Коэффициентное кольцо

Приведение кольца к одному из его идеалов

В теории колец , ответвлении абстрактной алгебры , факторкольцо , также известное как факторкольцо , разностное кольцо ^[1] или кольцо классов вычетов , представляет собой конструкцию, очень похожую на факторгруппу в теории групп и на факторпространство в линейной алгебре. . ^{[2] [3]} Это конкретный пример фактора , если смотреть с общей точки зрения универсальной алгебры . Начиная с кольца R и двустороннего идеала I в R , строится новое кольцо, факторкольцо R / I , элементы которого являются смежными классами I в R , подвергающимися специальным операциям + и ⋅ . ( В записи частных колец используется только косая черта «/», а не горизонтальная черта дроби .)

Факторкольца отличаются от так называемого «поля частных» или поля частных области целостности , а также от более общих «колец частных», полученных путем локализации .

Формальная конструкция факторкольца

Учитывая кольцо и двусторонний идеал в , мы можем определить отношение эквивалентности следующим образом: ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle a\sim b}$ тогда и только тогда, когда находится в . ${\displaystyle a-b}$ ${\displaystyle I}$

Используя идеальные свойства, нетрудно проверить, что это отношение конгруэнтности . В случае мы говорим, что и конгруэнтны по модулю . Класс эквивалентности элемента in определяется выражением ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle a\sim b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle [a]=a+I:=\{a+r:r\in I\}}$.

Этот класс эквивалентности также иногда называют «классом вычета по модулю ». ${\displaystyle a{\bmod {I}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle I}$

Множество всех таких классов эквивалентности обозначается ; оно становится кольцом, факторкольцом или факторкольцом по модулю , если определить ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$

• ${\displaystyle (a+I)+(b+I)=(a+b)+I}$;
• ${\displaystyle (a+I)(b+I)=(ab)+I}$.

(Здесь нужно проверить, что эти определения четко определены . Сравните смежный класс и факторгруппу .) Нулевой элемент есть и мультипликативное тождество есть . ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle {\bar {0}}=(0+I)=I}$ ${\displaystyle {\bar {1}}=(1+I)}$

Отображение от до, определенное как, является сюръективным кольцевым гомоморфизмом , иногда называемым естественным фактор-отображением или каноническим гомоморфизмом . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle p(a)=a+I}$

Примеры

• Факторкольцо естественно изоморфно , и является нулевым кольцом , поскольку по нашему определению для любого мы имеем то , которое равно самому себе. Это согласуется с эмпирическим правилом: чем больше идеал , тем меньше факторкольцо . Если – собственный идеал , т. е. , то не является нулевым кольцом. ${\displaystyle R/\!\left\{0\right\}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R/\!R}$ ${\displaystyle \left\{0\right\}}$ ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle \left[r\right]=r+R=\left\{r+b:b\in R\right\}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I\neq R}$ ${\displaystyle R/I}$
• Рассмотрим кольцо целых чисел и идеал четных чисел , обозначаемый . Тогда факторкольцо имеет только два элемента: смежный класс, состоящий из четных чисел, и смежный класс, состоящий из нечетных чисел; применяя определение, , где – идеал четных чисел. Оно естественно изоморфно конечному полю с двумя элементами . Интуитивно: если вы думаете обо всех четных числах как о , то каждое целое число либо (если оно четное), либо (если оно нечетное и, следовательно, отличается от четного числа на ). Модульная арифметика — это, по сути, арифметика в факторкольце (которое имеет элементы). ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 0+2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 1+2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \left[z\right]=z+2\mathbb {Z} =\left\{z+2y:2y\in 2\mathbb {Z} \right\}}$ ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$
• Теперь рассмотрим кольцо многочленов от переменной с вещественными коэффициентами , и идеал, состоящий из всех кратных многочлена . Факторкольцо естественно изоморфно полю комплексных чисел , при этом класс играет роль мнимой единицы . Причина в том, что мы «принудили» , т.е. это является определяющим свойством . Поскольку любой целочисленный показатель должен быть либо или , это означает, что все возможные многочлены существенно упрощаются до вида . (Для пояснения: факторкольцо на самом деле естественно изоморфно полю всех линейных многочленов , , где выполняются операции . В свою очередь, мы имеем , и это соответствует мнимой единице в изоморфном поле комплексных чисел.) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \left[X\right]}$ ${\displaystyle I=\left(X^{2}+1\right)}$ ${\displaystyle X^{2}+1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \left[X\right]/\left(X^{2}+1\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle [X]}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle X^{2}+1=0}$ ${\displaystyle X^{2}=-1}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \pm i}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle a+bi}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \left[X\right]/\left(X^{2}+1\right)}$ ${\displaystyle aX+b}$ ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\textrm {mod}}\left(X^{2}+1\right)}$ ${\displaystyle X^{2}=-1}$ ${\displaystyle X}$
• Обобщая предыдущий пример, факторкольца часто используются для построения расширений полей . Предположим, что K — некоторое поле и f — неприводимый многочлен из K [ X ]. Тогда L = K [ X ]/( f ) — поле, минимальный полином которого над K равен f , которое содержит K , а также элемент x = X + ( f ) .
• Важным примером предыдущего примера является построение конечных полей. Рассмотрим, например, поле F ₃ = Z /3 Z с тремя элементами. Многочлен f ( X ) = X ² + 1 неприводим над F ₃ (поскольку он не имеет корня), и мы можем построить факторкольцо F ₃ [ X ] / ( f ) . Это поле с 3 ² = 9 элементами, обозначаемое F ₉ . Остальные конечные поля могут быть построены аналогичным образом.
• Координатные кольца алгебраических многообразий — важные примеры факторколец в алгебраической геометрии . В качестве простого случая рассмотрим вещественное многообразие V = {( x , y ) | x ² знак равно y ³  } как подмножество вещественной плоскости R ² . Кольцо вещественных полиномиальных функций, определенных на V , можно отождествить с факторкольцом R [ X , Y ] / ( X ² − Y ³ ) , и это координатное кольцо V . Многообразие V теперь исследуется путем изучения его координатного кольца.
• Предположим, ^что M — C∞ - многообразие , а p — точка M. Рассмотрим кольцо R = C∞ ⁽ M ) всех C∞ ^- функций, определенных на M , и пусть I — идеал в R , состоящий из тех функций f , которые тождественно равны нулю в некоторой окрестности U точки p (где U может зависеть от f ). . Тогда фактор-кольцо R / I является кольцом ростков C∞ -функций на M в ^точке p .
• Рассмотрим кольцо F конечных элементов гипердействительного поля * R . Он состоит из всех гипердействительных чисел, отличающихся от стандартного действительного на бесконечно малую величину, или, что то же самое: из всех гипердействительных чисел x , для которых существует стандартное целое число n с − n < x < n . Множество I всех бесконечно малых чисел в * R вместе с 0 является идеалом в F , а фактор-кольцо F / I изоморфно действительным числам R. Изоморфизм индуцируется путем сопоставления каждому элементу x из F стандартной части x , т.е. уникального действительного числа, которое отличается от x на бесконечно малую величину. Фактически, можно получить тот же результат, а именно R , если начать с кольца F конечных гиперрациональных чисел (т.е. отношения пары гиперцелых чисел ), см. построение действительных чисел .

Вариации сложных плоскостей

Факторы R [ X ]/( X ) , R [X]/( X + 1) и R [ X ]/( X - 1) изоморфны R и поначалу не представляют особого интереса. Но заметим, что ^R [ X ] /( X2 ) называется двойственной числовой плоскостью в геометрической алгебре. Он состоит только из линейных биномов как «остатков ^» после уменьшения элемента R [ X ] на X2 . Эта вариация комплексной плоскости возникает как подалгебра всякий раз, когда алгебра содержит вещественную прямую и нильпотент .

Более того, кольцевой фактор R [ X ] / ( X ² − 1) распадается на R [ X ] / ( X + 1) и R [ X ] / ( X − 1 ) , поэтому это кольцо часто рассматривается как прямое кольцо. сумма р ⊕ р . Тем не менее, вариация комплексных чисел z = x + y j предполагает, что j является корнем X ² − 1 по сравнению с i как корнем X ² + 1 = 0 . Эта плоскость расщепленных комплексных чисел нормализует прямую сумму R ⊕ R , обеспечивая базис {1, j} для 2-пространства, где единица алгебры находится на единичном расстоянии от нуля. На этом основании единичную гиперболу можно сравнить с единичным кругом обычной комплексной плоскости .

Кватернионы и вариации

Предположим, что X и Y — два некоммутирующих неопределенных числа, образующие свободную алгебру R ⟨ X , Y ⟩ . Тогда кватернионы Гамильтона 1843 года можно записать как

${\displaystyle \mathbf {R} \langle X,Y\rangle /(X^{2}+1,Y^{2}+1,XY+YX).}$

Если Y ² - 1 заменить на Y ² + 1 , то получится кольцо расщепленных кватернионов . Антикоммутативное свойство YX = − XY означает, что XY имеет в качестве квадрата

( XY )( XY ) = X ( YX ) Y = - X ( XY ) Y = - ( XX )( YY ) = -(-1)(+1) = +1.

Замена минуса на плюс в обоих квадратных биномах также приводит к расщеплению кватернионов.

Три типа бикватернионов также можно записать как факторы с помощью свободной алгебры с тремя неопределенными R ⟨ X , Y , Z ⟩ и построения соответствующих идеалов.

Характеристики

Ясно, что если R — коммутативное кольцо , то и R / I — коммутативное ; обратное, однако, в целом неверно.

Естественное фактор-отображение p имеет I в качестве своего ядра ; поскольку ядро ​​всякого гомоморфизма колец является двусторонним идеалом, мы можем утверждать, что двусторонние идеалы являются в точности ядрами гомоморфизмов колец.

Тесную связь между кольцевыми гомоморфизмами, ядрами и факторкольцами можно резюмировать следующим образом: кольцевые гомоморфизмы, определенные на R/I , по существу такие же, как кольцевые гомоморфизмы, определенные на R, которые обращаются в нуль (т. е. равны нулю) на I. Точнее, для двустороннего идеала I в R и кольцевого гомоморфизма f  : R → S , ядро ​​которого содержит I , существует ровно один кольцевой гомоморфизм g  : R / I → S с gp = f (где p — натуральный фактор карта). Отображение g здесь задается четко определенным правилом g ([ a ]) = f ( a ) для всех a в R . Действительно, это универсальное свойство можно использовать для определения фактор-колец и их естественных фактор-отображений.

Как следствие вышесказанного, получаем фундаментальное утверждение: каждый гомоморфизм колец f  : R → S индуцирует кольцевой изоморфизм между фактор-кольцом R /ker( f ) и образом im( f ). (См. также: Основная теорема о гомоморфизмах .)

Идеалы R и R / I тесно связаны: естественное фактор-отображение обеспечивает биекцию между двусторонними идеалами R , содержащими I , и двусторонними идеалами R / I (то же самое верно для левого и правого идеалы). Эта связь между двусторонним идеалом распространяется на связь между соответствующими факторкольцами: если M — двусторонний идеал в R , который содержит I , и мы пишем M / I для соответствующего идеала в R / I (т. е. M / I = p ( M ) ), факторкольца R / M и ( R / I )/( M / I ) естественно изоморфны посредством (корректно определенного!) отображения a + M ↦ ( a + I ) + M / I .

Следующие факты оказываются полезными в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии : для коммутативного R ≠ {0} R / I является полем тогда и только тогда, когда I является максимальным идеалом , а R / I является областью целостности тогда и только тогда, когда I первичный идеал . Ряд подобных утверждений связывают свойства идеала I со свойствами факторкольца R / I .

Китайская теорема об остатках утверждает, что если идеал I является пересечением (или, что то же самое, произведением) попарно взаимно простых идеалов I ₁ , ..., I _k , то фактор-кольцо R / I изоморфно произведению фактор -кольца кольца R / I _n , n = 1, ..., k .

Для алгебр над кольцом

Ассоциативная алгебра A над коммутативным кольцом  R сама является кольцом. Если I — идеал в  A (замкнутый относительно R -умножения), то A  /  I наследует структуру алгебры над  R и является фактор-алгеброй .

Смотрите также

• Связанное градуированное кольцо
• Поле остатка
• Теорема Голди
• Модуль коэффициентов

Примечания

1. Джейкобсон, Натан (1984). Структура колец (переработанная ред.). Американское математическое соц. ISBN 0-821-87470-5.
2. Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья . ISBN 0-471-43334-9.
3. Ланг, Серж (2002). Алгебра . Тексты для аспирантов по математике . Спрингер . ISBN 0-387-95385-Х.

Дальнейшие ссылки

• Ф. Каш (1978) Moduln und Ringe , перевод Д.А.Р. Уоллеса (1982) Модули и кольца , Academic Press , стр. 33.
• Нил Х. Маккой (1948) Кольца и идеалы , §13 Кольца классов вычетов, стр. 61, Математические монографии Каруса № 8, Математическая ассоциация Америки .
• Джозеф Ротман (1998). Теория Галуа (2-е изд.). Спрингер. стр. 21–3. ISBN 0-387-98541-7.
• Б.Л. ван дер Варден (1970) Алгебра , перевод Фреда Блюма и Джона Р. Шуленбергера, издательство Frederick Ungar Publishing, Нью-Йорк. См. главу 3.5, «Идеалы. Кольца классов вычетов», стр. 47–51.

Внешние ссылки

• «Частное кольцо», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Идеалы и факторные кольца из «Абстрактной алгебры онлайн» Джона Бичи