Знаковое представление цифр

Позиционная система со знаком цифр; представление может быть не уникальным

В математической записи чисел представление цифр со знаком представляет собой позиционную систему счисления с набором цифр со знаком, используемых для кодирования целых чисел .

Представление знаковых цифр можно использовать для быстрого сложения целых чисел, поскольку оно позволяет исключить цепочки зависимых переносов. ^[1] В двоичной системе счисления особым случаем представления знаковых цифр является несмежная форма , которая может обеспечить преимущества в скорости с минимальными затратами на пространство.

История

Проблемы с расчетами побудили первых авторов Колсона (1726) и Коши (1840) использовать представление знаковых цифр. Дальнейший шаг по замене отрицательных цифр новыми был предложен Селлингом (1887) и Каджори (1928).

В 1928 году Флориан Каджори отметил повторяющуюся тему знаковых цифр, начиная с Колсона (1726 г.) и Коши (1840 г.). ^[2] В своей книге «История математических обозначений » Каджори назвал раздел «Отрицательные числа». ^[3] Для полноты картины Колсон ^[4] использует примеры и описывает сложение (стр. 163–4), умножение (стр. 165–6) и деление (стр. 170–1), используя таблицу кратных делителя. Он объясняет удобство аппроксимации усечением при умножении. Колсон также разработал инструмент (таблицу подсчета), которая производила расчеты с использованием знаковых цифр.

Эдуард Селлинг ^[5] предлагал инвертировать цифры 1, 2, 3, 4 и 5 для обозначения отрицательного знака. Он также предложил snie , jes , jerd , reff и niff в качестве имен для устного использования. В большинстве других ранних источников над цифрой использовалась черта, обозначающая ее отрицательный знак. Другое использование знаковых цифр в Германии было описано в 1902 году в энциклопедии Кляйна . ^[6]

Определение и свойства

Набор цифр

Позвольте быть конечным набором числовых цифр с мощностью (Если , то позиционная система счисления тривиальна и представляет только тривиальное кольцо ), причем каждая цифра, обозначаемая как for , известна как основание системы счисления или основание счисления . может использоваться для представления цифр со знаком, если оно связано с уникальной функцией, такой что для всех . Эта функция строго и формально устанавливает, как целочисленные значения присваиваются символам/глифам в одном из преимуществ этого формализма заключается в том, что определение «целые числа» (как бы они ни были определены) не связаны с какой-либо конкретной системой их записи/представления; таким образом, эти две разные (хотя и тесно связанные) концепции остаются отдельными. ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle b>1}$ ${\displaystyle b\leq 1}$ ${\displaystyle d_{i}}$ ${\displaystyle 0\leq i<b.}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle f_{\mathcal {D}}:{\mathcal {D}}\rightarrow \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle f_{\mathcal {D}}(d_{i})\equiv i{\bmod {b}}}$ ${\displaystyle 0\leq i<b.}$ ${\displaystyle f_{\mathcal {D}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}.}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}}$можно разделить на три различных набора , , и , представляющих положительные, ноль и отрицательные цифры соответственно, так что все цифры удовлетворяют , все цифры удовлетворяют и все цифры удовлетворяют . Мощность is , мощность is и мощность is , давая количество положительных и отрицательных цифр соответственно, таких что . ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{+}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{-}}$ ${\displaystyle d_{+}\in {\mathcal {D}}_{+}}$ ${\displaystyle f_{\mathcal {D}}(d_{+})>0}$ ${\displaystyle d_{0}\in {\mathcal {D}}_{0}}$ ${\displaystyle f_{\mathcal {D}}(d_{0})=0}$ ${\displaystyle d_{-}\in {\mathcal {D}}_{-}}$ ${\displaystyle f_{\mathcal {D}}(d_{-})<0}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{+}}$ ${\displaystyle b_{+}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{0}}$ ${\displaystyle b_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{-}}$ ${\displaystyle b_{-}}$ ${\displaystyle b=b_{+}+b_{0}+b_{-}}$

Представления сбалансированной формы

Представления сбалансированной формы — это представления, в которых для каждой положительной цифры существует соответствующая отрицательная цифра такая, что . Следует, что . Только нечетные базы могут иметь представления сбалансированной формы, так как в противном случае она должна быть противоположной самой себе и, следовательно, 0, но . В сбалансированной форме отрицательные цифры обычно обозначаются как положительные цифры с чертой над цифрой, как для . Например, набор цифр сбалансированной троичной системы будет состоять из , и . Это соглашение принимается в конечных полях нечетного простого порядка : ^[7] ${\displaystyle d_{+}}$ ${\displaystyle d_{-}}$ ${\displaystyle f_{\mathcal {D}}(d_{+})=-f_{\mathcal {D}}(d_{-})}$ ${\displaystyle b_{+}=b_{-}}$ ${\displaystyle d_{b/2}}$ ${\displaystyle 0\neq {\frac {b}{2}}}$ ${\displaystyle d_{-}\in {\mathcal {D}}_{-}}$ ${\displaystyle d_{-}={\bar {d}}_{+}}$ ${\displaystyle d_{+}\in {\mathcal {D}}_{+}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{3}=\lbrace {\bar {1}},0,1\rbrace }$ ${\displaystyle f_{{\mathcal {D}}_{3}}({\bar {1}})=-1}$ ${\displaystyle f_{{\mathcal {D}}_{3}}(0)=0}$ ${\displaystyle f_{{\mathcal {D}}_{3}}(1)=1}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle \mathbb {F} _{q}=\lbrace 0,1,{\bar {1}}=-1,...d={\frac {q-1}{2}},\ {\bar {d}}={\frac {1-q}{2}}\ |\ q=0\rbrace .}$

Двойное представление цифр со знаком

Каждый набор цифр имеет двойной набор цифр , заданный обратным порядком цифр с изоморфизмом, определяемым . В результате для любого знаково-цифрового представления кольца системы счисления , построенного из с оценкой , существует двойственное знаково-цифровое представление , , построенное из с оценкой , и изоморфизм, определенный , где - аддитивный обратный оператор . Набор цифр для представлений сбалансированной формы является самодвойственным . ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\operatorname {op} }}$ ${\displaystyle g:{\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {D}}^{\operatorname {op} }}$ ${\displaystyle -f_{\mathcal {D}}=g\circ f_{{\mathcal {D}}^{\operatorname {op} }}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {N}}\rightarrow N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}^{\operatorname {op} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\operatorname {op} }}$ ${\displaystyle v_{{\mathcal {D}}^{\operatorname {op} }}:{\mathcal {N}}^{\operatorname {op} }\rightarrow N}$ ${\displaystyle h:{\mathcal {N}}\rightarrow {\mathcal {N}}^{\operatorname {op} }}$ ${\displaystyle -v_{\mathcal {D}}=h\circ v_{{\mathcal {D}}^{\operatorname {op} }}}$ ${\displaystyle -}$ ${\displaystyle N}$

Для целых чисел

Учитывая набор цифр и функцию, определенные выше, давайте определим целочисленную эндофункцию следующим образом: ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle f:{\mathcal {D}}\rightarrow \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle T:\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} }$

${\displaystyle T(n)={\begin{cases}{\frac {n-f(d_{i})}{b}}&{\text{if }}n\equiv i{\bmod {b}},0\leq i<b\end{cases}}}$

Если единственной периодической точкой является фиксированная точка , то набор всех знаковых представлений целых чисел, используя , задается плюсом Клини , набором всех конечных объединенных строк цифр , содержащих хотя бы одну цифру, с . Каждое представление знаковых цифр имеет оценку. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{+}}$ ${\displaystyle d_{n}\ldots d_{0}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle m\in {\mathcal {D}}^{+}}$ ${\displaystyle v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {D}}^{+}\rightarrow \mathbb {Z} }$

${\displaystyle v_{\mathcal {D}}(m)=\sum _{i=0}^{n}f_{\mathcal {D}}(d_{i})b^{i}}$.

Примеры включают сбалансированную троичную систему с цифрами . ${\displaystyle {\mathcal {D}}=\lbrace {\bar {1}},0,1\rbrace }$

В противном случае, если существует ненулевая периодическая точка , то существуют целые числа, которые представлены бесконечным числом ненулевых цифр в . Примеры включают стандартную десятичную систему счисления с набором цифр , которая требует бесконечного числа цифр для представления аддитивной обратной величины , как , и позиционную систему счисления с набором цифр с , которая требует бесконечного количества цифр для представления числа. номер , как . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle \operatorname {dec} =\lbrace 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\rbrace }$ ${\displaystyle 9}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle T_{\operatorname {dec} }(-1)={\frac {-1-9}{10}}=-1}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}=\lbrace {\text{A}},0,1\rbrace }$ ${\displaystyle f({\text{A}})=-4}$ ${\displaystyle {\text{A}}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle T_{\mathcal {D}}(2)={\frac {2-(-4)}{3}}=2}$

Для десятичных дробей

Если целые числа могут быть представлены плюсом Клини , то набор всех знаковых представлений десятичных дробей или -адических рациональных чисел задается декартовым произведением плюса Клини , набором всех конечных объединенных строк цифры , содержащие хотя бы одну цифру, синглтон , состоящий из точки счисления ( или ), и звезда Клини , набор всех конечных объединенных строк цифр с . Каждое представление знаковых цифр имеет оценку. ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{+}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [1\backslash b]}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}={\mathcal {D}}^{+}\times {\mathcal {P}}\times {\mathcal {D}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{+}}$ ${\displaystyle d_{n}\ldots d_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle .}$ ${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{*}}$ ${\displaystyle d_{-1}\ldots d_{-m}}$ ${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle q\in {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {Q}}\rightarrow \mathbb {Z} [1\backslash b]}$

${\displaystyle v_{\mathcal {D}}(q)=\sum _{i=-m}^{n}f_{\mathcal {D}}(d_{i})b^{i}}$

Для действительных чисел

Если целые числа могут быть представлены плюсом Клини , то набор всех знаковых представлений действительных чисел определяется как декартово произведение плюса Клини , набора всех конечных объединенных строк цифр , содержащих хотя бы одну цифру. , синглтон , состоящий из точки счисления ( или ), и канторова пространства , набора всех бесконечных объединенных строк цифр , с . Каждое представление знаковых цифр имеет оценку. ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}={\mathcal {D}}^{+}\times {\mathcal {P}}\times {\mathcal {D}}^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{+}}$ ${\displaystyle d_{n}\ldots d_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle .}$ ${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle d_{-1}d_{-2}\ldots }$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle r\in {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {R}}\rightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle v_{\mathcal {D}}(r)=\sum _{i=-\infty }^{n}f_{\mathcal {D}}(d_{i})b^{i}}$.

Бесконечный ряд всегда сходится к конечному действительному числу.

Для других систем счисления

Все базовые цифры могут быть представлены как подмножество , набора всех дважды бесконечных последовательностей цифр в , где - набор целых чисел , а кольцо базовых цифр представлено формальным кольцом степенных рядов , дважды бесконечным рядом ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [[b,b^{-1}]]}$

${\displaystyle \sum _{i=-\infty }^{\infty }a_{i}b^{i}}$

где для . ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle i\in \mathbb {Z} }$

Целые числа по модулю степени b

Набор всех представлений целых чисел со знаком по модулю ${\displaystyle b^{n}}$ , задается набором , набором всех конечных объединенных строк цифр длины , с . Каждое представление знаковых цифр имеет оценку. ${\displaystyle \mathbb {Z} \backslash b^{n}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{n}}$ ${\displaystyle d_{n-1}\ldots d_{0}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle m\in {\mathcal {D}}^{n}}$ ${\displaystyle v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {D}}^{n}\rightarrow \mathbb {Z} /b^{n}\mathbb {Z} }$

${\displaystyle v_{\mathcal {D}}(m)\equiv \sum _{i=0}^{n-1}f_{\mathcal {D}}(d_{i})b^{i}{\bmod {b}}^{n}}$

Группы Прюфера

Группа Прюфера — это факторгруппа целых чисел и -адических рациональных чисел. Набор всех знаково-цифровых представлений группы Прюфера задается звездой Клини , набором всех конечных объединенных строк цифр с . Каждое представление знаковых цифр имеет оценку. ${\displaystyle \mathbb {Z} (b^{\infty })=\mathbb {Z} [1\backslash b]/\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{*}}$ ${\displaystyle d_{1}\ldots d_{n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle p\in {\mathcal {D}}^{*}}$ ${\displaystyle v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {D}}^{*}\rightarrow \mathbb {Z} (b^{\infty })}$

${\displaystyle v_{\mathcal {D}}(m)\equiv \sum _{i=1}^{n}f_{\mathcal {D}}(d_{i})b^{-i}{\bmod {1}}}$

Группа кругов

Группа кругов — это факторгруппа целых и действительных чисел. Набор всех знаково-цифровых представлений группы кругов задается канторовым пространством , набором всех бесконечных справа объединенных строк цифр . Каждое представление знаковых цифр имеет оценку. ${\displaystyle \mathbb {T} =\mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle d_{1}d_{2}\ldots }$ ${\displaystyle m\in {\mathcal {D}}^{n}}$ ${\displaystyle v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {D}}^{\mathbb {N} }\rightarrow \mathbb {T} }$

${\displaystyle v_{\mathcal {D}}(m)\equiv \sum _{i=1}^{\infty }f_{\mathcal {D}}(d_{i})b^{-i}{\bmod {1}}}$

Бесконечный ряд всегда сходится .

b -адические целые числа

Набор всех знаково-цифровых представлений -адических целых чисел задается канторовым пространством , набором всех бесконечных слева объединенных строк цифр . Каждое представление знаковых цифр имеет оценку. ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{b}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \ldots d_{1}d_{0}}$ ${\displaystyle m\in {\mathcal {D}}^{n}}$ ${\displaystyle v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {D}}^{\mathbb {N} }\rightarrow \mathbb {Z} _{b}}$

${\displaystyle v_{\mathcal {D}}(m)=\sum _{i=0}^{\infty }f_{\mathcal {D}}(d_{i})b^{i}}$

б -адические соленоиды

Набор всех знаково-цифровых представлений -адических соленоидов задается пространством Кантора , набором всех дважды бесконечных объединенных строк цифр . Каждое представление знаковых цифр имеет оценку. ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \mathbb {T} _{b}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle \ldots d_{1}d_{0}d_{-1}\ldots }$ ${\displaystyle m\in {\mathcal {D}}^{n}}$ ${\displaystyle v_{\mathcal {D}}:{\mathcal {D}}^{\mathbb {Z} }\rightarrow \mathbb {T} _{b}}$

${\displaystyle v_{\mathcal {D}}(m)=\sum _{i=-\infty }^{\infty }f_{\mathcal {D}}(d_{i})b^{i}}$

В письменной и устной речи

Индоарийские языки

В устной и письменной формах чисел в индоарийских языках используются отрицательные числительные (например, «ун» на хинди и бенгали , «ун» или «унна» на пенджаби , «экон» на маратхи ) для чисел от 11 до 90, которые заканчиваются девяткой. Ниже показаны цифры, за которыми следуют их имена, для пенджабского языка (префикс «ik» означает «один»): ^[8]

• 19 онни, 20 вих, 21 икки
• 29 унатти, 30 тих, 31 икатти
• 39 унтали, 40 чали, 41 иктали
• 49 унанджа, 50 панджа, 51 икванджа
• 59 унахат, 60 сат, 61 икахат
• 69 унаттар, 70 саттар, 71 ихаттар
• 79 унаси, 80 асси, 81 икиаси
• 89 унанве, 90 наббе, 91 икиннавен.

Точно так же в языке сесото отрицательные числа используются для образования цифр 8 и 9.

• 8 робели (/Ро-бэй-ди/), что означает «сломать два», то есть два пальца вниз.
• 9 робонг (/Ro-bong/), что означает «сломать один», то есть один палец вниз.

Классическая латынь

В классической латыни [ ^9] целые числа 18 и 19 на практике не имели ни устной, ни письменной формы, включая соответствующие части для «восемь» или «девять», несмотря на то, что они существовали. Вместо этого в классической латыни

• 18 = duodēvīgintī («два из двадцати»), (IIXX или XIIX),
• 19 = ундэвигинти («один из двадцати»), (IXX или XIX)
• 20 = вигинти («двадцать»), (ХХ).

Для последующих целых чисел [28, 29, 38, 39, ..., 88, 89] аддитивная форма в языке была гораздо более распространена, однако для перечисленных чисел по-прежнему предпочтительна вышеуказанная форма. Следовательно, приближаясь к тридцати, цифры выражались как: ^[10]

• 28 = duodētrīgintā («два из тридцати»), еще реже vīgintī Octō / Octō et vīgintī («двадцать восемь / восемь и двадцать»), (IIXXX или XXIX против XXVIII, последний полностью вытеснен).
• 29 = undētrīginta («один из тридцати»), несмотря на менее предпочтительную форму, также была в их распоряжении.

Это одна из основных основ рассуждений современных историков, объясняющая, почему вычитающие I- и II- были так распространены в этом диапазоне кардиналов по сравнению с другими диапазонами. Числа 98 и 99 также могли быть выражены в обеих формах, однако «от двух до ста» могло звучать немного странно - очевидным свидетельством является редкое появление этих чисел, записанных вычитательным способом в подлинных источниках.

Финский язык

Существует еще один язык, обладающий этой функцией (пока лишь в следах), однако он до сих пор активно используется. Это финский язык , где (прописанные) цифры используются таким образом, если встречается цифра 8 или 9. Схема такая: ^[11]

• 1 = «yksi» (Примечание: yhd- или yht- в основном, когда нужно отклонить; например, «yhdessä» = «вместе, как одно [сущность]»)
• 2 = «какси» (также обратите внимание: кахде-, кахте- при отклонении)
• 3 = "колме"
• 4 = "нелья"

...

• 7 = "сейтсемен"
• 8 = «ках(д)ексан» (осталось два [чтобы дойти])
• 9 = "yh(d)eksän" (остался один [чтобы дойти до него])
• 10 = «кымменен» (десять)

Приведенный выше список не является особым случаем, следовательно, он встречается и в более крупных кардиналах, например:

• 399 = "kolmesataayhdeksänkymmentäyhdeksän"

Подчеркивание этих признаков сохраняется даже в самых коротких разговорных формах числительных:

• 1 = "уу"
• 2 = "каа"
• 3 = "куу"

...

• 7 = "сейска"
• 8 = «каси»
• 9 = "йси"
• 10 = "кимппи"

Однако это явление не оказывает никакого влияния на письменные цифры, финны используют стандартную западно-арабскую десятичную систему счисления.

Учет времени

В английском языке время принято называть, например, «семь до трех», «до» выполнения отрицания.

Другие системы

Существуют и другие базы знаковых цифр, такие как база . Ярким примером этого является кодировка Бута , в которой цифры установлены с помощью и , но используется база . Стандартная двоичная система счисления будет использовать только цифры значений . ${\displaystyle b\neq b_{+}+b_{-}+1}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}=\lbrace {\bar {1}},0,1\rbrace }$ ${\displaystyle b_{+}=1}$ ${\displaystyle b_{-}=1}$ ${\displaystyle b=2<3=b_{+}+b_{-}+1}$ ${\displaystyle \lbrace 0,1\rbrace }$

Обратите внимание, что нестандартные представления знаковых цифр не уникальны. Например:

${\displaystyle 0111_{\mathcal {D}}=4+2+1=7}$

${\displaystyle 10{\bar {1}}1_{\mathcal {D}}=8-2+1=7}$

${\displaystyle 1{\bar {1}}11_{\mathcal {D}}=8-4+2+1=7}$

${\displaystyle 100{\bar {1}}_{\mathcal {D}}=8-1=7}$

Несмежная форма (NAF) кодировки Бута гарантирует уникальное представление для каждого целочисленного значения. Однако это применимо только для целочисленных значений. Например, рассмотрим следующие повторяющиеся двоичные числа в NAF:

${\displaystyle {\frac {2}{3}}=0.{\overline {10}}_{\mathcal {D}}=1.{\overline {0{\bar {1}}}}_{\mathcal {D}}}$

Смотрите также

• Сбалансированный тройной
• Отрицательная база
• Избыточное двоичное представление

Примечания и ссылки

1. Дхананджай Фатак, И. Корен (1994) Гибридные системы счисления со знаковыми цифрами: унифицированная структура для представлений избыточных чисел с ограниченными цепочками распространения переноса
2. Огюстен-Луи Коши (16 ноября 1840 г.) «Sur les moyens d'eviter les erreurs dans les Calculs numerique», Comptes rendus 11:789. Также найден в комплектах Oevres Ser. 1, том. 5, стр. 434–42.
3. Каджори, Флориан (1993) [1928-1929]. История математических обозначений . Дуврские публикации . п. 57. ИСБН 978-0486677668.
4. Джон Колсон (1726) «Краткий отчет об отрицательно-утвердительной арифметике», Philosophical Transactions of the Royal Society 34:161–173. Доступен как ранний журнальный контент на сайте JSTOR.
5. Эдуард Селлинг (1887) Eine neue Rechenmachine , стр. 15–18, Берлин
6. Рудольф Мемке (1902) «Numerisches Rechen», §4 Beschränkung in den verwendeten Ziffern, энциклопедия Кляйна , I-2, стр. 944.
7. Хиршфельд, JWP (1979). Проективные геометрии над конечными полями . Издательство Оксфордского университета . п. 8. ISBN 978-0-19-850295-1.
8. Пенджабские цифры из Quizlet
9. Дж. Мэтью Харрингтон (2016) Краткое описание древней латинской грамматики
10. [1] из английского Викисловаря
11. [2] из Киелитоимистон санакирьи

• Дж. П. Балантин (1925) «Цифра вместо отрицательной единицы», American Mathematical Monthly 32:302.
• Луи Хан, Дондон Чен, Сок-Бум Ко, Хан А. Вахид «Неспекулятивный сумматор десятичных знаков со знаком» из факультета электротехники и вычислительной техники, Университет Саскачевана .