В математике таблица умножения (иногда, менее формально, таблица умножения ) — это математическая таблица, используемая для определения операции умножения для алгебраической системы.
Десятичная таблица умножения традиционно преподавалась как неотъемлемая часть элементарной арифметики во всем мире, поскольку она закладывает основу для арифметических операций с числами с основанием десять. Многие педагоги считают, что необходимо запоминать таблицу до 9×9. [1]
Древнейшие известные таблицы умножения использовались вавилонянами около 4000 лет назад. [2] Однако они использовали базу 60. [2] Самые старые известные таблицы, использующие базу 10, - это китайская таблица десятичного умножения на бамбуковых полосках, датируемая примерно 305 годом до нашей эры, в период Воюющих царств Китая . [2]
Таблицу умножения иногда приписывают древнегреческому математику Пифагору (570–495 до н. э.). Ее также называют Таблицей Пифагора на многих языках (например, французском, итальянском и русском), иногда на английском. [4] Греко -римский математик Никомах (60–120 гг. н. э.), последователь неопифагореизма , включил таблицу умножения в свое «Введение в арифметику» , тогда как самая старая из сохранившихся греческих таблиц умножения находится на восковой табличке, датируемой I веком нашей эры и в настоящее время хранится в Британском музее . [5]
В 493 году нашей эры Викторий Аквитанский написал таблицу умножения из 98 столбцов, которая давала ( римскими цифрами ) произведение каждого числа от 2 до 50 раз, а строки представляли собой «список чисел, начинающихся с тысячи, убывающих на сотни до единицы». сто, затем по убыванию десятков до десяти, затем по единицам до одного, а затем дроби до 1/144». [6]
В своей книге 1820 года «Философия арифметики » [7] математик Джон Лесли опубликовал таблицу умножения размером до 99 × 99, которая позволяет умножать числа попарно за раз. Лесли также рекомендовала юным ученикам запоминать таблицу умножения до размера 50×50.
На иллюстрации ниже показана таблица размером до 12 × 12 — размер, который в настоящее время обычно используется в англоязычных школах.
Поскольку умножение целых чисел коммутативно , во многих школах используется таблица меньшего размера, как показано ниже. Некоторые школы даже удаляют первый столбец, поскольку 1 — это мультипликативное тождество .
Традиционное заучивание умножения основывалось на запоминании столбцов таблицы в такой форме, как
1 × 10 = 10
2 × 10 = 20
3 × 10 = 30
4 × 10 = 40
5 × 10 = 50
6 × 10 = 60 7 ×
10 = 70
8 × 10 = 80
9 × 10 = 90
Эта форма записи таблицы умножения в столбцах с полными числовыми предложениями до сих пор используется в некоторых странах, таких как Босния и Герцеговина, вместо современных сеток, приведенных выше .
В таблице умножения есть закономерность, которая поможет людям легче запомнить таблицу. Он использует приведенные ниже цифры:
Рисунок 1 используется для чисел, кратных 1, 3, 7 и 9. Рисунок 2 используется для чисел, кратных 2, 4, 6 и 8. Эти шаблоны можно использовать для запоминания кратных любого числа от 0 до 10. кроме 5. Как и в случае с числом, которое вы умножаете, при умножении на 0 вы остаетесь на 0 (0 является внешним, поэтому стрелки не влияют на 0, в противном случае 0 используется как ссылка для создания вечного цикла ). Шаблон также работает с числами, кратными 10: начиная с 1 и просто добавляя 0, получая 10, затем просто примените каждое число в шаблоне к единице «десятки», как вы обычно делаете, как обычно, к единице.
Например, чтобы вспомнить все числа, кратные 7:
Таблицы также могут определять бинарные операции над группами , полями , кольцами и другими алгебраическими системами . В таких контекстах их называют таблицами Кэли . Вот таблицы сложения и умножения для конечного поля Z 5 :
Другие примеры см. в группах и октонионах .
Моккан , обнаруженный во дворце Хэйдзё, позволяет предположить, что таблица умножения могла быть представлена в Японии через китайские математические трактаты, такие как Суньцзы Суаньцзин , поскольку их выражение таблицы умножения разделяет иероглиф如в произведениях меньше десяти. [8] В китайском и японском языках используется аналогичная система из восьмидесяти одного короткого, легко запоминающегося предложения, которому обучают учащихся, чтобы помочь им выучить таблицу умножения до 9 × 9. В настоящее время предложения, выражающие произведения меньше десяти, включают в себя дополнительный частица в обоих языках. В современном китайском языке это得( dé ); а по-японски этоが( га ). Это полезно для тех, кто практикует вычисления с помощью суанпана или соробана , поскольку предложения напоминают им о необходимости сдвинуть один столбец вправо при вводе произведения, которое не начинается с цифры десятков . В частности, в японской таблице умножения в некоторых конкретных случаях используется нестандартное произношение чисел (например, замена сан-року на сабуроку ).
Связка из 21 бамбуковой пластинки, датированная 305 г. до н.э. периода Воюющих царств, из коллекции бамбуковых пластинок Цинхуа (清華簡) является самым ранним известным в мире примером десятичной таблицы умножения. [9]
В 1989 году Национальный совет учителей математики (NCTM) разработал новые стандарты, основанные на убеждении, что все учащиеся должны овладевать навыками мышления более высокого порядка, которые рекомендовали уменьшить акцент на преподавании традиционных методов, основанных на механическом запоминании, таких как как таблица умножения. В широко принятых текстах, таких как «Исследования в числах, данных и пространстве» (широко известных как TERC по имени их создателя, Исследовательских центров технического образования), в ранних изданиях не использовались такие вспомогательные средства, как таблицы умножения. NCTM ясно дал понять в своих координаторах 2006 года , что основные математические факты необходимо изучать, хотя нет единого мнения о том, является ли механическое запоминание лучшим методом. В последние годы был разработан ряд нетрадиционных методов, помогающих детям изучать факты умножения, в том числе приложения и книги в стиле видеоигр, целью которых является обучение таблице умножения с помощью историй, основанных на персонажах.
от 1 х 1 до 23 х 23
