stringtranslate.com

Двенадцатеричный

Двенадцатеричная система счисления , также известная как основание двенадцать или дюжина , представляет собой позиционную систему счисления, в которой в качестве основы используется двенадцать . В двенадцатеричной системе число двенадцать обозначается «10», что означает 1 двенадцать и 0 единиц ; в десятичной системе это число вместо этого записывается как «12», что означает 1 десяток и 2 единицы, а строка «10» означает десять. В двенадцатеричном формате «100» означает двенадцать  в квадрате , «1000» означает двенадцать  в кубе , а «0,1» означает двенадцатую часть.

Для обозначения десяти и одиннадцати в двенадцатеричной системе счисления использовались различные символы; на этой странице используются A и B, как в шестнадцатеричном формате , которые преобразуют двенадцатеричный счет от нуля до двенадцати в 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, 10. Дюжинные общества Америки и Великобритании (организации, пропагандирующие использование двенадцатеричной системы счисления) используют перевернутые цифры в своих публикуемых материалах:2(выпало 2) на десять и3(исполняется 3 года) на одиннадцать.

Число двенадцать, высшее, весьма составное число , является наименьшим числом с четырьмя нетривиальными множителями (2, 3, 4, 6) и наименьшим числом, включающим в качестве множителей все четыре числа (от 1 до 4) в пределах субтитизирующего диапазона. и наименьшее обильное число . Все кратные обратным 3-гладким числам ( ⁠а/2 б · 3 в⁠ где a, b, c — целые числа) имеют конечное представление в двенадцатеричной системе счисления. В частности,+1 ⁄ 4  (0,3),+1 ⁄ 3  (0,4),+1 ⁄ 2  (0,6),+2 ⁄ 3  (0,8) и+3 ⁄ 4  (0,9) все имеют короткое завершающее представление в двенадцатеричной системе счисления. Более высокая регулярность наблюдается и в двенадцатеричной таблице умножения. В результате двенадцатеричная система счисления была описана как оптимальная система счисления. [1]

В этом отношении двенадцатеричная система счисления считается более предпочтительной, чем десятичная, которая имеет только 2 и 5 в качестве множителей, а также другие предлагаемые системы счисления, такие как восьмеричная или шестнадцатеричная . Шестидесятеричная система (основание шестьдесят) в этом отношении работает еще лучше (обратные значения всех 5-гладких чисел оканчиваются), но за счет громоздких таблиц умножения и гораздо большего количества символов, которые нужно запомнить.

Источник

В этом разделе цифры указаны в десятичном формате . Например, «10» означает 9+1, а «12» — 9+3.

Жорж Ифра предположительно проследил происхождение двенадцатеричной системы до системы счета пальцев, основанной на суставных костях четырех больших пальцев. Используя большой палец в качестве указателя, можно сосчитать до 12, касаясь каждой кости пальца, начиная с самой дальней кости пятого пальца, и считая. В этой системе одна рука многократно считает до 12, а другая отображает количество итераций, пока не заполнятся пять дюжин, то есть 60. Эта система до сих пор используется во многих регионах Азии. [2] [3]

Языки, использующие двенадцатеричные системы счисления, встречаются редко. Языки среднего пояса Нигерии, такие как джанджи , гбири-нирагу (гуре-кахугу), пити и нимбийский диалект гвандары ; [4] и язык чепанг в Непале [5], как известно, используют двенадцатеричные цифры.

В германских языках есть специальные слова для чисел 11 и 12, например, одиннадцать и двенадцать в английском языке . Они происходят от протогерманских * ainlif и * twalif (что означает, соответственно, один левый и два левых ), что предполагает десятичное, а не двенадцатеричное происхождение. [6] [7] Однако древнескандинавский язык использовал гибридную десятично-двенадцатеричную систему счета, в которой слова «сто восемьдесят» означают 200, а «двести» означают 240. [8] На Британских островах этот стиль счет сохранился и в Средние века как длинная сотня .

Исторически единицы времени во многих цивилизациях были двенадцатеричными. В году двенадцать знаков зодиака , двенадцать месяцев, а у вавилонян в сутках было двенадцать часов (хотя в какой-то момент это число было изменено на 24). Традиционные китайские календари , часы и компасы основаны на двенадцати Земных ветвях или 24 (12×2) солнечных терминах . В имперском футе 12 дюймов,  в тройском фунте  12 тройских унций, в шиллинге 12 старых британских пенсов , в сутках 24 (12×2) часа; многие другие предметы считаются дюжинами , брутто ( 144 , квадрат из 12) или большим брутто ( 1728 , куб из 12). Римляне использовали систему дробей, основанную на 12, включая унцию , которая стала одновременно английскими словами «унция» и «дюйм» . До десятичной системы Ирландия и Соединенное Королевство использовали смешанную двенадцатерично- десятеричную денежную систему (12 пенсов = 1 шиллингу, 20 шиллингов или 240 пенсов за фунт стерлингов или ирландский фунт ), а Карл Великий установил денежную систему, которая также имела смешанную основу. двенадцать и двадцать, остатки которых сохранились во многих местах.

Обозначения и произношение

В позиционной системе счисления с основанием n (двенадцать для двенадцатеричной системы счисления) каждому из первых n натуральных чисел присваивается отдельный цифровой символ, а затем n обозначается «10», что означает 1 раз n плюс 0 единиц. В двенадцатеричной системе счисления стандартные цифровые символы от 0 до 9 обычно сохраняются для чисел от нуля до девяти, но существует множество предложений по написанию цифр, обозначающих «десять» и «одиннадцать». [9] Более радикальные предложения не используют арабские цифры по принципу «отдельной идентичности». [9]

Произношение двенадцатеричных чисел также не имеет стандарта, но были предложены различные системы.

Трансдесятичные символы

Некоторые авторы предложили использовать буквы алфавита в качестве трансдесятичных символов. Латинские буквы, такие как ⟨ A, B ⟩ (как в шестнадцатеричном формате ) или ⟨ T, E ⟩ (инициалы Ten и Eleven ), удобны, поскольку они широко доступны и, например, их можно набирать на пишущих машинках. Однако в сочетании с обычной прозой их можно спутать с письмами. В качестве альтернативы вместо этого можно использовать греческие буквы, такие как ⟨ τ, ε ⟩ . [9] Фрэнк Эмерсон Эндрюс, один из первых американских сторонников двенадцатеричной системы счисления, предложил и использовал в своей книге 1935 года «Новые числа» ⟨ X , Ɛ ⟩ (курсивная заглавная буква X от римской цифры , обозначающей десять, и закругленная курсивная заглавная буква E, похожая на открытую E ), вместе с курсивными цифрами 0–9 . [11]

Эдна Крамер в своей книге « Основное направление математики» 1951 года использовала ⟨ *, # ⟩ ( секстиль или шестиконечная звездочка, решетка или октоторп). [9] Символы были выбраны потому, что они были доступны на некоторых пишущих машинках; они есть и на кнопочных телефонах . [9] Это обозначение использовалось в публикациях Дюжинного общества Америки (DSA) с 1974 по 2008 год. [12] [13]

С 2008 по 2015 год DSA использовало ⟨ , ⟩ — символы, придуманные Уильямом Аддисоном Двиггинсом . [9] [14]

Дюжинное общество Великобритании (DSGB) предложило символы ⟨ 2,3 ⟩ . [9] Это обозначение, полученное из арабских цифр путем вращения на 180 °, было введено Исааком Питманом в 1857 году. [9] [15] В марте 2013 года было подано предложение включить цифровые формы для десяти и одиннадцати, распространенные Dozenal. Общества в стандарте Unicode . [16] Из них формы British/Pitman были приняты для кодирования в качестве символов в кодовых точках U+218A ↊ ПЕРЕВЕРНУТАЯ ЦИФРА ДВА и U+218B ↋ ПЕРЕВЕРНУТАЯ ЦИФРА ТРИ . Они были включены в Unicode 8.0 (2015 г.). [17] [18]

После того, как цифры Питмана были добавлены в Юникод, DSA проголосовало и начало публиковать PDF-контент, используя вместо этого цифры Питмана, но продолжает использовать буквы X и E на своей веб-странице. [19]

Базовые обозначения

Существуют также различные предложения о том, как отличить двенадцатеричное число от десятичного. Самый распространенный метод, используемый в основных математических источниках для сравнения различных систем счисления, использует индекс «10» или «12», например «54 12 = 64 10 ». Чтобы избежать двусмысленности значения индекса 10, его можно записать так: «54 двенадцать = 64 десять ». В 2015 году Американское общество дюжин приняло более компактную однобуквенную аббревиатуру «z» для «до зенала » и «d» для « десятичного числа», «54 z = 64 d ». [24]

Другие предложенные методы включают в себя выделение курсивом двенадцатеричных чисел « 54 = 64», добавление «точки Хамфри» (точка с запятой вместо десятичной точки ) к двенадцатеричным числам «54;6 = 64,5», префикс двенадцатеричных чисел звездочкой «*54 = 64». ", или какая-то их комбинация. Дюжинное общество Великобритании использует префикс звездочки для двенадцатеричных целых чисел и точку Хамфри для других двенадцатеричных чисел. [24]

Произношение

Американское общество дюжин предложило произносить числа десять и одиннадцать как «дек» и «эль». Для названий степеней двенадцати существуют две известные системы.

Двенадцатеричные числа

В этой системе к дробям добавляется приставка е –. [14] [25]

По мере того, как числа становятся больше (или дроби уменьшаются), последние две морфемы последовательно заменяются на три-мо, квад-мо, пента-мо и так далее.

Несколько цифр в этом ряду произносятся по-разному: 12 — «сделай два»; 30 — «три делай»; 100 — «гро»; BA9 — «el gro dek do девяти»; B86 — «el Gro восемь, шесть»; 8BB,15A — «восемь гро эль до эль, один гро пять до дек»; ABA — «dek gro el do dek»; BBB — «эль гро эль до эль»; 0,06 — «шесть эгро»; и так далее. [25]

Систематическая дюжинная номенклатура (SDN)

В этой системе используется окончание «-qua» для положительных степеней 12 и окончание «-cia» для отрицательных степеней 12, а также расширение имен систематических элементов IUPAC (со слогами dec и lev для двух дополнительных цифр, необходимых для двенадцатеричных чисел). ), чтобы выразить, какая сила имеется в виду. [26] [27]

После hex- дальнейшие префиксы продолжаются sept-, October-, enn-, dec-, lev-, unnil-, unun-.

Пропаганда и «дюжинализм»

Уильям Джеймс Сидис использовал 12 в качестве основы для своего искусственного языка Вендергуд в 1906 году, отметив, что это наименьшее число с четырьмя факторами и его распространенность в торговле. [28]

Аргументы в пользу двенадцатеричной системы были подробно изложены в книге Фрэнка Эмерсона Эндрюса « Новые числа: как принятие двенадцатеричной системы упростит математику» . Эмерсон отметил, что из-за преобладания двенадцатимножителей во многих традиционных единицах измерения и веса многие вычислительные преимущества, заявленные для метрической системы, могут быть реализованы либо путем принятия десятичных мер и весов, либо путем принятия двенадцатеричная система счисления. [11]

Двенадцатеричный циферблат, как на логотипе Дюжинного общества Америки, здесь используется для обозначения музыкальных клавиш.

И Дюжинное общество Америки, и Дюжинное общество Великобритании способствуют широкому внедрению двенадцатеричной системы. Они используют слово «дюжинный» вместо «двенадцатеричный», чтобы избежать более явно десятичной терминологии. Однако этимология слова «дюжина» сама по себе также является выражением, основанным на десятичной терминологии, поскольку «дюжина» является прямым производным от французского слова douzaine , которое является производным от французского слова douze , обозначающего двенадцать , происходящего от латинского duodecim .

Математик и мысленный калькулятор Александр Крейг Эйткен был ярым сторонником двенадцатеричной системы счисления:

Двенадцатеричные таблицы освоить легко, легче десятичных; а в элементарном обучении они были бы намного интереснее, поскольку маленькие дети находили бы более увлекательные занятия с двенадцатью стержнями или кубиками, чем с десятью. Любой, кто имеет в своем распоряжении эти таблицы, выполнит эти вычисления в двенадцатеричной шкале более чем в полтора раза быстрее, чем в десятичной. Это мой опыт; Я уверен, что тем более это будет опыт других.

-  А.С. Эйткен, «Двенадцать и десятки» в журнале «Слушатель» (25 января 1962 г.) [29]

Но последнее количественное преимущество, по моему собственному опыту, заключается в следующем: в разнообразных и обширных вычислениях обычного и не слишком сложного вида, проводимых в течение многих лет, я прихожу к выводу, что эффективность десятичной системы можно оценить в около 65 или меньше, если мы присвоим 100 двенадцатеричной системе счисления.

-  А.С. Эйткен, Доводы против десятичной системы (1962) [30]

В СМИ

В американском телесериале «Маленькие двенадцать пальцев» Schoolhouse Rock! изобразил инопланетное существо с двенадцатью пальцами на руках и ногах, используя двенадцатеричную арифметику, используя «dek» и «el» в качестве названий для десяти и одиннадцати, а также сценарий-X и сценарий-E Эндрюса для цифровых символов. [31] [32]

Двенадцатеричные системы измерений

Системы измерения , предложенные дюжиналистами, включают:

Сравнение с другими системами счисления

В этом разделе цифры указаны в десятичном формате. Например, «10» означает 9+1, а «12» — 6×2.

Американское общество дюжин утверждает, что если база слишком мала, для чисел необходимы значительно более длинные расширения; если основание слишком велико, для выполнения арифметических действий необходимо запомнить большую таблицу умножения. Таким образом, предполагается, что «основание чисел должно находиться в диапазоне от примерно 7 или 8 до примерно 16, возможно, включая 18 и 20». [36]

Число 12 имеет шесть делителей: 1 , 2 , 3 , 4 , 6 и 12 , из которых 2 и 3 — простые . Это наименьшее число, имеющее шесть множителей, самое большое число, у которого в качестве делителей находится хотя бы половина чисел под ним, и оно лишь немногим больше 10. (Числа 18 и 20 также имеют шесть множителей, но они намного больше.) Десять, напротив, имеет только четыре множителя: 1 , 2 , 5 и 10 , из которых 2 и 5 являются простыми. [36] Шестерка разделяет простые делители 2 и 3 с двенадцатью; однако, как и десять, шесть имеет только четыре множителя (1, 2, 3 и 6) вместо шести. Соответствующее основание, senary , находится ниже установленного порога DSA.

Восьмерка и шестнадцать имеют только 2 в качестве главного делителя. Следовательно, в восьмеричной и шестнадцатеричной системе координат конечными дробями являются только те, знаменатель которых равен степени двойки .

Тридцать — это наименьшее число, которое имеет три разных простых делителя (2, 3 и 5, первые три простых числа), а всего оно имеет восемь делителей (1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 и 30). . Шестидесятеричная система счисления фактически использовалась , в частности, древними шумерами и вавилонянами . его основание, шестьдесят , добавляет четыре удобных множителя 4, 12, 20 и 60 к 30, но не добавляет новых простых множителей. Наименьшее число, имеющее четыре разных простых делителя, — 210 ; образец следует первобытным . Однако эти цифры достаточно велики для использования в качестве базовых и значительно превышают установленный DSA порог.

Во всех системах счисления есть сходство с представлением кратных чисел, которые на единицу меньше или на единицу больше основания.

В следующей таблице умножения цифры записаны в двенадцатеричном формате. Например, «10» означает двенадцать, а «12» — четырнадцать.

Таблицы перевода в десятичный формат и обратно

Для преобразования чисел между основаниями можно использовать общий алгоритм преобразования (см. соответствующий раздел позиционных обозначений ). Альтернативно можно использовать таблицы преобразования цифр. Представленные ниже числа можно использовать для преобразования любого двенадцатеричного числа от 0;1 до BB,BBB;B в десятичное или любого десятичного числа от 0,1 до 99 999,9 в двенадцатеричное. Чтобы их использовать, данное число необходимо предварительно разложить на сумму чисел, каждое из которых имеет только одну значащую цифру. Например:

12 345,6 = 10 000 + 2 000 + 300 + 40 + 5 + 0,6

Это разложение работает одинаково, независимо от того, в какой базе выражено число. Просто изолируйте каждую ненулевую цифру, дополняя их необходимым количеством нулей, чтобы сохранить соответствующие разрядные значения. Если цифры данного числа содержат нули (например, 7080,9), они не учитываются при разложении цифр (7080,9 = 7000 + 80 + 0,9). Затем таблицы преобразования цифр можно использовать для получения эквивалентного значения в целевой базе для каждой цифры. Если заданное число находится в двенадцатеричной системе счисления, а целевая база десятичная, мы получаем:

(двенадцатеричное) 10 000 + 2 000 + 300 + 40 + 5 + 0;6
= (десятичное) 20 736 + 3 456 + 432 + 48 + 5 + 0,5

Поскольку слагаемые уже преобразованы в десятичные числа, для выполнения сложения и повторного составления числа используется обычная десятичная арифметика, в результате чего получается результат преобразования:

Двенадцатеричный ---> Десятичный  10 000 = 20 736 2000 = 3456 300 = 432 40 = 48 5 = 5 + 0;6 = + 0,5----------------------------- 12 345;6 = 24 677,5

То есть (двенадцатеричное) 12 345;6 равно (десятичное) 24 677,5.

Если заданное число десятичное, а целевая база двенадцатеричная, метод тот же. Используя таблицы перевода цифр:

(десятичное) 10 000 + 2 000 + 300 + 40 + 5 + 0,6
= (двенадцатеричное) 5 954 + 1,1A8 + 210 + 34 + 5 + 0; 7249

Чтобы суммировать эти частичные произведения и заново составить число, сложение должно выполняться с использованием двенадцатеричной, а не десятичной арифметики:

 Десятичный --> Двенадцатеричный  10 000 = 5 954 2000 = 1,1А8 300 = 210 40 = 34 5 = 5 + 0,6 = + 0; 7249------------------------------- 12345,6 = 7189; 7249

То есть (десятичное) 12 345,6 равно (двенадцатеричному) 7 189; 7249

Преобразование двенадцатеричных цифр в десятичные

Преобразование десятичных цифр в двенадцатеричные

Дроби и иррациональные числа

Фракции

Двенадцатеричные дроби для рациональных чисел с 3-х гладкими знаменателями оканчиваются:

в то время как другие рациональные числа имеют повторяющиеся двенадцатеричные дроби:

Как объясняется в разделе о повторяющихся десятичных дробях , всякий раз, когда несократимая дробь записывается в виде счисления в любой системе счисления, дробь может быть выражена точно (оканчивается) тогда и только тогда, когда все простые множители ее знаменателя также являются простыми множителями основания.

Потому что в десятичной системе дроби, знаменатели которых состоят исключительно из чисел, кратных 2 и 5, оканчиваются: ⁠1/8⁠  =  ⁠1/(2×2×2)⁠ , ⁠1/20⁠  =  ⁠1/(2×2×5)⁠ и ⁠1/500⁠  =  ⁠1/(2×2×5×5×5)⁠ можно выразить точно как 0,125, 0,05 и 0,002 соответственно. ⁠1/3⁠ и ⁠1/7⁠ однако повторяются (0,333... и 0,142857142857...).

Потому что в двенадцатеричной системе ⁠1/8⁠ точный; ⁠1/20⁠ и ⁠1/500⁠ повторяются, поскольку включают 5 в качестве фактора; ⁠1/3⁠ точно, и ⁠1/7⁠ повторяется, как и в десятичной системе счисления.

Число знаменателей, дающих конечные дроби с заданным числом цифр n по основанию b , равно числу множителей (делителей) , n -й степени основания b (хотя сюда входит делитель 1, который не производить дроби, когда они используются в качестве знаменателя). Число факторов определяется с помощью его простой факторизации.

Для десятичной дроби . Число делителей находится путем прибавления по одному к каждому показателю каждого простого числа и умножения полученных величин вместе, поэтому количество делителей равно .

Например, число 8 является делителем 10 3 (1000), поэтому и другие дроби со знаменателем 8 не могут требовать для окончания более трех дробных десятичных цифр.

Для двенадцатеричных чисел . Здесь есть делители. Знаменатель выборки 8 представляет собой множитель брутто в десятичной системе счисления), поэтому для завершения восьмых не может потребоваться более двух двенадцатеричных дробных знаков.

Поскольку и десять, и двенадцать имеют два уникальных простых делителя, число делителей для b = 10 или 12 растет квадратично с показателем степени n (другими словами, порядка ).

Повторяющиеся цифры

Американское общество дюжин утверждает, что в реальных задачах деления чаще встречаются коэффициенты 3 , чем коэффициенты 5. [36] Таким образом, в практических приложениях неудобства, связанные с повторением десятичных дробей, встречаются реже, когда используется двенадцатеричная система счисления. Сторонники двенадцатеричных систем утверждают, что это особенно справедливо в отношении финансовых расчетов, в которых в расчеты часто входят двенадцать месяцев года.

Однако, когда повторяющиеся дроби встречаются в двенадцатеричной системе счисления, они с меньшей вероятностью будут иметь очень короткий период, чем в десятичной системе счисления, поскольку 12 (двенадцать) находится между двумя простыми числами , 11 (одиннадцать) и 13 (тринадцать), тогда как десять соседствует с составным номером 9 . Тем не менее, наличие более короткого или более длительного периода не устраняет главного неудобства, заключающегося в том, что для таких дробей в данной базе не получается конечное представление (поэтому для их обработки в расчетах необходимо округление , которое вносит неточность), и в целом получается с большей вероятностью придется иметь дело с бесконечными повторяющимися цифрами, когда дроби выражаются в десятичной системе счисления, чем в двенадцатеричной, поскольку одно из каждых трех последовательных чисел содержит простой множитель 3 при своей факторизации, тогда как только одно из каждых пяти содержит простой множитель 5 . Все остальные простые множители, кроме 2, не являются общими ни для десяти, ни для двенадцати, поэтому они не влияют на относительную вероятность встречи повторяющихся цифр (любая несократимая дробь, которая содержит любой из этих других множителей в своем знаменателе, будет повторяться в любом основании).

Кроме того, простой множитель 2 появляется дважды при факторизации двенадцати, тогда как при факторизации десяти появляется только один раз; это означает, что большинство дробей, знаменателями которых являются степени двойки, будут иметь более короткое и удобное конечное представление в двенадцатеричной системе счисления, чем в десятичной:

Длина двенадцатеричного периода 1/ n равна (в десятичном формате)

0, 0, 0, 0, 4, 0, 6, 0, 0, 4, 1, 0, 2, 6, 4, 0, 16, 0, 6, 4, 6, 1, 11, 0, 20, 2, 0, 6, 4, 4, 30, 0, 1, 16, 12, 0, 9, 6, 2, 4, 40, 6, 42, 1, 4, 11, 23, 0, 42, 20, 16, 2, 52, 0, 4, 6, 6, 4, 29, 4, 15, 30, 6, 0, 4, 1, 66, 16, 11, 12, 35, 0, ... (последовательность A246004 в ОЭИС )

Длина двенадцатеричного периода 1/( n- го простого числа) равна (в десятичном формате)

0, 0, 4, 6, 1, 2, 16, 6, 11, 4, 30, 9, 40, 42, 23, 52, 29, 15, 66, 35, 36, 26, 41, 8, 16, 100, 102, 53, 54, 112, 126, 65, 136, 138, 148, 150, 3, 162, 83, 172, 89, 90, 95, 24, 196, 66, 14, 222, 113, 114, 8, 119, 120, 125, 256, 131, 268, 54, 138, 280, ... (последовательность A246489 в OEIS )

Наименьшее простое число с двенадцатеричным периодом n (в десятичном формате)

11, 13, 157, 5, 22621, 7, 659, 89, 37, 19141, 23, 20593, 477517, 211, 61, 17, 2693651, 1657, 29043636306420266077, 8540326 1, 8177824843189, 57154490053, 47, 193, 303551, 79, 306829, 673, 59, 31, 373, 153953, 886381, 2551, 71, 73, ... (последовательность A252170 в OEIS )

Иррациональные числа

Представления иррациональных чисел в любой позиционной системе счисления (включая десятичную и двенадцатеричную) не завершаются и не повторяются . В следующей таблице приведены первые цифры некоторых важных алгебраических и трансцендентных чисел как в десятичной, так и в двенадцатеричной системе счисления.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ↑ Дворский, Георгий (18 января 2013 г.). «Почему нам следует перейти на систему счета по основанию 12». Гизмодо . Проверено 21 декабря 2013 г.
  2. ^ Питтман, Ричард (1990). «Происхождение месопотамских двенадцатеричных и шестидесятеричных систем счета». Филиппинский журнал лингвистики . 21 (1): 97.
  3. ^ Ифра, Жорж (2000) [1-е французское изд. 1981]. Всеобщая история чисел: от предыстории до изобретения компьютера . Уайли. ISBN 0-471-39340-1.Перевод с французского Дэвида Беллоса, Э. Ф. Хардинга, Софи Вуд и Яна Монка.
  4. ^ Мацусита, Сюдзи (октябрь 1998 г.). «Десятичная и двенадцатеричная системы счисления: взаимодействие двух систем счисления». www3.aa.tufs.ac.jp. ​Архивировано из оригинала 5 октября 2008 года . Проверено 29 мая 2011 г.
  5. ^ Мазодон, Мартина (2002). «Принципы строительства номеров на тибето-бирманских языках». У Франсуа, Жак (ред.). Многообразие (PDF) . Левен: Питерс. стр. 91–119. ISBN 90-429-1295-2. Архивировано из оригинала (PDF) 28 марта 2016 г. Проверено 27 марта 2014 г.
  6. ^ фон Менгден, Фердинанд (2006). «Особенности древнеанглийской системы счисления». У Николауса Ритта; Герберт Шендл; Кристиан Далтон-Пуффер; Дитер Кастовски (ред.). Средневековый английский и его наследие: структура, значение и механизмы изменений . Исследования английского средневекового языка и литературы. Том. 16. Франкфурт: Питер Ланг. стр. 125–145.
  7. ^ фон Менгден, Фердинанд (2010). Кардинальные числительные: древнеанглийский язык с межлингвистической точки зрения . Темы английской лингвистики. Том. 67. Берлин; Нью-Йорк: Де Грютер Мутон. стр. 159–161.
  8. ^ Гордон, Э.В. (1957). Введение в древнескандинавский язык . Оксфорд: Кларендон Пресс. стр. 292–293.
  9. ^ abcdefghijklm Де Влигер, Майкл (2010). «Обзор символов» (PDF) . Двенадцатеричный бюллетень . 4Х [58] (2).
  10. ^ Пакин, Скотт (2021) [2007]. «Полный список символов LATEX». Комплексная сеть архивов TEX (изд. 14.0).
    Рей, Фукуи (2004) [2002]. «типа – Шрифты и макросы для фонетических символов IPA». Комплексная сеть архивов TEX (изд. 1.3).
    Перевернутые цифры 2 и 3, используемые в пакете TIPA, взяты из «Принципов Международной фонетической ассоциации » Университетского колледжа Лондона, 1949 г.
  11. ^ abc Эндрюс, Фрэнк Эмерсон (1935). Новые числа: как принятие двенадцатеричной системы счисления (12) упростит математику . п. 52.
  12. ^ «Ежегодное собрание 1973 года и заседание Совета» (PDF) . Двенадцатеричный бюллетень . 25 [29] (1). 1974.
  13. ^ Де Влигер, Майкл (2008). «Становясь классикой» (PDF) . Двенадцатеричный бюллетень . 49 [57] (2).
  14. ^ abc «Мо для Мегро» (PDF) . Двенадцатеричный бюллетень . 1 (1). 1945 год.
  15. ^ аб Питман, Исаак (24 ноября 1857 г.). «Реформа расплаты». Бедфордшир Индепендент .Перепечатано как «Сэр Исаак Питман о системе дюжины: реформа расплаты» (PDF) . Двенадцатеричный вестник . 3 (2): 1–5. 1947 год.
  16. ↑ Пенцлин, Карл (30 марта 2013 г.). «Предложение по кодированию форм двенадцатеричных цифр в UCS» (PDF) . ISO/IEC JTC1/SC2/WG2 . Проверено 25 июня 2024 г.
  17. ^ ab «Стандарт Юникода, версия 8.0: числовые формы» (PDF) . Консорциум Юникод . Проверено 30 мая 2016 г.
  18. ^ «Стандарт Юникод 8.0» (PDF) . Проверено 18 июля 2014 г.
  19. ^ Дюжинное общество Америки (nd). «Что следует делать DSA с трансдесятичными символами?». Дюжинное общество Америки . Дюжинное общество Америки . Проверено 1 января 2018 г.
  20. ^ Феррари, Сильвио (1854). Кальколо Десидоцзинале . п. 2.
  21. ^ ab «Ежегодное собрание 1973 года и заседание Совета» (PDF) . Двенадцатеричный бюллетень . 25 [29] (1). 1974.
  22. ^ аб Де Влигер, Майкл (2008). «Становясь классикой» (PDF) . Двенадцатеричный вестник . 49 [57] (2).
  23. ^ «Стандарт Юникод 8.0» (PDF) . Проверено 18 июля 2014 г.
  24. ^ Аб Волан, Джон (июль 2015 г.). «Базовые схемы аннотаций» (PDF) . Двенадцатеричный бюллетень . 62 .
  25. ^ Аб Зиркель, Джин (2010). «Как вы произносите десятки?» (PDF) . Двенадцатеричный бюллетень . 4Э [59] (2).
  26. ^ «Систематическая дюжинная номенклатура и другие номенклатурные системы» (PDF) . Двенадцатеричный бюллетень . 61 (1).
  27. ^ abc Гудман, Дональд (2016). «Руководство по дюжинной системе» (PDF) . Дюжинное общество Америки . Проверено 27 апреля 2018 г.
  28. ^ The Prodigy (Биография WJS), стр. [42]
  29. ↑ AC Aitken (25 января 1962) «Двенадцать и десятки» Слушатель .
  30. ^ AC Aitken (1962) Доводы против десятичной системы. Эдинбург / Лондон: Оливер и Бойд.
  31. ^ "SchoolhouseRock - Маленькие двенадцать пальцев" . 6 февраля 2010 г. Архивировано из оригинала 6 февраля 2010 г.
  32. ^ Беллос, Алекс (4 апреля 2011 г.). Приключения Алекса в стране чисел. А&С Черный. п. 50. ISBN 978-1-4088-0959-4.
  33. ^ Пендлбери, Том; Гудман, Дональд (2012). «TGM: когерентная дюжинная метрология» (PDF) . Дюжинное общество Великобритании.
  34. ↑ Суга, Такаши (22 мая 2019 г.). «Предложение по универсальной системе единиц» (PDF) .
  35. ^ Волан, Джон. «Метрология Primel» (PDF) . Двенадцатеричный бюллетень . 63 (1): 38–60.
  36. ↑ abc De Vlieger, Майкл Томас (30 ноября 2011 г.). «Десять часто задаваемых вопросов» (PDF) . дюжина.орг . Дюжинное общество Америки . Проверено 20 ноября 2022 г.

Внешние ссылки