Выбрасывание девяток

Арифметическая процедура проверки операций по модулю характеристики цифры 9

Выбрасывание девяток - это любая из трех арифметических процедур: ^[1]

• Добавление десятичных цифр положительного целого числа , при необходимости игнорируя любые девятки или цифры, сумма которых кратна 9. Результатом этой процедуры является число, которое меньше исходного, когда исходное число имеет более одной цифры, оставляет такой же остаток, как у оригинала после деления на девять, и может быть получен из оригинала путем вычитания из него числа, кратного 9. Название процедуры происходит от этого последнего свойства.
• Повторное применение этой процедуры к результатам, полученным из предыдущих применений, до тех пор, пока не будет получено однозначное число. Это однозначное число называется « цифровым корнем » оригинала. Если число делится на 9, его цифровой корень равен 9. В противном случае его цифровой корень — это остаток, который остается после деления на 9.
• Тест на работоспособность , при котором вышеупомянутые процедуры используются для проверки ошибок в арифметических вычислениях. Проверка проводится путем применения к цифровым корням операндов той же последовательности арифметических операций, что и к самим операндам. Если в расчетах не допущено ошибок, цифровые корни двух результирующих будут одинаковыми. Если они различны, то в расчетах должна быть допущена одна или несколько ошибок.

Цифровые суммы

Чтобы «выбросить девятки» из одного числа, его десятичные цифры можно просто сложить, чтобы получить так называемую сумму цифр . Например, сумма цифр 2946 равна 2 + 9 + 4 + 6 = 21. Поскольку 21 = 2946 − 325 × 9, результат взятия суммы цифр 2946 заключается в том, чтобы «выбросить» из нее 325 лотов по 9. Если цифра 9 игнорируется при суммировании цифр, в результате «выбрасывается» еще одна девятка, чтобы получить результат 12.

В более общем смысле, при выбрасывании девяток путем суммирования цифр можно игнорировать любой набор цифр, сумма которых равна 9 или кратна 9. Например, в числе 3264 цифры 3 и 6 в сумме дают 9. Таким образом, игнорируя эти две цифры и суммируя две другие, мы получаем 2 + 4 = 6. Поскольку 6 = 3264 − 362 × 9, это вычисление имеет вид в результате было отброшено 362 лота по 9 из 3264.

Для произвольного числа , обычно представленного последовательностью десятичных цифр , сумма цифр равна . Разница между исходным числом и его суммой цифр равна ${\displaystyle 10^{n}d_{n}+10^{n-1}d_{n-1}+\cdots +d_{0}}$ ${\displaystyle d_{n}d_{n-1}\dots d_{0}}$ ${\displaystyle d_{n}+d_{n-1}+\cdots +d_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&10^{n}d_{n}+10^{n-1}d_{n-1}+\cdots +d_{0}-\left(d_{n}+d_{n-1}+\cdots +d_{0}\right)\\={}&\left(10^{n}-1\right)d_{n}+\left(10^{n-1}-1\right)d_{n-1}+\cdots +9d_{1}.\end{aligned}}}$

Поскольку числа формы всегда делятся на 9 (поскольку ), замена исходного числа его суммой цифр приводит к исключению ${\displaystyle 10^{i}-1}$ ${\displaystyle 10^{i}-1=9\times \left(10^{i-1}+10^{i-2}+\cdots +1\right)}$

${\displaystyle {\frac {10^{n}-1}{9}}d_{n}+{\frac {10^{n-1}-1}{9}}d_{n-1}+\cdots +d_{1}}$

много 9.

Цифровые корни

Если процедура, описанная в предыдущем абзаце, многократно применяется к результату каждого предыдущего применения, конечным результатом будет однозначное число, из которого «выброшены» все девятки, за возможным исключением одной. Полученное однозначное число называется цифровым корнем оригинала. Исключение возникает, когда исходное число имеет цифровой корень из 9, сумма цифр которого равна самой себе, и поэтому не может быть отброшена путем получения дальнейших сумм цифр.

Например, число 12565 имеет сумму цифр 1+2+5+6+5 = 19, которая, в свою очередь, имеет сумму цифр 1+9=10, которая, в свою очередь, имеет сумму цифр 1+0=1, однозначное число. Таким образом, цифровой корень числа 12565 равен 1, и его вычисление приводит к исключению (12565 - 1)/9 = 1396 партий по 9 из 12565.

Проверка расчетов путем выбрасывания девяток

Для проверки результата арифметического вычисления путем выбрасывания девяток каждое число в расчете заменяется его цифровым корнем и к этим цифровым корням применяются такие же вычисления. Затем цифровой корень результата этого расчета сравнивается с результатом исходного расчета. Если в расчетах не было допущено никакой ошибки, эти два цифровых корня должны быть одинаковыми. Ниже приведены примеры использования исключения девяток для проверки сложения , вычитания , умножения и деления .

Примеры

Добавление

В каждом сложении вычеркните все девятки и пары цифр, общая сумма которых равна 9, а затем сложите то, что осталось. Эти новые ценности называются эксцессами . Складывайте оставшиеся цифры для каждого слагаемого, пока не будет достигнута одна цифра. Теперь обработайте сумму , а также излишки, чтобы получить окончательный избыток.

Вычитание

Умножение

^* 8 раз по 8 — 64; 6 и 4 — 10; 1 и 0 равны 1.

Разделение

Как это работает

Этот метод работает, поскольку исходные числа являются «десятичными» (по основанию 10), модуль выбран так, чтобы отличаться на 1, а отбрасывание эквивалентно получению суммы цифр . В общем, любые два «больших» целых числа, x и y , выраженные в любом меньшем модуле как x' и y' (например, по модулю 7), всегда будут иметь ту же сумму, разность или произведение, что и их оригиналы. Это свойство сохраняется и для «суммы цифр», где основание и модуль отличаются на 1.

Если до выбрасывания расчет был верным, то выбрасывание в обе стороны сохранит правильность. Однако возможно, что два ранее неравных целых числа окажутся идентичными по модулю 9 (в среднем в девятой части случаев).

Операция не работает с дробями, поскольку данное дробное число не имеет уникального представления.

Вариант объяснения

Чтобы научиться складывать девятки, нужно прибавить десять к цифре и отсчитать единицу в обратном направлении. Поскольку мы прибавляем 1 к цифре десятков и вычитаем единицу из цифры единиц, сумма цифр должна остаться прежней. Например, 9 + 2 = 11 с 1 + 1 = 2. Таким образом, при сложении 9 с самим собой мы ожидаем, что сумма цифр будет равна 9 следующим образом: 9 + 9 = 18, (1 + 8 = 9) и 9+9+9=27, (2+7=9). Давайте рассмотрим простое умножение: 5×7 = 35, (3 + 5 = 8). Теперь рассмотрим (7 + 9) × 5 = 16 × 5 = 80, (8 + 0 = 8) или 7 × (9 + 5) = 7 × 14 = 98, (9 + 8 = 17), (1 + 7). = 8).

Любое неотрицательное целое число можно записать как 9×n + a, где «a» — это одна цифра от 0 до 8, а «n» — некоторое неотрицательное целое число. Таким образом, используя правило распределения, (9×n + a)×(9×m + b)= 9×9×n×m + 9(am + bn) + ab. Поскольку первые два множителя умножаются на 9, их суммы в конечном итоге будут равны 9 или 0, в результате чего у нас останется «ab». В нашем примере «a» было 7, а «b» было 5. Мы ожидали, что в любой базовой системе число перед этим основанием будет вести себя точно так же, как девять.

Ограничение на выбрасывание девяток

Хотя исключение девяток чрезвычайно полезно, оно не позволяет выявить все ошибки, допущенные при выполнении вычислений. Например, метод исключения девяток не распознает ошибку в вычислении 5 × 7, которая привела к ошибочным результатам 8, 17, 26 и т. д. (то есть к любому результату, соответствующему 8 по модулю 9). В частности, выбрасывание девяток не улавливает ошибки транспонирования , такие как 1324 вместо 1234. Другими словами, метод улавливает только ошибочные результаты, цифровой корень которых является одной из 8 цифр, отличной от корня правильного результата.

История

Форма выбрасывания девяток, известная древнегреческим математикам, была описана римским епископом Ипполитом (170–235) в « Опровержении всех ересей» и более кратко сирийским философом-неоплатоником Ямвлихом (ок. 245–ок. 325) в его книге «Опровержение всех ересей». комментарий к Введению в арифметику Никомаха Герасского . ^[2] Однако описания Ипполита и Ямвлиха ограничивались объяснением того, как повторяющиеся цифровые суммы греческих цифр использовались для вычисления уникального «корня» ^[3] между 1 и 9. Ни один из них не проявил никакого понимания того, как Процедура может быть использована для проверки результатов арифметических вычислений.

Самая ранняя известная сохранившаяся работа, описывающая, как выбрасывание девяток можно использовать для проверки результатов арифметических вычислений, — это «Махасиддханта» , написанная около 950 года индийским математиком и астрономом Арьябхатой II (ок. 920–1000). ^[4] Написав около 1020 года, персидский эрудит Ибн Сина ( Авиценна ) (ок. 980–1037) также дал полную информацию о том, что он назвал «индуистским методом» проверки арифметических вычислений путем выбрасывания девяток. ^[5]

Процедура была описана Фибоначчи в его Liber Abaci . ^[6] Его обычно преподавали в европейских школах до 20 века.

Обобщение

Этот метод можно обобщить для определения остатков от деления на определенные простые числа.

Поскольку 3·3 = 9,

${\displaystyle n{\bmod {3}}=(n{\bmod {9}}){\bmod {3}}.}$

Таким образом, мы можем использовать остаток от выбрасывания девяток, чтобы получить остаток от деления на три.

Отбрасывание девяноста девяток осуществляется путем добавления групп из двух цифр вместо одной цифры.

Поскольку 11·9 = 99,

${\displaystyle n{\bmod {1}}1=(n{\bmod {9}}9){\bmod {1}}1.}$

Таким образом, мы можем использовать остаток от отбрасывания девяноста девяток, чтобы получить остаток от деления на одиннадцать. Это называется изгнанием одиннадцати . Тот же результат можно вычислить и напрямую, поочередно складывая и вычитая цифры, составляющие . Одиннадцать делит тогда и только тогда, когда одиннадцать делит эту сумму. ^[7] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Выпадение девятисот девяносто девяток осуществляется путем сложения групп по три цифры.

Поскольку 37·27 = 999,

${\displaystyle n{\bmod {3}}7=(n{\bmod {9}}99){\bmod {3}}7.}$

Таким образом, мы можем использовать остаток от отбрасывания девятисот девяноста девяти, чтобы получить остаток от деления на тридцать семь.

Примечания

1. Кранц (2010, стр. 67–70)
2. Хит (1921, стр. 113–117), Ипполит Римский (1919, стр. 30–32).
3. Греческий термин, использованный Ипполитом, был « πυθμήν » (« пифмены »).
4. Датта и Сингх (1962, стр. 180–184)
5. Датта и Сингх (1962, стр. 184)
6. Уэллс, Д. Словарь любопытных и интересных чисел Penguin . Миддлсекс, Англия: Penguin Books, с. 74, 1986.
7. Лонг (1972, стр. 83)

Рекомендации

• Датта, Бибхатибхусан ; Сингх, Авадхеш Нараян (1962) [1935], История индуистской математики: справочник , Бомбей: Издательство Asia Publishing House.
• Фуллер, Р. Бакминстер (апрель 1982 г.), Синергетика: исследования геометрии мышления (новое издание), Нью-Йорк, Нью-Йорк: Macmillan Publishing Company, ISBN 0-02-065320-4
• Хит, сэр Томас (1921), История греческой математики, том. I: От Фалеса до Евклида , Оксфорд: Издательство Оксфордского университета.
• Ипполит Римский (1919) [ок. 230], Опровержение всех ересей, перевод Мак-Магона, преподобного Дж. Х., В книге Робертса и Дональдсона (1919, стр. 9–153)
• Кранц, Стивен Г. (2010), Эпизодическая история математики - математическая культура через решение проблем, Математическая ассоциация Америки , ISBN 978-0-88385-766-3, LCCN  2010921168
• Лонг, Кэлвин Т. (1972), Элементарное введение в теорию чисел (2-е изд.), Лексингтон: DC Heath and Company , LCCN  77171950
• Робертс, преподобный Александр, DD ; Дональдсон, Джеймс, доктор юридических наук. , ред. (1919), Доникейские отцы. Переводы Отеческих Писаний до 325 г. н.э., том. V, американское переиздание эдинбургского издания, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Сыновья Чарльза Скрибнера.{{citation}}: CS1 maint: несколько имен: список редакторов ( ссылка )

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Изгнание девяток». Математический мир .
• «Нумерология» Р. Бакминстера Фуллера
• «Паранормальные числа» Пола Никетта
• Грайм, Джеймс. «Изгнание девяток» (видео) . YouTube . Брэйди Харан . Проверено 13 сентября 2017 г.