Арифметика

Branch of elementary mathematics

Основными арифметическими операциями являются сложение, вычитание, умножение и деление.

Арифметика — это элементарный раздел математики , который изучает числовые операции, такие как сложение , вычитание , умножение и деление . В более широком смысле она также включает возведение в степень , извлечение корней и логарифмирование .

Арифметические системы можно различать по типу чисел, с которыми они работают. Целочисленная арифметика касается вычислений с положительными и отрицательными целыми числами . Рациональная арифметика чисел включает операции с дробями целых чисел. Действительная арифметика чисел касается вычислений с действительными числами , которые включают как рациональные , так и иррациональные числа .

Другое различие основано на системе счисления , используемой для выполнения вычислений. Десятичная арифметика является наиболее распространенной. Она использует основные цифры от 0 до 9 и их комбинации для выражения чисел . Двоичная арифметика, напротив, используется большинством компьютеров и представляет числа как комбинации основных цифр 0 и 1. Компьютерная арифметика имеет дело со спецификой реализации двоичной арифметики на компьютерах . Некоторые арифметические системы оперируют математическими объектами, отличными от чисел, например, интервальная арифметика и матричная арифметика.

Арифметические операции составляют основу многих разделов математики, таких как алгебра , исчисление и статистика . Они играют аналогичную роль в таких науках , как физика и экономика . Арифметика присутствует во многих аспектах повседневной жизни , например, для подсчета сдачи при совершении покупок или для управления личными финансами . Это одна из самых ранних форм математического образования , с которой сталкиваются студенты. Ее когнитивные и концептуальные основы изучаются психологией и философией .

Практика арифметики насчитывает по меньшей мере тысячи, а возможно, и десятки тысяч лет. Древние цивилизации, такие как египтяне и шумеры, изобрели числовые системы для решения практических арифметических задач примерно в 3000 году до нашей эры. Начиная с 7-го и 6-го веков до нашей эры, древние греки инициировали более абстрактное изучение чисел и ввели метод строгих математических доказательств . Древние индийцы разработали концепцию нуля и десятичной системы , которую арабские математики дополнительно усовершенствовали и распространили на западный мир в средневековый период. Первые механические калькуляторы были изобретены в 17 веке. В 18-м и 19-м веках развивалась современная теория чисел и формулировались аксиоматические основы арифметики. В 20-м веке появление электронных калькуляторов и компьютеров произвело революцию в точности и скорости выполнения арифметических вычислений.

Определение, этимология и смежные области

Арифметика — это фундаментальная отрасль математики , изучающая числа и их операции. В частности, она занимается числовыми вычислениями с использованием арифметических операций сложения , вычитания , умножения и деления . ^[1] В более широком смысле она также включает возведение в степень , извлечение корней и логарифмирование . ^[2] Термин «арифметика» имеет свой корень в латинском термине « arithmetica », который происходит от древнегреческих слов ἀριθμός (arithmos), что означает «число», и ἀριθμητική τέχνη (arithmetike tekhne), что означает «искусство счета». ^[3]

Существуют разногласия относительно ее точного определения. Согласно узкой характеристике, арифметика имеет дело только с натуральными числами . ^[4] Однако более распространенная точка зрения заключается в том, чтобы включать в ее сферу действия операции над целыми числами , рациональными числами , действительными числами , а иногда и над комплексными числами . ^[5] Некоторые определения ограничивают арифметику областью числовых вычислений. ^[6] При более широком понимании она также включает изучение того, как развивалась концепция чисел , анализ свойств и отношений между числами и рассмотрение аксиоматической структуры арифметических операций. ^[7]

Арифметика тесно связана с теорией чисел , и некоторые авторы используют эти термины как синонимы. ^[8] Однако в более конкретном смысле теория чисел ограничивается изучением целых чисел и фокусируется на их свойствах и отношениях, таких как делимость , факторизация и простота . ^[9] Традиционно она известна как высшая арифметика. ^[10]

Числа

Числа — это математические объекты, используемые для подсчета количеств и измерения величин. Они являются фундаментальными элементами арифметики, поскольку все арифметические операции выполняются над числами. Существуют различные виды чисел и различные системы счисления для их представления. ^[11]

Виды

Различные типы чисел на числовой прямой . Целые числа — черные, рациональные числа — синие, а иррациональные числа — зеленые.

Основными видами чисел, используемых в арифметике, являются натуральные числа , целые числа, целые числа , рациональные числа и действительные числа . ^[12] Натуральные числа — это целые числа, которые начинаются от 1 и доходят до бесконечности. Они исключают 0 и отрицательные числа. Они также известны как счетные числа и могут быть выражены как . Символ натуральных чисел — . ^[a] Целые числа идентичны натуральным числам с той лишь разницей, что они включают 0. Они могут быть представлены как и имеют символ . ^{[14] [b]} Некоторые математики не проводят различия между натуральными и целыми числами, включая 0 в множество натуральных чисел. ^[16] Множество целых чисел охватывает как положительные, так и отрицательные целые числа. Оно имеет символ и может быть выражено как . ^[17] ${\displaystyle \{1,2,3,4,...\}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \{0,1,2,3,4,...\}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \{...,-2,-1,0,1,2,...\}}$

На основе того, как используются натуральные и целые числа, их можно разделить на количественные и порядковые . Количественные числительные, такие как один, два и три, являются числами, которые выражают количество объектов. Они отвечают на вопрос «сколько?». Порядковые числительные, такие как первый, второй и третий, указывают порядок или место в ряду. Они отвечают на вопрос «какая позиция?». ^[18]

Число является рациональным, если его можно представить в виде отношения двух целых чисел. Например, рациональное число получается путем деления целого числа 1, называемого числителем, на целое число 2, называемое знаменателем. Другими примерами являются и . Множество рациональных чисел включает в себя все целые числа, которые являются дробями со знаменателем 1. Символ рациональных чисел — . ^[19] Десятичные дроби , такие как 0,3 и 25,12, являются особым типом рациональных чисел, поскольку их знаменатель является степенью 10. Например, 0,3 равно , а 25,12 равно . ^[20] Каждое рациональное число соответствует конечной или периодической десятичной дроби . ^{[21] [c]} ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {281}{3}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{10}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {2512}{100}}}$

Иногда для описания величин в геометрии требуются иррациональные числа . Например, длина гипотенузы прямоугольного треугольника иррациональна , если его катеты имеют длину 1.

Иррациональные числа — это числа, которые нельзя выразить через отношение двух целых чисел. Они часто требуются для описания геометрических величин. Например, если катеты прямоугольного треугольника имеют длину 1, то длина его гипотенузы задается иррациональным числом . π — еще одно иррациональное число, описывающее отношение длины окружности к ее диаметру . ^[22] Десятичное представление иррационального числа бесконечно без повторяющихся десятичных знаков. ^[23] Множество рациональных чисел вместе с множеством иррациональных чисел составляет множество действительных чисел. Символ действительных чисел — . ^[24] Еще более широкие классы чисел включают комплексные числа и кватернионы . ^[25] ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Системы счисления

Число — это символ для представления числа, а числовые системы — это репрезентативные структуры. ^[26] Обычно они имеют ограниченное количество основных чисел, которые напрямую относятся к определенным числам. Система определяет, как эти основные числа могут быть объединены для выражения любого числа. ^[27] Числовые системы бывают либо позиционными , либо непозиционными. Все ранние числовые системы были непозиционными. ^[28] Для непозиционных числовых систем значение цифры не зависит от ее положения в числе. ^[29]

В счетных метках и некоторых счетных палочках используется непозиционная унарная система счисления .

Простейшей непозиционной системой является унарная система счисления . Она опирается на один символ для числа 1. Все более высокие числа записываются путем повторения этого символа. Например, число 7 может быть представлено путем повторения символа 1 семь раз. Эта система делает громоздким написание больших чисел, поэтому многие непозиционные системы включают дополнительные символы для непосредственного представления больших чисел. ^[30] Вариации унарных систем счисления используются в счетных палочках с использованием зубцов и в счетных метках . ^[31]

Иероглифические цифры от 1 до 10 000 ^[32]

Египетские иероглифы имели более сложную непозиционную систему счисления . У них есть дополнительные символы для таких чисел, как 10, 100, 1000 и 10 000. Эти символы можно объединить в сумму, чтобы удобнее было выражать большие числа. Например, число 10 405 использует один раз символ для 10 000, четыре раза символ для 100 и пять раз символ для 1. Подобная известная структура — это римская система счисления . Она имеет символы I, V, X, L, C, D, M в качестве основных цифр для представления чисел 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000. ^[33]

Система счисления является позиционной, если положение базовой цифры в сложном выражении определяет ее значение. Позиционные системы счисления имеют основание , которое действует как множимое различных позиций. Для каждой последующей позиции основание возводится в большую степень. В общей десятичной системе, также называемой индо-арабской системой счисления , основание равно 10. Это означает, что первая цифра умножается на , следующая цифра умножается на и так далее. Например, десятичная цифра 532 обозначает . Из-за эффекта положения цифр число 532 отличается от чисел 325 и 253, хотя они имеют те же цифры. ^[34] ${\displaystyle 10^{0}}$ ${\displaystyle 10^{1}}$ ${\displaystyle 5\cdot 10^{2}+3\cdot 10^{1}+2\cdot 10^{0}}$

Другая позиционная система счисления, широко используемая в компьютерной арифметике , — это двоичная система счисления , имеющая основание 2. Это означает, что первая цифра умножается на , следующая цифра на и т. д. Например, число 13 в двоичной системе счисления записывается как 1101, что означает . В вычислениях каждая цифра в двоичной системе счисления соответствует одному биту . ^[35] Самая ранняя позиционная система была разработана древними вавилонянами и имела основание 60. ^[36] ${\displaystyle 2^{0}}$ ${\displaystyle 2^{1}}$ ${\displaystyle 1\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{2}+0\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0}}$

Операции

Арифметические операции лежат в основе многих повседневных действий, например, когда мы кладем четыре яблока из одного мешка вместе с тремя яблоками из другого мешка (верхнее изображение) или когда мы распределяем девять яблок поровну между тремя детьми (нижнее изображение).

Арифметические операции — это способы объединения, преобразования или манипулирования числами. Это функции , которые имеют числа как на входе, так и на выходе. ^[37] Наиболее важными операциями в арифметике являются сложение , вычитание , умножение и деление . ^[38] Другие операции включают возведение в степень , извлечение корней и логарифмирование . ^[39] Если эти операции выполняются над переменными, а не над числами, их иногда называют алгебраическими операциями . ^[40]

Два важных понятия в отношении арифметических операций — это элементы тождества и обратные элементы . Элемент тождества или нейтральный элемент операции не вызывает никаких изменений, если он применяется к другому элементу. Например, элемент тождества сложения равен 0, поскольку любая сумма числа и 0 дает одно и то же число. Обратный элемент — это элемент, который дает элемент тождества при объединении с другим элементом. Например, обратный элемент числа 6 равен -6, поскольку их сумма равна 0. ^[41]

Существуют не только обратные элементы, но и обратные операции . В неформальном смысле одна операция является обратной другой, если она отменяет первую операцию. Например, вычитание является обратной сложению, поскольку число возвращается к своему исходному значению, если сначала добавляется второе число, а затем вычитается, как в . Определенная более формально, операция " " является обратной операции " ", если она удовлетворяет следующему условию: тогда и только тогда, когда . ^[42] ${\displaystyle 13+4-4=13}$ ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle t\star s=r}$ ${\displaystyle r\circ s=t}$

Коммутативность и ассоциативность — это законы, определяющие порядок, в котором могут быть выполнены некоторые арифметические операции. Операция является коммутативной, если порядок аргументов может быть изменен без влияния на результаты. Например, это касается сложения, равно как . Ассоциативность — это правило, которое влияет на порядок, в котором может быть выполнена серия операций. Операция является ассоциативной, если в серии из двух операций не имеет значения, какая операция выполняется первой. Например, это касается умножения, поскольку равно как . ^[43] ${\displaystyle 7+9}$ ${\displaystyle 9+7}$ ${\displaystyle (5\times 4)\times 2}$ ${\displaystyle 5\times (4\times 2)}$

Сложение и вычитание

Сложение и вычитание

Сложение — это арифметическая операция, в которой два числа, называемые слагаемыми, объединяются в одно число, называемое суммой. Символ сложения — . Примерами являются и . ^[44] Термин «суммирование» используется, если выполняется несколько сложений подряд. ^[45] Подсчет — это тип повторного сложения, в котором число 1 непрерывно прибавляется. ^[46] ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle 2+2=4}$ ${\displaystyle 6.3+1.26=7.56}$

Вычитание — это обратная операция сложения. В ней одно число, известное как вычитаемое, отнимается от другого, известного как уменьшаемое. Результат этой операции называется разностью. Символ вычитания — . ^[47] Примерами являются и . Вычитание часто рассматривается как особый случай сложения: вместо вычитания положительного числа можно также сложить отрицательное число. Например , . Это помогает упростить математические вычисления, сокращая количество основных арифметических операций, необходимых для выполнения вычислений. ^[48] ${\displaystyle -}$ ${\displaystyle 14-8=6}$ ${\displaystyle 45-1.7=43.3}$ ${\displaystyle 14-8=14+(-8)}$

Элемент аддитивной идентичности равен 0, а аддитивная инверсия числа — это отрицательное число. Например, и . Сложение является как коммутативным, так и ассоциативным. ^[49] ${\displaystyle 13+0=13}$ ${\displaystyle 13+(-13)=0}$

Умножение и деление

Умножение и деление

Умножение — это арифметическая операция, в которой два числа, называемые множителем и множимым, объединяются в одно число, называемое произведением . ^{[50] [d]} Символами умножения являются , , и *. Примерами являются и . Если множимое — натуральное число, то умножение — это то же самое, что и повторное сложение, как в . ^[52] ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle 2\times 3=6}$ ${\displaystyle 0.3\cdot 5=1.5}$ ${\displaystyle 2\times 3=2+2+2}$

Деление — это обратная умножению операция. В ней одно число, известное как делимое, делится на несколько равных частей другим числом, известным как делитель. Результат этой операции называется частным . Символами деления являются и . Примерами являются и . ^[53] Деление часто рассматривается как особый случай умножения: вместо деления на число можно также умножить на его обратную величину . Обратной величиной числа является 1, деленная на это число. Например, . ^[54] ${\displaystyle \div }$ ${\displaystyle /}$ ${\displaystyle 48\div 8=6}$ ${\displaystyle 29.4/1.4=21}$ ${\displaystyle 48\div 8=48\times {\tfrac {1}{8}}}$

Мультипликативный элемент тождества равен 1, а мультипликативный обратный элемент числа — это обратная величина этого числа. Например, и . Умножение является как коммутативным, так и ассоциативным. ^[55] ${\displaystyle 13\times 1=13}$ ${\displaystyle 13\times {\tfrac {1}{13}}=1}$

Возведение в степень и логарифм

Возведение в степень и логарифм

Возведение в степень — это арифметическая операция, в которой число, известное как основание, возводится в степень другого числа, известного как показатель степени. Результат этой операции называется степенью. Возведение в степень иногда выражается с помощью символа ^, но более распространенный способ — записать показатель степени в верхнем индексе сразу после основания. Примерами являются и ^ . Если показатель степени — натуральное число, то возведение в степень — это то же самое, что и повторное умножение, как в . ^{[56] [e]} ${\displaystyle 2^{4}=16}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 3=27}$ ${\displaystyle 2^{4}=2\times 2\times 2\times 2}$

Корни — это особый тип возведения в степень с использованием дробной экспоненты. Например, квадратный корень числа равен возведению числа в степень , а кубический корень числа равен возведению числа в степень . Примерами являются и . ^[58] ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {4}}=4^{\frac {1}{2}}=2}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{27}}=27^{\frac {1}{3}}=3}$

Логарифм — это обратная операция возведения в степень. Логарифм числа по основанию — это показатель степени , в которую нужно возвести, чтобы получить . Например, поскольку , логарифм по основанию 10 от 1000 равен 3. Логарифм по основанию обозначается как , или без скобок, , или даже без явного основания, , когда основание можно понять из контекста. Таким образом, предыдущий пример можно записать . ^[59] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1000=10^{3}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \log _{b}(x)}$ ${\displaystyle \log _{b}x}$ ${\displaystyle \log x}$ ${\displaystyle \log _{10}1000=3}$

Возведение в степень и логарифм не имеют общих элементов тождества и обратных элементов, таких как сложение и умножение. Нейтральный элемент возведения в степень по отношению к показателю степени равен 1, как в . Однако возведение в степень не имеет общего элемента тождества, поскольку 1 не является нейтральным элементом для основания. ^[60] Возведение в степень и логарифм не являются ни коммутативными, ни ассоциативными. ^[61] ${\displaystyle 14^{1}=14}$

Типы

В академической литературе обсуждаются различные типы арифметических систем. Они отличаются друг от друга в зависимости от того, с каким типом числа они работают, какую систему счисления они используют для их представления и работают ли они с математическими объектами, отличными от чисел. ^[62]

Целочисленная арифметика

Используя метод числовой прямой, вычисление выполняется, начиная с начала числовой прямой, затем перемещаясь на пять единиц вправо для первого слагаемого. Результат достигается перемещением еще на две единицы вправо для второго слагаемого. ${\displaystyle 5+2}$

Целочисленная арифметика — это раздел арифметики, который занимается манипуляцией положительными и отрицательными целыми числами. ^[63] Простые однозначные операции можно выполнять, следуя или запоминая таблицу, которая представляет результаты всех возможных комбинаций, например, таблицу сложения или таблицу умножения . Другими распространенными методами являются устный счет и счет на пальцах . ^[64]

Пример сложения с переносом . Черные числа — слагаемые, зеленое число — перенос, а синее число — сумма.

Для операций с числами, содержащими более одной цифры, можно использовать различные методы для вычисления результата, используя несколько однозначных операций подряд. Например, в методе сложения с переносами два числа записываются одно над другим. Начиная с самой правой цифры, каждая пара цифр складывается. Самая правая цифра суммы записывается под ними. Если сумма представляет собой двузначное число, то самая левая цифра, называемая «переносом», добавляется к следующей паре цифр слева. Этот процесс повторяется до тех пор, пока не будут сложены все цифры. ^[65] Другие методы, используемые для целочисленных сложений, — это метод числовой прямой , метод частичной суммы и метод компенсации. ^[66] Похожий метод используется для вычитания: он также начинается с самой правой цифры и использует «заимствование» или отрицательный перенос для столбца слева, если результат однозначного вычитания отрицательный. ^[67]

Пример длинного умножения . Черные числа — множитель и множимое. Зеленые числа — промежуточные произведения, полученные путем умножения множителя только на одну цифру множимого. Синее число — общий продукт, вычисленный путем сложения промежуточных произведений.

Базовый метод целочисленного умножения использует повторное сложение. Например, произведение можно вычислить как . ^[68] Распространенный метод умножения с большими числами называется длинным умножением . Этот метод начинается с записи множителя над множимым. Вычисление начинается с умножения множителя только на самую правую цифру множимого и записи результата ниже, начиная с самого правого столбца. То же самое делается для каждой цифры множимого, и результат в каждом случае сдвигается на одну позицию влево. В качестве последнего шага все отдельные произведения складываются, чтобы получить общее произведение двух многозначных чисел. ^[69] Другими методами, используемыми для умножения, являются метод сетки и метод решетки . ^[70] Информатика интересуется алгоритмами умножения с низкой вычислительной сложностью , чтобы иметь возможность эффективно умножать очень большие целые числа, такими как алгоритм Карацубы , алгоритм Шёнхаге-Штрассена и алгоритм Тоома-Кука . ^[71] Распространенный метод, используемый для деления, называется длинным делением . Другие методы включают короткое деление и фрагментацию . ^[72] ${\displaystyle 3\times 4}$ ${\displaystyle 3+3+3+3}$

Целочисленная арифметика не замкнута относительно деления. Это означает, что при делении одного целого числа на другое целое число результат не всегда является целым числом. Например, 7, деленное на 2, не является целым числом, а 3,5. ^[73] Один из способов гарантировать, что результат является целым числом, — округлить результат до целого числа. Однако этот метод приводит к неточностям, поскольку исходное значение изменяется. ^[74] Другой метод — выполнить деление только частично и сохранить остаток . Например, 7, деленное на 2, равно 3 с остатком 1. Эти трудности избегаются с помощью рациональной числовой арифметики, которая позволяет точно представлять дроби. ^[75]

Простой метод вычисления возведения в степень — многократное умножение. Например, возведение в степень можно вычислить как . ^[76] Более эффективный метод, используемый для больших показателей, — возведение в степень путем возведения в квадрат . Он разбивает вычисление на ряд операций возведения в квадрат. Например, возведение в степень можно записать как . Используя преимущества многократного возведения в квадрат, требуется всего 7 отдельных операций вместо 64 операций, необходимых для обычного многократного умножения. ^[77] Методы вычисления логарифмов включают ряд Тейлора и непрерывные дроби . ^[78] Целочисленная арифметика не замкнута относительно логарифма и возведения в степень с отрицательными показателями, что означает, что результат этих операций не всегда является целым числом. ^[79] ${\displaystyle 3^{4}}$ ${\displaystyle 3\times 3\times 3\times 3}$ ${\displaystyle 3^{65}}$ ${\displaystyle (((((3^{2})^{2})^{2})^{2})^{2})^{2}\times 3}$

Теория чисел

Теория чисел изучает структуру и свойства целых чисел, а также отношения и законы между ними. ^[80] Некоторые из основных разделов современной теории чисел включают элементарную теорию чисел , аналитическую теорию чисел , алгебраическую теорию чисел и геометрическую теорию чисел . ^[81] Элементарная теория чисел изучает аспекты целых чисел, которые можно исследовать с помощью элементарных методов. Ее темы включают делимость , факторизацию и простоту . ^[82] Аналитическая теория чисел, напротив, опирается на методы анализа и исчисления. Она изучает такие проблемы, как распределение простых чисел , и утверждение, что каждое четное число является суммой двух простых чисел . ^[83] Алгебраическая теория чисел использует алгебраические структуры для анализа свойств и отношений между числами. Примерами являются использование полей и колец , как в полях алгебраических чисел, таких как кольцо целых чисел . Геометрическая теория чисел использует концепции из геометрии для изучения чисел. Например, она исследует, как точки решетки с целыми координатами ведут себя на плоскости. ^[84] Другими ветвями теории чисел являются вероятностная теория чисел , которая использует методы из теории вероятностей , ^[85] комбинаторная теория чисел , которая опирается на область комбинаторики , ^[86] вычислительная теория чисел , которая подходит к проблемам теории чисел с помощью вычислительных методов, ^[87] и прикладная теория чисел, которая изучает применение теории чисел в таких областях, как физика , биология и криптография . ^[88]

Влиятельные теоремы в теории чисел включают основную теорему арифметики , теорему Евклида и последнюю теорему Ферма . ^[89] Согласно основной теореме арифметики, каждое целое число, большее 1, является либо простым числом, либо может быть представлено в виде уникального произведения простых чисел. Например, число 18 не является простым числом и может быть представлено как , все из которых являются простыми числами. Число 19 , напротив, является простым числом, которое не имеет другого разложения на простые множители. ^[90] Теорема Евклида утверждает, что существует бесконечно много простых чисел. ^[91] Последняя теорема Ферма — это утверждение о том, что не может быть найдено положительных целых значений для , , и , чтобы решить уравнение, если больше . ^[92] ${\displaystyle 2\times 3\times 3}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2}$

Рациональная арифметика чисел

Рациональная арифметика чисел — это раздел арифметики, который занимается манипулированием числами, которые могут быть выражены как отношение двух целых чисел. ^[93] Большинство арифметических операций над рациональными числами можно вычислить, выполнив ряд целочисленных арифметических операций над числителями и знаменателями участвующих чисел. Если два рациональных числа имеют одинаковый знаменатель, то их можно сложить, сложив их числители и сохранив общий знаменатель. Например, . Похожая процедура используется для вычитания. Если два числа не имеют одинакового знаменателя, то их необходимо преобразовать, чтобы найти общий знаменатель. Этого можно достичь, масштабируя первое число со знаменателем второго числа, а второе число со знаменателем первого числа. Например, . ^[94] ${\displaystyle {\tfrac {2}{7}}+{\tfrac {3}{7}}={\tfrac {5}{7}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1\cdot 2}{3\cdot 2}}+{\tfrac {1\cdot 3}{2\cdot 3}}={\tfrac {2}{6}}+{\tfrac {3}{6}}={\tfrac {5}{6}}}$

Два рациональных числа умножаются путем умножения их числителей и знаменателей соответственно, как в . Деление одного рационального числа на другое может быть достигнуто путем умножения первого числа на обратное второму числу. Это означает, что числитель и знаменатель второго числа меняются местами. Например, . ^[95] В отличие от целочисленной арифметики, рациональная арифметика чисел замкнута относительно деления, пока делитель не равен 0. ^[96] ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}\cdot {\tfrac {2}{5}}={\tfrac {2\cdot 2}{3\cdot 5}}={\tfrac {4}{15}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}:{\tfrac {2}{7}}={\tfrac {3}{5}}\cdot {\tfrac {7}{2}}={\tfrac {21}{10}}}$

Как целочисленная арифметика, так и арифметика рациональных чисел не замкнуты относительно возведения в степень и логарифма. ^[97] Один из способов вычисления возведения в степень с дробным показателем — выполнить два отдельных вычисления: одно возведение в степень с использованием числителя показателя, за которым следует извлечение корня n-й степени из результата на основе знаменателя показателя. Например, . Первую операцию можно выполнить с помощью таких методов, как повторное умножение или возведение в степень путем возведения в квадрат. Один из способов получить приблизительный результат для второй операции — использовать метод Ньютона , который использует ряд шагов для постепенного уточнения первоначального предположения, пока оно не достигнет желаемого уровня точности. ^[98] Ряд Тейлора или метод непрерывной дроби можно использовать для вычисления логарифмов. ^[99] ${\displaystyle 5^{\frac {2}{3}}={\sqrt[{3}]{5^{2}}}}$

Запись десятичной дроби — это особый способ представления рациональных чисел, знаменатель которых является степенью 10. Например, рациональные числа , и записываются как 0,1, 3,71 и 0,0044 в записи десятичной дроби. ^[100] Модифицированные версии методов вычисления целых чисел, такие как сложение с переносом и длинное умножение, могут применяться к вычислениям с десятичными дробями. ^[101] Не все рациональные числа имеют конечное представление в десятичной записи. Например, рациональное число соответствует 0,333... с бесконечным числом троек. Сокращенная запись для этого типа повторяющейся десятичной дроби — 0,3 . [ ^102] Каждая повторяющаяся десятичная дробь выражает рациональное число. ^[103] ${\displaystyle {\tfrac {1}{10}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {371}{100}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {44}{10000}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$

Арифметика действительных чисел

Арифметика действительных чисел — это раздел арифметики, который занимается манипуляцией как рациональными, так и иррациональными числами. Иррациональные числа — это числа, которые не могут быть выражены через дроби или повторяющиеся десятичные дроби, например корень из 2 и π . ^[104] В отличие от арифметики рациональных чисел, арифметика действительных чисел замкнута относительно возведения в степень, пока она использует положительное число в качестве основания. То же самое верно для логарифма положительных действительных чисел, пока основание логарифма положительно и не равно 1. ^[105]

Иррациональные числа включают бесконечную неповторяющуюся серию десятичных цифр. Из-за этого часто не существует простого и точного способа выразить результаты арифметических операций, таких как или . ^[106] В случаях, когда абсолютная точность не требуется, проблема вычисления арифметических операций над действительными числами обычно решается путем усечения или округления . Для усечения определенное количество крайних левых цифр сохраняется, а оставшиеся цифры отбрасываются или заменяются нулями. Например, число π имеет бесконечное количество цифр, начиная с 3,14159.... Если это число усечено до 4 десятичных знаков, результат равен 3,141. Округление — это похожий процесс, в котором последняя сохраненная цифра увеличивается на единицу, если следующая цифра равна 5 или больше, но остается прежней, если следующая цифра меньше 5, так что округленное число является наилучшим приближением заданной точности для исходного числа. Например, если число π округлить до 4 знаков после запятой, то результатом будет 3,142, поскольку следующая цифра — 5, поэтому 3,142 ближе к π, чем 3,141. ^[107] Эти методы позволяют компьютерам эффективно выполнять приблизительные вычисления с действительными числами. ^[108] ${\displaystyle {\sqrt {2}}+\pi }$ ${\displaystyle e\cdot {\sqrt {3}}}$

Приближения и ошибки

В науке и технике числа представляют собой оценки физических величин, полученные в результате измерения или моделирования. В отличие от математически точных чисел, таких как π или ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ , научно значимые числовые данные по своей сути неточны, что подразумевает некоторую неопределенность измерений . ^[109] Одним из основных способов выражения степени уверенности в значении каждого числа и избежания ложной точности является округление каждого измерения до определенного количества цифр, называемых значимыми цифрами , которые подразумеваются как точные. Например, рост человека, измеренный с помощью рулетки, может быть точно известен только с точностью до ближайшего сантиметра, поэтому его следует представлять как 1,62 метра, а не 1,6217 метра. При переводе в имперские единицы это количество следует округлить до 64 дюймов или 63,8 дюйма, а не 63,7795 дюйма, чтобы четко передать точность измерения. Когда число записано с использованием обычной десятичной записи, начальные нули не являются значимыми, а конечные нули чисел, не записанных с десятичной точкой, неявно считаются незначимыми. ^[110] Например, числа 0,056 и 1200 имеют только 2 значимые цифры, но число 40,00 имеет 4 значимые цифры. Представление неопределенности с использованием только значимых цифр является относительно грубым методом, с некоторыми неинтуитивными тонкостями; явное отслеживание оценки или верхней границы ошибки аппроксимации является более сложным подходом. ^[111] В этом примере рост человека может быть представлен как 1,62 ± 0,005 метра или 63,8 ± 0,2 дюйма . ^[112]

При выполнении расчетов с неопределенными величинами неопределенность должна распространяться на вычисляемые величины. При сложении или вычитании двух или более величин сложите абсолютные неопределенности каждого слагаемого вместе, чтобы получить абсолютную неопределенность суммы. При умножении или делении двух или более величин сложите относительные неопределенности каждого фактора вместе, чтобы получить относительную неопределенность произведения. ^[113] При представлении неопределенности значимыми цифрами неопределенность может быть грубо распространена путем округления результата сложения или вычитания двух или более величин до самого левого последнего значащего десятичного знака среди слагаемых и путем округления результата умножения или деления двух или более величин до наименьшего числа значащих цифр среди факторов. ^[114] (См. Значимые цифры § Арифметика .)

Более сложные методы работы с неопределенными значениями включают интервальную арифметику и аффинную арифметику . Интервальная арифметика описывает операции над интервалами . Интервалы могут использоваться для представления диапазона значений, если точная величина неизвестна, например, из-за ошибок измерения . Интервальная арифметика включает такие операции, как сложение и умножение над интервалами, как в и . ^[115] Она тесно связана с аффинной арифметикой, которая направлена ​​на получение более точных результатов путем выполнения вычислений над аффинными формами, а не над интервалами. Аффинная форма — это число вместе с погрешностями, которые описывают, как число может отклоняться от фактической величины. ^[116] ${\displaystyle [1,2]+[3,4]=[4,6]}$ ${\displaystyle [1,2]\times [3,4]=[3,8]}$

Точность числовых величин может быть выражена единообразно с помощью нормализованной научной нотации , которая также удобна для краткого представления чисел, которые намного больше или меньше 1. Используя научную нотацию, число разлагается на произведение числа от 1 до 10, называемого значащей частью , и 10, возведенного в некоторую целую степень, называемую экспонентой . Значащая часть состоит из значащих цифр числа и записывается как ведущая цифра 1–9, за которой следует десятичная точка и последовательность цифр 0–9. Например, нормализованная научная запись числа 8276000 имеет значащую часть 8,276 и показатель степени 6, а нормализованная научная запись числа 0,00735 имеет значащую часть 7,35 и показатель степени −3. ^[117] В отличие от обычной десятичной записи, где конечные нули больших чисел неявно считаются незначимыми, в научной записи каждая цифра в значащей части считается значимой, а добавление конечных нулей указывает на более высокую точность. Например, в то время как число 1200 неявно имеет только 2 значащие цифры, число ⁠ ⁠ явно имеет 3. ^[118] ${\displaystyle 8.276\times 10^{6}}$ ${\displaystyle 7.35\times 10^{-3}}$ ${\displaystyle 1.20\times 10^{3}}$

Обычный метод, используемый компьютерами для аппроксимации арифметики действительных чисел, называется арифметикой с плавающей точкой . Он представляет действительные числа, аналогичные научной записи, с помощью трех чисел: мантиссы, основания и экспоненты. ^[119] Точность мантиссы ограничена количеством бит, выделенных для ее представления. Если арифметическая операция приводит к числу, требующему больше бит, чем доступно, компьютер округляет результат до ближайшего представимого числа. Это приводит к ошибкам округления . ^[120] Следствием такого поведения является то, что некоторые законы арифметики нарушаются арифметикой с плавающей точкой. Например, сложение с плавающей точкой не является ассоциативным, поскольку вносимые ошибки округления могут зависеть от порядка сложений. Это означает, что результат иногда отличается от результата . ^[121] Наиболее распространенный технический стандарт, используемый для арифметики с плавающей точкой, называется IEEE 754 . Среди прочего, он определяет, как представляются числа, как выполняются арифметические операции и округление, а также как обрабатываются ошибки и исключения. ^[122] В случаях, когда скорость вычислений не является ограничивающим фактором, можно использовать арифметику произвольной точности , для которой точность вычислений ограничивается только памятью компьютера. ^[123] ${\displaystyle (a+b)+c}$ ${\displaystyle a+(b+c)}$

Использование инструмента

Расчеты в устной арифметике производятся исключительно в уме, без использования внешних вспомогательных средств.

Формы арифметики также можно различать по инструментам, используемым для выполнения вычислений, и включают множество подходов помимо обычного использования ручки и бумаги. Ментальная арифметика опирается исключительно на ум без внешних инструментов. Вместо этого она использует визуализацию, запоминание и определенные методы вычислений для решения арифметических задач. ^[124] Одним из таких методов является метод компенсации, который заключается в изменении чисел для облегчения вычислений, а затем последующей корректировке результата. Например, вместо вычисления , вычисляют , что проще, потому что оно использует круглое число. На следующем этапе к результату добавляют, чтобы компенсировать предыдущую корректировку. ^[125] Ментальную арифметику часто преподают в начальной школе для тренировки числовых способностей учащихся. ^[126] ${\displaystyle 85-47}$ ${\displaystyle 85-50}$ ${\displaystyle 3}$

Человеческое тело также может использоваться в качестве арифметического инструмента. Использование рук при счете пальцами часто знакомят маленьких детей, чтобы научить их числам и простым вычислениям. В своей самой базовой форме количество вытянутых пальцев соответствует представленному количеству, а арифметические операции, такие как сложение и вычитание, выполняются путем вытягивания или втягивания пальцев. Эта система ограничена небольшими числами, в то время как более продвинутые системы используют различные подходы для представления больших количеств. ^[127] Человеческий голос используется в качестве арифметической помощи при устном счете. ^[128]

Счеты — это инструменты для выполнения арифметических действий путем передвижения костяшек.

Счетные знаки — это простая система, основанная на внешних инструментах, отличных от тела. Она основана на штрихах, нарисованных на поверхности, или зазубринах на деревянной палочке для отслеживания количества. Некоторые формы счетных знаков располагают штрихи группами по пять, чтобы их было легче читать. ^[129] Счеты — более продвинутый инструмент для представления чисел и выполнения вычислений. Счеты обычно состоят из ряда стержней, каждый из которых удерживает несколько бусин . Каждая бусина представляет собой количество, которое подсчитывается, если бусина перемещается с одного конца стержня на другой. Вычисления происходят путем манипулирования положениями бусин, пока окончательный рисунок бусин не покажет результат. ^[130] Сопутствующие вспомогательные средства включают счетные доски , которые используют жетоны, ценность которых зависит от области на доске, в которой они размещены, ^[131] и счетные стержни , которые расположены в горизонтальных и вертикальных узорах для представления различных чисел. ^{[132] [f]} Секторы и логарифмические линейки являются более совершенными вычислительными инструментами, которые опираются на геометрические соотношения между различными шкалами для выполнения как основных, так и сложных арифметических операций. ^{[134] [g]} Печатные таблицы были особенно полезны в качестве вспомогательного средства для поиска результатов операций, таких как логарифмические и тригонометрические функции . ^[136]

Механические калькуляторы автоматизируют ручные процессы вычислений. Они предоставляют пользователю некоторую форму устройства ввода для ввода чисел путем поворота циферблатов или нажатия клавиш. Они включают в себя внутренний механизм, обычно состоящий из шестеренок , рычагов и колес для выполнения вычислений и отображения результатов. ^[137] Для электронных калькуляторов и компьютеров эта процедура дополнительно усовершенствована путем замены механических компонентов электронными схемами , такими как микропроцессоры , которые объединяют и преобразуют электрические сигналы для выполнения вычислений. ^[138]

Другие

Пример модульной арифметики с использованием часов: после прибавления 4 часов к 9 часам стрелка снова начинает отсчет и указывает на 1 час.

Существует много других типов арифметики. Модульная арифметика работает с конечным набором чисел. Если операция приведет к числу за пределами этого конечного набора, то число корректируется обратно в набор, подобно тому, как стрелки часов начинают сначала после завершения одного цикла. Число, при котором происходит эта корректировка, называется модулем. Например, обычные часы имеют модуль 12. В случае сложения 4 с 9 это означает, что результатом будет не 13, а 1. Тот же принцип применим и к другим операциям, таким как вычитание, умножение и деление. ^[139]

Некоторые формы арифметики имеют дело с операциями, выполняемыми над математическими объектами, отличными от чисел. Интервальная арифметика описывает операции над интервалами. ^[140] Векторная арифметика и матричная арифметика описывают арифметические операции над векторами и матрицами , такие как сложение векторов и умножение матриц . ^[141]

Арифметические системы можно классифицировать на основе числовой системы, на которой они основаны. Например, десятичная арифметика описывает арифметические операции в десятичной системе. Другими примерами являются двоичная арифметика, восьмеричная арифметика и шестнадцатеричная арифметика. ^[142]

Арифметика составных единиц описывает арифметические операции, выполняемые над величинами с составными единицами. Она включает в себя дополнительные операции для управления преобразованием между единичными и составными единицами величин. Например, операция сокращения используется для преобразования составной величины 1 ч 90 мин в единичную величину 150 мин. ^[143]

Недиофантовы арифметики — это арифметические системы, которые нарушают традиционные арифметические интуиции и включают уравнения типа и . ^[144] Их можно использовать для представления некоторых реальных ситуаций в современной физике и повседневной жизни. Например, уравнение можно использовать для описания наблюдения, что если одну каплю дождя добавить к другой капле дождя, то они не останутся двумя отдельными сущностями, а станут одной. ^[145] ${\displaystyle 1+1=1}$ ${\displaystyle 2+2=5}$ ${\displaystyle 1+1=1}$

Аксиоматические основы

Аксиоматические основы арифметики пытаются предоставить небольшой набор законов, называемых аксиомами , из которых могут быть выведены все фундаментальные свойства и операции над числами. Они представляют собой логически последовательные и систематические структуры, которые могут быть использованы для формулирования математических доказательств строгим образом. Два известных подхода — это аксиомы Дедекинда–Пеано и теоретико-множественные конструкции. ^[146]

Аксиомы Дедекинда–Пеано обеспечивают аксиоматизацию арифметики натуральных чисел. Их основные принципы были впервые сформулированы Ричардом Дедекиндом и позднее уточнены Джузеппе Пеано . Они опираются только на небольшое количество примитивных математических понятий, таких как 0, натуральное число и последующее число . ^[h] Аксиомы Пеано определяют, как эти понятия связаны друг с другом. Все другие арифметические понятия затем могут быть определены в терминах этих примитивных понятий. ^[147]

1. 0 — натуральное число.
2. Для каждого натурального числа существует последующее число, которое также является натуральным числом.
3. Последующие числа двух различных натуральных чисел никогда не бывают идентичными.
4. 0 не является последующим числом натурального числа.
5. Если множество содержит 0 и каждый последующий элемент, то оно содержит каждое натуральное число. ^{[148] [i]}

Числа больше 0 выражаются повторным применением функции-последователя . Например, is и is . Арифметические операции можно определить как механизмы, которые влияют на то, как применяется функция-последователь. Например, прибавление к любому числу равнозначно применению функции-последователя два раза к этому числу. ^[150] ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle s(0)}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle s(s(s(0)))}$ ${\displaystyle 2}$

Различные аксиоматизации арифметики опираются на теорию множеств. Они охватывают натуральные числа, но также могут быть расширены на целые числа, рациональные числа и действительные числа. Каждое натуральное число представлено уникальным множеством. 0 обычно определяется как пустое множество . Каждое последующее число может быть определено как объединение предыдущего числа с множеством, содержащим предыдущее число. Например, , , и . ^[151] Целые числа могут быть определены как упорядоченные пары натуральных чисел, где второе число вычитается из первого. Например, пара (9, 0) представляет число 9, а пара (0, 9) представляет число -9. ^[152] Рациональные числа определяются как пары целых чисел, где первое число представляет числитель, а второе число представляет знаменатель. Например, пара (3, 7) представляет рациональное число . ^[153] Один из способов построения действительных чисел основан на концепции сечений Дедекинда . Согласно этому подходу, каждое действительное число представляется разбиением всех рациональных чисел на два множества: одно для всех чисел ниже представленного действительного числа, а другое для остальных. ^[154] Арифметические операции определяются как функции, которые выполняют различные теоретико-множественные преобразования над множествами, представляющими входные числа, чтобы получить множество, представляющее результат. ^[155] ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle 1=0\cup \{0\}=\{0\}}$ ${\displaystyle 2=1\cup \{1\}=\{0,1\}}$ ${\displaystyle 3=2\cup \{2\}=\{0,1,2\}}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{7}}}$

История

Некоторые историки интерпретируют кость Ишанго как один из древнейших арифметических артефактов.

Самые ранние формы арифметики иногда прослеживаются до счета и меток, используемых для отслеживания количеств. Некоторые историки предполагают, что кость Лебомбо (датированная примерно 43 000 лет назад) и кость Ишанго (датированная примерно 22 000–30 000 лет назад) являются старейшими арифметическими артефактами, но эта интерпретация оспаривается. ^[156] Однако базовое чувство чисел может предшествовать этим открытиям и даже могло существовать до развития языка. ^[157]

Только с появлением древних цивилизаций начал развиваться более сложный и структурированный подход к арифметике, начиная примерно с 3000 г. до н. э. Это стало необходимым из-за возросшей потребности в отслеживании хранимых предметов, управлении землевладением и организации обменов. ^[158] Все основные древние цивилизации разработали непозиционные системы счисления для облегчения представления чисел. У них также были символы для таких операций, как сложение и вычитание, и они знали о дробях. Примерами являются египетские иероглифы , а также системы счисления, изобретенные в Шумере , Китае и Индии . ^[159] Первая позиционная система счисления была разработана вавилонянами примерно с 1800 г. до н. э. Это было значительным улучшением по сравнению с более ранними системами счисления, поскольку это сделало представление больших чисел и вычисления с ними более эффективными. ^[160] Счеты использовались в качестве ручных вычислительных инструментов с древних времен как эффективное средство для выполнения сложных вычислений. ^[161]

Ранние цивилизации в основном использовали числа для конкретных практических целей, таких как коммерческая деятельность и налоговые записи, но не имели абстрактного понятия числа как такового. ^[162] Это изменилось с древнегреческими математиками , которые начали исследовать абстрактную природу чисел, а не изучать, как они применяются к конкретным проблемам. ^[163] Еще одной новой чертой было использование ими доказательств для установления математических истин и проверки теорий. ^[164] Еще одним вкладом было их различие различных классов чисел, таких как четные числа , нечетные числа и простые числа . ^[165] Это включало открытие того, что числа для определенных геометрических длин являются иррациональными и, следовательно, не могут быть выражены в виде дроби. ^[166] Работы Фалеса Милетского и Пифагора в 7-м и 6-м веках до н. э. часто считаются началом греческой математики. ^[167] Диофант был влиятельной фигурой в греческой арифметике в 3 веке до н. э. благодаря своему многочисленному вкладу в теорию чисел и исследованию применения арифметических операций к алгебраическим уравнениям . ^[168]

Древние индийцы были первыми, кто разработал концепцию нуля как числа, используемого в вычислениях. Точные правила его работы были записаны Брахмагуптой около 628 г. н. э. ^[169] Концепция нуля или ничего существовала задолго до этого, но она не считалась объектом арифметических операций. ^[170] Брахмагупта далее подробно обсудил вычисления с отрицательными числами и их применение к таким проблемам, как кредит и долг. ^[171] Сама концепция отрицательных чисел значительно старше и впервые была исследована в китайской математике в первом тысячелетии до н. э. ^[172]

Индийские математики также разработали позиционную десятичную систему, используемую сегодня, в частности концепцию нулевой цифры вместо пустых или отсутствующих позиций. ^[173] Например, подробное описание ее операций было предоставлено Арьябхатой на рубеже VI века н. э. ^[174] Индийская десятичная система была дополнительно усовершенствована и расширена до нецелых чисел во время исламского Золотого века арабскими математиками, такими как Аль-Хорезми . Его работа оказала влияние на введение десятичной системы счисления в западный мир, который в то время полагался на римскую систему счисления . ^[175] Там ее популяризировали такие математики, как Леонардо Фибоначчи , который жил в XII и XIII веках и также разработал последовательность Фибоначчи . ^[176] В Средние века и эпоху Возрождения было опубликовано много популярных учебников, охватывающих практические расчеты для торговли. Использование счетов также стало широко распространенным в этот период. ^[177] В XVI веке математик Джероламо Кардано придумал концепцию комплексных чисел как способ решения кубических уравнений . ^[178]

Ступенчатый счетчик Лейбница был первым калькулятором, который мог выполнять все четыре арифметические операции. ^[179]

Первые механические калькуляторы были разработаны в 17 веке и значительно облегчили сложные математические вычисления, такие как калькулятор Блеза Паскаля и ступенчатый счетный аппарат Готфрида Вильгельма Лейбница . [ ^{180] В 17 веке} Джон Непер также открыл логарифм . [ ^181]

В XVIII и XIX веках такие математики, как Леонард Эйлер и Карл Фридрих Гаусс, заложили основы современной теории чисел. ^[182] Другое развитие в этот период касалось работы по формализации и основам арифметики, таких как теория множеств Георга Кантора и аксиомы Дедекинда-Пеано, используемые в качестве аксиоматизации арифметики натуральных чисел. ^[183] ​​Компьютеры и электронные калькуляторы были впервые разработаны в XX веке. Их широкое использование произвело революцию как в точности, так и в скорости, с которой даже сложные арифметические вычисления могут быть выполнены. ^[184]

В различных областях

Образование

Арифметическое образование является частью начального образования . Это одна из первых форм математического образования , с которой сталкиваются дети. Элементарная арифметика направлена ​​на то, чтобы дать учащимся базовое представление о числах и познакомить их с основными числовыми операциями, такими как сложение, вычитание, умножение и деление. ^[185] Обычно ее вводят в связи с конкретными сценариями, такими как подсчет бусинок , разделение класса на группы детей одинакового размера и подсчет сдачи при покупке товаров. Обычными инструментами в раннем арифметическом образовании являются числовые линии , таблицы сложения и умножения, счетные блоки и счеты. ^[186]

Более поздние этапы фокусируются на более абстрактном понимании и знакомят студентов с различными типами чисел, такими как отрицательные числа, дроби, действительные числа и комплексные числа. Они также охватывают более сложные числовые операции, такие как возведение в степень, извлечение корней и логарифм. ^[187] Они также показывают, как арифметические операции используются в других разделах математики, например, их применение для описания геометрических фигур и использование переменных в алгебре. Другой аспект заключается в том, чтобы научить студентов использовать алгоритмы и калькуляторы для решения сложных арифметических задач. ^[188]

Психология

Психология арифметики интересуется тем, как люди и животные узнают о числах, представляют их и используют их для вычислений. Она изучает, как математические задачи понимаются и решаются, и как арифметические способности связаны с восприятием , памятью , суждением и принятием решений . ^[189] Например, она исследует, как наборы конкретных предметов впервые встречаются в восприятии и впоследствии ассоциируются с числами. ^[190] Еще одна область исследования касается связи между числовыми вычислениями и использованием языка для формирования представлений. ^[191] Психология также исследует биологическое происхождение арифметики как врожденной способности. Это касается довербальных и досимволических когнитивных процессов, реализующих арифметические операции, необходимые для успешного представления мира и выполнения таких задач, как пространственная навигация. ^[192]

Одной из концепций, изучаемых психологией, является числовая грамотность , которая представляет собой способность понимать числовые концепции, применять их к конкретным ситуациям и рассуждать с ними. Она включает в себя фундаментальное чувство числа, а также способность оценивать и сравнивать величины. Она также охватывает способности символически представлять числа в системах счисления, интерпретировать числовые данные и оценивать арифметические вычисления. ^[193] Числовая грамотность является ключевым навыком во многих академических областях. Недостаток числовой грамотности может препятствовать академическому успеху и приводить к плохим экономическим решениям в повседневной жизни, например, из-за неправильного понимания ипотечных планов и страховых полисов . ^[194]

Философия

Философия арифметики изучает фундаментальные концепции и принципы, лежащие в основе чисел и арифметических операций. Она исследует природу и онтологический статус чисел, отношение арифметики к языку и логике , а также то, как можно получить арифметические знания . ^[195]

Согласно платонизму , числа существуют независимо от разума: они существуют как абстрактные объекты вне пространства-времени и без причинных сил. ^{[196] [j]} Эта точка зрения отвергается интуиционистами , которые утверждают, что математические объекты являются ментальными конструкциями. ^[198] Другие теории — это логицизм , который утверждает, что математические истины сводимы к логическим истинам , ^[199] и формализм , который утверждает, что математические принципы — это правила того, как символы манипулируются, не утверждая, что они соответствуют сущностям вне деятельности, управляемой правилами. ^[200]

Традиционно доминирующая точка зрения в эпистемологии арифметики заключается в том, что арифметические истины познаваемы априори . Это означает, что их можно познать только посредством размышлений, без необходимости полагаться на чувственный опыт . ^[201] Некоторые сторонники этой точки зрения утверждают, что арифметическое знание является врожденным, в то время как другие утверждают, что существует некая форма рациональной интуиции, посредством которой можно постичь математические истины. ^[202] Более поздняя альтернативная точка зрения была предложена философами -натуралистами, такими как Уиллард Ван Орман Куайн , которые утверждают, что математические принципы являются обобщениями высокого уровня, которые в конечном итоге основаны на чувственном мире, как описано эмпирическими науками. ^[203]

Другие

Арифметика имеет отношение ко многим областям. В повседневной жизни требуется подсчитывать сдачу при покупках, управлять личными финансами и корректировать рецепт приготовления для разного количества порций. Предприятия используют арифметику для расчета прибылей и убытков и анализа рыночных тенденций . В области инжиниринга она используется для измерения количества, расчета нагрузок и сил, а также проектирования структур. ^[204] Криптография опирается на арифметические операции для защиты конфиденциальной информации путем шифрования данных и сообщений. ^[205]

Арифметика тесно связана со многими разделами математики, которые зависят от числовых операций. Алгебра опирается на арифметические принципы для решения уравнений с использованием переменных. Эти принципы также играют ключевую роль в исчислении в его попытке определить скорости изменения и площади под кривыми . Геометрия использует арифметические операции для измерения свойств фигур, в то время как статистика использует их для анализа числовых данных. ^[206] Из-за значимости арифметических операций во всей математике, влияние арифметики распространяется на большинство наук, таких как физика , информатика и экономика . Эти операции используются в вычислениях, решении проблем , анализе данных и алгоритмах, что делает их неотъемлемой частью научных исследований, технологического развития и экономического моделирования. ^[207]

Смотрите также

• Арифметический портал
• Математический портал

• Алгоритмизм
• Выражение (математика)
• Арифметика конечных полей
• План арифметики
• Растительная арифметика

Ссылки

Примечания

1. Другие символы для натуральных чисел включают , , , и . ^[13] ${\displaystyle \mathbb {N} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} ^{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {N} }$
2. Другие символы для целых чисел включают , , и . ^[15] ${\displaystyle \mathbb {N} ^{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} \cup \{0\}}$ ${\displaystyle W}$
3. Периодическая десятичная дробь — это десятичная дробь с бесконечным числом повторяющихся цифр, например, 0,111..., которая выражает рациональное число . ${\displaystyle {\tfrac {1}{9}}}$
4. Некоторые авторы используют другую терминологию и называют первое число множимым, а второе число — множителем. ^[51]
5. Если показатель степени равен 0, то результат равен 1, как в . Единственным исключением является , который не определен. ^[57] ${\displaystyle 7^{0}=1}$ ${\displaystyle 0^{0}}$
6. Некоторые системы счетных стержней включают разные цвета для представления как положительных, так и отрицательных чисел. ^[133]
7. Некоторые специалисты по информатике рассматривают логарифмические линейки как первый тип аналогового компьютера . ^[135]
8. Последующее натуральное число — это число, которое следует за ним. Например, 4 — это последующее число 3.
9. Существуют различные версии точной формулировки и количества аксиом. Например, некоторые формулировки начинаются с 1 вместо 0 в первой аксиоме. ^[149]
10. Влиятельный аргумент в пользу платонизма, впервые сформулированный Уиллардом Ван Орманом Куайном и Хилари Патнэмом , утверждает, что числа существуют, потому что они необходимы для лучших научных теорий. ^[197]

Цитаты

1. • Романовский 2008, стр. 302–303.
   • Персонал HC 2022b
   • Персонал MW 2023
   • Бухштаб и Печаев 2020
2. • Бухштаб и Печаев 2020
   • Бургин 2022, стр. 57, 77
   • Адамович 1994, стр. 299
3. • Пирс 2015, стр. 109
   • Уэйт 2013, стр. 42
   • Смит 1958, стр. 7
4. • Оливер 2005, стр. 58
   • Хофвебер 2016, стр. 153
5. • Романовский 2008, стр. 302–303.
   • Персонал HC 2022b
   • Персонал MW 2023
   • Бухштаб и Печаев 2020
6. Софиан 2017, стр. 84
7. • Бухштаб и Печаев 2020
   • Стивенсон и Уэйт 2011, стр. 70
   • Романовский 2008, стр. 303–304.
8. • Лосано-Робледо 2019, стр. xiii
   • Нагель и Ньюман 2008, стр. 4
9. • Уилсон 2020, стр. 1–2
   • Карацуба 2020
   • Кэмпбелл 2012, стр. 33
   • Роббинс 2006, стр. 1
10. • Дюверней 2010, стр. v
    • Роббинс 2006, стр. 1
11. • Романовский 2008, стр. 302–304.
    • Хаттар 2010, стр. 1–2
    • Наков и Колев 2013, стр. 270–271.
12. • Нагель 2002, стр. 180–181
    • Людерер, Ноллау и Веттерс 2013, с. 9
    • Хаттар 2010, стр. 1–2
13. • Бухштаб и Нечаев 2016
    • Чжан 2012, стр. 130
    • Кёрнер 2019, стр. 109
    • Международная организация по стандартизации 2019, стр. 4
14. • Романовский 2008, стр. 304
    • Нагель 2002, стр. 180–181
    • Хиндри 2011, стр. x
    • Бухштаб и Нечаев 2016
15. • Свонсон 2021, стр. 107
    • Росси 2011, стр. 111
16. • Раджан 2022, стр. 17
    • Хафстром 2013, стр. 6
17. • Романовский 2008, стр. 304
    • Нагель 2002, стр. 180–181
    • Хиндри 2011, стр. x
    • Хафстром 2013, стр. 95
18. • Орр 1995, стр. 49
    • Нельсон 2019, стр. xxxi
19. • Романовский 2008, стр. 304
    • Нагель 2002, стр. 180–181
    • Хиндри 2011, стр. x
    • Хафстром 2013, стр. 123
20. • Геллерт и др. 2012, стр. 33
21. Массер, Петерсон и Бургер 2013, стр. 358
22. • Романовский 2008, стр. 304
    • Нагель 2002, стр. 180–181
    • Хиндри 2011, стр. x
23. • Массер, Петерсон и Бургер 2013, стр. 358–359
    • Руни 2021, стр. 34
24. • Романовский 2008, стр. 304
    • Хиндри 2011, стр. x
25. • Хиндри 2011, стр. x
    • Уорд 2012, стр. 55
26. • Оре 1948, стр. 1–2
    • Персонал HC 2022
    • Персонал HC 2022a
27. • Оре 1948, стр. 8–10
    • Наков и Колев 2013, стр. 270–272.
28. • Стахов 2020, стр. 73
    • Наков и Колев 2013, стр. 271–272.
    • Йена 2021, стр. 17–18
29. • Наков и Колев 2013, стр. 271–272.
    • Йена 2021, стр. 17–18
30. • Оре 1948, стр. 8–10
    • Мазумдер и Эбонг, 2023 г., стр. 18–19.
    • Монкайо 2018, стр. 25
31. • Оре 1948, стр. 8
    • Мазумдер и Эбонг 2023, стр. 18
32. Оре 1948, стр. 10
33. • Оре 1948, стр. 8–10
    • Мазумдер и Эбонг, 2023 г., стр. 18–19.
    • Стахов 2020, стр. 77–78
34. • Романовский 2008, стр. 303
    • Ян 2002, стр. 305–306
    • ITL Education Solutions Limited 2011, стр. 28
    • Оре 1948, стр. 2–3
    • Йена 2021, стр. 17–18
35. • Нагель 2002, стр. 178
    • Йена 2021, стр. 20–21
    • Нуль и Лобур 2006, стр. 40
36. Стахов 2020, стр. 74
37. • Нагель 2002, стр. 179
    • Гуссерль и Виллард 2012, стр. XLIV–XLV
    • О'Лири 2015, стр. 190
38. • Райзинг и др. 2021, стр. 110
    • Бухштаб и Печаев 2020
    • Нагель 2002, стр. 177, 179–180
39. • Бухштаб и Печаев 2020
    • Бургин 2022, стр. 57, 77
    • Адамович 1994, стр. 299
    • Нагель 2002, стр. 177, 179–180
40. • Хан и Грэм 2018, стр. 9–10
    • Смит 1864, стр. 55
41. • Тарасов 2008, стр. 57–58
    • Маццола, Милмейстер и Вайсманн 2004, стр. 66
    • Кренн и Лорюнсер 2023, стр. 8
42. • Кей 2021, стр. 44–45
    • Райт, Эллемор-Коллинз и Табор 2011, стр. 136
43. • Кренн и Лорюнсер 2023, стр. 8
    • Маццола, Милмейстер и Вайсманн 2004, стр. 66
44. • Массер, Петерсон и Бургер 2013, стр. 87
    • Романовский 2008, стр. 303
45. Бургин 2022, стр. 25
46. Конфри 1994, стр. 308
47. • Романовский 2008, стр. 303
    • Массер, Петерсон и Бургер 2013, стр. 93–94
    • Кей 2021, стр. 44–45
    • Райт, Эллемор-Коллинз и Табор 2011, стр. 136
48. • Уитер 2015, стр. 19
    • Райт, Эллемор-Коллинз и Табор 2011, стр. 136–137
    • Ахац и Андерсон 2005, стр. 18
49. • Маццола, Милмейстер и Вайсманн 2004, стр. 66
    • Романовский 2008, стр. 303
    • Нагель 2002, стр. 179–180
50. • Романовский 2008, стр. 303
    • Массер, Петерсон и Бургер 2013, стр. 101–102
51. Каванах 2017, стр. 275
52. • Романовский 2008, стр. 304
    • Райт, Эллемор-Коллинз и Табор 2011, стр. 136
    • Массер, Петерсон и Бургер 2013, стр. 101–102
53. • Романовский 2008, стр. 303
    • Уитер 2015, стр. 19
    • Райт, Эллемор-Коллинз и Табор 2011, стр. 136
54. • Кей 2021, стр. 117
    • Уитер 2015, стр. 19
    • Райт, Эллемор-Коллинз и Табор 2011, стр. 136–137
55. • Маццола, Милмейстер и Вайсманн 2004, стр. 66
    • Романовский 2008, стр. 303–304.
    • Нагель 2002, стр. 179–180
56. • Массер, Петерсон и Бургер 2013, стр. 117–118
    • Кей 2021, стр. 27–28
57. Массер, Петерсон и Бургер 2013, стр. 120
58. • Кей 2021, стр. 118
    • Клозе 2014, стр. 105
59. • Кей 2021, стр. 121–122
    • Родда и Литтл 2015, стр. 7
60. • Кей 2021, стр. 117
    • Маццола, Милмейстер и Вайсманн 2004, стр. 66
61. • Салли и Салли (мл.) 2012, стр. 3
    • Клозе 2014, стр. 107–108
62. • Нагель 2002, стр. 180–181
    • Гупта 2019, стр. 3
    • Ваккаро и Пепичелло, 2022 г., стр. 9–12.
    • Либлер 2018, стр. 36
63. • Романовский 2008, стр. 304
    • Хиндри 2011, стр. x
    • Хафстром 2013, стр. 95
    • Брент и Циммерманн 2010, стр. 1
64. • Купферман 2015, стр. 45, 92
    • Успенский и Семенов 2001, с. 113
    • Гири 2006, стр. 796
65. • Резник и Форд 2012, стр. 110
    • Кляйн и др. 2010, стр. 67–68
66. • Кинтеро и Росарио 2016, с. 74
    • Эбби, Халберт и Бродхед 2020, стр. 24–26
67. Сперлинг и Стюарт 1981, стр. 7
68. Сперлинг и Стюарт 1981, стр. 8
69. • М 2020, стр. 35–36
    • Сперлинг и Стюарт 1981, стр. 9
70. Муни и др. 2014, стр. 148
71. • Кляйн 2013, стр. 249
    • Мюллер и др. 2018, стр. 539
72. Дэвис, Гулдинг и Саггейт 2017, стр. 11–12
73. Хейлок и Кокберн 2008, стр. 49
74. • Прата 2002, стр. 138
    • Массер, Петерсон и Бургер 2013, стр. 135–136
75. Кёпф 2021, стр. 49
76. Гудстейн 2014, стр. 33
77. • Кафаро, Эпикоко и Пулимено 2018, с. 7
    • Рейлли 2009, стр. 75
78. • Кюйт и др. 2008, стр. 182
    • Махаджан 2010, стр. 66–69
    • Ланг 2002, стр. 205–206
79. • Кей 2021, стр. 57
    • Кюйт и др. 2008, стр. 182
80. • Бухштаб и Нечаев 2016
    • Григорьева 2018, стр. viii–ix.
    • Страница 2003, стр. 15
81. • Страница 2003, стр. 34
    • Ян 2002, стр. 12
82. • Страница 2003, стр. 18–19, 34
    • Бухштаб и Нечаев 2014
83. • Страница 2003, стр. 34
    • Карацуба 2014
84. • Страница 2003, стр. 34–35
    • Виноградов 2019
85. Кубилюс 2018
86. Померанс и Саркози 1995, с. 969
87. Померанс 2010
88. • Ян 2002, стр. 12, 303–305
    • Ян 2013а, стр. 15
89. • Бухштаб и Нечаев 2016
    • Кржижек, Сомер и Шолцова, 2021 г., стр. 23, 25, 37.
90. • Кржижек, Сомер и Шолкова 2021, с. 23
    • Ризель 2012, стр. 2
91. • Бухштаб и Нечаев 2016
    • Кржижек, Сомер и Шолкова 2021, с. 25
92. • Бухштаб и Нечаев 2016
    • Кржижек, Сомер и Шолкова 2021, с. 37
93. • Геллерт и др. 2012, стр. 30
    • Романовский 2008, стр. 304
    • Хиндри 2011, стр. x
    • Хафстром 2013, стр. 123
    • Коэн 2003, стр. 37
94. • Геллерт и др. 2012, стр. 31–32.
    • Массер, Петерсон и Бургер 2013, стр. 347
95. Геллерт и др. 2012, стр. 32–33.
96. Геллерт и др. 2012, стр. 33
97. Клозе 2014, стр. 107
98. • Хоффман и Франкель 2018, стр. 161–162
    • Ланге 2010, стр. 248–249
    • Клозе 2014, стр. 105–107
99. • Кюйт и др. 2008, стр. 182
    • Махаджан 2010, стр. 66–69
100. • Геллерт и др. 2012, стр. 33
     • Игараси и др. 2014, стр. 18
101. • Геллерт и др. 2012, стр. 35
     • Букер и др. 2015, стр. 308–309.
102. • Геллерт и др. 2012, стр. 34
     • Игараси и др. 2014, стр. 18
103. Массер, Петерсон и Бургер 2013, стр. 358
104. • Массер, Петерсон и Бургер 2013, стр. 358–359
     • Кудрявцев 2020
     • Руни 2021, стр. 34
     • Янг 2010, стр. 994–996
     • Фермер 2023, стр. 139
105. • Росси 2011, стр. 101
     • Рейтано 2010, стр. 42
     • Бронштейн и др. 2015, стр. 2
106. • Массер, Петерсон и Бургер 2013, стр. 358–359
     • Кудрявцев 2020
     • Руни 2021, стр. 34
     • Янг 2010, стр. 994–996
107. • Уоллис 2013, стр. 20–21
     • Янг 2010, стр. 996–997
     • Янг 2021, стр. 4–5
108. Корен 2018, стр. 71
109. Дросг 2007, стр. 1–5
110. Богачек 2009, стр. 18–19
111. • Хайэм 2002, стр. 3–5
     • Богачек 2009, стр. 8–19
112. Богачек 2009, стр. 18–19
113. Богачек 2009, стр. 23–30
114. Гриффин 1935
115. • Мур, Кирфотт и Клауд 2009, стр. 10–11, 19
     • Фарр, Якоб и Хамфрис 2023, стр. 1057
116. • Ваккаро и Пепичелло, 2022 г., стр. 9–11.
     • Чакраверти и Роут 2022, стр. 2–4, 39–40
117. • Уоллис 2013, стр. 20
     • Роу, деФорест и Джамшиди 2018, стр. 24
118. Лустик 1997
119. Мюллер и др. 2009, стр. 13–16.
120. • Корен 2018, стр. 71
     • Мюллер и др. 2009, стр. 13–16.
     • Шварцлендер 2017, стр. 11.19
121. • Стюарт 2022, стр. 26
     • Мейер 2023, стр. 234
122. • Мюллер и др. 2009, стр. 54
     • Брент и Циммерманн 2010, стр. 79
     • Крайер 2014, стр. 450
123. Даффи 2018, стр. 1225
124. • Массер, Петерсон и Бургер 2013, стр. 131
     • Вершаффель, Торбейнс и Де Смедт 2011, стр. 2177
125. • Эмерсон и Бабти 2014, стр. 147
     • Массер, Петерсон и Бургер 2013, стр. 131–132
     • Вершаффель, Торбейнс и Де Смедт 2011, стр. 2177
126. • Массер, Петерсон и Бургер 2013, стр. 131
     • Вершаффель, Торбейнс и Де Смедт 2011, стр. 2177
127. • Доукер 2019, стр. 114
     • Берч, Гири и Кепке, 2015, с. 124
     • Отис 2024, стр. 15–19
     • Гири 2006, стр. 796
128. • Отис 2024, стр. 15–19
     • Гири 2006, стр. 796
129. • Оре 1948, стр. 8
     • Мазумдер и Эбонг 2023, стр. 18
130. • Рейнольдс 2008, стр. 1–2
     • Штернберг и Бен-Зеев 2012, стр. 95–96
131. Бадд и Сангвин 2001, стр. 209
132. • Кноблох, Комацу и Лю, 2013 г., стр. 123
     • Ходжкин 2013, стр. 168
     • Харт 2011, стр. 69
133. • Ходжкин 2013, стр. 168
     • Харт 2011, стр. 69
134. • Брюдерер 2021, стр. 543–545, 906–907.
     • Клаф 2011, стр. 187–188
135. • Стратерн 2012, стр. 9
     • Ланг 2015, стр. 160
136. Кэмпбелл-Келли и др. 2007, стр. 2
137. • Локхарт 2017, стр. 136, 140–146
     • О'Реган 2012, стр. 24–25
138. • Хури и Ламот 2016, стр. 2
     • Локхарт 2017, стр. 147–150
     • Бургин 2022, стр. 119
139. • Лернер и Лернер 2008, стр. 2807–2808
     • Уоллис 2011, стр. 303–304
     • Кайзер и Гранада 2021, стр. 283–284.
140. • Мур, Кирфотт и Клауд 2009, стр. 10–11, 19
     • Фарр, Якоб и Хамфрис 2023, стр. 1057
141. • Либлер 2018, стр. 36
     • Адхами и др. 2007, стр. 80–82, 98–102.
142. • Шива 2018, стр. 3, 14
     • Гупта 2019, стр. 3
143. Бергин 2022, стр. 92–93
144. • Бургин 2022, стр. xviii–xx, xxiv, 137–138
     • Каприо, Авени и Мукерджи, 2022, стр. 763–764.
145. • Бургин 2022, стр. 144
     • Каприо, Авени и Мукерджи, 2022, стр. 763–764.
     • Симан, Росслер и Бергин 2023, стр. 226
146. • Оливер 2005, стр. 58
     • Бухштаб и Печаев 2020
     • Плитка 2009, стр. 243
147. • Оливер 2005, стр. 58
     • Феррейрос 2013, стр. 251
     • Онгли и Кэри 2013, стр. 26–27
148. • Оливер 2005, стр. 58
     • Онгли и Кэри 2013, стр. 26–27
     • Сюй и Чжан 2022, стр. 121
149. Тейлор 2012, стр. 8
150. • Онгли и Кэри 2013, стр. 26–27
     • Тейлор 2012, стр. 8
151. • Багария 2023, § 3. Теория трансфинитных ординалов и кардиналов
     • Каннингем 2016, стр. 83–84, 108
152. • Гамильтон и Ландин, 2018, с. 133
     • Багария 2023, § 5. Теория множеств как основа математики
153. • Гамильтон и Ландин, 2018, стр. 157–158.
     • Багария 2023, § 5. Теория множеств как основа математики
154. • Багария 2023, § 5. Теория множеств как основа математики
     • Гамильтон и Ландин, 2018, с. 252
155. Каннингем 2016, стр. 95–96
156. • Бургин 2022, стр. 2–3
     • Оре 1948, стр. 1, 6, 8, 10
     • Тиам и Рошон 2019, стр. 164
157. • Бургин 2022, стр. 3
     • Понтикорво, Шмбри и Миглино 2019, с. 33
158. • Бургин 2022, стр. 4–6
     • Энг и Лэм 2004, стр. 170
159. • Бургин 2022, стр. 5–7, 9–11
     • Оре 1948, стр. 10–15
     • Нагель 2002, стр. 178
     • Hindry 2011, стр. ix
160. • Бургин 2022, стр. 6–7, 9
     • Оре 1948, стр. 16–18
     • ITL Education Solutions Limited 2011, стр. 28
161. • Оре 1948, стр. 15
     • Ядин 2016, стр. 24
162. • Бургин 2022, стр. 4–5
     • Браун 2010, стр. 184
163. • Бургин 2022, стр. 15
     • Браун 2010, стр. 184
     • Романовский 2008, стр. 303
     • Нагель 2002, стр. 178
164. • Бургин 2022, стр. 15
     • Мэдден и Обри 2017, стр. xvii
165. • Бургин 2022, стр. 31
     • Пейн 2017, стр. 202
166. • Бургин 2022, стр. 20–21
     • Блох 2011, стр. 52
167. • Бургин 2022, стр. 16
     • Лютцен 2023, стр. 19
168. • Бургин 2022, стр. 29–31
     • Кляйн 2013а, стр. 12
169. • Бургин 2022, стр. 36–37
     • Брэдли 2006, стр. 82–83
     • Конради и Горанко 2015, с. 268
170. • Бургин 2022, стр. 35–36
     • Цай 2023, стр. 110
171. • Бургин 2022, стр. 37, 40
     • Брэдли 2006, стр. 82–83
     • Конради и Горанко 2015, с. 268
172. • Хуа и Фэн 2020, стр. 119–120.
     • Чемла, Келлер и Пруст 2023, с. 47
173. • Бургин 2022, стр. 13, 34–35
     • Конради и Горанко 2015, с. 268
174. • Бургин 2022, стр. 13, 34
     • Конради и Горанко 2015, с. 268
175. • Бургин 2022, стр. 38, 43–46
     • Конради и Горанко 2015, с. 268
176. • Бургин 2022, стр. 56
     • Оукс 2020, стр. 330
177. • Бургин 2022, стр. 55
     • Уэделл 2015, стр. 1235–1236
178. • Бургин 2022, стр. 62
     • Лютцен 2023, стр. 124
179. Вулло 2020, стр. 140
180. • Cignoni & Cossu 2016, стр. 103
     • Коетсиер 2018, стр. 255
     • Игараси и др. 2014, стр. 87–89.
181. • Бургин 2022, стр. 77
     • Эрикссон, Эстеп и Джонсон 2013, стр. 474
182. • Бургин 2022, стр. 68–72
     • Вайль 2009, стр. ix
183. • Бургин 2022, стр. 2, 88, 95–97
     • Ван 1997, стр. 334
184. • Бургин 2022, стр. 119, 124
     • Керли 2011, стр. 5, 19
     • Игараси и др. 2014, стр. 149
185. • Персонал NCTM
     • Массер, Петерсон и Бергер 2013, Основные пункты учебной программы по математике для детей дошкольного возраста и до 8-го класса, стр. 44, стр. 130
     • Одом, Барбарин и Васик 2009, с. 589
186. • Ласки и др. 2015, стр. 1–3
     • Массер, Петерсон и Бургер 2013, стр. 59, 90–91, 93–94, 106–108
     • Нюрнбергер-Хааг 2017, стр. 215
187. • Персонал NCTM
     • Массер, Петерсон и Бургер 2013, Основные положения учебной программы по математике для детей дошкольного возраста и учащихся 8-го класса, стр. 208, 304, 340, 362
188. • Персонал NCTM
     • Массер, Петерсон и Бергер 2013, Основные положения учебной программы по математике для детей дошкольного возраста и до 8-го класса
     • Каррахер и Шлиман 2015, стр. 197
     • Ратвен 2012, стр. 435, 443–444
189. • Де Круз, Нет и Шлимм, 2010, стр. 59–60.
     • Грайс и др. 2023, Аннотация
190. Де Круз, Нет и Шлимм, 2010, стр. 60–62.
191. Де Круз, Нет и Шлимм 2010, стр. 63
192. Грайс и др. 2023, Аннотация
193. • Сотрудники Департамента образования Виктории 2023 г.
     • Аскью 2010, стр. 33–34
     • Дребен-Иримия 2010, стр. 102
194. • Сотрудники Департамента образования Виктории 2023 г.
     • Барнс, Райс и Ханох 2017, стр. 196
     • Джерарди, Гетте и Мейер, 2013, стр. 11267–11268.
     • Джексон 2008, стр. 152
195. • Хофвебер 2016, стр. 153–154, 162–163
     • Оливер 2005, стр. 58
     • Серпинская и Лерман 1996, стр. 827
196. • Оливер 2005, стр. 58
     • Хорстен 2023, § 3. Платонизм
197. Коливан 2023, Ведущий раздел.
198. Хорстен 2023, § 2.2 Интуиционизм
199. • Хорстен 2023, § 2.1 Логицизм
     • Хофвебер 2016, стр. 174–175
200. Weir 2022, Ведущая секция
201. • Оливер 2005, стр. 58
     • Серпинская и Лерман 1996, стр. 830
202. • Оливер 2005, стр. 58
     • Серпинская и Лерман 1996, стр. 827–876
203. • Хорстен 2023, § 3.2 Натурализм и незаменимость
     • Серпинская и Лерман 1996, стр. 830
204. • Локхарт 2017, стр. 1–2
     • Птица 2021, стр. 3
     • Обри 1999, стр. 49
205. • Омонди 2020, стр. viii
     • Паар и Пельцл 2009, стр. 13
206. • Массер, Петерсон и Бургер 2013, стр. 17
     • Кляйнер 2012, стр. 255
     • Маркус и МакЭвой 2016, стр. 285
     • Монахан 2012
207. • Галлистел и Гельман 2005, стр. 559–560
     • Али Рахман и др. 2017, стр. 373–374.
     • Li & Schoenfeld 2019, Аннотация, Введение
     • Асано 2013, стр. xiii–xv

Источники

• Ахатц, Томас; Андерсон, Джон Г. (2005). Техническая математика цеха. Industrial Press Inc. ISBN 978-0-8311-3086-2.
• Adamowicz, Zofia (1994). "Сила возведения в степень в арифметике". В Joseph, Anthony; Mignot, Fulbert; Murat, François; Prum, Bernard; Rentschler, Rudolf (ред.). Первый европейский математический конгресс: Париж, 6-10 июля 1992 г. Том I Приглашенные лекции (часть 1) . Birkhäuser. стр. 299–320. doi :10.1007/978-3-0348-9110-3_9. ISBN 978-3-0348-9110-3.
• Адхами, Реза; Минен, Питер М.; Минен, Питер; Хайт, Денис (2007). Фундаментальные концепции в электротехнике и вычислительной технике с практическими проблемами проектирования. Universal-Publishers. ISBN 978-1-58112-971-7.
• Ali Rahman, Ernna Sukinnah; Shahrill, Masitah; Abbas, Nor Arifahwati; Tan, Abby (2017). "Developing Students' Mathematical Skills Involving Order of Operations". International Journal of Research in Education and Science: 373. doi:10.21890/ijres.327896.
• Ang, Tian Se; Lam, Lay Yong (2004). Fleeting Footsteps: Tracing The Conception Of Arithmetic And Algebra In Ancient China (Revised ed.). World Scientific. ISBN 978-981-4483-60-5.
• Asano, Akihito (2013). An Introduction to Mathematics for Economics. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-00760-4.
• Askew, Mike (2010). "It Ain't (Just) What You Do: Effective Teachers of Numeracy". In Ian, Thompson (ed.). Issues In Teaching Numeracy In Primary Schools. McGraw-Hill Education (UK). ISBN 978-0-335-24153-8.
• Aubrey, Carol (1999). A Developmental Approach to Early Numeracy: Helping to Raise Children's Achievements and Deal with Difficulties in Learning. A&C Black. ISBN 978-1-4411-9164-9.
• Bagaria, Joan (2023). "Set Theory". The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Metaphysics Research Lab, Stanford University. Retrieved 19 November 2023.
• Barnes, Andrew J.; Rice, Thomase; Hanoch, Yaniv (2017). "Using Behavioral Economics to Improve People's Decisions About Purchasing Health Insurance". In Hanoch, Yaniv; Barnes, Andrew; Rice, Thomas (eds.). Behavioral Economics and Healthy Behaviors: Key Concepts and Current Research. Taylor & Francis. ISBN 978-1-317-26952-6.
• Berch, Daniel B.; Geary, David C.; Koepke, Kathleen Mann (2015). Development of Mathematical Cognition: Neural Substrates and Genetic Influences. Academic Press. ISBN 978-0-12-801909-2.
• Bird, John (2021). Bird's Engineering Mathematics. Taylor & Francis. ISBN 978-0-367-64378-2.
• Bloch, Ethan D. (2011). The Real Numbers and Real Analysis. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-72177-4.
• Bohacek, Peter (2009). "Introduction to Measurement". Teaching Quantitative Skills in the Geosciences. Carleton College Science Education Resource Center; American Association of Physics Teachers. Retrieved 2024-03-06.
• Booker, George; Bond, Denise; Sparrow, Len; Swan, Paul (2015). Teaching Primary Mathematics. Pearson Higher Education AU. ISBN 978-1-4860-0488-1.
• Bradley, Michael J. (2006). The Birth of Mathematics: Ancient Times To 1300. Infobase Publishing. ISBN 978-0-7910-9723-6.
• Brent, Richard P.; Zimmermann, Paul (2010). Modern Computer Arithmetic. Cambridge University Press. ISBN 978-1-139-49228-7.
• Bronshtein, I. N.; Semendyayev, K. A.; Musiol, Gerhard; Mühlig, Heiner (2015). Handbook of Mathematics. Springer. ISBN 978-3-662-46221-8.
• Brown, David (2010). "The Measurement of Time and Distance in the Heavens Above Mesopotamia, with Brief Reference Made to Other Ancient Astral Science". In Morley, Iain; Renfrew, Colin (eds.). The Archaeology of Measurement: Comprehending Heaven, Earth and Time in Ancient Societies. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-11990-0.
• Bruderer, Herbert (2021). Milestones in Analog and Digital Computing. Springer Nature. ISBN 978-3-030-40974-6.
• Budd, Christopher J.; Sangwin, Christopher (2001). Mathematics Galore!: Masterclasses, Workshops and Team Projects in Mathematics and Its Applications. OUP Oxford. ISBN 978-0-19-850770-3.
• Bukhshtab, A. A.; Nechaev, V. I. (2014). "Elementary Number Theory". Encyclopedia of Mathematics. Springer. Retrieved 23 October 2023.
• Bukhshtab, A. A.; Nechaev, V. I. (2016). "Natural Number". Encyclopedia of Mathematics. Springer. Retrieved 23 October 2023.
• Bukhshtab, A. A.; Pechaev, V. I. (2020). "Arithmetic". Encyclopedia of Mathematics. Springer. Retrieved 23 October 2023.
• Burgin, Mark (2022). Trilogy Of Numbers And Arithmetic - Book 1: History Of Numbers And Arithmetic: An Information Perspective. World Scientific. ISBN 978-981-12-3685-3.
• Cafaro, Massimo; Epicoco, Italo; Pulimeno, Marco (2018). "Techniques for Designing Bioinformatics Algorithms". Encyclopedia of Bioinformatics and Computational Biology: ABC of Bioinformatics. Elsevier. ISBN 978-0-12-811432-2.
• Cai, Tianxin (2023). A Brief History of Mathematics: A Promenade Through the Civilizations of Our World. Springer Nature. ISBN 978-3-031-26841-0.
• Campbell, Stephen R. (2012). "Understanding Elementary Number Theory in Relation to Arithmetic and Algebra". In Zazkis, Rina; Campbell, Stephen R. (eds.). Number Theory in Mathematics Education: Perspectives and Prospects. Routledge. ISBN 978-1-136-50143-2.
• Campbell-Kelly, Martin; Croarken, Mary; Flood, Raymond; Robson, Eleanor (2007). The History of Mathematical Tables: From Sumer to Spreadsheets. OUP. ISBN 978-0-19-850841-0.
• Caprio, Michele; Aveni, Andrea; Mukherjee, Sayan (2022). "Concerning Three Classes of Non-Diophantine Arithmetics". Involve, A Journal of Mathematics. 15 (5): 763–774. arXiv:2102.04197. doi:10.2140/involve.2022.15.763. S2CID 231847291.
• Carraher, David W.; Schliemann, Analucia D. (2015). "Powerful Ideas in Elementary School Mathematics". In English, Lyn D.; Kirshner, David (eds.). Handbook of International Research in Mathematics Education. Routledge. ISBN 978-1-134-62664-9.
• Cavanagh, Joseph (2017). "6. Fixed-Point Multiplication". Computer Arithmetic and Verilog HDL Fundamentals. CRC Press. ISBN 978-1-351-83411-7.
• Chakraverty, Snehashish; Rout, Saudamini (2022). Affine Arithmetic Based Solution of Uncertain Static and Dynamic Problems. Springer Nature. ISBN 978-3-031-02424-5.
• Chemla, Karine; Keller, Agathe; Proust, Christine (2023). Cultures of Computation and Quantification in the Ancient World: Numbers, Measurements, and Operations in Documents from Mesopotamia, China and South Asia. Springer Nature. ISBN 978-3-030-98361-1.
• Cignoni, Gioanni A.; Cossu, Giovanni A. (2016). "The Global Virtual Museum of Information Science & Technology, a Project Idea". In Tatnall, Arthur; Leslie, Christopher (eds.). International Communities of Invention and Innovation: IFIP WG 9.7 International Conference on the History of Computing, HC 2016, Brooklyn, NY, USA, May 25-29, 2016, Revised Selected Papers. Springer. ISBN 978-3-319-49463-0.
• Cohen, Joel S. (2003). Computer Algebra and Symbolic Computation: Mathematical Methods. CRC Press. ISBN 978-1-4398-6370-1.
• Colyvan, Mark (2023). "Indispensability Arguments in the Philosophy of Mathematics". The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Metaphysics Research Lab, Stanford University. Retrieved 20 March 2024.
• Confrey, Jere (1994). "Splitting, Similarity, and Rate of Change: A New Approach to Multiplication and Exponential Functions". In Harel, Guershon; Confrey, Jere (eds.). The Development of Multiplicative Reasoning in the Learning of Mathematics. State University of New York Press. ISBN 978-1-4384-0580-3.
• Conradie, Willem; Goranko, Valentin (2015). Logic and Discrete Mathematics: A Concise Introduction. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-76109-0.
• Cryer, C. W. (2014). A Math Primer for Engineers. IOS Press. ISBN 978-1-61499-299-8.
• Cunningham, Daniel W. (2016). Set Theory: A First Course. Cambridge University Press. ISBN 978-1-316-68204-3.
• Curley, Robert (2011). Computing: From the Abacus to the iPad. Britannica Educational Publishing. ISBN 978-1-61530-707-4.
• Cuyt, Annie A. M.; Petersen, Vigdis; Verdonk, Brigitte; Waadeland, Haakon; Jones, William B. (2008). Handbook of Continued Fractions for Special Functions. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4020-6949-9.
• Davis, Andrew; Goulding, Maria; Suggate, Jennifer (2017). Mathematical Knowledge for Primary Teachers. Taylor & Francis. ISBN 978-1-317-21901-9.
• De Cruz, Helen; Neth, Hansjörg; Schlimm, Dirk (2010). "The Cognitive Basis of Arithmetic". In Löwe, Benedikt; Müller, Thomas (eds.). PhiMSAMP: Philosophy of Mathematics : Sociological Aspsects and Mathematical Practice. College Publications. ISBN 978-1-904987-95-6.
• Dowker, Ann (2019). Individual Differences in Arithmetic: Implications for Psychology, Neuroscience and Education. Routledge. ISBN 978-1-317-62743-2.
• Dreeben-Irimia, Olga (2010). Patient Education in Rehabilitation. Jones & Bartlett Publishers. ISBN 978-1-4496-1775-2.
• Drosg, Manfred (2007). Dealing with Uncertainties. Springer. ISBN 978-3-540-29606-5.
• Duffy, Daniel J. (2018). Financial Instrument Pricing Using C++. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-119-17048-8.
• Duverney, Daniel (2010). Number Theory: An Elementary Introduction Through Diophantine Problems. World Scientific. ISBN 978-981-4307-46-8.
• Ebby, Caroline B.; Hulbert, Elizabeth T.; Broadhead, Rachel M. (2020). A Focus on Addition and Subtraction: Bringing Mathematics Education Research to the Classroom. Routledge. ISBN 978-1-000-22087-2.
• Emerson, Jane; Babtie, Patricia (2014). The Dyscalculia Solution: Teaching Number Sense. Bloomsbury Publishing. ISBN 978-1-4729-2099-7.
• Eriksson, Kenneth; Estep, Donald; Johnson, Claes (2013). Applied Mathematics: Body and Soul: Volume 2: Integrals and Geometry in IRn. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-05798-8.
• Farmer, William M. (2023). Simple Type Theory: A Practical Logic for Expressing and Reasoning About Mathematical Ideas. Springer Nature. ISBN 978-3-031-21112-6.
• Ferreiros, Jose (2013). Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics. Birkhäuser. ISBN 978-3-0348-5049-0.
• Gallistel, C. R.; Gelman, R. (2005). "Mathematical Cognition". In Holyoak, K. J.; Morrison, R. G. (eds.). The Cambridge Handbook of Thinking and Reasoning. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-53101-6.
• Geary, David C. (2006). "Development of Mathematical Understanding". In Damon, William; Lerner, Richard M.; Kuhn, Deanna; Siegler, Robert S. (eds.). Handbook of Child Psychology, Cognition, Perception, and Language. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-05054-5.
• Gellert, W.; Hellwich, M.; Kästner, H.; Küstner, H. (2012). The VNR Concise Encyclopedia of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-94-011-6982-0.
• Gerardi, Kristopher; Goette, Lorenz; Meier, Stephan (2013). "Numerical Ability Predicts Mortgage Default". Proceedings of the National Academy of Sciences. 110 (28): 11267–11271. Bibcode:2013PNAS..11011267G. doi:10.1073/pnas.1220568110. PMC 3710828. PMID 23798401.
• Goodstein, R. L. (2014). Fundamental Concepts of Mathematics. Elsevier. ISBN 978-1-4831-5405-3.
• Grice, Matt; Kemp, Simon; Morton, Nicola J.; Grace, Randolph C. (2023). "The Psychological Scaffolding of Arithmetic". Psychological Review. 131 (2): 494–522. doi:10.1037/rev0000431. PMID 37358523. S2CID 259251163.
• Grigorieva, Ellina (2018). Methods of Solving Number Theory Problems. Birkhäuser. ISBN 978-3-319-90915-8.
• Griffin, Carroll W. (1935). "Significant Figures". National Mathematics Magazine. 10 (1): 20–24. doi:10.2307/3028249. JSTOR 3028249.
• Gupta, Rajesh Kumar (2019). Numerical Methods: Fundamentals and Applications. Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-68660-0.
• Hafstrom, John Edward (2013). Basic Concepts in Modern Mathematics. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-31627-7.
• Hamilton, Norman T.; Landin, Joseph (2018). Set Theory: The Structure of Arithmetic. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-83047-6.
• Hart, Roger (2011). The Chinese Roots of Linear Algebra. JHU Press. ISBN 978-0-8018-9958-4.
• Haylock, Derek; Cockburn, Anne D. (2008). Understanding Mathematics for Young Children: A Guide for Foundation Stage and Lower Primary Teachers. SAGE. ISBN 978-1-4462-0497-9.
• HC staff (2022). "Numeral". American Heritage Dictionary. HarperCollins. Retrieved 11 November 2023.
• HC staff (2022a). "Number System". American Heritage Dictionary. HarperCollins. Retrieved 11 November 2023.
• HC staff (2022b). "Arithmetic". American Heritage Dictionary. HarperCollins. Retrieved 19 October 2023.
• Higham, Nicholas (2002). Accuracy and Stability of Numerical Algorithms (PDF) (2nd ed.). SIAM. doi:10.1137/1.9780898718027. ISBN 978-0-89871-521-7.
• Hindry, Marc (2011). Arithmetics. Universitext. Springer. doi:10.1007/978-1-4471-2131-2. ISBN 978-1-4471-2130-5.
• Hodgkin, Luke (2013). A History of Mathematics: From Mesopotamia to Modernity. OUP Oxford. ISBN 978-0-19-166436-6.
• Hoffman, Joe D.; Frankel, Steven (2018). Numerical Methods for Engineers and Scientists. CRC Press. ISBN 978-1-4822-7060-0.
• Hofweber, Thomas (2016). "The Philosophy of Arithmetic". Ontology and the Ambitions of Metaphysics. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-876983-5.
• Horsten, Leon (2023). "Philosophy of Mathematics". The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Metaphysics Research Lab, Stanford University. Retrieved 22 November 2023.
• Hua, Jueming; Feng, Lisheng (2020). Thirty Great Inventions of China: From Millet Agriculture to Artemisinin. Springer Nature. ISBN 978-981-15-6525-0.
• Husserl, Edmund; Willard, Dallas (2012). "Translator's Introduction". Philosophy of Arithmetic: Psychological and Logical Investigations with Supplementary Texts from 1887–1901. Springer Science & Business Media. ISBN 978-94-010-0060-4.
• Igarashi, Yoshihide; Altman, Tom; Funada, Mariko; Kamiyama, Barbara (2014). Computing: A Historical and Technical Perspective. CRC Press. ISBN 978-1-4822-2741-3.
• International Organization for Standardization (2019). ISO 80000-2: 2019 Quantities and units Part 2: Mathematics (PDF). International Organization for Standardization.
• ITL Education Solutions Limited (2011). Introduction to Computer Science. Pearson Education India. ISBN 978-81-317-6030-7.
• Jackson, Janna M. (2008). "Reading/Writing Connection". In Flippo, Rona F. (ed.). Handbook of College Reading and Study Strategy Research. Routledge. ISBN 978-1-135-70373-8.
• Jena, Sisir Kumar (2021). C Programming: Learn to Code. CRC Press. ISBN 978-1-000-46056-8.
• Kaiser, Sarah C.; Granade, Christopher (2021). Learn Quantum Computing with Python and Q#: A Hands-on Approach. Simon and Schuster. ISBN 978-1-61729-613-0.
• Karatsuba, A. A. (2014). "Analytic Number Theory". Encyclopedia of Mathematics. Springer. Retrieved 23 October 2023.
• Karatsuba, A. A. (2020). "Number Theory". Encyclopedia of Mathematics. Springer. Retrieved 23 October 2023.
• Kay, Anthony (2021). Number Systems: A Path into Rigorous Mathematics. CRC Press. ISBN 978-0-429-60776-9.
• Khan, Khalid; Graham, Tony Lee (2018). Engineering Mathematics with Applications to Fire Engineering. CRC Press. ISBN 978-1-351-59761-6.
• Khattar, Dinesh (2010). The Pearson Guide To Objective Arithmetic For Competitive Examinations, 3/E. Pearson Education India. ISBN 978-81-317-2673-0.
• Khoury, Joseph; Lamothe, Gilles (2016). Mathematics That Power Our World, The: How Is It Made?. World Scientific. ISBN 978-981-4730-86-0.
• Klaf, A. Albert (2011). Trigonometry Refresher. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-15104-5.
• Klein, Elise; Moeller, Korbinian; Dressel, Katharina; Domahs, Frank; Wood, Guilherme; Willmes, Klaus; Nuerk, Hans-Christoph (2010). "To Carry or Not to Carry — Is This the Question? Disentangling the Carry Effect in Multi-digit Addition". Acta Psychologica. 135 (1): 67–76. doi:10.1016/j.actpsy.2010.06.002. PMID 20580340.
• Klein, Andreas (2013). Stream Ciphers. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4471-5079-4.
• Klein, Jacob (2013a). Greek Mathematical Thought and the Origin of Algebra. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-31981-0.
• Kleiner, Israel (2012). Excursions in the History of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-8176-8268-2.
• Klose, Orval M. (2014). The Number Systems and Operations of Arithmetic: An Explanation of the Fundamental Principles of Mathematics Which Underlie the Understanding and Use of Arithmetic, Designed for In-Service Training of Elementary School Teachers Candidates Service Training of Elementary School Teacher Candidates. Elsevier. ISBN 978-1-4831-3709-4.
• Knobloch, Eberhard; Komatsu, Hikosaburo; Liu, Dun (2013). Seki, Founder of Modern Mathematics in Japan: A Commemoration on His Tercentenary. Springer Science & Business Media. ISBN 978-4-431-54273-5.
• Koepf, Wolfram (2021). Computer Algebra: An Algorithm-Oriented Introduction. Springer Nature. ISBN 978-3-030-78017-3.
• Koetsier, Teun (2018). The Ascent of GIM, the Global Intelligent Machine: A History of Production and Information Machines. Springer. ISBN 978-3-319-96547-5.
• Koren, Israel (2018). Computer Arithmetic Algorithms. CRC Press. ISBN 978-1-4398-6371-8.
• Körner, T. W. (2019). Where Do Numbers Come From?. Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-77594-6.
• Krenn, Stephan; Lorünser, Thomas (2023). An Introduction to Secret Sharing: A Systematic Overview and Guide for Protocol Selection. Springer Nature. ISBN 978-3-031-28161-7.
• Kubilyus, I. P. (2018). "Number Theory, Probabilistic Methods in". Encyclopedia of Mathematics. Springer. Retrieved 23 October 2023.
• Kudryavtsev, L. D. (2020). "Real Number". Encyclopedia of Mathematics. Springer. Retrieved 23 October 2023.
• Kupferman, Raz (2015). Elementary School Mathematics For Parents And Teachers - Volume 1. World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4699-93-8.
• Křížek, Michal; Somer, Lawrence; Šolcová, Alena (2021). From Great Discoveries in Number Theory to Applications. Springer Nature. ISBN 978-3-030-83899-7.
• Lang, Serge (2002). "Taylor's Formula". Short Calculus: The Original Edition of "A First Course in Calculus". Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. pp. 195–210. doi:10.1007/978-1-4613-0077-9_14. ISBN 978-1-4613-0077-9.
• Lang, Philippa (2015). Science: Antiquity and its Legacy. Bloomsbury Publishing. ISBN 978-0-85773-955-1.
• Lange, Kenneth (2010). Numerical Analysis for Statisticians. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4419-5944-7.
• Laski, Elida V.; Jor’dan, Jamilah R.; Daoust, Carolyn; Murray, Angela K. (2015). "What Makes Mathematics Manipulatives Effective? Lessons From Cognitive Science and Montessori Education". SAGE Open. 5 (2). doi:10.1177/2158244015589588. hdl:1808/20642. S2CID 11722953.
• Lerner, Brenda Wilmoth; Lerner, K. Lee, eds. (2008). "Modular Arithmetic". The Gale Encyclopedia of Science (4th ed.). Thompson Gale. ISBN 978-1-4144-2877-2.
• Li, Yeping; Schoenfeld, Alan H. (2019). "Problematizing Teaching and Learning Mathematics as 'Given' in STEM Education". International Journal of STEM Education. 6 (1). doi:10.1186/s40594-019-0197-9.
• Liebler, Robert A. (2018). Basic Matrix Algebra with Algorithms and Applications. CRC Press. ISBN 978-0-429-85287-9.
• Lockhart, Paul (2017). Arithmetic. The Belknap Press of Harvard University Press. ISBN 978-0-674-97223-0.
• Lozano-Robledo, Álvaro (2019). Number Theory and Geometry: An Introduction to Arithmetic Geometry. American Mathematical Soc. ISBN 978-1-4704-5016-8.
• Luderer, Bernd; Nollau, Volker; Vetters, Klaus (2013). Mathematical Formulas for Economists. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-12431-4.
• Lützen, Jesper (2023). A History of Mathematical Impossibility. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-286739-1.
• Lustick, David (1997). "The Numbers Game: Playing up the importance of significant figures and scientific notation". The Science Teacher. 64 (5): 16–18. JSTOR 24152064.
• Ma, Liping (2020). Knowing and Teaching Elementary Mathematics: Teachers' Understanding of Fundamental Mathematics in China and the United States. Routledge. ISBN 978-1-000-02734-1.
• Madden, Daniel J.; Aubrey, Jason A. (2017). An Introduction to Proof Through Real Analysis. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-119-31472-1.
• Mahajan, Sanjoy (2010). Street-Fighting Mathematics: The Art of Educated Guessing and Opportunistic Problem Solving. MIT Press. ISBN 978-0-262-26559-1.
• Marcus, Russell; McEvoy, Mark (2016). An Historical Introduction to the Philosophy of Mathematics: A Reader. Bloomsbury Publishing. ISBN 978-1-4725-3291-6.
• Mazumder, Pinaki; Ebong, Idongesit E. (2023). Lectures on Digital Design Principles. CRC Press. ISBN 978-1-000-92194-6.
• Mazzola, Guerino; Milmeister, Gérard; Weissmann, Jody (2004). Comprehensive Mathematics For Computer Scientists 1: Sets And Numbers, Graphs And Algebra, Logic And Machines, Linear Geometry. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-20835-8.
• Meyer, Carl D. (2023). Matrix Analysis and Applied Linear Algebra: Second Edition. SIAM. ISBN 978-1-61197-744-8.
• Monahan, John F. (2012). "2. Basic Computational Algorithms". In Gentle, James E.; Härdle, Wolfgang Karl; Mori, Yuichi (eds.). Handbook of Computational Statistics: Concepts and Methods. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-21551-3.
• Moncayo, Raul (2018). Lalangue, Sinthome, Jouissance, and Nomination: A Reading Companion and Commentary on Lacan's Seminar XXIII on the Sinthome. Routledge. ISBN 978-0-429-91554-3.
• Mooney, Claire; Briggs, Mary; Hansen, Alice; McCullouch, Judith; Fletcher, Mike (2014). Primary Mathematics: Teaching Theory and Practice. Learning Matters. ISBN 978-1-4739-0707-2.
• Moore, Ramon E.; Kearfott, R. Baker; Cloud, Michael J. (2009). Introduction to Interval Analysis. SIAM. ISBN 978-0-89871-669-6.
• Muller, Jean-Michel; Brisebarre, Nicolas; Dinechin, Florent de; Jeannerod, Claude-Pierre; Lefèvre, Vincent; Melquiond, Guillaume; Revol, Nathalie; Stehlé, Damien; Torres, Serge (2009). Handbook of Floating-Point Arithmetic. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-8176-4705-6.
• Muller, Jean-Michel; Brunie, Nicolas; Dinechin, Florent de; Jeannerod, Claude-Pierre; Joldes, Mioara; Lefèvre, Vincent; Melquiond, Guillaume; Revol, Nathalie; Torres, Serge (2018). Handbook of Floating-Point Arithmetic. Birkhäuser. ISBN 978-3-319-76526-6.
• Musser, Gary L.; Peterson, Blake E.; Burger, William F. (2013). Mathematics for Elementary Teachers: A Contemporary Approach. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-48700-6.
• MW staff (2023). "Definition of Arithmetic". www.merriam-webster.com. Retrieved 19 October 2023.
• Nagel, Rob (2002). U-X-L Encyclopedia of Science. U-X-L. ISBN 978-0-7876-5440-5.
• Nagel, Ernest; Newman, James Roy (2008). Godel's Proof. NYU Press. ISBN 978-0-8147-5837-3.
• Nakov, Svetlin; Kolev, Veselin (2013). Fundamentals of Computer Programming with C#: The Bulgarian C# Book. Faber Publishing. ISBN 978-954-400-773-7.
• NCTM Staff. "Number and Operations". www.nctm.org. National Council of Teachers of Mathematics. Retrieved 21 November 2023.
• Nelson, Gerald (2019). English: An Essential Grammar. Routledge. ISBN 978-1-351-12273-3.
• Null, Linda; Lobur, Julia (2006). The Essentials of Computer Organization and Architecture. Jones & Bartlett Learning. ISBN 978-0-7637-3769-6.
• Nurnberger-Haag, Julie (2017). "Borrow, Trade, Regroup, or Unpack? Revealing How Instructional Metaphors Portray Base-Ten Number". In Jao, Limin; Radakovic, Nenad (eds.). Transdisciplinarity in Mathematics Education: Blurring Disciplinary Boundaries. Springer. ISBN 978-3-319-63624-5.
• O'Leary, Michael L. (2015). A First Course in Mathematical Logic and Set Theory. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-90588-3.
• O'Regan, Gerard (2012). A Brief History of Computing. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4471-2359-0.
• Oakes, Elizabeth (2020). Encyclopedia of World Scientists, Updated Edition. Infobase Publishing. ISBN 978-1-4381-9545-2.
• Odom, Samuel L.; Barbarin, Oscar A.; Wasik, Barbara Hanna (2009). "Applying Lessons from Developmental Science to Early Education". In Barbarin, Oscar A.; Wasik, Barbara Hanna (eds.). Handbook of Child Development and Early Education: Research to Practice. Guilford Press. ISBN 978-1-60623-302-3.
• Oliver, Alexander D. (2005). "Arithmetic, Foundations of". In Honderich, Ted (ed.). The Oxford Companion to Philosophy. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-926479-7.
• Omondi, Amos R. (2020). Cryptography Arithmetic: Algorithms and Hardware Architectures. Springer Nature. ISBN 978-3-030-34142-8.
• Ongley, John; Carey, Rosalind (2013). Russell: A Guide for the Perplexed. Bloomsbury Publishing. ISBN 978-1-4411-9123-6.
• Ore, Oystein (1948). Number Theory and Its History. McGraw-Hill. ISBN 978-0-486-65620-5. OCLC 1397541.
• Orr, David B. (1995). Fundamentals of Applied Statistics and Surveys. CRC Press. ISBN 978-0-412-98821-9.
• Otis, Jessica Marie (2024). By the Numbers: Numeracy, Religion, and the Quantitative Transformation of Early Modern England. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-760877-7.
• Paar, Christof; Pelzl, Jan (2009). Understanding Cryptography: A Textbook for Students and Practitioners. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-04101-3.
• Page, Robert L. (2003). "Number Theory, Elementary". Encyclopedia of Physical Science and Technology (Third ed.). Academic Press. ISBN 978-0-12-227410-7.
• Payne, Andrew (2017). The Teleology of Action in Plato's Republic. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-879902-3.
• Peirce, Charles S. (2015). Arithmetic. Walter de Gruyter GmbH & Co KG. ISBN 978-3-11-086970-5.
• Pharr, Matt; Jakob, Wenzel; Humphreys, Greg (2023). Physically Based Rendering: From Theory to Implementation (4 ed.). MIT Press. ISBN 978-0-262-37403-3.
• Pomerance, Carl (2010). "IV.3 Computational Number Theory" (PDF). In Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (eds.). The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. pp. 348–362. ISBN 978-1-4008-3039-8.
• Pomerance, C.; Sárközy, A. (1995). "Combinatorial Number Theory". In Graham, R. L. (ed.). Handbook of Combinatorics. Elsevier. ISBN 978-0-08-093384-9.
• Ponticorvo, Michela; Schmbri, Massimiliano; Miglino, Orazio (2019). "How to Improve Spatial and Numerical Cognition with a Game-Based and Technology-Enhanced Learning Approach". In Vicente, José Manuel Ferrández; Álvarez-Sánchez, José Ramón; López, Félix de la Paz; Moreo, Javier Toledo; Adeli, Hojjat (eds.). Understanding the Brain Function and Emotions: 8th International Work-Conference on the Interplay Between Natural and Artificial Computation, IWINAC 2019, Almería, Spain, June 3–7, 2019, Proceedings, Part I. Springer. ISBN 978-3-030-19591-5.
• Prata, Stephen (2002). C Primer Plus. Sams Publishing. ISBN 978-0-672-32222-8.
• Quintero, Ana Helvia; Rosario, Hector (2016). Math Makes Sense!: A Constructivist Approach To The Teaching And Learning Of Mathematics. World Scientific. ISBN 978-1-78326-866-5.
• Rajan, Hridesh (2022). An Experiential Introduction to Principles of Programming Languages. MIT Press. ISBN 978-0-262-36243-6.
• Reilly, Norman R. (2009). Introduction to Applied Algebraic Systems. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-970992-2.
• Reitano, Robert R. (2010). Introduction to Quantitative Finance: A Math Tool Kit. MIT Press. ISBN 978-0-262-01369-7.
• Resnick, L. B.; Ford, W. W. (2012). Psychology of Mathematics for Instruction. Routledge. ISBN 978-1-136-55759-0.
• Reynolds, Barbara E. (2008). "Abacus". In Selin, Helaine (ed.). Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4020-4559-2.
• Riesel, Hans (2012). Prime Numbers and Computer Methods for Factorization. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-0251-6.
• Rising, Gerald R.; Matthews, James R.; Schoaff, Eileen; Matthew, Judith (2021). About Mathematics. Linus Learning. ISBN 978-1-60797-892-3.
• Robbins, Neville (2006). Beginning Number Theory. Jones & Bartlett Learning. ISBN 978-0-7637-3768-9.
• Rodda, Harvey J. E.; Little, Max A. (2015). Understanding Mathematical and Statistical Techniques in Hydrology: An Examples-based Approach. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-119-07659-9.
• Roe, John; deForest, Russ; Jamshidi, Sara (2018). Mathematics for Sustainability. Springer. ISBN 978-3-319-76660-7.
• Romanowski, Perry (2008). "Arithmetic". In Lerner, Brenda Wilmoth; Lerner, K. Lee (eds.). The Gale Encyclopedia of Science (4th ed.). Thompson Gale. ISBN 978-1-4144-2877-2.
• Rooney, Anne (2021). Think Like a Mathematician. The Rosen Publishing Group. ISBN 978-1-4994-7092-5.
• Rossi, Richard J. (2011). Theorems, Corollaries, Lemmas, and Methods of Proof. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-03057-8.
• Ruthven, Kenneth (2012). "12. Calculators in the Mathematics Curriculum: The Scope of Personal Computational Technology". In Bishop, Alan; Clements, M. A. (Ken); Keitel-Kreidt, Christine; Kilpatrick, Jeremy; Laborde, Colette (eds.). International Handbook of Mathematics Education. Springer Science & Business Media. ISBN 978-94-009-1465-0.
• Sally, Judith D.; Sally (Jr.), Paul J. (2012). Integers, Fractions, and Arithmetic: A Guide for Teachers. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-8798-1.
• Seaman, William; Rossler, Otto E.; Burgin, Mark (2023). Chaos, Information, And The Future Of Physics: The Seaman-rossler Dialogue With Information Perspectives By Burgin And Seaman. World Scientific. ISBN 978-981-12-7138-0.
• Shiva, Sajjan G. (2018). Introduction to Logic Design. CRC Press. ISBN 978-1-351-98983-1.
• Sierpinska, Anna; Lerman, Stephen (1996). "Epistemologies of Mathematics and of Mathematics Education". In Alan J. Bishop; Ken Clements; Christine Keitel; Jeremy Kilpatrick; Colette Laborde (eds.). International Handbook of Mathematics Education: Part 1. Kluwer International Handbooks of Education, vol. 4. Springer Netherlands. pp. 827–876. doi:10.1007/978-94-009-1465-0_23. ISBN 978-94-009-1465-0.
• Smith, David E. (1958). History of Mathematics. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-20430-7.
• Smyth, William (1864). Elementary Algebra: For Schools and Academies. Bailey and Noyes. OCLC 3901163143.
• Sophian, Catherine (2017). The Origins of Mathematical Knowledge in Childhood. Routledge. ISBN 978-1-351-54175-6.
• Sperling, Abraham; Stuart, Monroe (1981). Mathematics. Elsevier Science. ISBN 978-0-7506-0405-5.
• Stakhov, Alexey (2020). Mathematics Of Harmony As A New Interdisciplinary Direction And 'Golden' Paradigm Of Modern Science - Volume 2: Algorithmic Measurement Theory, Fibonacci And Golden Arithmetic's And Ternary Mirror-symmetrical Arithmetic. World Scientific. ISBN 978-981-12-1348-9.
• Sternberg, Robert J.; Ben-Zeev, Talia (2012). The Nature of Mathematical Thinking. Routledge. ISBN 978-1-136-48750-7.
• Stevenson, Angus; Waite, Maurice (2011). Concise Oxford English Dictionary: Luxury Edition. OUP Oxford. ISBN 978-0-19-960111-0.
• Stewart, David E. (2022). Numerical Analysis: A Graduate Course. Springer Nature. ISBN 978-3-031-08121-7.
• Strathern, Paul (2012). Turing And The Computer. Random House. ISBN 978-1-4481-0656-1.
• Swanson, Irena (2021). Introduction To Analysis With Complex Numbers. World Scientific. ISBN 978-981-12-2587-1.
• Swartzlander, Earl E. (2017). "High-Speed Computer Arithmetic". In Oklobdzija, Vojin G. (ed.). Digital Design and Fabrication. CRC Press. ISBN 978-0-8493-8604-6.
• Tarasov, Vasily (2008). Quantum Mechanics of Non-Hamiltonian and Dissipative Systems. Elsevier. ISBN 978-0-08-055971-1.
• Taylor, Joseph L. (2012). Foundations of Analysis. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-8984-8.
• Thiam, Thierno; Rochon, Gilbert (2019). Sustainability, Emerging Technologies, and Pan-Africanism. Springer Nature. ISBN 978-3-030-22180-5.
• Tiles, Mary (2009). "A Kantian Perspective on the Philosophy of Mathematics". In Irvine, Andrew D. (ed.). Philosophy of Mathematics. Elsevier. ISBN 978-0-08-093058-9.
• Uspenskii, V. A.; Semenov, A. L. (2001). "Solvable and Unsolvable Algorithmic Problems". In Tabachnikov, Serge (ed.). Kvant Selecta: Combinatorics, I: Combinatorics, I. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-2171-8.
• Vaccaro, Alfredo; Pepiciello, Antonio (2022). Affine Arithmetic-Based Methods for Uncertain Power System Analysis. Elsevier. ISBN 978-0-323-90503-9.
• Verschaffel, Lieven; Torbeyns, Joke; De Smedt, Bert (2011). "Mental Arithmetic". In Seel, Norbert M. (ed.). Encyclopedia of the Sciences of Learning. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4419-1427-9.
• Victoria Department of Education Staff (2023). "Numeracy for All Learners". www.education.vic.gov.au. Retrieved 22 November 2023.
• Vinogradov, A. I. (2019). "Algebraic Number Theory". Encyclopedia of Mathematics. Springer. Retrieved 23 October 2023.
• Vullo, Vincenzo (2020). Gears: Volume 3: A Concise History. Springer Nature. ISBN 978-3-030-40164-1.
• Waite, Maurice (2013). Pocket Oxford English Dictionary. OUP Oxford. ISBN 978-0-19-966615-7.
• Wallis, W. D. (2011). A Beginner's Guide to Discrete Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-8176-8286-6.
• Wallis, W. D. (2013). A Beginner's Guide to Discrete Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-3826-1.
• Wang, Hao (1997). A Logical Journey: From Gödel to Philosophy. MIT Press. ISBN 978-0-262-26125-8.
• Ward, J. P. (2012). Quaternions and Cayley Numbers: Algebra and Applications. Springer Science & Business Media. ISBN 978-94-011-5768-1.
• Wedell, Moritz (2015). "Numbers". In Classen, Albrecht (ed.). Handbook of Medieval Culture. Volume 2. Walter de Gruyter GmbH & Co KG. ISBN 978-3-11-037763-7.
• Weil, André (2009). Number Theory: An Approach Through History From Hammurapi to Legendre. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-8176-4571-7.
• Weir, Alan (2022). "Formalism in the Philosophy of Mathematics". The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Metaphysics Research Lab, Stanford University. Retrieved 22 November 2023.
• Wheater, Carolyn (2015). Algebra I. Dorling Kindersley Limited. ISBN 978-0-241-88779-0.
• Wilson, Robin (2020). Number Theory: A Very Short Introduction. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-879809-5.
• Райт, Роберт Дж.; Эллемор-Коллинз, Дэвид; Табор, Памела Д. (2011). Развитие знаний о числах: оценка, обучение и вмешательство в работу с детьми 7–11 лет. SAGE. ISBN 978-1-4462-8927-3.
• Сюй, Чживэй; Чжан, Цзялинь (2022). Вычислительное мышление: взгляд на компьютерную науку. Springer Nature. ISBN 978-981-16-3848-0.
• Ядин, Аарон (2016). Архитектура компьютерных систем. CRC Press. ISBN 978-1-315-35592-4.
• Ян, Сонг И. (2002). Теория чисел для вычислений . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-07710-4.
• Янь, Сонг И. (2013a). Вычислительная теория чисел и современная криптография. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-18858-3.
• Янг, Синтия И. (2010). Precalculus. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-75684-2.
• Янг, Синтия И. (2021). Алгебра и тригонометрия. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-119-77830-1.
• Чжан, Г. (2012). Логика доменов. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-0445-9.

Внешние ссылки