Короткое деление

В арифметике короткое деление — это алгоритм деления , который разбивает задачу деления на ряд более простых шагов. Это сокращенная форма длинного деления — в которой продукты опускаются, а частичные остатки обозначаются как верхние индексы .

В результате таблица короткого деления короче, чем таблица длинного деления, хотя иногда это достигается за счет использования устной арифметики , что может ограничить размер делителя .

Для большинства людей небольшие целые делители до 12 обрабатываются с помощью заученных таблиц умножения , хотя эту процедуру можно адаптировать и для более крупных делителей.

Как и во всех задачах на деление, число, называемое делимым , делится на другое, называемое делителем . Ответом на задачу будет частное , а в случае евклидова деления остаток также будет включен.

Используя короткое деление, можно обрабатывать произвольно большие дивиденды. ^[1]

Таблица

Короткое деление не использует символы косой черты (/) или знака деления (÷). Вместо этого оно отображает делимое, делитель и частное (если оно найдено) в таблице . Ниже показан пример, представляющий деление 500 на 4. Частное равно 125.

${\displaystyle {\begin{array}{r}125\\4{\overline {)500}}\\\end{array}}}$

В качестве альтернативы, черта может быть размещена под числом, что означает, что сумма продолжается вниз по странице. Это отличается от длинного деления , где пространство под делимым требуется для вычислений:

${\displaystyle {\begin{array}{r}4{\underline {)500}}\\125\\\end{array}}}$

Пример

Процедура включает несколько шагов. В качестве примера рассмотрим 950, деленное на 4:

1. Делимое и делитель записываются в сокращенной таблице деления:

   ${\displaystyle 4{\overline {)950}}\ }$

   Деление 950 на 4 за один шаг потребовало бы знания таблицы умножения до 238 × 4. Вместо этого деление сводится к малым шагам. Начиная слева, выбирается достаточно цифр, чтобы сформировать число (называемое частичным делимым ), которое по крайней мере 4×1, но меньше 4×10 (4 является делителем в этой задаче). Здесь частичным делимым является 9.
2. Первое число, которое делится на делитель (4), — это частичное делимое (9). Целая часть результата (2) пишется над чертой деления над самой левой цифрой делимого, а остаток (1) пишется маленькой цифрой выше и правее частичного делимого (9).

   ${\displaystyle {\begin{matrix}2\\4{\overline {)9^{1}50}}\end{matrix}}}$

3. Далее повторяется шаг 2, используя маленькую цифру, соединенную со следующей цифрой делимого, чтобы сформировать новое частичное делимое (15). Разделив новое частичное делимое на делитель (4), результат записывается, как и прежде — частное над следующей цифрой делимого, а остаток — маленькой цифрой вверху справа. (Здесь 15, деленное на 4, равно 3 с остатком 3.)

   ${\displaystyle {\begin{matrix}\,\,2\ 3\\4{\overline {)9^{1}5^{3}0}}\\\end{matrix}}}$

4. Продолжаем повторять шаг 2 до тех пор, пока в делимом не останется ни одной цифры. В этом примере мы видим, что 30, деленное на 4, равно 7 с остатком 2. Число, написанное над чертой (237), является частным, а последняя маленькая цифра (2) — остатком.

   ${\displaystyle {\begin{matrix}\quad 2\ 3\ 7\\4{\overline {)9^{1}5^{3}0^{2}}}\\\end{matrix}}}$

5. Ответ в этом примере — 237 с остатком 2. В качестве альтернативы мы можем продолжить вышеописанную процедуру, если хотим получить десятичный ответ. Мы делаем это, добавляя десятичную точку и нули по мере необходимости справа от делимого, а затем обрабатывая каждый ноль как еще одну цифру делимого. Таким образом, следующий шаг в таком расчете даст следующее:

   ${\displaystyle {\begin{matrix}\quad 2\ 3\ 7.\ 5\\4{\overline {)9^{1}5^{3}0.^{2}0}}\\\end{matrix}}}$

При использовании альтернативной компоновки окончательные результаты будут следующими:

${\displaystyle {\begin{array}{r}4{\underline {)9^{1}5^{3}0.^{2}0}}\\2^{\color {White}1}3^{\color {White}3}7.^{\color {White}2}5\\\end{array}}}$

Как обычно, аналогичные шаги можно использовать и для обработки случаев с десятичным делимым или случаев, когда делитель состоит из нескольких цифр. ^[2]

Прайм-факторинг

Пример ручной факторизации.

Распространенным требованием является сокращение числа до его простых множителей. Это используется, в частности, при работе с обыкновенными дробями . Делимое последовательно делится на простые числа, повторяя, где это возможно:

${\displaystyle {\begin{array}{r}2{\underline {)950}}\\5{\underline {)475}}\\5{\underline {){\color {White}0}95}}\\\ \ \ 19\\\end{array}}}$

В результате получается 950 = 2 x 5² x 19

Деление по модулю

Когда интересует только остаток от деления, эта процедура (вариация короткого деления) игнорирует частное и подсчитывает только остатки. Ее можно использовать для ручного расчета по модулю или в качестве теста на делимость на четные числа . Цифры частного не записываются.

Ниже показано решение (с использованием короткого деления) числа 16762109, деленного на семь.

${\displaystyle {\begin{matrix}7)16^{2}7^{6}6^{3}2^{4}1^{6}0^{4}9^{0}\end{matrix}}}$

Остаток равен нулю, поэтому 16762109 делится на 7.

Как автомат

При наличии делителя k эту процедуру можно записать как детерминированный конечный автомат с k состояниями, каждое из которых соответствует возможному остатку. ^[3] Это означает, что множество чисел, делящихся на k, является регулярным языком .

Смотрите также

• Арифметика произвольной точности
• Разделение (фрагментация)
• Алгоритм деления
• Элементарная арифметика
• Деление Фурье
• Деление в столбик
• Полиномиальное деление в столбик
• Синтетическое разделение

Ссылки

1. GP Quackenbos, LL.D. (1874). "Глава VII: Деление". Практическая арифметика. D. Appleton & Company.
2. "Деление целых чисел — Полный курс арифметики". www.themathpage.com . Получено 23.06.2019 .
3. Алексеев, Борис (1 сентября 2004 г.). "Минимальный DFA для проверки делимости". Журнал компьютерных и системных наук . 69 (2): 235. doi : 10.1016/j.jcss.2004.02.001 .

Внешние ссылки

• Альтернативные алгоритмы деления: двойное деление, частичные частные и столбцовое деление, фильм о частичных частных
• Урок по сокращенному делению: TheMathPage.com