiris, i (1936), 263–277, «Алгебра аль-Хорезми считается основой и краеугольным камнем наук. В некотором смысле аль-Хорезми имеет больше прав на можно назвать «отцом алгебры», чем Диофанта, потому что аль-Хорезми является первым, кто преподавал алгебру в элементарной форме, и ради самой алгебры Диофант в первую очередь занимается теорией чисел».
62. Кац, Виктор Дж. «Этапы истории алгебры, имеющие значение для преподавания» (PDF) . ВИКТОР Дж. КАЦ, Университет округа Колумбия, Вашингтон, округ Колумбия, США : 190. Архивировано из оригинала (PDF) 27 марта 2019 года . Проверено 7 октября 2017 г. - через Университет округа Колумбия, Вашингтон, округ Колумбия, США. Первый настоящий текст по алгебре, дошедший до нас, — это работа Мухаммеда ибн Мусы аль-Хорезми об аль-джабре и аль-мукабале, написанная в Багдаде около 825 года.
63. Эспозито, Джон Л. (6 апреля 2000 г.). Оксфордская история ислама. Издательство Оксфордского университета. п. 188. ИСБН 978-0-19-988041-6. Архивировано из оригинала 28 марта 2023 года . Проверено 29 сентября 2020 г. Аль-Хорезми часто считают основателем алгебры, и его имя дало начало термину «алгоритм».
64. (Boyer 1991, «Арабская гегемония», стр. 228) «Арабы в целом любили хороший ясный аргумент от предпосылки до заключения, а также систематическую организацию - в этом отношении ни Диофант, ни индусы не преуспели».
65. (Boyer 1991, «Арабская гегемония», стр. 229) «Неизвестно, что именно означают термины аль-джабр и мукабала , но обычная интерпретация аналогична той, которая подразумевается в переводе выше. Слово аль-джабр предположительно означало что-то вроде «восстановления» или «завершения» и, по-видимому, относится к переносу вычтенных терминов на другую сторону уравнения, что очевидно в трактате; считается, что слово « мукабала» относится к «сокращению» или «уравновешиванию». «…то есть исключение одинаковых членов на противоположных сторонах уравнения».
66. Рашед, Р.; Армстронг, Анджела (1994), Развитие арабской математики , Springer , стр. 11–2, ISBN 978-0-7923-2565-9, OCLC  29181926
67. (Boyer 1991, «Арабская гегемония», стр. 229) «в шести коротких главах из шести типов уравнений, составленных из трех видов величин: корней, квадратов и чисел (то есть и чисел). Глава I в трех коротких абзацах описывает случай квадратов, равных корням, выраженных в современных обозначениях как и дающих ответы и соответственно (корень не был распознан). решает случаи корней, равных числам, опять же с тремя иллюстрациями в каждой главе, чтобы охватить случаи, в которых коэффициент переменного члена равен, больше или меньше 1. Главы IV, V и VI более интересны, ибо они, в свою очередь, охватывают три классических случая трехчленных квадратных уравнений: (1) квадраты и корни, равные числам, (2) квадраты и числа, равные корням, и (3) корни и числа, равные квадратам». ${\displaystyle x,x^{2},}$ ${\displaystyle x^{2}=5x,x^{2}/3=4x,}$ ${\displaystyle 5x^{2}=10x,}$ ${\displaystyle x=5,x=12,}$ ${\displaystyle x=2}$ ${\displaystyle x=0}$
68. (Boyer 1991, «Арабская гегемония», стр. 229–230) «Решения представляют собой правила «поваренной книги» для «заполнения квадрата», применяемые к конкретным случаям. [...] В каждом случае дается только положительный ответ. [...] Опять же, только один корень дан, поскольку другой отрицательный. [...] Шесть случаев уравнений, приведенных выше, исчерпывают все возможности для линейных и квадратных уравнений, имеющих положительные корни».
69. (Бойер 1991, «Арабская гегемония», стр. 230) «Здесь Аль-Хорезми обращает внимание на тот факт, что то, что мы обозначаем как дискриминант, должно быть положительным: «Вы также должны понимать, что, когда вы берете половину корней в этой форме уравнения, а затем умножить половину на себя; если то, что получается или получается в результате умножения, меньше единиц, упомянутых выше в качестве сопровождающих квадрат, у вас есть уравнение». [...] Еще раз шаги в заполнении квадрата тщательно указаны без обоснования»,
70. (Boyer 1991, «Арабская гегемония», стр. 231) «Алгебра аль -Хорезми выдает безошибочные эллинские элементы»,
71. (Бойер 1991, «Арабская гегемония», стр. 233) «Некоторые задачи аль-Хорезми дают довольно четкое свидетельство зависимости арабского языка от вавилонско-героновского направления математики. Одна из них, предположительно, была взята непосредственно у Герона, поскольку фигура и размеры одинаковы».
72. (Boyer 1991, «Арабская гегемония», стр. 228) «алгебра аль-Хорезми полностью риторическая, без каких-либо синкоп, встречающихся в греческой арифметике или в работе Брахмагупты. Даже числа записывались словами, а не Маловероятно, что аль-Хорезми знал о работах Диофанта, но он должен был быть знаком, по крайней мере, с астрономическими и вычислительными частями Брахмагупты; тем не менее, ни аль-Хорезми, ни другие арабские ученые не использовали синкопы или отрицательные символы! цифры».
73. (Boyer 1991, «Арабская гегемония», стр. 234) «Алгебра аль -Хорезми обычно считается первой работой по этой теме, но недавняя публикация в Турции вызывает некоторые вопросы по этому поводу. Рукопись работы Книга Абд-аль-Хамида ибн-Тюрка, озаглавленная «Логические необходимости в смешанных уравнениях», была частью книги по аль-джабр валь мукабале , которая, очевидно, во многом была такой же, как книга аль-Хорезми, и была опубликована в примерно в то же время, а возможно даже раньше. Сохранившиеся главы о «Логических необходимостях» дают точно такой же тип геометрического доказательства, что и « Алгебра » аль-Хорезми , и в одном случае тот же самый иллюстративный пример . В одном отношении изложение Абд-аль-Хамада является более тщательно, чем работа аль-Хорезми, поскольку он приводит геометрические фигуры, чтобы доказать, что, если дискриминант отрицателен, квадратное уравнение не имеет решения. Сходство в работах этих двух людей и обнаруженная в них систематическая организация, по-видимому, указывают на то, что алгебра их время не было таким уж недавним событием, как обычно предполагалось. Когда одновременно появляются учебники с традиционным и упорядоченным изложением, предмет, скорее всего, значительно выйдет за пределы стадии формирования. [...] Обратите внимание на упущение Диофанта и Паппа, авторов, которые, очевидно, сначала не были известны в Аравии, хотя Диофантова арифметика стала известна еще до конца десятого века». ${\displaystyle x^{2}+21=10x.}$
74. (Дербишир, 2006, «Отец алгебры», стр. 49)
75. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. (1999), «Арабская математика: забытое великолепие?», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс«Алгебра была объединяющей теорией, которая позволяла рассматривать рациональные числа, иррациональные числа, геометрические величины и т. д. как «алгебраические объекты».»
76. Жак Сезиано, «Исламская математика», с. 148, в Селине, Хелейн ; Д'Амброзио, Убиратан , ред. (2000), Математика в разных культурах: история незападной математики , Springer , ISBN 978-1-4020-0260-1
77. Берггрен, Дж. Леннарт (2007). «Математика в средневековом исламе». Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: справочник . Издательство Принстонского университета. п. 518. ИСБН 978-0-691-11485-9.
78. (Boyer 1991, «Арабская гегемония», стр. 239) «Абул Вефа был способным алгебраистом, а также трионометром. [...] Его преемник аль-Кархи, очевидно, использовал этот перевод, чтобы стать арабским учеником Диофанта — но без диофантового анализа! [...] В частности, аль-Кархи приписывают первое численное решение уравнений вида (рассматривались только уравнения с положительными корнями)» ${\displaystyle ax^{2n}+bx^{n}=c}$
79. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Абу Бекр ибн Мухаммад ибн аль-Хусейн Аль-Караджи», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
80. (Boyer 1991, «Арабская гегемония», стр. 241–242) «Омар Хайям (ок. 1050–1123), «изготовитель палаток», написал алгебру, которая вышла за рамки алгебры аль-Хорезми и включила уравнения Как и его арабские предшественники, Омар Хайям давал для квадратных уравнений как арифметические, так и геометрические решения; для общих кубических уравнений, как он считал (ошибочно, как показал позднее XVI век), арифметические решения невозможны, поэтому он давал только геометрические решения. Схема использования пересекающихся коник для решения кубических задач ранее применялась Менехмом, Архимедом и Альхазаном, но Омар Хайям сделал достойный похвалы шаг, обобщив метод на все уравнения третьей степени (имеющие положительные корни)... Для уравнений более высокой степени, чем три, Омар Хайям, очевидно, не предполагал подобных геометрических методов, поскольку пространство содержит не более трех измерений, [...] Одним из наиболее плодотворных вкладов арабского эклектизма была тенденция сократить разрыв между числовыми и геометрическими алгебра. Решающий шаг в этом направлении был сделан гораздо позже Декарта, но Омар Хайям двигался в этом направлении, когда писал: «Кто думает, что алгебра — это уловка для получения неизвестных, тот думал это напрасно. Не следует обращать внимания на тот факт, что алгебра и геометрия внешне различны. Алгебры — это доказанные геометрические факты».
81. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Шараф ад-Дин аль-Музаффар аль-Туси», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
82. Рашед, Рошди; Армстронг, Анджела (1994), Развитие арабской математики , Springer , стр. 342–3, ISBN 978-0-7923-2565-9
83. Берггрен, Дж. Л. (1990), «Инновации и традиции в Муадалате Шарафа ад-Дина ат-Туси», Журнал Американского восточного общества , 110 (2): 304–9, doi : 10.2307/604533, JSTOR  604533, Рашед имеет утверждал, что Шараф ад-Дин обнаружил производную кубических многочленов и осознал ее значение для исследования условий, при которых кубические уравнения разрешимы; однако другие ученые предложили совершенно разные объяснения мышления Шараф ад-Дина, которые связывают его с математикой, обнаруженной у Евклида или Архимеда.
84. Виктор Дж. Кац, Билл Бартон (октябрь 2007 г.), «Этапы истории алгебры с последствиями для преподавания», Образовательные исследования по математике , 66 (2): 185–201 [192], doi : 10.1007 / s10649-006 -9023-7, S2CID  120363574
85. Тьяллинг Дж. Ипма (1995), «Историческое развитие метода Ньютона-Рафсона», SIAM Review 37 (4): 531–51, doi : 10.1137/1037125
86. «Числа» Фибоначчи: человек, стоящий за математикой».
87. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Абул Хасан ибн Али аль Каласади», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
88. (Бойер 1991, «Евклид Александрийский, стр. 192–193) «Смерть Боэция можно рассматривать как ознаменование конца древней математики в Западной Римской империи, поскольку смерть Гипатии ознаменовала конец Александрии как математической школы. центр; но работа продолжалась еще несколько лет в Афинах. [...] Когда в 527 году Юстиниан стал императором на Востоке, он, очевидно, чувствовал, что языческое учение Академии и других философских школ в Афинах представляло угрозу ортодоксальному христианству; следовательно, в 529 г. философские школы были закрыты, а ученые разошлись. Рим в то время едва ли был гостеприимным домом для ученых, и Симплиций и некоторые другие философы искали убежища на Востоке. Это они нашли в Персии, где при царе Хосрове они основали то, что можно было бы назвать «Афинской академией в изгнании» (Сартон 1952; стр. 400)».
89. Например, Башмакова и Смирнова (2000:78), Бойер (1991:180), Бертон (1995:319), Дербишир (2006:93), Кац и Паршалл (2014:238), Сезиано (1999:125) и Светц (2013:110)
90. Декарт (1637: 301–303)
91. Декарт (1925: 9–14)
92. Каджори (1919:698); Каджори (1928:381–382)
93. Энестрем (1905:317)
94. Например, Тропфке (1902:150). Но Густав Энестрём (1905:316-317) показал, что Декарт в письме, написанном в 1619 году, использовал немецкий символ в явном контрасте со своим собственным. ${\displaystyle x.}$
95. Перечеркнутая цифра 1 использовалась Пьетро Катальди для обозначения первой степени неизвестного. Связь между этой конвенцией и Каджори приписывается Густаву Вертхайму, но Каджори (1919:699; 1928:382) не находит никаких доказательств, подтверждающих это. ${\displaystyle x}$
96. Каджори (1919:699)
97. См., например, выступление Терри Мура на TED под названием «Почему «x» неизвестно?», выпущенное в 2012 году.
98. Алькала (1505 г.)
99. Лагард (1884).
100. Джейкоб (1903:519).
101. Райдер (1982) перечисляет пять трактатов по алгебре, опубликованных на испанском языке в шестнадцатом веке, во всех из которых используется слово «cosa»: Аурель (1552 г.), Ортега (1552 г.), Диес (1556 г.), Перес де Мойя (1562 г.) и Нуньес. (1567). В последних двух работах cosa также сокращается до « co », как и Пуч (1672).
102. Формы отсутствуют в Alonso (1986), Kasten & Cody (2001), Oelschläger (1940), онлайн-диахроническом корпусе испанского языка (CORDE) Испанской королевской академии и Corpus del Español Дэвиса .
103. "Почему х?" . Проверено 30 мая 2019 г.
104. Струик (1969), 367
105. Эндрю Уорвик (2003) Магистр теории: Кембридж и развитие математической физики , Чикаго: ISBN издательства Чикагского университета 0-226-87374-9 
106. (Boyer 1991, «Арабская гегемония», стр. 228) «Диофанта иногда называют «отцом алгебры», но этот титул более уместно принадлежит Абу Абдулле бин Мирсми аль-Хорезми. Это правда, что в двух отношениях Работа аль-Хорезми представляет собой отход от работы Диофанта: во-первых, она находится на гораздо более элементарном уровне, чем тот, который обнаружен в диофантовых задачах, и, во-вторых, алгебра аль-Хорезми полностью риторическая, в ней не обнаружено ни одной синкопы. в греческой Арифметике или в работах Брахмагупты.Четные числа записывались словами, а не символами!Совершенно маловероятно, что аль-Хорезми знал о работах Диофанта, но он должен был быть знаком, по крайней мере, с астрономическими и вычислительными частями Брахмагупта; однако ни аль-Хорезми, ни другие арабские ученые не использовали синкопацию или отрицательные числа».
107. Херскович, Николас; Линчевский, Лиора (1 июля 1994 г.). «Когнитивный разрыв между арифметикой и алгеброй». Образовательные исследования по математике . 27 (1): 59–78. дои : 10.1007/BF01284528. ISSN  1573-0816. S2CID  119624121. Это стало бы неожиданностью для аль-Хорезми, считающегося отцом алгебры (Boyer/Merzbach, 1991), который представил ее средиземноморскому миру примерно в девятом веке.
108. Додж, Ядола (2008). Краткая энциклопедия статистики . Springer Science & Business Media . п. 1. ISBN 9780387317427. Термин «алгоритм» происходит от латинского произношения имени математика девятого века аль-Хорезми, который жил в Багдаде и был отцом алгебры.
109. (Дербишир, 2006, «Отец алгебры», стр. 31) «Ван дер Варден переносит происхождение алгебры на более поздний уровень, начиная с математика аль-Хорезми»
110. (Дербишир 2006, «Отец алгебры», стр. 31) «Дифант, отец алгебры, в честь которого я назвал эту главу, жил в Александрии, в римском Египте, либо в 1-м, либо во 2-м, либо в III век нашей эры».
111. Дж. Сезиано, К. Фогель, «Диофант», Словарь научной биографии (Нью-Йорк, 1970–1990), «Диофант не был, как его часто называли, отцом алгебры».
112. (Дербишир 2006, «Отец алгебры», стр. 31) «Курт Фогель, например, пишущий в Словаре научной биографии , считает работу Диофантауса не намного более алгебраической, чем работа старых вавилонян»
113. (Boyer 1991, «Арабская гегемония», стр. 230) «Шесть случаев уравнений, приведенных выше, исчерпывают все возможности для линейных и квадратных уравнений, имеющих положительный корень. Изложение аль-Хорезми было настолько систематическим и исчерпывающим, что его читателям, должно быть, было мало трудности в освоении решений».
114. Кац, Виктор Дж. (2006). «ЭТАПЫ ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ, ПОСЛЕДСТВИЯ ДЛЯ ОБУЧЕНИЯ» (PDF) . ВИКТОР Дж. КАЦ, Университет округа Колумбия, Вашингтон, округ Колумбия, США : 190. Архивировано из оригинала (PDF) 27 марта 2019 г. Получено 6 августа 2019 г. - через Университет округа Колумбия, Вашингтон, округ Колумбия, США. Первый настоящий текст по алгебре, дошедший до нас, — это работа Мухаммеда ибн Мусы аль-Хорезми об аль-джабре и аль-мукабале, написанная в Багдаде около 825 года.

Источники

• Алькала, Педро де (1505 г.), De lingua arabica, ГранадаИздание Поля де Лагарда, Геттинген: Арнольд Хойер, 1883 г.
• Алонсо, Мартин [на испанском языке] (1986), Diccionario del español средневековый , Саламанка: Universidad Pontificia de Salamanca
• Аурель, Марко (1552), Libro primero de алгебраическая арифметика, Валенсия: Джоан де Мей
• Башмакова И ; Смирнова, Г. (2000). Возникновение и эволюция алгебры . Математические изложения Дольчиани. Том. 23. Перевод Эйба Шенитцера. Математическая ассоциация Америки.
• Бойер, Карл Б. (1991), История математики (второе изд.), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-471-54397-8
• Бертон, Дэвид М. (1995), История математики Бертона: Введение (3-е изд.), Дубьюк: Wm. К. Браун
• Бертон, Дэвид М. (1997), История математики: Введение (Третье изд.), The McGraw-Hill Companies, Inc., ISBN 978-0-07-009465-9
• Каджори, Флориан (1919), «Как x стал обозначать неизвестную величину», School Science and Mathematics , 19 (8): 698–699, doi : 10.1111/j.1949-8594.1919.tb07713.x
• Каджори, Флориан (1928), История математических обозначений , Чикаго: Open Court Publishing, ISBN 9780486161167
• Кук, Роджер (1997), История математики: краткий курс, Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-18082-1
• Дербишир, Джон (2006), Неизвестное количество: реальная и воображаемая история алгебры , Вашингтон, округ Колумбия: Джозеф Генри Пресс, ISBN 978-0-309-09657-7
• Декарт, Рене (1637), Геометрия, Лейд: Ян Мэр. Интернет, 2008 г., изд. Л. Германн, Проект Гутенберг.
• Декарт, Рене (1925), Геометрия Рене Декарта , Чикаго: Открытый суд, ISBN 9781602066922
• Диес, Хуан (1556), Sumario compendioso de las quentas de plata y oro que en los reynos del Piru son necessarias a los mercaderes: y todo Genero de tratantes, con algunas reglas tocantes al arithmetica, Мехико
• Энестрём, Густав (1905), «Kleine Mitteilungen», Bibliotheca Mathematica , сер. 3, 6 (онлайн-доступ только в США)
• Флегг, Грэм (1983), Числа: их история и значение , публикации Dover, ISBN 978-0-486-42165-0
• Хит, Томас Литтл (1981a), История греческой математики , Том I , Дуврские публикации, ISBN 978-0-486-24073-2
• Хит, Томас Литтл (1981b), История греческой математики , Том II , Дуврские публикации, ISBN 978-0-486-24074-9
• Джейкоб, Георг (1903), «Восточные элементы культуры на Западе», Годовой отчет Попечительского совета Смитсоновского института [...] за год, закончившийся 30 июня 1902 г .: 509–529
• Кастен, Ллойд А .; Коди, Флориан Дж. (2001), Предварительный словарь средневекового испанского языка (2-е изд.), Нью-Йорк: Латиноамериканская семинария средневековых исследований.
• Кац, Виктор Дж.; Паршалл, Карен Хангер (2014), Укрощение неизвестного: история алгебры от античности до начала двадцатого века , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN 978-1-400-85052-5
• Лагард, Поль де (1884), «Woher stammt das x der Mathematiker?», Mittheilungen , vol. 1, Геттинген: Dieterichsche Sortimentsbuchhandlung, стр. 134–137.
• Нуньес, Педро (1567), Libro de алгебра, арифметика и геометрия, Антверпен: Арнольдо Биркман
• Эльшлегер, Виктор Р.Б. (1940), Средневековый испанский список слов , Мэдисон: University of Wisconsin Press
• Ортега, Хуан де (1552), Tractado subtilissimo de arismetica y geometria, Гранада: Рене Рабу
• Перес де Мойя, Хуан [на испанском языке] (1562), Aritmética práctica y especulativa, Саламанка: Матиас Гаст
• Пуч, Андрес (1672), Арифметика спекулятивная и практическая; и искусство алгебры, Барселона: Антонио Лакаваллерия
• Райдер, Робин Э. (1982), Библиография ранней современной алгебры, 1500–1800 , Беркли: Статьи Беркли по истории науки
• Сезиано, Жак (1999), Введение в историю алгебры: решение уравнений от месопотамских времен до эпохи Возрождения , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 9780821844731
• Стиллвелл, Джон (2004), Математика и ее история (второе изд.), Springer Science + Business Media Inc., ISBN 978-0-387-95336-6
• Свец, Фрэнк Дж. (2013), Европейское математическое пробуждение: путешествие по истории математики, 1000–1800 (2-е изд.), Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 9780486498058
• Тропфке, Йоханнес (1902), Geschichte der Elementar-Mathematik in systematischer Darstellung, vol. 1, Лейпциг: Фон Фейт и Комп.

Внешние ссылки

• «Комментарий исламского шейха Закарии аль-Ансари к стихотворению Ибн аль-Хаима о науке алгебры и балансировании, называемому «Прозрение Создателя в объяснении убедительного», в котором представлены основные концепции алгебры, относящиеся к 15 веку, из World Digital Библиотека .