По сути уникальный

В математике термин «по существу уникальный» используется для описания более слабой формы уникальности, когда объект, удовлетворяющий некоторому свойству, является «уникальным» только в том смысле, что все объекты, удовлетворяющие этому свойству, эквивалентны друг другу. Понятие существенной уникальности предполагает некоторую форму «одинаковости», которая часто формализуется с помощью отношения эквивалентности .

Родственное понятие — это универсальное свойство , при котором объект не только по существу уникален, но и уникален с точностью до единственного изоморфизма ^[1] (то есть он имеет тривиальную группу автоморфизмов ). В общем, между примерами существенно уникального объекта может быть более одного изоморфизма.

Примеры

Теория множеств

На самом базовом уровне существует по существу уникальный набор любой заданной мощности , независимо от того, маркируются ли элементы или . В этом случае неединственность изоморфизма (например, совпадение 1 с или 1 с ) отражается в симметричной группе . ${\displaystyle \{1,2,3\}}$ ${\displaystyle \{a,b,c\}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle c}$

С другой стороны, существует по существу единственное полностью упорядоченное множество любой заданной конечной мощности, уникальное с точностью до уникального изоморфизма: если написать и , то единственным сохраняющим порядок изоморфизмом является тот, который отображает 1 в , 2 в , и 3 до . ${\displaystyle \{1<2<3\}}$ ${\displaystyle \{a<b<c\}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

Теория чисел

Основная теорема арифметики устанавливает, что разложение любого натурального числа на простые числа по существу уникально, т. е. уникально с точностью до порядка простых множителей . ^{[2] [3]}

Теория групп

В контексте классификации групп существует по существу уникальная группа, содержащая ровно 2 элемента. ^[3] Точно так же существует по существу единственная группа, содержащая ровно 3 элемента: циклическая группа третьего порядка. Фактически, независимо от того, как вы решите записать три элемента и обозначить групповую операцию, можно показать, что все такие группы изоморфны друг другу и, следовательно, «одинаковы».

С другой стороны, не существует по существу единственной группы ровно из 4 элементов, так как в этом случае имеется всего две неизоморфные группы: циклическая группа порядка 4 и четырехгруппа Клейна . ^[4]

Теория меры

Существует существенно единственная мера, трансляционно - инвариантная , строго положительная и локально конечная на вещественной прямой . Фактически, любая такая мера должна быть постоянным кратным мере Лебега , указывая, что мера единичного интервала должна быть равна 1 — прежде чем однозначно определить решение.

Топология

Существует по существу единственное двумерное, компактное , односвязное многообразие : 2-сфера . В этом случае оно единственно с точностью до гомеоморфизма .

В области топологии, известной как теория узлов , существует аналог основной теоремы арифметики: разложение узла в сумму простых узлов по существу однозначно. ^[5]

Теория лжи

Максимальная компактная подгруппа полупростой группы Ли может быть не единственной, но единственной с точностью до сопряжения .

Теория категорий

Объект, который является пределом или копределом по данной диаграмме, по существу уникален, поскольку существует уникальный изоморфизм любому другому предельному/копредельному объекту. ^[6]

Теория кодирования

Учитывая задачу использования 24- битных слов для хранения 12 бит информации таким образом, чтобы можно было обнаружить 7-битные ошибки и исправить 3-битные ошибки, решение по сути уникальное: расширенный двоичный код Голея . ^[7]

Смотрите также

• Классификационная теорема
• По модулю — математический термин, относящийся к эквивалентности объектов.
• Универсальная собственность
• Вплоть до

Рекомендации

1. «Всеобщая собственность - Математическая энциклопедия». www.энциклопедияofmath.org . Проверено 22 ноября 2019 г.
2. Гарнье, Роуэн; Тейлор, Джон (9 ноября 2009 г.). Дискретная математика: доказательства, структуры и приложения, третье издание. ЦРК Пресс. п. 452. ИСБН 9781439812808.
3. Вайсштейн, Эрик В. «По сути уникальный». mathworld.wolfram.com . Проверено 22 ноября 2019 г.
4. Корри, Скотт. «Классификация групп порядка n ≤ 8» (PDF) . Университет Лоуренса . Проверено 21 ноября 2019 г.
5. Ликориш, В.Б. Рэймонд (6 декабря 2012 г.). Введение в теорию узлов. Springer Science & Business Media. ISBN 9781461206910.
6. «Ограничение в nLab» . ncatlab.org . Проверено 22 ноября 2019 г.
7. Баэз, Джон (1 декабря 2015 г.). «Код Голея». Визуальное понимание . Американское математическое общество . Проверено 2 декабря 2017 г.