Цифровой корень

Повторяющаяся сумма цифр числа

Цифровой корень (также повторяющаяся цифровая сумма ) натурального числа в данной системе счисления — это (однозначное) значение, полученное в результате итеративного процесса суммирования цифр , на каждой итерации с использованием результата предыдущей итерации для вычисления суммы цифр. Процесс продолжается до тех пор, пока не будет достигнуто однозначное число. Например, по основанию 10 цифровой корень числа 12345 равен 6, поскольку сумма цифр в числе равна 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15, тогда процесс сложения повторяется еще раз для полученного числа 15. , так что сумма 1 + 5 равна 6, что является цифровым корнем этого числа. В десятичной системе счисления это эквивалентно получению остатка при делении на 9 (за исключением случаев, когда цифровой корень равен 9, где остаток от деления на 9 будет равен 0), что позволяет использовать его в качестве правила делимости .

Формальное определение

Пусть будет натуральным числом. Для base мы определяем сумму цифр следующим образом: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b>1}$ ${\displaystyle F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$

${\displaystyle F_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}}$

где количество цифр в числе по основанию , и ${\displaystyle k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b}}^{i}}{b^{i}}}}$

— значение каждой цифры числа. Натуральное число является цифровым корнем, если оно является фиксированной точкой для , что происходит, если . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F_{b}}$ ${\displaystyle F_{b}(n)=n}$

Все натуральные числа являются предпериодическими точками для , независимо от основания. Это потому, что если , то ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F_{b}}$ ${\displaystyle n\geq b}$

${\displaystyle n=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}b^{i}}$

и поэтому

${\displaystyle F_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}<\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}b^{i}=n}$

потому что . Если , то тривиально ${\displaystyle b>1}$ ${\displaystyle n<b}$

${\displaystyle F_{b}(n)=n}$

Следовательно, единственными возможными цифровыми корнями являются натуральные числа , и нет никаких циклов, кроме фиксированных точек . ${\displaystyle 0\leq n<b}$ ${\displaystyle 0\leq n<b}$

Пример

В базе 12 8 — это аддитивный цифровой корень числа 3110 по основанию 10 , как и для ${\displaystyle n=3110}$

${\displaystyle d_{0}={\frac {3110{\bmod {12^{0+1}}}-3110{\bmod {1}}2^{0}}{12^{0}}}={\frac {3110{\bmod {12}}-3110{\bmod {1}}}{1}}={\frac {2-0}{1}}={\frac {2}{1}}=2}$

${\displaystyle d_{1}={\frac {3110{\bmod {12^{1+1}}}-3110{\bmod {1}}2^{1}}{12^{1}}}={\frac {3110{\bmod {144}}-3110{\bmod {1}}2}{12}}={\frac {86-2}{12}}={\frac {84}{12}}=7}$

${\displaystyle d_{2}={\frac {3110{\bmod {12^{2+1}}}-3110{\bmod {1}}2^{2}}{12^{2}}}={\frac {3110{\bmod {1728}}-3110{\bmod {1}}44}{144}}={\frac {1382-86}{144}}={\frac {1296}{144}}=9}$

${\displaystyle d_{3}={\frac {3110{\bmod {12^{3+1}}}-3110{\bmod {1}}2^{3}}{12^{3}}}={\frac {3110{\bmod {20736}}-3110{\bmod {1}}728}{1728}}={\frac {3110-1382}{1728}}={\frac {1728}{1728}}=1}$

${\displaystyle F_{12}(3110)=\sum _{i=0}^{4-1}d_{i}=2+7+9+1=19}$

Этот процесс показывает, что 3110 — это 1972 по основанию 12 . Теперь о ${\displaystyle F_{12}(3110)=19}$

${\displaystyle d_{0}={\frac {19{\bmod {12^{0+1}}}-19{\bmod {1}}2^{0}}{12^{0}}}={\frac {19{\bmod {12}}-19{\bmod {1}}}{1}}={\frac {7-0}{1}}={\frac {7}{1}}=7}$

${\displaystyle d_{1}={\frac {19{\bmod {12^{1+1}}}-19{\bmod {1}}2^{1}}{12^{1}}}={\frac {19{\bmod {144}}-19{\bmod {1}}2}{12}}={\frac {19-7}{12}}={\frac {12}{12}}=1}$

${\displaystyle F_{12}(19)=\sum _{i=0}^{2-1}d_{i}=1+7=8}$

показывает, что 19 равно 17 по основанию 12 . А так как 8 — это однозначное число по основанию 12 , то

${\displaystyle F_{12}(8)=8}$.

Прямые формулы

Мы можем определить корень цифры непосредственно для базы следующими способами: ${\displaystyle b>1}$ ${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$

Формула сравнения

Формула в базе : ${\displaystyle b}$

${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(n)={\begin{cases}0&{\mbox{if}}\ n=0,\\b-1&{\mbox{if}}\ n\neq 0,\ n\ \equiv 0{\bmod {b-1}},\\n\ {\rm {mod}}\ (b-1)&{\mbox{if}}\ n\not \equiv 0{\bmod {b-1}}\end{cases}}}$

или,

${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(n)={\begin{cases}0&{\mbox{if}}\ n=0,\\1\ +\ ((n-1)\ {\rm {mod}}\ (b-1))&{\mbox{if}}\ n\neq 0.\end{cases}}}$

В базе 10 соответствующая последовательность (последовательность A010888 в OEIS ).

Цифровой корень — это значение по модулю, потому что независимо от позиции значение одно и то же — поэтому цифры можно добавлять осмысленно. Конкретно для трёхзначного числа ${\displaystyle b-1}$ ${\displaystyle b\equiv 1{\bmod {b-1}},}$ ${\displaystyle b^{k}\equiv 1^{k}\equiv 1{\bmod {b-1}},}$ ${\displaystyle n{\bmod {b}}-1}$ ${\displaystyle ab^{2}\equiv ab\equiv a{\bmod {b-1}}}$ ${\displaystyle n=a_{1}b^{2}+a_{2}b^{1}+a_{3}b^{0}}$

${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(n)\equiv a_{1}b^{2}+a_{2}b^{1}+a_{3}b^{0}\equiv a_{1}(1)+a_{2}(1)+a_{3}(1)\equiv (a_{1}+a_{2}+a_{3}){\bmod {b-1}}}$.

Для получения модулярного значения по отношению к другим числам можно брать взвешенные суммы , где вес на -й цифре соответствует значению по модулю . В системе счисления с 10 это проще всего сделать для 2, 5 и 10, где старшие цифры исчезают (поскольку 2 и 5 делят 10), что соответствует известному факту, что делимость десятичного числа относительно 2, 5 и 10 можно проверить по последней цифре (четные числа оканчиваются на 0, 2, 4, 6 или 8). ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle b^{k}}$ ${\displaystyle n}$

Также следует отметить модуль : поскольку и таким образом попеременная сумма цифр дает значение по модулю . ${\displaystyle n=b+1}$ ${\displaystyle b\equiv -1{\bmod {b+1}},}$ ${\displaystyle b^{2}\equiv (-1)^{2}\equiv 1{\pmod {b+1}},}$ ${\displaystyle b+1}$

Использование функции пола

Это помогает увидеть цифровой корень положительного целого числа как позицию, которую он занимает по отношению к наибольшему кратному меньшему, чем само число. Например, в системе счисления 6 цифровой корень из 11 равен 2, что означает, что 11 — второе число после . Аналогично, в десятичной системе цифровой корень числа 2035 равен 1, что означает, что . Если число дает цифровой корень ровно , то это число кратно . ${\displaystyle b-1}$ ${\displaystyle 6-1=5}$ ${\displaystyle 2035-1=2034|9}$ ${\displaystyle b-1}$ ${\displaystyle b-1}$

Имея это в виду, цифровой корень положительного целого числа может быть определен с помощью функции пола , как ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$

${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(n)=n-(b-1)\left\lfloor {\frac {n-1}{b-1}}\right\rfloor .}$

Характеристики

• Цифровой корень in base — это цифровой корень суммы цифрового корня и цифрового корня . Это свойство можно использовать как своего рода контрольную сумму для проверки правильности суммирования. ${\displaystyle a_{1}+a_{2}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}}$

${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(a_{1}+a_{2})=\operatorname {dr} _{b}(\operatorname {dr} _{b}(a_{1})+\operatorname {dr} _{b}(a_{2})).}$

• Цифровой корень in base соответствует разнице цифрового корня и цифрового корня по модулю . ${\displaystyle a_{1}-a_{2}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle b-1}$

${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(a_{1}-a_{2})\equiv (\operatorname {dr} _{b}(a_{1})-\operatorname {dr} _{b}(a_{2})){\bmod {b-1}}.}$

• Цифровой корень в базе выглядит следующим образом: ${\displaystyle -n}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(-n)\equiv -\operatorname {dr} _{b}(n){\bmod {b-1}}.}$

• Цифровой корень произведения ненулевых однозначных чисел в базе определяется Ведическим квадратом в базе . ${\displaystyle a_{1}\cdot a_{2}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$
• Цифровой корень in base — это цифровой корень произведения цифрового корня и цифрового корня . ${\displaystyle a_{1}\cdot a_{2}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}}$

${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(a_{1}a_{2})=\operatorname {dr} _{b}(\operatorname {dr} _{b}(a_{1})\cdot \operatorname {dr} _{b}(a_{2})).}$

Аддитивная настойчивость

Аддитивная инерционность подсчитывает , сколько раз мы должны суммировать его цифры , чтобы получить его цифровой корень.

Например, аддитивная инерционность числа 2718 по основанию 10 равна 2: сначала мы находим, что 2 + 7 + 1 + 8 = 18, затем что 1 + 8 = 9.

Нет ограничений на аддитивную устойчивость числа в числовой базе . Доказательство: Для данного числа постоянство числа, состоящего из повторений цифры 1, на 1 выше, чем у . Наименьшие числа аддитивной стойкости 0, 1, ... в базе 10: ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

0, 10, 19, 199, 19 999 999 999 999 999 999 999, ... (последовательность A006050 в OEIS )

Следующее число в последовательности (наименьшее число аддитивной стойкости 5) равно 2 × 10 ^{2 × (10 22  − 1)/9}  − 1 (то есть за 1 следуют 2 222 222 222 222 222 222 222 девятки). Для любой фиксированной базы сумма цифр числа пропорциональна его логарифму ; следовательно, аддитивная инерционность пропорциональна повторному логарифму . ^[1]

Пример программирования

В приведенном ниже примере реализуется сумма цифр, описанная в определении выше, для поиска цифровых корней и аддитивной устойчивости в Python .

def  digit_sum ( x :  int ,  b :  int )  ->  int :  total  =  0  while  x  >  0 :  total  =  total  +  ( x  %  b )  x  =  x  //  b  возвращает  итогdef  digital_root ( x :  int ,  b :  int )  - >  int :  seed  =  set ()  while  x  нет  вeen  : seeed . добавить ( x ) x = digit_sum ( x , b ) вернуть x       def  аддитивная_персистенция ( x :  int ,  b :  int )  ->  int :  увиденное  =  set ()  , пока  x  нет  в  увиденном :  увиденном . добавить ( x )  x  =  digit_sum ( x ,  b )  вернуть  len ( видно )  -  1

В популярной культуре

Цифровые корни используются в западной нумерологии , но некоторые числа, имеющие оккультное значение (например, 11 и 22), не всегда полностью сводятся к одной цифре.

Цифровые корни составляют важную механику визуальной новеллы приключенческой игры Nine Hours, Nine Persons, Nine Doors .

Смотрите также

• Арифметическая динамика
• База 9
• Выбрасывание девяток
• Сумма цифр
• Правило делимости
• Вес Хэмминга
• Мультипликативный цифровой корень

Рекомендации

1. Меймарис, Антониос (2015), Об аддитивном постоянстве числа по основанию p, Препринт

• Авербах, Бонни ; Чейн, Орин (27 мая 1999 г.), Решение задач с помощью развлекательной математики , Dover Books on Mathematics (переиздание), Минеола, Нью-Йорк: Courier Dover Publications, стр. 125–127, ISBN 0-486-40917-1( онлайн-копия , стр. 125, в Google Книгах )
• Ганнам, Талал (4 января 2011 г.), Тайна чисел: раскрыта через их цифровой корень, CreateSpace Publications, стр. 68–73, ISBN 978-1-4776-7841-1, архивировано из оригинала 29 марта 2016 года , получено 11 февраля 2016 года.( онлайн-копия , стр. 68, в Google Книгах )
• Холл, FM (1980), Введение в абстрактную алгебру , том. 1 (2-е изд.), Кембридж, Великобритания: Архив CUP, стр. 1. 101, ISBN 978-0-521-29861-2( онлайн-копия , стр. 101, в Google Книгах )
• О'Бейрн, TH (13 марта 1961 г.), «Загадки и парадоксы», New Scientist , Reed Business Information, 10 (230): 53–54, ISSN  0262-4079.( онлайн-копия , стр. 53, в Google Книгах )
• Роуз Болл, WW ; Коксетер, HSM (6 мая 2010 г.), Математические развлечения и очерки , Dover Recreational Mathematics (13-е изд.), Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 978-0-486-25357-2( онлайн-копия в Google Книгах )

Внешние ссылки

• Шаблоны цифровых корней с использованием MS Excel
• Вайсштейн, Эрик В. «Цифровой корень». Математический мир .