Локализация (коммутативная алгебра)

Построение кольца дробей

В коммутативной алгебре и алгебраической геометрии локализация — это формальный способ ввести «знаменатели» данного кольца или модуля . То есть он вводит новое кольцо/модуль из существующего кольца/модуля R , так что оно состоит из дробей таких, что знаменатель s принадлежит заданному подмножеству S из R. Если S — множество ненулевых элементов области целостности , то локализацией является поле частных : этот случай обобщает построение поля рациональных чисел из кольца целых чисел . ${\displaystyle {\frac {m}{s}},}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Этот метод стал фундаментальным, особенно в алгебраической геометрии , поскольку он обеспечивает естественную связь с теорией пучков . Фактически, термин локализация зародился в алгебраической геометрии : если R — кольцо функций , определенных на некотором геометрическом объекте ( алгебраическом многообразии ) V , и кто-то хочет изучить это многообразие «локально» вблизи точки p , то рассматривают множество S всех функций, не равных нулю в точке p , и локализует R относительно S. Результирующее кольцо содержит информацию о поведении V вблизи p и исключает информацию, которая не является «локальной», например, нули функций , находящихся вне V (см. пример, приведенный в локальном кольце ). ${\displaystyle S^{-1}R}$

Локализация кольца

Локализация коммутативного кольца R мультипликативно замкнутым множеством S представляет собой новое кольцо , элементами которого являются дроби с числителями в R и знаменателями в S. ${\displaystyle S^{-1}R}$

Если кольцо является областью целостности, то конструкция обобщает и близко следует конструкции поля частных и, в частности, конструкции рациональных чисел как поля дробных целых чисел. Для колец, имеющих делители нуля , конструкция аналогична, но требует большей осторожности.

Мультипликативный набор

Локализация обычно выполняется относительно мультипликативно замкнутого множества S (также называемого мультипликативным множеством или мультипликативной системой ) элементов кольца R , которое является подмножеством R , замкнутым относительно умножения и содержащим 1 .

Требование, что S должно быть мультипликативным множеством, естественно, поскольку из него следует, что все знаменатели, введенные локализацией, принадлежат S . Локализация множеством U , которое не является мультипликативно замкнутым, также может быть определена, взяв в качестве возможных знаменателей все произведения элементов U . Однако та же самая локализация получается при использовании мультипликативно замкнутого множества S всех произведений элементов U . Поскольку это часто упрощает рассуждения и обозначения, стандартной практикой является рассмотрение только локализаций с помощью мультипликативных множеств.

Например, локализация одним элементом s вводит дроби вида , а также произведения таких дробей, например Итак, знаменатели будут принадлежать мультипликативному набору степеней s . Поэтому обычно говорят о «локализации силами элемента», а не о «локализации посредством элемента». ${\displaystyle {\tfrac {a}{s}},}$ ${\displaystyle {\tfrac {ab}{s^{2}}}.}$ ${\displaystyle \{1,s,s^{2},s^{3},\ldots \}}$

Обычно обозначается локализация кольца R мультипликативным множеством S , но в некоторых особых случаях обычно используются другие обозначения: если оно состоит из степеней одного элемента, часто обозначается, если является дополнением к простому идеалу , то обозначается ${\displaystyle S^{-1}R,}$ ${\displaystyle S=\{1,t,t^{2},\ldots \}}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$ ${\displaystyle R_{t};}$ ${\displaystyle S=R\setminus {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$ ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}.}$

В оставшейся части статьи рассматриваются только локализации по мультипликативному множеству.

Интегральные домены

Когда кольцо R является областью целостности и S не содержит 0 , кольцо является подкольцом поля частных R . Таким образом, локализация домена является доменом. ${\displaystyle S^{-1}R}$

Точнее, это подкольцо поля дробей R , которое состоит из таких дробей , что Это подкольцо, поскольку сумма и произведение двух элементов находятся в Это следует из определяющего свойства мультипликативного множества, которое подразумевает также, что В этом случае R является подкольцом. Ниже показано, что это больше не верно в общем случае, обычно когда S содержит делители нуля . ${\displaystyle {\tfrac {a}{s}}}$ ${\displaystyle s\in S.}$ ${\displaystyle {\tfrac {a}{s}}+{\tfrac {b}{t}}={\tfrac {at+bs}{st}},}$ ${\displaystyle {\tfrac {a}{s}}\,{\tfrac {b}{t}}={\tfrac {ab}{st}}}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$ ${\displaystyle S^{-1}R.}$ ${\displaystyle 1={\tfrac {1}{1}}\in S^{-1}R.}$ ${\displaystyle S^{-1}R.}$

Например, десятичные дроби — это локализация кольца целых чисел по мультипликативному набору степеней десяти. В этом случае состоит из рациональных чисел, которые можно записать так: где n — целое число, а k — неотрицательное целое число. ${\displaystyle S^{-1}R}$ ${\displaystyle {\tfrac {n}{10^{k}}},}$

Общее строительство

В общем случае возникает проблема с делителями нуля . Пусть S — мультипликативное множество в коммутативном кольце R . Предположим, что и — делитель нуля с Тогда — образ в и единица. Таким образом, некоторые ненулевые элементы R должны быть нулевыми. Следующая конструкция предназначена для учета этого. ${\displaystyle s\in S,}$ ${\displaystyle 0\neq a\in R}$ ${\displaystyle as=0.}$ ${\displaystyle {\tfrac {a}{1}}}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$ ${\displaystyle a\in R,}$ ${\displaystyle {\tfrac {a}{1}}={\tfrac {as}{s}}={\tfrac {0}{s}}={\tfrac {0}{1}}.}$ ${\displaystyle S^{-1}R.}$

Учитывая R и S , как указано выше, рассматривается отношение эквивалентности , определяемое следующим образом: существует ли такое, что ${\displaystyle R\times S}$ ${\displaystyle (r_{1},s_{1})\sim (r_{2},s_{2})}$ ${\displaystyle t\in S}$ ${\displaystyle t(s_{1}r_{2}-s_{2}r_{1})=0.}$

Локализация определяется как набор классов эквивалентности для этого отношения. Класс ( r , s ) обозначается как или Итак, он имеет значение тогда и только тогда, когда существует такое, что Причина заключается в обработке случаев, подобных приведенному выше, где ненулевое значение, даже если дроби следует рассматривать как равные. ${\displaystyle S^{-1}R}$ ${\displaystyle {\frac {r}{s}},}$ ${\displaystyle r/s,}$ ${\displaystyle s^{-1}r.}$ ${\displaystyle {\tfrac {r_{1}}{s_{1}}}={\tfrac {r_{2}}{s_{2}}}}$ ${\displaystyle t\in S}$ ${\displaystyle t(s_{1}r_{2}-s_{2}r_{1})=0.}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\tfrac {a}{1}}={\tfrac {0}{1}},}$ ${\displaystyle s_{1}r_{2}-s_{2}r_{1}}$

Локализация представляет собой коммутативное кольцо с добавлением ${\displaystyle S^{-1}R}$

${\displaystyle {\frac {r_{1}}{s_{1}}}+{\frac {r_{2}}{s_{2}}}={\frac {r_{1}s_{2}+r_{2}s_{1}}{s_{1}s_{2}}},}$

умножение

${\displaystyle {\frac {r_{1}}{s_{1}}}\,{\frac {r_{2}}{s_{2}}}={\frac {r_{1}r_{2}}{s_{1}s_{2}}},}$

аддитивная идентичность и мультипликативная идентичность ${\displaystyle {\tfrac {0}{1}},}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{1}}.}$

Функция _

${\displaystyle r\mapsto {\frac {r}{1}}}$

определяет гомоморфизм колец , из которого инъективен тогда и только тогда, когда S не содержит делителей нуля. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S^{-1}R,}$

If then — нулевое кольцо , уникальное значение которого равно 0 . ${\displaystyle 0\in S,}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$

Если S — множество всех регулярных элементов R ( то есть элементов, которые не являются делителями нуля), называется полным кольцом частных R . ${\displaystyle S^{-1}R}$

Универсальная собственность

Кольцевой гомоморфизм (определенный выше) удовлетворяет универсальному свойству , которое описано ниже. Это характеризует с точностью до изоморфизма. Таким образом, все свойства локализаций могут быть выведены из универсального свойства независимо от способа их построения. Более того, многие важные свойства локализации легко выводятся из общих свойств универсальных свойств, тогда как их прямое доказательство может быть одновременно техническим, простым и скучным. ${\displaystyle j\colon R\to S^{-1}R}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$

Универсальное свойство, которому удовлетворяет следующее: ${\displaystyle j\colon R\to S^{-1}R}$

Если это кольцевой гомоморфизм, который отображает каждый элемент S в единицу (обратимый элемент) в T , существует единственный кольцевой гомоморфизм такой, что ${\displaystyle f\colon R\to T}$ ${\displaystyle g\colon S^{-1}R\to T}$ ${\displaystyle f=g\circ j.}$

Используя теорию категорий , это можно выразить, сказав, что локализация — это функтор , который слева сопряжен с функтором забвения . Точнее, пусть и – категории, объектами которых являются пары коммутативного кольца и субмоноида соответственно мультипликативного моноида или группы единиц кольца. Морфизмы этих категорий представляют собой кольцевые гомоморфизмы, отображающие субмоноид первого объекта в субмоноид второго. Наконец, пусть – забывчивый функтор, который забывает, что элементы второго элемента пары обратимы. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}$

Тогда факторизация универсального свойства определяет биекцию ${\displaystyle f=g\circ j}$

${\displaystyle \hom _{\mathcal {C}}((R,S),{\mathcal {F}}(T,U))\to \hom _{\mathcal {D}}((S^{-1}R,j(S)),(T,U)).}$

Это может показаться довольно сложным способом выражения универсального свойства, но он полезен для простой демонстрации многих свойств, используя тот факт, что композиция двух левых сопряженных функторов является левым сопряженным функтором.

Примеры

• Если – кольцо целых чисел , а затем – поле рациональных чисел . ${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle S=\mathbb {Z} \setminus \{0\},}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• Если R — область целостности , то — поле частных R. Предыдущий пример является частным случаем этого. ${\displaystyle S=R\setminus \{0\},}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$
• Если R — коммутативное кольцо , и если S — подмножество его элементов, не являющихся делителями нуля , то — полное кольцо частных R. В этом случае S — наибольшее мультипликативное множество, гомоморфизм которого инъективен. Предыдущий пример является частным случаем этого. ${\displaystyle S^{-1}R}$ ${\displaystyle R\to S^{-1}R}$
• Если x является элементом коммутативного кольца R и тогда может быть идентифицирован ( канонически изоморфен ) (доказательство состоит в том, чтобы показать, что это кольцо удовлетворяет указанному выше универсальному свойству.) Такая локализация играет фундаментальную роль в определении кольца R. аффинная схема . ${\displaystyle S=\{1,x,x^{2},\ldots \},}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$ ${\displaystyle R[x^{-1}]=R[s]/(xs-1).}$
• Если — простой идеал коммутативного кольца R , то дополнение к множеству в R является мультипликативным множеством (по определению простого идеала). Кольцо является локальным кольцом , которое обычно обозначается и называется локальным кольцом R в. Этот вид локализации является фундаментальным в коммутативной алгебре , поскольку многие свойства коммутативного кольца можно прочитать на его локальных кольцах. Такую собственность часто называют местной собственностью . Например, кольцо регулярно тогда и только тогда, когда все его локальные кольца регулярны. ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle S=R\setminus {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$ ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}.}$

Свойства кольца

Локализация — это богатая конструкция, обладающая множеством полезных свойств. В этом разделе рассматриваются только свойства, относящиеся к кольцам и к одиночной локализации. Свойства, касающиеся идеалов , модулей или нескольких мультипликативных множеств, рассматриваются в других разделах.

• ${\displaystyle S^{-1}R=0}$ тогда и только тогда, когда S содержит 0 .
• Гомоморфизм колец инъективен тогда и только тогда, когда S не содержит делителей нуля . ${\displaystyle R\to S^{-1}R}$
• Гомоморфизм колец — это эпиморфизм в категории колец , который, вообще говоря, не является сюръективным . ${\displaystyle R\to S^{-1}R}$
• Кольцо представляет собой плоский R -модуль (подробнее см. § Локализация модуля). ${\displaystyle S^{-1}R}$
• Если – дополнение к простому идеалу , то обозначается локальное кольцо ; то есть он имеет только один максимальный идеал . ${\displaystyle S=R\setminus {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle S^{-1}R,}$ ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}},}$

Объекты, которые необходимо переместить в другой раздел

• Локализация коммутирует с образованиями конечных сумм, произведений, пересечений и радикалов; ^[1] например, если обозначить радикал идеала I в R , то ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$

${\displaystyle {\sqrt {I}}\cdot S^{-1}R={\sqrt {I\cdot S^{-1}R}}\,.}$

В частности, R сокращается тогда и только тогда , когда все его кольцо дробей сокращается. ^[2]

• Пусть R — область целостности с полем частных K. Тогда его локализацию в простом идеале можно рассматривать как подкольцо в K . Более того, ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

${\displaystyle R=\bigcap _{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}=\bigcap _{\mathfrak {m}}R_{\mathfrak {m}}}$

где первое пересечение происходит по всем простым идеалам, а второе — по максимальным идеалам. ^[3]

• Существует биекция между множеством простых идеалов S ⁻¹ R и множеством простых идеалов R , которые не пересекаются с S . Эта биекция индуцирована данным гомоморфизмом R → S  ⁻ 1 R.

Насыщение мультипликативного множества

Пусть – мультипликативное множество. Насыщенность - это набор ${\displaystyle S\subseteq R}$ ${\displaystyle {\hat {S}}}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle {\hat {S}}=\{r\in R\colon \exists s\in R,rs\in S\}.}$

Мультипликативное множество S является насыщенным, если оно равно его насыщению, то есть если или, что то же самое, if подразумевает, что r и s находятся в S . ${\displaystyle {\hat {S}}=S}$ ${\displaystyle rs\in S}$

Если S не насыщена, а затем является мультипликативным обратным образом r в So , все образы элементов обратимы в , и из универсального свойства следует, что и канонически изоморфны , то есть существует уникальный изоморфизм между их, фиксирующих образы элементов R . ${\displaystyle rs\in S,}$ ${\displaystyle {\frac {s}{rs}}}$ ${\displaystyle S^{-1}R.}$ ${\displaystyle {\hat {S}}}$ ${\displaystyle S^{-1}R,}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$ ${\displaystyle {\hat {S}}{}^{-1}R}$

Если S и T — два мультипликативных множества, то и изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую насыщенность или, что то же самое, если s принадлежит одному из мультипликативных множеств, то существует такое, что st принадлежит другому. ${\displaystyle S^{-1}R}$ ${\displaystyle T^{-1}R}$ ${\displaystyle t\in R}$

Насыщенные мультипликативные множества не используются широко в явном виде, поскольку для проверки насыщенности множества необходимо знать все единицы кольца.

Терминология, объясненная контекстом

Термин «локализация» возник из общей тенденции современной математики изучать геометрические и топологические объекты локально , то есть с точки зрения их поведения вблизи каждой точки. Примерами этого направления являются фундаментальные понятия многообразий , ростков и пучков . В алгебраической геометрии аффинное алгебраическое множество можно отождествить с факторкольцом кольца многочленов таким образом, что точки алгебраического множества соответствуют максимальным идеалам кольца (это Nullstellensatz Гильберта ). Это соответствие было обобщено для того, чтобы сделать множество простых идеалов коммутативного кольца топологическим пространством , снабженным топологией Зарисского ; это топологическое пространство называется спектром кольца .

В этом контексте локализацию мультипликативным множеством можно рассматривать как ограничение спектра кольца подпространством простых идеалов (рассматриваемых как точки ), которые не пересекают мультипликативное множество.

Чаще рассматривают два класса локализаций:

• Мультипликативное множество является дополнением простого идеала кольца R . В этом случае говорят о «локализации в », или «локализации в точке». Полученное кольцо, обозначенное как локальное кольцо , является алгебраическим аналогом кольца ростков . ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$
• Мультипликативное множество состоит из всех степеней элемента t кольца R . Полученное кольцо обычно обозначается , а его спектр представляет собой открытое по Зарискому множество простых идеалов, не содержащих t . Таким образом, локализация является аналогом ограничения топологического пространства на окрестность точки (каждый простой идеал имеет окрестностный базис , состоящий из открытых по Зарисскому множеств такого вида). ${\displaystyle R_{t},}$

В теории чисел и алгебраической топологии при работе с кольцом целых чисел свойство относительно целого числа n называют свойством, истинным в n или вне n , в зависимости от рассматриваемой локализации. « Вдали от n » означает, что свойство рассматривается после локализации по степеням n , и, если p — простое число , «в p » означает, что свойство рассматривается после локализации в простом идеале . Эту терминологию можно объяснить тем, что, если p простое число, ненулевые простые идеалы локализации представляют собой либо одноэлементное множество {p} , либо его дополнение в множестве простых чисел. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle p\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Локализация и насыщенность идеалами

Пусть S — мультипликативное множество в коммутативном кольце R и — канонический гомоморфизм колец. Дан идеал I в R , пусть множество дробей, числитель которых находится в I. Это идеал, который порождается j ( I ) и называется локализацией I посредством S. ${\displaystyle j\colon R\to S^{-1}R}$ ${\displaystyle S^{-1}I}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$ ${\displaystyle S^{-1}R,}$

Насыщение I посредством S является идеалом R , который также может быть определен как набор таких элементов , которые существуют с ${\displaystyle j^{-1}(S^{-1}I);}$ ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle sr\in I.}$

Многие свойства идеалов либо сохраняются посредством насыщения и локализации, либо могут характеризоваться более простыми свойствами локализации и насыщенности. В дальнейшем S — мультипликативное множество в кольце R , а I и J — идеалы кольца R ; обозначается насыщение идеала I мультипликативным множеством S или, когда мультипликативное множество S ясно из контекста, ${\displaystyle \operatorname {sat} _{S}(I),}$ ${\displaystyle \operatorname {sat} (I).}$

• ${\displaystyle 1\in S^{-1}I\quad \iff \quad 1\in \operatorname {sat} (I)\quad \iff \quad S\cap I\neq \emptyset }$
• ${\displaystyle I\subseteq J\quad \ \implies \quad \ S^{-1}I\subseteq S^{-1}J\quad \ {\text{and}}\quad \ \operatorname {sat} (I)\subseteq \operatorname {sat} (J)}$
  (это не всегда верно для строгих включений )
• ${\displaystyle S^{-1}(I\cap J)=S^{-1}I\cap S^{-1}J,\qquad \,\operatorname {sat} (I\cap J)=\operatorname {sat} (I)\cap \operatorname {sat} (J)}$
• ${\displaystyle S^{-1}(I+J)=S^{-1}I+S^{-1}J,\qquad \operatorname {sat} (I+J)=\operatorname {sat} (I)+\operatorname {sat} (J)}$
• ${\displaystyle S^{-1}(I\cdot J)=S^{-1}I\cdot S^{-1}J,\qquad \quad \operatorname {sat} (I\cdot J)=\operatorname {sat} (I)\cdot \operatorname {sat} (J)}$
• Если - простой идеал такой, что тогда - простой идеал и ; если пересечение непусто, то и ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\cap S=\emptyset ,}$ ${\displaystyle S^{-1}{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}=\operatorname {sat} ({\mathfrak {p}})}$ ${\displaystyle S^{-1}{\mathfrak {p}}=S^{-1}R}$ ${\displaystyle \operatorname {sat} ({\mathfrak {p}})=R.}$

Локализация модуля

Пусть R — коммутативное кольцо , S — мультипликативное множество в R и M — R - модуль . Локализация модуля M с помощью S , обозначаемая S ⁻¹ M , представляет собой S ⁻¹ R -модуль, построенный точно так же, как локализация R , за исключением того, что числители дробей принадлежат M. То есть, как набор, он состоит из классов эквивалентности , обозначаемых парами ( m , s ) , где и и две пары ( m , s ) и ( n , t ) эквивалентны, если существует элемент u в S такой, что что ${\displaystyle {\frac {m}{s}}}$ ${\displaystyle m\in M}$ ${\displaystyle s\in S,}$

${\displaystyle u(sn-tm)=0.}$

Сложение и скалярное умножение определяются как для обычных дробей (в следующей формуле и ): ${\displaystyle r\in R,}$ ${\displaystyle s,t\in S,}$ ${\displaystyle m,n\in M}$

${\displaystyle {\frac {m}{s}}+{\frac {n}{t}}={\frac {tm+sn}{st}},}$

${\displaystyle {\frac {r}{s}}{\frac {m}{t}}={\frac {rm}{st}}.}$

Более того, S ⁻¹ M также является R -модулем со скалярным умножением

${\displaystyle r\,{\frac {m}{s}}={\frac {r}{1}}{\frac {m}{s}}={\frac {rm}{s}}.}$

Непосредственно проверяется, что эти операции корректны, т. е. дают один и тот же результат при различном выборе представителей дробей.

Локализация модуля может быть эквивалентно определена с помощью тензорных произведений :

${\displaystyle S^{-1}M=S^{-1}R\otimes _{R}M.}$

Доказательство эквивалентности (с точностью до канонического изоморфизма ) можно провести, показав, что эти два определения удовлетворяют одному и тому же универсальному свойству.

Свойства модуля

Если M — подмодуль R -модуля N , а S — мультипликативное множество в R , то из этого следует, что если — гомоморфизм инъективного модуля , то ${\displaystyle S^{-1}M\subseteq S^{-1}N.}$ ${\displaystyle f\colon M\to N}$

${\displaystyle S^{-1}R\otimes _{R}f:\quad S^{-1}R\otimes _{R}M\to S^{-1}R\otimes _{R}N}$

также является инъективным гомоморфизмом.

Поскольку тензорное произведение является точным правым функтором , отсюда следует, что локализация с помощью S отображает точные последовательности R -модулей в точные последовательности -модулей. Другими словами, локализация — это точный функтор и плоский R - модуль . ${\displaystyle S^{-1}R}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$

Эта плоскостность и тот факт, что локализация решает универсальное свойство, приводят к тому, что локализация сохраняет многие свойства модулей и колец и совместима с решениями других универсальных свойств. Например, естественная карта

${\displaystyle S^{-1}(M\otimes _{R}N)\to S^{-1}M\otimes _{S^{-1}R}S^{-1}N}$

является изоморфизмом. Если – конечно-представленный модуль , то естественное отображение ${\displaystyle M}$

${\displaystyle S^{-1}\operatorname {Hom} _{R}(M,N)\to \operatorname {Hom} _{S^{-1}R}(S^{-1}M,S^{-1}N)}$

также является изоморфизмом. ^[4]

Если модуль M является конечно порожденным над R , то имеет место

${\displaystyle S^{-1}(\operatorname {Ann} _{R}(M))=\operatorname {Ann} _{S^{-1}R}(S^{-1}M),}$

где обозначает аннулятор , то есть идеал элементов кольца, который отображает в ноль все элементы модуля. ^[5] В частности, ${\displaystyle \operatorname {Ann} }$

${\displaystyle S^{-1}M=0\quad \iff \quad S\cap \operatorname {Ann} _{R}(M)\neq \emptyset ,}$

то есть, если для некоторого ^[6] ${\displaystyle tM=0}$ ${\displaystyle t\in S.}$

Локализация в простых числах

Из определения простого идеала сразу следует, что дополнение к простому идеалу в коммутативном кольце R является мультипликативным множеством. В этом случае локализацию обычно обозначают . Кольцо является локальным кольцом , которое называется локальным кольцом R в. Это означает, что это единственный максимальный идеал кольца. ${\displaystyle S=R\setminus {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$ ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}.}$ ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}.}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\,R_{\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}\otimes _{R}R_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}.}$

Такие локализации имеют фундаментальное значение для коммутативной алгебры и алгебраической геометрии по нескольким причинам. Во-первых, локальные кольца часто легче изучать, чем общие коммутативные кольца, в частности из-за леммы Накаямы . Однако основная причина в том, что многие свойства верны для кольца тогда и только тогда, когда они верны для всех его локальных колец. Например, кольцо регулярно тогда и только тогда, когда все его локальные кольца являются регулярными локальными кольцами .

Свойства кольца, которые можно охарактеризовать на его локальных кольцах, называются локальными свойствами и часто являются алгебраическим аналогом геометрических локальных свойств алгебраических многообразий , которые представляют собой свойства, которые можно изучать путем ограничения на небольшую окрестность каждой точки многообразия. . (Существует еще одна концепция локального свойства, которая относится к локализации на открытые множества Зарисского; см. § Локализация на открытые множества Зарисского ниже.)

Многие локальные свойства являются следствием того, что модуль

${\displaystyle \bigoplus _{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}}$

является точно плоским модулем , если прямая сумма берется по всем простым идеалам (или по всем максимальным идеалам R ). См. также «Верно-плоский спуск» .

Примеры местных объектов недвижимости

Свойство P R -модуля M является локальным свойством, если следующие условия эквивалентны:

• P справедливо для M.
• P выполняется для всех , где – простой идеал R . ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$
• P выполняется для всех , где – максимальный идеал R . ${\displaystyle M_{\mathfrak {m}},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

Ниже приведены локальные свойства:

• М равен нулю.
• M не имеет кручения (в случае, когда R — коммутативная область ).
• М — плоский модуль .
• M — обратимый модуль (в случае, когда R — коммутативная область, а M — подмодуль поля частных R ).
• ${\displaystyle f\colon M\to N}$инъективен (соответственно сюръективен), где N — другой R -модуль.

С другой стороны, некоторые свойства не являются локальными. Например, бесконечное прямое произведение полей не является ни областью целостности , ни нётеровым кольцом , в то время как все его локальные кольца являются полями и, следовательно, нетеровыми областями целостности .

Локализация на открытые множества Зариского

Некоммутативный случай

Локализация некоммутативных колец сложнее. Хотя локализация существует для каждого набора S перспективных единиц, она может принимать форму, отличную от описанной выше. Одним из условий, гарантирующих правильное поведение локализации, является условие Оре .

Одним из случаев некоммутативных колец, где локализация представляет явный интерес, являются кольца дифференциальных операторов. Он имеет, например , интерпретацию присоединения формального обратного D ⁻¹ к оператору дифференцирования D. Это делается во многих контекстах в методах дифференциальных уравнений . Сейчас существует большая математическая теория по этому поводу, называемая микролокализация , связанная со многими другими ветвями. Микротег касается, в частности, связей с теорией Фурье .

Смотрите также

• Локальный анализ
• Локализация категории
• Локализация топологического пространства

Рекомендации

1. Атья и Макдональд 1969, Предложение 3.11. (в).
2. Борель, АГ. 3.3
3. Мацумура, Теорема 4.7
4. Эйзенбуд 1995, Предложение 2.10.
5. Атья и Макдональд 1969, Предложение 3.14.
6. Борель, АГ. 3.1

• Атья, Майкл Фрэнсис ; Макдональд, И.Г. (1969). Введение в коммутативную алгебру . Вествью Пресс. ISBN 978-0-201-40751-8.
• Борель, Арманд . Линейные алгебраические группы (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97370-2 . 
• Кон, премьер-министр (1989). «§ 9.3». Алгебра . Том. 2 (2-е изд.). Чичестер: John Wiley & Sons Ltd., стр. xvi+428. ISBN 0-471-92234-Х. МР  1006872.
• Кон, премьер-министр (1991). «§ 9.1». Алгебра . Том. 3 (2-е изд.). Чичестер: John Wiley & Sons Ltd., стр. xii+474. ISBN 0-471-92840-2. МР  1098018.
• Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра , Тексты для выпускников по математике, том. 150, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN. 978-0-387-94268-1, МР  1322960
• Мацумура. Коммутативная алгебра. Бенджамин-Каммингс
• Стенстрем, Бо (1971). Кольца и модули частных . Конспекты лекций по математике, Vol. 237. Берлин: Springer-Verlag. стр. vii+136. ISBN 978-3-540-05690-4. МР  0325663.
• Серж Ланг , «Алгебраическая теория чисел», Springer, 2000. страницы 3–4.

Внешние ссылки

• Локализация от MathWorld .