В математике алгебраическое уравнение или полиномиальное уравнение — это уравнение вида , где P — полином с коэффициентами в некотором поле , часто поле рациональных чисел . Например, — это алгебраическое уравнение с целыми коэффициентами и
является многомерным полиномиальным уравнением над рациональными числами. Для многих авторов термин алгебраическое уравнение относится только к одномерному случаю, то есть к полиномиальным уравнениям, которые включают только одну переменную . С другой стороны, полиномиальное уравнение может включать несколько переменных ( многомерный случай), в этом случае термин полиномиальное уравнение обычно предпочтительнее.
Некоторые, но не все полиномиальные уравнения с рациональными коэффициентами имеют решение, которое является алгебраическим выражением , которое можно найти с помощью конечного числа операций, включающих только те же типы коэффициентов (то есть, может быть решено алгебраически ). Это можно сделать для всех таких уравнений первой, второй, третьей или четвертой степени ; но для пятой или более степени это можно сделать только для некоторых уравнений, а не для всех . Большое количество исследований было посвящено вычислению эффективно точных приближений действительных или комплексных решений одномерного алгебраического уравнения (см. Алгоритм поиска корня ) и общих решений нескольких многомерных полиномиальных уравнений (см. Система полиномиальных уравнений ).
Термин «алгебраическое уравнение» появился в то время, когда основной проблемой алгебры было решение одномерных полиномиальных уравнений. Эта проблема была полностью решена в 19 веке; см. Основная теорема алгебры , Теорема Абеля–Руффини и Теория Галуа .
С тех пор область алгебры значительно расширилась. В частности, она включает изучение уравнений, включающих корни n-й степени и, в более общем смысле, алгебраические выражения . Это делает термин алгебраическое уравнение неоднозначным вне контекста старой проблемы. Поэтому термин полиномиальное уравнение обычно предпочтительнее, когда такая неоднозначность может возникнуть, особенно при рассмотрении многомерных уравнений.
Изучение алгебраических уравнений, вероятно, так же старо, как и математика: вавилонские математики еще в 2000 году до нашей эры могли решать некоторые виды квадратных уравнений (изображенные на древневавилонских глиняных табличках ).
Одномерные алгебраические уравнения над рациональными числами (т. е. с рациональными коэффициентами) имеют очень долгую историю. Древние математики хотели получить решения в виде радикальных выражений , как для положительного решения . Древние египтяне знали, как решать уравнения степени 2 таким образом. Индийский математик Брахмагупта (597–668 гг. н. э.) явно описал квадратную формулу в своем трактате Brāhmasphuṭasiddhānta, опубликованном в 628 г. н. э., но записанном словами, а не символами. В 9 веке Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми и другие исламские математики вывели квадратную формулу , общее решение уравнений степени 2, и признали важность дискриминанта . В эпоху Возрождения в 1545 году Джероламо Кардано опубликовал решение Сципиона дель Ферро и Никколо Фонтана Тартальи для уравнений степени 3 и решение Лодовико Феррари для уравнений степени 4. Наконец , в 1824 году Нильс Хенрик Абель доказал, что уравнения степени 5 и выше не имеют общих решений с использованием радикалов. Теория Галуа , названная в честь Эвариста Галуа , показала, что некоторые уравнения по крайней мере степени 5 даже не имеют идиосинкразического решения в радикалах, и дала критерии для определения того, действительно ли уравнение разрешимо с использованием радикалов.
Алгебраические уравнения являются основой ряда областей современной математики: Алгебраическая теория чисел — это изучение (одномерных) алгебраических уравнений над рациональными числами (то есть с рациональными коэффициентами). Теория Галуа была введена Эваристом Галуа для указания критериев для определения того, может ли алгебраическое уравнение быть решено в терминах радикалов. В теории поля алгебраическое расширение — это расширение, такое, что каждый элемент является корнем алгебраического уравнения над базовым полем. Трансцендентная теория чисел — это изучение действительных чисел, которые не являются решениями алгебраического уравнения над рациональными числами. Диофантово уравнение — это (обычно многомерное) полиномиальное уравнение с целыми коэффициентами, для которого интересны целые решения. Алгебраическая геометрия — это изучение решений в алгебраически замкнутом поле многомерных полиномиальных уравнений.
Два уравнения эквивалентны, если они имеют один и тот же набор решений . В частности, уравнение эквивалентно . Отсюда следует, что изучение алгебраических уравнений эквивалентно изучению многочленов.
Полиномиальное уравнение над рациональными числами всегда можно преобразовать в эквивалентное уравнение, в котором коэффициенты являются целыми числами . Например, умножая на 42 = 2·3·7 и группируя его члены в первом члене, ранее упомянутое полиномиальное уравнение становится
Поскольку синус , возведение в степень и 1/ T не являются полиномиальными функциями,
не является полиномиальным уравнением относительно четырех переменных x , y , z и T над рациональными числами. Однако это полиномиальное уравнение относительно трех переменных x , y , и z над полем элементарных функций относительно переменной T .
Дано уравнение относительно неизвестного x
с коэффициентами в поле K можно эквивалентно сказать, что решения (E) в K являются корнями в K многочлена
Можно показать, что многочлен степени n в поле имеет не более n корней. Таким образом, уравнение (E) имеет не более n решений.
Если K' является расширением поля K , можно считать (E) уравнением с коэффициентами в K , а решения (E) в K также являются решениями в K' (обратное в общем случае не выполняется). Всегда можно найти расширение поля K , известное как поле разрыва многочлена P , в котором (E) имеет по крайней мере одно решение.
Основная теорема алгебры утверждает, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто, то есть все полиномиальные уравнения с комплексными коэффициентами и степенью не ниже первой имеют решение.
Отсюда следует, что все полиномиальные уравнения степени 1 и выше с действительными коэффициентами имеют комплексное решение. С другой стороны, такое уравнение не имеет решения в (решениями являются мнимые единицы i и –i ).
В то время как действительные решения действительных уравнений интуитивно понятны (это x -координаты точек, где кривая y = P ( x ) пересекает ось x ), существование сложных решений действительных уравнений может оказаться неожиданным и менее простым для визуализации.
Однако монический многочлен нечетной степени обязательно должен иметь действительный корень. Соответствующая полиномиальная функция по x непрерывна и приближается к , когда x приближается и когда x приближается к . По теореме о промежуточном значении она должна, следовательно, принимать значение ноль при некотором действительном x , которое затем является решением полиномиального уравнения.
Существуют формулы, дающие решения действительных или комплексных многочленов степени, меньшей или равной четвёртой, как функции их коэффициентов. Абель показал, что невозможно найти такую формулу в общем случае (используя только четыре арифметических действия и извлечение корней) для уравнений пятой степени или выше. Теория Галуа даёт критерий, который позволяет определить, можно ли выразить решение данного многочленного уравнения с помощью радикалов.
Явное решение действительного или комплексного уравнения степени 1 тривиально. Решение уравнения более высокой степени n сводится к факторизации соответствующего полинома, то есть к переписыванию (E) в виде
где решения тогда . Проблема тогда состоит в том, чтобы выразить через .
Этот подход применяется в более общем случае, если коэффициенты и решения принадлежат целочисленной области .
Если уравнение P ( x ) = 0 степени n имеет рациональный корень α , соответствующий многочлен можно разложить на множители, чтобы получить вид P ( X ) = ( X – α) Q ( X ) (путем деления P ( X ) на X – α или путем записи P ( X ) – P (α) в виде линейной комбинации членов вида X k – α k и вынесения X – α за скобки . Таким образом, решение P ( x ) = 0 сводится к решению уравнения степени n – 1 Q ( x ) = 0 . См., например, случай n = 3 .
Чтобы решить уравнение степени n ,
обычным предварительным шагом является исключение члена степени n - 1 : положив , уравнение (E) становится
Леонард Эйлер разработал эту технику для случая n = 3 , но она применима и к случаю n = 4 , например.
Для решения квадратного уравнения вида вычисляется дискриминант Δ, определяемый формулой .
Если многочлен имеет действительные коэффициенты, то он имеет:
Наиболее известным методом решения кубических уравнений путем записи корней через радикалы является формула Кардано .
Подробное обсуждение некоторых методов решения см. здесь:
Уравнение четвертой степени с можно свести к квадратному уравнению заменой переменной при условии, что оно является либо биквадратным ( b = d = 0 ), либо квазипалиндромным ( e = a , d = b ).
Некоторые кубические и четвертые уравнения можно решить с помощью тригонометрии или гиперболических функций .
Эварист Галуа и Нильс Хенрик Абель независимо друг от друга показали, что в общем случае многочлен степени 5 или выше неразрешим с использованием радикалов. Некоторые частные уравнения имеют решения, например, связанные с циклотомическими многочленами степеней 5 и 17.
С другой стороны, Шарль Эрмит показал, что многочлены пятой степени разрешимы с помощью эллиптических функций .
В противном случае можно найти численные приближения корней, используя алгоритмы поиска корней , такие как метод Ньютона .
![{\displaystyle P=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\dots +a_{1}X+a_{0}\quad \in K[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94ca967bd025982b4e757a91b0bc4e544f19e9d0)
