Гомоморфизм модулей

Линейное отображение над кольцом

В алгебре гомоморфизм модулей — это функция между модулями , которая сохраняет структуры модулей. Явно, если M и N — левые модули над кольцом R , то функция называется гомоморфизмом R - модулей или R - линейным отображением, если для любых x , y в M и r в R , ${\displaystyle f:M\to N}$

${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y),}$

${\displaystyle f(rx)=rf(x).}$

Другими словами, f — это групповой гомоморфизм (для базовых аддитивных групп), который коммутирует со скалярным умножением. Если M , N — правые R -модули, то второе условие заменяется на

${\displaystyle f(xr)=f(x)r.}$

Прообраз нулевого элемента при f называется ядром f . Множество всех модульных гомоморфизмов из M в N обозначается . Это абелева группа ( относительно поточечного сложения) , но не обязательно модуль, если R не коммутативно . ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)}$

Композиция гомоморфизмов модулей снова является гомоморфизмом модулей, а отображение тождества на модуле является гомоморфизмом модулей . Таким образом, все (скажем, левые) модули вместе со всеми гомоморфизмами модулей между ними образуют категорию модулей .

Терминология

Гомоморфизм модулей называется изоморфизмом модулей , если он допускает обратный гомоморфизм; в частности, это биекция . Наоборот, можно показать, что биективный гомоморфизм модулей является изоморфизмом; т. е. обратный гомоморфизм является гомоморфизмом модулей. В частности, гомоморфизм модулей является изоморфизмом тогда и только тогда, когда он является изоморфизмом между базовыми абелевыми группами.

Теоремы об изоморфизме справедливы для гомоморфизмов модулей.

Гомоморфизм модулей из модуля M в себя называется эндоморфизмом , а изоморфизм из M в себя — автоморфизмом . Записывается множество всех эндоморфизмов модуля M. Это не только абелева группа, но и кольцо с умножением, заданным композицией функций, называемое кольцом эндоморфизмов M. Группа единиц этого кольца является группой автоморфизмов M. ${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(M)=\operatorname {Hom} _{R}(M,M)}$

Лемма Шура утверждает, что гомоморфизм между простыми модулями (модулями без нетривиальных подмодулей ) должен быть либо нулевым, либо изоморфизмом. В частности, кольцо эндоморфизмов простого модуля является телом .

На языке теории категорий инъективный гомоморфизм также называется мономорфизмом , а сюръективный гомоморфизм — эпиморфизмом .

Примеры

• Нулевое отображение M → N , которое отображает каждый элемент в ноль.
• Линейное преобразование между векторными пространствами .
• ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /n,\mathbb {Z} /m)=\mathbb {Z} /\operatorname {gcd} (n,m)}$.
• Для коммутативного кольца R и идеалов I , J существует каноническое отождествление

  ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(R/I,R/J)=\{r\in R|rI\subset J\}/J}$

задано . В частности , является аннулятором I . ${\displaystyle f\mapsto f(1)}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(R/I,R)}$

• Дано кольцо R и элемент r , обозначим левое умножение через r . Тогда для любых s , t из R , ${\displaystyle l_{r}:R\to R}$

  ${\displaystyle l_{r}(st)=rst=l_{r}(s)t}$.

То есть является прямолинейным относительно R. ${\displaystyle l_{r}}$

• Для любого кольца R ,
  • ${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R)=R}$как кольца, когда R рассматривается как правый модуль над собой. Явно этот изоморфизм задается левым регулярным представлением . ${\displaystyle R{\overset {\sim }{\to }}\operatorname {End} _{R}(R),\,r\mapsto l_{r}}$
  • Аналогично, как кольца, когда R рассматривается как левый модуль над собой. Учебники или другие источники обычно указывают, какое соглашение используется. ${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R)=R^{op}}$
  • ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(R,M)=M}$через для любого левого модуля M . ^[1] (Структура модуля на Hom здесь происходит из правого R -действия на R ; см. #Структуры модулей на Hom ниже.) ${\displaystyle f\mapsto f(1)}$
  • ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,R)}$называется дуальным модулем M ; он является левым (соответственно правым) модулем, если M является правым (соответственно левым) модулем над R со структурой модуля, вытекающей из действия R на R. Он обозначается как . ${\displaystyle M^{*}}$
• Для данного гомоморфизма колец R → S коммутативных колец и S -модуля M R -линейное отображение θ: S → M называется выводом , если для любых f , g из S , θ( fg ) = f θ( g ) + θ( f ) g .
• Если S , T — унитальные ассоциативные алгебры над кольцом R , то гомоморфизм алгебр из S в T является гомоморфизмом колец , который также является гомоморфизмом R -модулей.

Модульные структуры на Hom

Короче говоря, Hom наследует действие кольца, которое не было использовано для формирования Hom. Точнее, пусть M , N будут левыми R -модулями. Предположим , что M имеет правое действие кольца S , которое коммутирует с R -действием; т. е. M является ( R , S )-модулем. Тогда

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)}$

имеет структуру левого S -модуля, определяемую следующим образом: для s из S и x из M ,

${\displaystyle (s\cdot f)(x)=f(xs).}$

Он хорошо определен (т.е. является R -линейным), поскольку ${\displaystyle s\cdot f}$

${\displaystyle (s\cdot f)(rx)=f(rxs)=rf(xs)=r(s\cdot f)(x),}$

и является кольцевым действием, поскольку ${\displaystyle s\cdot f}$

${\displaystyle (st\cdot f)(x)=f(xst)=(t\cdot f)(xs)=s\cdot (t\cdot f)(x)}$.

Примечание: приведенная выше проверка «не сработает», если использовать левое действие R вместо правого действия S. В этом смысле часто говорят, что Hom «использует» действие R.

Аналогично, если M — левый R -модуль, а N — ( R , S )-модуль, то является правым S -модулем по . ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)}$ ${\displaystyle (f\cdot s)(x)=f(x)s}$

Матричное представление

Связь между матрицами и линейными преобразованиями в линейной алгебре естественным образом обобщается на гомоморфизмы модулей между свободными модулями. А именно, для заданного правого R -модуля U существует канонический изоморфизм абелевых групп

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(U^{\oplus n},U^{\oplus m}){\overset {f\mapsto [f_{ij}]}{\underset {\sim }{\to }}}M_{m,n}(\operatorname {End} _{R}(U))}$

полученный путем просмотра, состоящего из векторов-столбцов, и затем записи f как матрицы m × n . В частности, рассматривая R как правый R -модуль и используя , можно получить ${\displaystyle U^{\oplus n}}$ ${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R)\simeq R}$

${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R^{n})\simeq M_{n}(R)}$,

что оказывается кольцевым изоморфизмом (поскольку композиция соответствует матричному умножению ).

Обратите внимание, что указанный выше изоморфизм является каноническим; выбор не требуется. С другой стороны, если задан гомоморфизм модулей между свободными модулями конечного ранга , то выбор упорядоченного базиса соответствует выбору изоморфизма . Вышеуказанная процедура затем дает матричное представление относительно такого выбора базисов. Для более общих модулей матричные представления могут либо не обладать уникальностью, либо не существовать. ${\displaystyle F\simeq R^{n}}$

Определение

На практике гомоморфизм модулей часто определяют, указывая его значения на порождающем множестве . Точнее, пусть M и N будут левыми R -модулями. Предположим , что подмножество S порождает M ; т. е. существует сюръекция со свободным модулем F с базисом, индексированным S , и ядром K (т. е. имеется свободное представление ). Тогда задать гомоморфизм модулей — значит задать гомоморфизм модулей , который убивает K (т. е. отображает K в ноль). ${\displaystyle F\to M}$ ${\displaystyle M\to N}$ ${\displaystyle F\to N}$

Операции

Если и являются гомоморфизмами модулей, то их прямая сумма равна ${\displaystyle f:M\to N}$ ${\displaystyle g:M'\to N'}$

${\displaystyle f\oplus g:M\oplus M'\to N\oplus N',\,(x,y)\mapsto (f(x),g(y))}$

и их тензорное произведение равно

${\displaystyle f\otimes g:M\otimes M'\to N\otimes N',\,x\otimes y\mapsto f(x)\otimes g(y).}$

Пусть — гомоморфизм модулей между левыми модулями. Граф Γ _f модуля f — это подмодуль M ⊕ N, заданный формулой ${\displaystyle f:M\to N}$

${\displaystyle \Gamma _{f}=\{(x,f(x))|x\in M\}}$,

который является образом гомоморфизма модулей M → M ⊕ N , x → ( x , f ( x )), называемого морфизмом графа .

Транспонирование f равно ​​

${\displaystyle f^{*}:N^{*}\to M^{*},\,f^{*}(\alpha )=\alpha \circ f.}$

Если f является изоморфизмом, то транспонирование обратного к f называется контрагредиентом f .

Точные последовательности

Рассмотрим последовательность гомоморфизмов модулей

${\displaystyle \cdots {\overset {f_{3}}{\longrightarrow }}M_{2}{\overset {f_{2}}{\longrightarrow }}M_{1}{\overset {f_{1}}{\longrightarrow }}M_{0}{\overset {f_{0}}{\longrightarrow }}M_{-1}{\overset {f_{-1}}{\longrightarrow }}\cdots .}$

Такая последовательность называется цепным комплексом (или часто просто комплексом), если каждое произведение равно нулю; т. е. или, что эквивалентно, образ содержится в ядре . (Если числа увеличиваются, а не уменьшаются, то он называется коцепным комплексом; например, комплексом де Рама .) Цепной комплекс называется точной последовательностью, если . Частным случаем точной последовательности является короткая точная последовательность: ${\displaystyle f_{i}\circ f_{i+1}=0}$ ${\displaystyle f_{i+1}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle \operatorname {im} (f_{i+1})=\operatorname {ker} (f_{i})}$

${\displaystyle 0\to A{\overset {f}{\to }}B{\overset {g}{\to }}C\to 0}$

где инъективно, ядро ​​является образом и сюръективно. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

Любой гомоморфизм модулей определяет точную последовательность ${\displaystyle f:M\to N}$

${\displaystyle 0\to K\to M{\overset {f}{\to }}N\to C\to 0,}$

где — ядро ​​, а — коядро, то есть частное от деления на образ . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f}$

В случае модулей над коммутативным кольцом последовательность точна тогда и только тогда, когда она точна во всех максимальных идеалах ; то есть во всех последовательностях

${\displaystyle 0\to A_{\mathfrak {m}}{\overset {f}{\to }}B_{\mathfrak {m}}{\overset {g}{\to }}C_{\mathfrak {m}}\to 0}$

являются точными, где нижний индекс означает локализацию в максимальном идеале . ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

Если являются гомоморфизмами модулей, то говорят, что они образуют квадрат слоя (или квадрат обратного проецирования ), обозначаемый как M × _B N , если он вписывается в ${\displaystyle f:M\to B,g:N\to B}$

${\displaystyle 0\to M\times _{B}N\to M\times N{\overset {\phi }{\to }}B\to 0}$

где . ${\displaystyle \phi (x,y)=f(x)-g(x)}$

Пример: Пусть будут коммутативными кольцами, и пусть I будет аннулятором фактор -модуля B A / B (который является идеалом A ). Тогда канонические отображения образуют расслоенный квадрат с ${\displaystyle B\subset A}$ ${\displaystyle A\to A/I,B/I\to A/I}$ ${\displaystyle B=A\times _{A/I}B/I.}$

Эндоморфизмы конечно порождённых модулей

Пусть — эндоморфизм между конечно порожденными R -модулями для коммутативного кольца R. Тогда ${\displaystyle \phi :M\to M}$

• ${\displaystyle \phi }$уничтожается его характеристическим полиномом относительно генераторов M ; см. лемму Накаямы#Доказательство .
• Если сюръективно, то оно инъективно. ^[2] ${\displaystyle \phi }$

См. также: Частное Эрбрана (которое можно определить для любого эндоморфизма с некоторыми условиями конечности.)

Вариант: аддитивные отношения

Аддитивное отношение из модуля M в модуль N является подмодулем ^[3] Другими словами, это " многозначный " гомоморфизм, определенный на некотором подмодуле M. Обратный к f является подмодулем . Любое аддитивное отношение f определяет гомоморфизм из подмодуля M в фактор N ${\displaystyle M\to N}$ ${\displaystyle M\oplus N.}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle \{(y,x)|(x,y)\in f\}}$

${\displaystyle D(f)\to N/\{y|(0,y)\in f\}}$

где состоит из всех элементов x из M, таких что ( x , y ) принадлежит f для некоторого y из N. ${\displaystyle D(f)}$

Трансгрессия , возникающая из спектральной последовательности , является примером аддитивного отношения.

Смотрите также

• Конус отображения (гомологическая алгебра)
• Нормальная форма Смита
• Цепной комплекс
• Сопряжение

Примечания

1. Бурбаки, Николас (1998), «Глава II, §1.14, примечание 2», Алгебра I, главы 1–3 , Элементы математики, Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9, г-н  1727844
2. Мацумура, Хидеюки (1989), «Теорема 2.4», Теория коммутативных колец , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 8 (2-е изд.), Cambridge University Press, ISBN 0-521-36764-6, МР  1011461
3. Mac Lane, Saunders (1995), Гомология , Классика математики, Springer-Verlag, стр. 52, ISBN 3-540-58662-8, г-н  1344215