Индо -арабская система счисления или индо-арабская система счисления [1] (также называемая индуистской системой счисления или арабской системой счисления ) [2] [примечание 1] представляет собой систему счисления с позиционным основанием из десяти для представления целых чисел ; его расширением для нецелых чисел является десятичная система счисления , которая в настоящее время является наиболее распространенной системой счисления.
Индо-арабская система счисления была изобретена между I и IV веками индийскими математиками . Система была принята в арабской математике к 9 веку. Он стал более широко известен благодаря трудам на арабском языке персидского математика Аль-Хваризми [3] (« О расчетах с помощью индуистских цифр» , ок. 825 г. ) и арабского математика Аль-Кинди ( «Об использовании индуистских цифр» , ок. 830 г. ). ). Эта система распространилась в средневековой Европе в эпоху Высокого Средневековья .
Система основана на десяти глифах , представляющих числа от нуля до девяти, и позволяет представлять любое натуральное число уникальной последовательностью этих глифов. Символы (глифы), используемые для представления системы, в принципе независимы от самой системы. Используемые в действительности символы произошли от цифр Брахми и со времен средневековья разделились на различные типографские варианты .
Эти наборы символов можно разделить на три основных семейства: западные арабские цифры , используемые в Большом Магрибе и Европе ; Восточные арабские цифры, используемые на Ближнем Востоке ; и индийские цифры в различных сценариях, используемых на Индийском субконтиненте .
Индо-арабские цифры были изобретены математиками в Индии . [4] Персидские и арабские математики называли их «индуистскими цифрами». Позже в Европе их стали называть «арабскими цифрами», поскольку они были завезены на Запад арабскими купцами. [5] Согласно некоторым источникам, эта система счисления, возможно, возникла из китайских цифр Шан (1200 г. до н.э.), которые также были десятичной позиционной системой счисления. [6] [7] [8]
Индо-арабская система предназначена для позиционной записи в десятичной системе. В более развитой форме позиционное обозначение также использует десятичный маркер (сначала знак над единицей, но теперь чаще десятичная точка или десятичная запятая, которая отделяет единицы от десятых мест), а также символ « эти цифры повторяются до бесконечности ». В современном использовании этот последний символ обычно представляет собой винкулум (горизонтальную линию, расположенную над повторяющимися цифрами). В этой более развитой форме система счисления может обозначать любое рациональное число , используя всего 13 символов (десять цифр, десятичный маркер, винкулум и добавленный знак минус для обозначения отрицательного числа ).
Хотя числа, написанные этими цифрами, обычно встречаются в тексте, написанном арабским абджадом («алфавитом»), в числах, написанных этими цифрами, старшая цифра также размещается слева, поэтому они читаются слева направо (хотя цифры не всегда произносятся в порядке от большинства). до наименее значимого [9] ). Необходимые изменения в направлении чтения обнаруживаются в тексте, в котором смешаны системы письма слева направо и справа налево.
Для представления чисел в индуистско-арабской системе счисления используются различные наборы символов, большинство из которых произошли от цифр Брахми .
Символы, используемые для представления системы, со времен Средневековья разделились на различные типографские варианты , сгруппированные в три основные группы:
Цифры Брахми , лежащие в основе системы, появились еще до нашей эры . Они заменили более ранние цифры Харости, использовавшиеся с IV века до нашей эры. Цифры Брахми и Кхарости использовались рядом друг с другом в период Империи Маурьев , оба они появились в указах Ашоки в III веке до нашей эры . [10]
В буддийских надписях примерно 300 г. до н.э. используются символы, которые стали цифрами 1, 4 и 6. Столетие спустя было зафиксировано использование ими символов, которые стали цифрами 2, 4, 6, 7 и 9. Эти цифры Брахми являются прародителями индуистско-арабских символов от 1 до 9, но они не использовались как позиционная система с нулем , а для каждой из десятков (10, 20, 30 и т. д.) существовали отдельные цифры. .
Фактическая система счисления, включая позиционное обозначение и использование нуля, в принципе не зависит от используемых символов и значительно моложе, чем цифры Брахми.
В рукописи Бахшали использована топоместная система ; самые ранние листья датированы радиоуглеродом периодом 224–383 гг. н.э. [11] Развитие позиционной десятичной системы берет свое начало в индийской математике в период Гуптов . Около 500 г. астроном Арьябхата использует слово кха («пустота») для обозначения «нуля» в табличном расположении цифр. Брахмаспута Сиддханта VII века содержит сравнительно продвинутое понимание математической роли нуля . Санскритский перевод утерянного пракритского джайнского космологического текста Локавибхаги V века , возможно, сохранил ранний пример позиционного использования нуля. [12]
Первая датированная и неоспоримая надпись, показывающая использование символа нуля, появляется на каменной надписи, найденной в храме Чатурбхуджа в Гвалиоре в Индии и датированной 876 годом. [13]
Эти индийские разработки были использованы в исламской математике в 8 веке, как записано в « Хронологии ученых » аль-Кифти (начало 13 века). [14]
В исламской математике 10-го века система была расширена за счет включения дробей , как записано в трактате математика Аббасидского халифата Абуль-Хасана аль-Уклидиси , который первым описал позиционные десятичные дроби. [15] По мнению Дж. Л. Бреггрена, мусульмане были первыми, кто стал представлять числа так, как это делаем мы, поскольку именно они первоначально расширили эту систему счисления для представления частей единицы десятичными дробями, чего индуисты не достигли. Таким образом, мы вполне уместно называем эту систему «индуистско-арабской». [16] [17]
Система счисления стала известна как персидскому математику Хорезми , написавшему книгу « О вычислении индуистскими цифрами» примерно в 825 году, так и арабскому математику Аль-Кинди , написавшему книгу « Об использовании индуистских цифр» ( كتاب في استعمال العداد الهندي [ kitāb fī isti'māl al-'adad al-hindī ]) около 830 года. Персидский учёный Кушьяр Гилани , написавший «Китаб фи усул хисаб аль-хинд» ( «Принципы индуистского исчисления »), является одним из старейших сохранившихся рукописей, использующих индуистские цифры. [18] Эти книги в основном ответственны за распространение индуистской системы счисления во всем исламском мире и, в конечном итоге, в Европе.
В христианской Европе первое упоминание и изображение индуистско-арабских цифр (от одного до девяти, без нуля) находится в Codex Vigilanus (он же Albeldensis ), иллюстрированном сборнике различных исторических документов вестготского периода в Испании , написанном в 976 год тремя монахами риоханского монастыря Сан -Мартин-де-Альбельда . Между 967 и 969 годами Герберт Орийакский открыл и изучал арабскую науку в каталонских аббатствах. Позже он получил в этих местах книгу De multiplicatione et Divisione ( «Об умножении и делении »). Став Папой Сильвестром II в 999 году, он представил новую модель счетов , так называемые счеты Герберта , приняв жетоны, представляющие индуистско-арабские цифры от одного до девяти.
Леонардо Фибоначчи принес эту систему в Европу. Его книга Liber Abaci представила Modus Indorum (метод индейцев), сегодня известный как индуистско-арабская система счисления или позиционная запись с основанием 10, использование нуля и десятичной системы счисления в латинском мире. Европейцы стали называть эту систему счисления «арабской». Оно использовалось в европейской математике с 12 века и вошло в обиход с 15 века для замены римских цифр . [19] [20]
Знакомая форма западно-арабских символов, используемых сейчас в латинском алфавите (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), возникла в конце 15 — начале 16 веков, когда они начал раннюю верстку . Мусульманские учёные использовали вавилонскую систему счисления , а купцы использовали цифры Абджад , систему, аналогичную греческой системе счисления и еврейской системе счисления . Точно так же введение системы Фибоначчи в Европу было ограничено учеными кругами. Заслуга в первом широко распространенном понимании и использовании десятичной позиционной записи среди населения в целом принадлежит Адаму Рису , автору немецкого Возрождения , чья книга 1522 года «Rechenung auff der linihen und feder» («Расчет по линиям и с помощью пера») была целью у учеников предпринимателей и ремесленников.
.png/1280px-Gregor_Reisch,_Margarita_Philosophica,_1508_(1230x1615).png)
![Таблица вычислений [de], используемая для арифметических вычислений с использованием римских цифр.](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e0/Rechentisch.png/1280px-Rechentisch.png)
В 690 году нашей эры императрица Ву ввела в обращение зэтианские иероглифы , одним из которых был «〇». Сейчас это слово используется как синоним числа ноль.
В Китае Гаутама Сиддха ввёл индуистские цифры с нулем в 718 году, но китайские математики не сочли их полезными, так как у них уже были десятичные позиционные счётные палочки . [21] [22]
В китайских цифрах кружок (〇) используется для записи нуля в сучжоуских цифрах . Многие историки считают, что он был импортирован из индийских цифр Гаутамой Сиддхой в 718 году, но некоторые китайские ученые полагают, что он был создан из китайского заполнителя текстового пространства «□». [21]
Китайцы и японцы окончательно переняли индуистско-арабские цифры в 19 веке, отказавшись от счетных стержней.
«Западно-арабские» цифры, которые широко использовались в Европе со времен барокко , вторично нашли применение во всем мире вместе с латинским алфавитом и даже значительно превысили современное распространение латинского алфавита , вторгаясь в системы письма в регионах, где другие использовались варианты индуистско-арабских цифр, а также в сочетании с китайским и японским письмом (см. Китайские цифры , Японские цифры ).
Когда Аравийская империя расширялась и были установлены контакты с Индией, арабы переняли индуистскую систему счисления и ранние алгоритмы.
