Алгебраически замкнутое поле

В математике поле $F$ является алгебраически замкнутым , если каждый непостоянный многочлен из $F$ $[$ $x$ $]$ ( кольцо одномерных многочленов с коэффициентами из F $)$ имеет корень в $F.$

Примеры

Например, поле действительных чисел не является алгебраически замкнутым, поскольку полиномиальное уравнение не имеет решения в действительных числах, хотя все его коэффициенты (1 и 0) действительны. Тот же аргумент доказывает, что ни одно подполе вещественного поля не является алгебраически замкнутым; в частности, поле рациональных чисел не является алгебраически замкнутым. Напротив, основная теорема алгебры утверждает, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто. Другим примером алгебраически замкнутого поля является поле (комплексных) алгебраических чисел . $x^{2}+1=0$

Никакое конечное поле F не является алгебраически замкнутым, потому что если a ₁ , a ₂ , ..., a _n являются элементами F , то многочлен ( x − a ₁ )( x − a ₂ ) ⋯ ( x − a _n ) +1 не имеет нуля в F. Однако объединение всех конечных полей фиксированной характеристики p представляет собой алгебраически замкнутое поле, которое фактически является алгебраическим замыканием поля с p элементами. $\mathbb {F} _{p}$

Эквивалентные свойства

Для поля F утверждение « F алгебраически замкнуто» эквивалентно другим утверждениям:

Единственные неприводимые многочлены — это полиномы первой степени.

Поле F алгебраически замкнуто тогда и только тогда, когда единственные неприводимые многочлены в кольце многочленов F [ x ] имеют степень один.

Утверждение «многочлены первой степени неприводимы» тривиально верно для любого поля. Если F алгебраически замкнут и p ( x ) — неприводимый многочлен от F [ x ], то он имеет некоторый корень a и, следовательно, p ( x ) кратен x − a . Поскольку p ( x ) неприводим, это означает, что p ( x ) = k ( x − a ) для некоторого k ∈ F \ {0}. С другой стороны, если F не является алгебраически замкнутым, то существует некоторый непостоянный многочлен p ( x ) в F [ x ] без корней в F. Пусть q ( x ) — некоторый неприводимый множитель p ( x ). Поскольку p ( x ) не имеет корней в F , q ( x ) также не имеет корней в F. Следовательно, q ( x ) имеет степень больше единицы, поскольку каждый многочлен первой степени имеет один корень в F.

Любой многочлен является произведением многочленов первой степени.

Поле F алгебраически замкнуто тогда и только тогда, когда каждый многочлен p ( x ) степени n ≥ 1 с коэффициентами из F распадается на линейные множители . Другими словами, существуют элементы k , x ₁ , x ₂ , ..., x _n поля F такие, что p ( x ) = k ( x - x ₁ )( x - x ₂ ) ⋯ ( x - x _н ).

Если F обладает этим свойством, то очевидно, что каждый непостоянный многочлен из F [ x ] имеет некоторый корень в F ; другими словами, F алгебраически замкнуто. С другой стороны, изложенное здесь свойство справедливо для F , если F алгебраически замкнуто, следует из предыдущего свойства вместе с тем фактом, что для любого поля K любой многочлен из K [ x ] можно записать как произведение неприводимых многочленов. .

Многочлены простой степени имеют корни

Если каждый многочлен над F простой степени имеет корень в F , то каждый непостоянный многочлен имеет корень в F. ^[1] Отсюда следует, что поле алгебраически замкнуто тогда и только тогда, когда каждый многочлен над F простой степени имеет корень в F .

Поле не имеет собственного алгебраического расширения.

Поле F алгебраически замкнуто тогда и только тогда, когда оно не имеет собственного алгебраического расширения .

Если F не имеет собственного алгебраического расширения, пусть p ( x ) — некоторый неприводимый многочлен из F [ x ]. Тогда фактор F [ x ] по модулю идеала , порожденного p ( x ), является алгебраическим расширением F , степень которого равна степени p ( x ). Поскольку это не собственное расширение, его степень равна 1 и, следовательно, степень p ( x ) равна 1.

С другой стороны, если F имеет некоторое собственное алгебраическое расширение K , то минимальный многочлен элемента из K \ F неприводим и его степень больше 1.

Поле не имеет собственного конечного расширения

Поле F является алгебраически замкнутым тогда и только тогда, когда оно не имеет собственного конечного расширения , потому что если в предыдущем доказательстве термин «алгебраическое расширение» заменен термином «конечное расширение», то доказательство остается действительным. (Конечные расширения обязательно алгебраичны.)

Каждый эндоморфизм Fn имеет некоторый собственный вектор

Поле F алгебраически замкнуто тогда и только тогда, когда для каждого натурального числа n каждое линейное отображение F n ^в себя имеет некоторый собственный вектор .

Эндоморфизм F ⁿ имеет собственный вектор тогда и только тогда, когда его характеристический многочлен имеет некоторый корень. Следовательно, когда F алгебраически замкнуто, каждый эндоморфизм F ⁿ имеет некоторый собственный вектор. С другой стороны, если каждый эндоморфизм F ⁿ имеет собственный вектор, пусть p ( x ) будет элементом F [ x ]. Разделив на старший коэффициент, мы получим другой многочлен q ( x ), который имеет корни тогда и только тогда, когда p ( x ) имеет корни. Но если q ( x ) = x ⁿ + a _{n - 1}x ^{n - 1} + ⋯ + a ₀ , то q ( x ) является характеристическим полиномом сопутствующей матрицы размера n × n

{\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0&-a_{0}\\1&0&\cdots &0&-a_{1}\\0&1&\cdots &0&-a_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&-a_{n-1}\end{pmatrix}}.

Разложение рациональных выражений

Поле F является алгебраически замкнутым тогда и только тогда, когда каждая рациональная функция от одной переменной x с коэффициентами из F может быть записана как сумма полиномиальной функции с рациональными функциями вида a /( x − b ) ⁿ , где n — натуральное число, а a и b — элементы F .

Если F алгебраически замкнуто, то, поскольку все неприводимые многочлены в F [ x ] имеют степень 1, указанное выше свойство выполняется по теореме о разложении в частные дроби .

С другой стороны, предположим, что указанное выше свойство выполнено для поля F . Пусть p ( x ) — неприводимый элемент в F [ x ]. Тогда рациональную функцию 1/ p можно записать как сумму полиномиальной функции q с рациональными функциями вида a /( x – b ) ⁿ . Следовательно, рациональное выражение

{\frac {1}{p(x)}}-q(x)={\frac {1-p(x)q(x)}{p(x)}}

может быть записано как частное двух многочленов, в которых знаменатель является произведением многочленов первой степени. Поскольку p ( x ) неприводимо, оно должно делить это произведение и, следовательно, также должно быть полиномом первой степени.

Относительно простые многочлены и корни

Для любого поля F , если два многочлена p ( x ), q ( x ) ∈ F [ x ] относительно просты , то они не имеют общего корня, ибо если a ∈ F был общим корнем, то p ( x ) и оба q ( x ) будут кратны x − a и, следовательно, они не будут относительно простыми. Поля, для которых справедлива обратная импликация (то есть поля, в которых всякий раз, когда два многочлена не имеют общего корня, они взаимно просты), являются в точности алгебраически замкнутыми полями.

Если поле F алгебраически замкнуто, пусть p ( x ) и q ( x ) — два многочлена, которые не являются взаимно простыми, и пусть r ( x ) — их наибольший общий делитель . Тогда, поскольку r ( x ) не является константой, он будет иметь некоторый корень a , который будет тогда общим корнем p ( x ) и q ( x ).

Если F не является алгебраически замкнутым, пусть p ( x ) — многочлен степени не ниже 1 без корней. Тогда p ( x ) и p ( x ) не взаимно просты, но не имеют общих корней (поскольку ни один из них не имеет корней).

Другие объекты недвижимости

Если F — алгебраически замкнутое поле и n — натуральное число, то F содержит все корни n -й степени из единицы, поскольку это (по определению) n (не обязательно различные) нули многочлена x ⁿ - 1. Расширение поля , содержащееся в расширении, порожденном корнями из единицы, является круговым расширением , а расширение поля, порожденного всеми корнями из единицы, иногда называют его круговым замыканием . Таким образом, алгебраически замкнутые поля являются круговыми. Обратное неверно. Даже если предположить, что каждый многочлен вида x ⁿ − a распадается на линейные множители, этого недостаточно, чтобы гарантировать алгебраически замкнутость поля.

Если предложение, которое можно выразить на языке логики первого порядка, истинно для алгебраически замкнутого поля, то оно истинно для всякого алгебраически замкнутого поля с той же характеристикой . Более того, если такое предложение справедливо для алгебраически замкнутого поля с характеристикой 0, то оно справедливо не только для всех других алгебраически замкнутых полей с характеристикой 0, но существует некоторое натуральное число N такое, что предложение справедливо для любого алгебраически замкнутого поля с характеристикой 0. поле с характеристикой p при p > N. ^[2]

Каждое поле F имеет некоторое расширение, алгебраически замкнутое. Такое расширение называется алгебраически замкнутым расширением . Среди всех таких расширений есть одно и только одно ( с точностью до изоморфизма , но не единственного изоморфизма ), которое является алгебраическим расширением F ; ^[3] оно называется алгебраическим замыканием F .

Теория алгебраически замкнутых полей допускает устранение кванторов .

Примечания

^ Шипман, Дж. Улучшение фундаментальной теоремы алгебры The Mathematical Intelligencer , том 29 (2007), номер 4. стр. 9–14.
^ См. подразделы «Кольца и поля» и « Свойства математических теорий» в §2 книги Дж. Барвайза «Введение в логику первого порядка».
^ См. « Алгебру Ланга» , §VII.2 или «Алгебру I» ван дер Вардена , §10.1.