Числовая цифра (часто сокращается до просто цифры ) — это одиночный символ, используемый отдельно (например, «1») или в комбинациях (например, «15») для обозначения чисел в позиционной системе счисления. Название «цифра» происходит от того, что десять цифр ( лат. digiti означает пальцы) [1] рук соответствуют десяти символам десятичной системы счисления , т.е. десятичной (древнее латинское прилагательное decem , означающее десять) [ 2] цифры.
Для данной системы счисления с целочисленным основанием количество требуемых различных цифр определяется абсолютным значением основания. Например, десятичная система (основание 10) требует десяти цифр (от 0 до 9), тогда как двоичная система (основание 2) требует двух цифр (0 и 1).
В базовой цифровой системе цифра представляет собой последовательность цифр, которая может иметь произвольную длину. Каждая позиция в последовательности имеет значение места , а каждая цифра имеет значение. Значение числа вычисляется путем умножения каждой цифры последовательности на ее разряд и суммирования результатов.
Каждая цифра в системе счисления представляет собой целое число. Например, в десятичной системе цифра «1» представляет целое число , а в шестнадцатеричной системе буква «А» представляет число десять . Позиционная система счисления имеет одну уникальную цифру для каждого целого числа от нуля до основания системы счисления, но не включая его.
Таким образом, в позиционной десятичной системе числа от 0 до 9 могут быть выражены с использованием соответствующих цифр от «0» до «9» в крайнем правом положении «единиц». Число 12 может быть выражено цифрой «2» в позиции единиц и цифрой «1» в позиции «десяток» слева от «2», а число 312 может быть выражено тремя цифрами: «3» в позиции «сотни», «1» в позиции «десятки» и «2» в позиции «единицы».
В десятичной системе счисления используется десятичный разделитель , обычно точка в английском языке или запятая в других европейских языках, [3] для обозначения «места единиц» или «места единиц», [4] [5] [6] который имеет место значения один. Каждое последующее место слева от этого имеет значение места, равное значению места предыдущей цифры, умноженному на основание . Аналогично, каждая последующая позиция справа от разделителя имеет позиционное значение, равное позиционному значению предыдущей цифры, разделенной на основание. Например, в числе 10,34 (записанном по базе 10 ),
Суммарное значение числа составляет 1 десяток, 0 единиц, 3 десятых и 4 сотых. Ноль, который не вносит никакого значения в число, указывает, что 1 стоит в разряде десятков, а не единиц.
Разрядное значение любой цифры в числе можно определить с помощью простого расчета, который сам по себе является дополнением к логике систем счисления. Расчет включает в себя умножение данной цифры на основание, возведенное в показатель степени n - 1 , где n представляет положение цифры от разделителя; значение n положительное (+), но это только в том случае, если цифра находится слева от разделителя. А справа цифра умножается на основание, поднятое на отрицательный (-) n . Например, в числе 10,34 (записанном по десятичной системе счисления):
Первой настоящей письменной позиционной системой счисления считается индуистско-арабская система счисления . Эта система была создана в 7 веке в Индии, [12] но еще не приобрела свою современную форму, поскольку использование цифры ноль еще не получило широкого признания. Иногда вместо нуля цифры обозначались точками для обозначения их значения или в качестве заполнителя использовался пробел. Первое широко признанное использование нуля произошло в 876 году. [13] Первоначальные цифры были очень похожи на современные, вплоть до глифов, используемых для обозначения цифр. [12]
К 13 веку западно-арабские цифры были приняты в европейских математических кругах ( Фибоначчи использовал их в своей Liber Abaci ). Они начали входить в обиход в 15 веке. [14] К концу 20-го века практически все некомпьютеризированные вычисления в мире производились с использованием арабских цифр, которые заменили родные системы счисления в большинстве культур.
Точный возраст цифр майя неясен, но возможно, что они старше индуистско-арабской системы. Система была двадцатеричной (основание 20), поэтому в ней двадцать цифр. Майя использовали символ ракушки для обозначения нуля. Цифры писались вертикально, единицы располагались внизу. У майя не было эквивалента современного десятичного разделителя , поэтому их система не могла представлять дроби.
Тайская система счисления идентична индуистско-арабской системе счисления, за исключением символов, используемых для обозначения цифр. Использование этих цифр в Таиланде менее распространено , чем раньше, но они по-прежнему используются наряду с арабскими цифрами.
Стержневые цифры, письменная форма счетных палочек, когда-то использовавшаяся китайскими и японскими математиками, представляют собой десятичную позиционную систему, способную представлять не только ноль, но и отрицательные числа. Сами счетные стержни появились еще до появления индуистско-арабской системы счисления. Цифры Сучжоу представляют собой варианты стержневых цифр.
Двоичная (основание 2), восьмеричная (основание 8) и шестнадцатеричная (основание 16) системы, широко используемые в информатике , следуют правилам индийско-арабской системы счисления . [15] В двоичной системе используются только цифры «0» и «1», тогда как в восьмеричной системе используются цифры от «0» до «7». Шестнадцатеричная система использует все цифры десятичной системы, а также буквы от «A» до «F», которые представляют числа от 10 до 15 соответственно. [16] При использовании двоичной системы термин «бит(ы)» обычно используется в качестве альтернативы термину «цифра(ы)», являясь разновидностью термина «двоичная цифра». Подобные термины существуют и для других систем счисления, таких как «trit(s)» для троичной системы и «dit(s)» для десятичной системы, хотя они используются реже.
Иногда использовались тройная и сбалансированная тройная системы . Обе системы имеют основание 3. [17]
Сбалансированная троичная система необычна тем, что имеет цифровые значения 1, 0 и –1. Оказалось, что сбалансированная тройная система обладает некоторыми полезными свойствами, и эта система использовалась в экспериментальных российских компьютерах «Сетунь» . [18]
Несколько авторов за последние 300 лет отметили возможность позиционной записи , которая представляет собой модифицированное десятичное представление . Приводятся некоторые преимущества использования числовых цифр, представляющих отрицательные значения. В 1840 году Огюстен-Луи Коши выступал за использование знаково-цифрового представления чисел, а в 1928 году Флориан Каджори представил свою коллекцию ссылок на отрицательные цифры . Концепция представления цифр со знаком также была использована в компьютерном дизайне .
Несмотря на важную роль цифр в описании чисел, они относительно неважны для современной математики . [19] Тем не менее, есть несколько важных математических концепций, которые используют представление числа в виде последовательности цифр.
Цифровой корень — это однозначное число, полученное суммированием цифр заданного числа, затем суммированием цифр результата и так далее, пока не будет получено однозначное число. [20]
Выбрасывание девяток – это процедура проверки арифметики, выполняемая вручную. Чтобы описать это, представим цифровой корень , как описано выше. При выбрасывании девяток используется тот факт, что если , то . В процессе выбрасывания девяток вычисляются обе части последнего уравнения , и если они не равны, значит, исходное сложение было ошибочным. [21]
Повторные единицы — это целые числа, которые представлены только цифрой 1. Например, 1111 (одна тысяча сто одиннадцать) — это повторная единица. Репдигиты - это обобщение повторов; они представляют собой целые числа, представленные повторяющимися экземплярами одной и той же цифры. Например, 333 — это повторная цифра. Простота репунитов представляет интерес для математиков . [22]
Палиндромные числа — это числа, которые читаются одинаково, если их цифры поменять местами. [23] Число Лишрела — это положительное целое число, которое никогда не дает палиндромного числа при итеративном процессе сложения с самим собой с перевернутыми цифрами. [24] Вопрос о том, существуют ли числа Лишрела по основанию 10, является открытой проблемой в развлекательной математике ; самый маленький кандидат - 196 . [25]
Средства счета, особенно использование частей тела (счет на пальцах), безусловно, использовались в доисторические времена, как и сегодня. Существует множество вариаций. Помимо подсчета десяти пальцев, в некоторых культурах учитывались костяшки пальцев, пространство между пальцами рук и ног, а также сами пальцы. Культура оксапмин Новой Гвинеи использует систему из 27 частей верхней части тела для представления чисел. [26]
Для сохранения числовой информации с доисторических времен использовались таблички , вырезанные из дерева, кости и камня. [27] Культуры каменного века, в том числе древние коренные народы Америки , использовали подсчеты для азартных игр, личных услуг и торговых товаров.
Метод сохранения числовой информации в глине был изобретен шумерами между 8000 и 3500 годами до нашей эры. [28] Это делалось с помощью маленьких глиняных жетонов различной формы, которые были нанизаны на веревку, как бусины. Начиная примерно с 3500 г. до н. э., глиняные жетоны постепенно заменялись цифровыми знаками, отпечатанными круглым стилусом под разными углами на глиняных табличках (первоначально контейнерах для жетонов), которые затем обжигались. Около 3100 г. до н. э. письменные числа отделились от предметов, которые считались, и стали абстрактными цифрами.
Между 2700 и 2000 годами до нашей эры в Шумере круглое стилус постепенно было заменено тростниковым стилусом, который использовался для вдавливания клинописных знаков в глину. Эти клинописные числовые знаки напоминали знаки круглых чисел, которые они заменили, и сохранили аддитивную запись знака, свойственную знакам круглых чисел. Эти системы постепенно сошлись на общей шестидесятеричной системе счисления; это была система разрядов, состоящая всего из двух отпечатанных знаков: вертикального клина и шеврона, которые также могли обозначать дроби. [29] Эта шестидесятеричная система счисления была полностью разработана в начале периода Старой Вавилонии (около 1950 г. до н.э.) и стала стандартной в Вавилонии. [30]
Шестидесятеричные цифры представляли собой смешанную систему счисления , в которой сохранялись чередующиеся основания 10 и 6 в последовательности клинописных вертикальных клиньев и шевронов. К 1950 году до нашей эры это была позиционная система обозначений . Шестидесятеричные цифры стали широко использоваться в торговле, но также использовались в астрономических и других вычислениях. Эта система была экспортирована из Вавилонии и использовалась по всей Месопотамии, а также всеми средиземноморскими народами, которые использовали стандартные вавилонские единицы измерения и счета, включая греков, римлян и египтян. Шестидесятеричная система счисления в вавилонском стиле до сих пор используется в современном обществе для измерения времени (минуты в час) и углов (градусы). [31]
В Китае армии и продовольствие подсчитывались с использованием модульного подсчета простых чисел . Уникальное количество войск и количество риса представляют собой уникальную комбинацию этих показателей. Большим удобством модульной арифметики является то, что ее легко умножать. [32] Это делает использование модульной арифметики для резервов особенно привлекательным. Обычные счетчики довольно сложно умножать и делить. В наше время модульная арифметика иногда используется при цифровой обработке сигналов . [33]
Древнейшей греческой системой была система аттических цифр , [34] , но в 4 веке до нашей эры они начали использовать квазидесятичную алфавитную систему (см. Греческие цифры ). [35] Евреи начали использовать аналогичную систему ( еврейские цифры ), причем самыми старыми известными примерами являются монеты примерно 100 г. до н.э. [36]
Римская империя использовала записи, написанные на воске, папирусе и камне, и примерно следовала греческому обычаю присваивать буквы различным числам. Система римских цифр оставалась широко распространенной в Европе до тех пор, пока в 16 веке не вошло в обиход позиционное обозначение . [37]
Майя Центральной Америки использовали смешанную систему счисления с основанием 18 и 20, возможно, унаследованную от ольмеков , включая расширенные функции, такие как позиционное обозначение и ноль . [38] Они использовали эту систему для проведения продвинутых астрономических расчетов, включая высокоточные расчеты продолжительности солнечного года и орбиты Венеры . [39]
Империя инков управляла крупной командной экономикой, используя кипу — бирки, изготовленные путем завязывания цветных волокон. [40] Знания о кодировке узлов и цветов были подавлены испанскими конкистадорами в 16 веке и не сохранились, хотя простые записывающие устройства, подобные кипу, до сих пор используются в Андском регионе.
Некоторые авторитеты полагают, что позиционная арифметика началась с широкого использования счетных палочек в Китае. [41] Самые ранние письменные записи о положении, по-видимому, представляют собой результаты стержневого исчисления в Китае около 400 года. Ноль был впервые использован в Индии в 7 веке нашей эры Брахмагуптой . [42]
Современная позиционная арабская система счисления была разработана математиками в Индии и передана мусульманским математикам вместе с астрономическими таблицами, привезенными в Багдад индийским послом около 773 года .
Из Индии процветающая торговля между исламскими султанами и Африкой привела эту концепцию в Каир . Арабские математики расширили эту систему, включив в нее десятичные дроби , а Мухаммад ибн Муса аль-Харезми написал об этом важную работу в 9 веке. [44] Современные арабские цифры были представлены Европе с переводом этой работы в XII веке в Испании и « Liber Abaci» Леонардо Пизанского в 1201 году. [45] В Европе полная индийская система с нулем была получена из Арабы в XII веке. [46]
Двоичная система (основание 2) была распространена в 17 веке Готфридом Лейбницем . [47] Лейбниц разработал эту концепцию в начале своей карьеры и вновь обратился к ней, когда просматривал копию « И Цзин» из Китая. [48] Двоичные числа стали широко использоваться в 20 веке благодаря компьютерным приложениям. [47]
единицы или единицы места
место единиц или единиц
место единиц или единиц
единицы или единицы, цифра
цифры единиц или единиц
единицы или единицы, цифра
каждое двузначное число можно выразить как 10t+u, когда t — цифра десятков
Правда, если вы откроете современный математический журнал и попытаетесь прочитать любую статью, то весьма вероятно, что вы вообще не увидите никаких цифр.
Организационная система Оспамин включает 27 корпусных частей...
... даже насечки, вырезанные на палочках, сделанных из дерева, кости или других материалов возрастом 30 000 лет (часто называемые «выемчатыми метками»).
{{cite book}}
: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )И вот, к началу третьего тысячелетия до н. э. С. Шумеры и эламиты переняли практику записи числовой информации на небольших, обычно прямоугольных глиняных табличках.
Преимущества модульного представления в том, что сложение, вычитание и умножение очень просты.
Первый достоверно датированный экземпляр, в котором несомненно использование еврейских буквенных цифр, находится на монетах времен правления хасмонейского царя Александра Яннея (103–76 гг. до н. э.)…
Астрономия майя точно рассчитала как продолжительность солнечного года, так и синодический оборот Венеры.
… определенно до 400 г. до н.э. у них были аналогичные позиционные обозначения, основанные на древних счетных стержнях.