Сумма цифр

Сумма цифр числа

В математике сумма цифр натурального числа в данной системе счисления равна сумме всех его цифр . Например, сумма цифр десятичного числа будет равна ${\displaystyle 9045}$ ${\displaystyle 9+0+4+5=18.}$

Определение

Пусть будет натуральным числом. Мы определяем сумму цифр для base следующим образом : ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b>1}$ ${\displaystyle F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$

${\displaystyle F_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k}d_{i}}$

где на единицу меньше количества цифр в числе по основанию , и ${\displaystyle k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor }$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b}}^{i}}{b^{i}}}}$

— значение каждой цифры числа.

Например, в десятичной системе счисления сумма цифр 84001 равна ${\displaystyle F_{10}(84001)=8+4+0+0+1=13.}$

Для любых двух оснований и для достаточно больших натуральных чисел ${\displaystyle 2\leq b_{1}<b_{2}}$ ${\displaystyle n,}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}F_{b_{1}}(k)<\sum _{k=0}^{n}F_{b_{2}}(k).}$^[1]

Сумма десятизначных цифр целых чисел 0, 1, 2, ... определяется OEIS : A007953 в Онлайн-энциклопедии целочисленных последовательностей . Борвейн и Борвейн (1992) используют производящую функцию этой целочисленной последовательности (и аналогичной последовательности для сумм двоичных цифр) для вывода нескольких быстро сходящихся рядов с рациональными и трансцендентными суммами. ^[2]

Расширение до отрицательных целых чисел

Сумма цифр может быть расширена до отрицательных целых чисел, используя представление цифр со знаком для представления каждого целого числа.

Приложения

Концепция суммы десятичных цифр тесно связана с цифровым корнем , но не совпадает с ним , который является результатом многократного применения операции суммы цифр до тех пор, пока оставшееся значение не станет только одной цифрой. Десятичный цифровой корень любого ненулевого целого числа будет числом в диапазоне от 1 до 9, тогда как сумма цифр может принимать любое значение. Суммы цифр и цифровые корни можно использовать для быстрого теста на делимость : натуральное число делится на 3 или 9 тогда и только тогда, когда его цифровая сумма (или цифровой корень) делится на 3 или 9 соответственно. На делимость на 9 этот критерий называется правилом девяток и лежит в основе методики выбрасывания девяток для проверки вычислений.

Суммы цифр также являются распространенным компонентом алгоритмов контрольных сумм для проверки арифметических операций первых компьютеров. ^[3] Ранее, в эпоху ручных вычислений, Эджворт (1888) предложил использовать суммы 50 цифр, взятые из математических таблиц логарифмов, как форму генерации случайных чисел ; если предположить, что каждая цифра случайна, то согласно центральной предельной теореме эти суммы цифр будут иметь случайное распределение, близкое к распределению Гаусса . ^[4]

Сумма цифр двоичного представления числа известна как вес Хэмминга или количество населения; Алгоритмы выполнения этой операции были изучены, и она была включена как встроенная операция в некоторые компьютерные архитектуры и некоторые языки программирования . Эти операции используются в вычислительных приложениях, включая криптографию , теорию кодирования и компьютерные шахматы .

Числа Харшада определяются с точки зрения делимости на их суммы цифр, а числа Смита определяются как равенство их цифровых сумм с цифровыми суммами их простых факторизаций .

Смотрите также

• Арифметическая динамика
• Выбрасывание девяток
• Контрольная сумма
• Цифровой корень
• Вес Хэмминга
• Номер Харшада
• Идеальный цифровой инвариант
• Боковая сумма
• число Смита
• Сумма-номер продукта

Рекомендации

1. Буш, Л.Е. (1940), «Асимптотическая формула для средней суммы цифр целых чисел», American Mathematical Monthly , Mathematical Association of America, 47 (3): 154–156, doi : 10.2307/2304217, JSTOR  2304217.
2. Борвейн, Дж. М .; Борвейн, П.Б. (1992), «Странные серии и высокоточное мошенничество» (PDF) , American Mathematical Monthly , 99 (7): 622–640, doi : 10.2307/2324993, hdl : 1959.13/1043650 , JSTOR  2324993, заархивировано из оригинал (PDF) 9 мая 2016 г. , получено 2 марта 2009 г..
3. Блох, РМ; Кэмпбелл, РВД; Эллис, М. (1948), «Логическая конструкция компьютера Raytheon», Математические таблицы и другие средства вычислений , Американское математическое общество, 3 (24): 286–295, doi : 10.2307/2002859, JSTOR  2002859.
4. Эджворт, финансовый год (1888), «Математическая теория банковского дела» (PDF) , Журнал Королевского статистического общества , 51 (1): 113–127, заархивировано из оригинала (PDF) 13 сентября 2006 г..

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Сумма цифр». Математический мир .
• [1] Простое применение суммы цифр