В математике эндоморфизм — это морфизм математического объекта в себя. Эндоморфизм, который также является изоморфизмом, называется автоморфизмом . Например, эндоморфизм векторного пространства V — это линейное отображение f : V → V , а эндоморфизм группы G — это гомоморфизм групп f : G → G . В общем случае можно говорить об эндоморфизмах в любой категории . В категории множеств эндоморфизмы — это функции из множества S в себя.
В любой категории композиция любых двух эндоморфизмов X снова является эндоморфизмом X. Отсюда следует, что множество всех эндоморфизмов X образует моноид , полный моноид преобразований , и обозначается End( X ) (или End C ( X ), чтобы подчеркнуть категорию C ).
Обратимый эндоморфизм X называется автоморфизмом . Множество всех автоморфизмов является подмножеством End ( X ) с групповой структурой , называемой группой автоморфизмов X и обозначаемой Aut( X ) . На следующей диаграмме стрелки обозначают импликацию :
Любые два эндоморфизма абелевой группы A можно сложить по правилу ( f + g )( a ) = f ( a ) + g ( a ) . При этом сложении и с умножением, определяемым как композиция функций, эндоморфизмы абелевой группы образуют кольцо ( кольцо эндоморфизмов ). Например, множество эндоморфизмов является кольцом всех матриц n × n с целыми элементами. Эндоморфизмы векторного пространства или модуля также образуют кольцо, как и эндоморфизмы любого объекта в предаддитивной категории . Эндоморфизмы неабелевой группы порождают алгебраическую структуру, известную как почти кольцо . Каждое кольцо с единицей является кольцом эндоморфизмов своего регулярного модуля , и поэтому является подкольцом кольца эндоморфизмов абелевой группы; [1] однако существуют кольца, которые не являются кольцом эндоморфизмов никакой абелевой группы.
В любой конкретной категории , особенно для векторных пространств , эндоморфизмы являются отображениями множества в себя и могут интерпретироваться как унарные операторы на этом множестве, действующие на элементы и позволяющие определить понятие орбит элементов и т. д.
В зависимости от дополнительной структуры, определенной для рассматриваемой категории ( топология , метрика , ...), такие операторы могут обладать такими свойствами, как непрерывность , ограниченность и т. д. Более подробную информацию можно найти в статье о теории операторов .
Эндофункция — это функция, область определения которой равна ее области определения . Гомоморфная эндофункция — это эндоморфизм.
Пусть S — произвольное множество. Среди эндофункций на S можно найти перестановки S и константные функции , сопоставляющие каждому x в S один и тот же элемент c в S. Каждая перестановка S имеет область значений, равную ее области значений, и является биективной и обратимой. Если S имеет более одного элемента, константная функция на S имеет образ , который является собственным подмножеством ее области значений, и, таким образом, не является биективной (и, следовательно, необратимой). Функция, сопоставляющая каждому натуральному числу n пол числа n /2, имеет свой образ, равный ее области значений, и не является обратимой.
Конечные эндофункции эквивалентны направленным псевдолесам . Для множеств размера n на множестве имеется n n эндофункций.
Частными примерами биективных эндофункций являются инволюции , т. е. функции, совпадающие со своими обратными.
