В математике произведение колец или прямое произведение колец — это кольцо , образованное декартовым произведением базовых множеств нескольких колец (возможно, бесконечности), снабженных покомпонентными операциями . Это прямой продукт в категории колец .
Поскольку прямые произведения определены с точностью до изоморфизма , в разговорной речи говорят , что кольцо является произведением некоторых колец, если оно изоморфно прямому произведению этих колец. Например, китайская теорема об остатках может быть сформулирована так: если m и n — взаимно простые целые числа , факторкольцо является произведением и
Важным примером является Z / n Z , кольцо целых чисел по модулю n . Если n записано в виде произведения степеней простых чисел (см. Основную теорему арифметики ),
где pi — различные простые числа , то Z / n Z естественным образом изоморфно произведению
Это следует из китайской теоремы об остатках .
Если R = Π i ∈ I R i — произведение колец, то для каждого i из I существует сюръективный гомоморфизм колец p i : R → R i , который проецирует произведение на i-ю координату. Произведение R вместе с проекциями pi обладает следующим универсальным свойством :
Это показывает, что произведение колец является примером произведения в смысле теории категорий .
Когда I конечно, основная аддитивная группа Π i ∈ I R i совпадает с прямой суммой аддитивных групп R i . При этом некоторые авторы называют R «прямой суммой колец R i » и пишут ⊕ i ∈ I R i , но это неверно с точки зрения теории категорий , поскольку оно обычно не является копроизведением в категории колец (с единицей): например, когда два или более из R i нетривиальны , отображение включения R i → R не может отобразить 1 в 1 и, следовательно, не является гомоморфизмом колец .
(Конечное копроизведение в категории коммутативных алгебр над коммутативным кольцом — это тензорное произведение алгебр . Копроизведение в категории алгебр — свободное произведение алгебр .)
Прямые произведения коммутативны и ассоциативны с точностью до естественного изоморфизма, а это означает, что не имеет значения, в каком порядке формировать прямой продукт.
Если A i — идеал R i для каждого i из I , то A = Π i ∈ I A i — идеал R . Если I конечно, то верно обратное , т. е. каждый идеал в R имеет этот вид. Однако если I бесконечно, а кольца R i нетривиальны, то обратное неверно: набор элементов со всеми, кроме конечного числа, ненулевыми координатами образует идеал, который не является прямым произведением идеалов кольца R i . Идеал A является простым идеалом в R, если все Ai , кроме одного, равны Ri , а оставшийся Ai является простым идеалом в Ri . Однако обратное неверно, когда I бесконечно. Например, прямая сумма R i образует идеал, не содержащийся ни в одном таком A , но аксиома выбора дает, что он содержится в некотором максимальном идеале , который тем более является простым числом.
Элемент x в R является единицей тогда и только тогда, когда все его компоненты являются единицами, т. е. тогда и только тогда, когда pi (x ) является единицей в R i для каждого i в I. Группа единиц R является произведением групп единиц R i .
Произведение двух или более нетривиальных колец всегда имеет ненулевые делители нуля : если x — элемент произведения, все координаты которого равны нулю, кроме p i ( x ), а y — элемент произведения со всеми нулевыми координатами, кроме p j ( y ), где i ≠ j , тогда xy = 0 в кольце произведений.
