Бхаскара II

Индийский математик и астроном (1114–1185)

Доказательство Бхаскары теоремы Пифагора.

Бхаскара II ^[a] ( [bʰɑːskərə] ; ок. 1114–1185), также известный как Бхаскарачарья ( букв. « Бхаскара учитель » ), был индийским эрудитом, математиком , астрономом и инженером. Из стихов в его главном труде, Siddhāṁta Śiromaṇī, можно сделать вывод, что он родился в 1114 году в Виджадавиде (Vijjalavida) и жил в горных хребтах Сатпуда в Западных Гатах , которые, как полагают ученые , были городом Патана в Чалисгаоне, расположенном в современном регионе Кхандеш в Махараштре . ^[6] В храме в Махараштре надпись, предположительно созданная его внуком Чангадевой, перечисляет родословную Бхаскарачарьи на протяжении нескольких поколений до него, а также двух поколений после него. ^{[7] [8]} Генри Колбрук , который был первым европейцем, переведшим (1817) математические классические труды Бхаскарачарьи II, называет семью махараштрийскими браминами , проживающими на берегах Годавари . [ ^9] 

Родившийся в индуистской семье брахманов Дешастха , состоявшей из учёных, математиков и астрономов, Бхаскара II был руководителем космической обсерватории в Удджайне , главном математическом центре древней Индии. ^[10] Бхаскара и его труды представляют собой значительный вклад в математические и астрономические знания в 12 веке. Его называли величайшим математиком средневековой Индии. ^[11] Его главный труд «Сиддханта-широмани » ( санскр . «Венец трактатов») ^[12] разделён на четыре части, называемые «Лилавати» , «Биджаганита» , «Грахаганита » и «Голадхьяя» , ^[13] которые также иногда считаются четырьмя независимыми работами. ^[14] Эти четыре раздела посвящены арифметике, алгебре, математике планет и сфер соответственно. Он также написал еще один трактат под названием «Карана Каутухала». ^[14]

Дата, место и семья

Бхаскара приводит дату своего рождения и дату написания своего главного труда в стихе, написанном в стиле арья : ^[14]

Раса-гуна-пурна-махи-сама-шаканрипа-самайе ऽ бхаван-мамотпаттих । Раса-гуна-варшена майа сиддханта-широмани рачитах ॥ ^{[ нужна ссылка ]}

Это показывает, что он родился в 1036 году эпохи Шака (1114 год н. э. ), и что он написал Сиддханта Широмани , когда ему было 36 лет. ^[14] Сиддханта Широмани была завершена в 1150 году н. э. Он также написал еще одну работу под названием Карана-кутухала, когда ему было 69 лет (в 1183 году). ^[14] Его работы показывают влияние Брахмагупты , Шридхары , Махавиры , Падманабхи и других предшественников. ^[14] Бхаскара жил в Патнадеви, расположенном недалеко от Патана (Чалисгаон) в окрестностях Сахьядри. ^[15]

Он родился в семье брахманов Дешастха Ригведи ^[16] недалеко от Виджадавиды (Видджалавида). Мунишвара (17 век), комментатор Сиддханты Широмани из Бхаскары, дал информацию о местоположении Виджадавиды в своей работе Маричи Тика следующим образом: ^[3]

Сэнсэй Уинстон Миссисипи Вакансии Нэнси и Нэнси

Дэниел Уилсон

Это описание помещает Видджалавиду в Махараштре, недалеко от региона Видарбха и недалеко от берегов реки Годавари . Однако ученые расходятся во мнениях о точном местоположении. Многие ученые поместили это место недалеко от Патана в талука Чалисгаон округа Джалгаон ^[17], тогда как часть ученых отождествила его с современным городом Бид. ^[1] Некоторые источники идентифицировали Видджалавиду как Биджапур или Бидар в Карнатаке . ^[18] Также предлагалось отождествить Видджалавиду с Басаром в Телангане . ^[19]

Говорят, что Бхаскара был главой астрономической обсерватории в Удджайне , ведущем математическом центре средневековой Индии. История свидетельствует о том, что его прапрапрадедушка занимал наследственную должность придворного ученого, как и его сын и другие потомки. Его отец Махешвара ^[15] (Махешваропадхьяя ^[14] ) был математиком, астрономом ^[14] и астрологом, который научил его математике, которую он позже передал своему сыну Локасамудре. Сын Локасамудры помог основать школу в 1207 году для изучения трудов Бхаскары. Он умер в 1185 году н. э.

TheСиддханта-Широмани

Лилавати

Страница из Lilavati , первого тома Siddhānta Śiromanṇī . Использование теоремы Пифагора в углу. Издание 1650 года

Первый раздел Лилавати (также известный как патиганита или анкаганита ), названный в честь его дочери, состоит из 277 стихов. ^[14] Он охватывает вычисления, прогрессии, измерения , перестановки и другие темы. ^[14]

Биджаганита

Второй раздел Bījagaṇita (Алгебра) состоит из 213 стихов. ^[14] В нем обсуждаются ноль, бесконечность, положительные и отрицательные числа, а также неопределенные уравнения, включая (теперь называемое) уравнение Пелля , решая его с помощью метода куттаки . ^[14] В частности, он также решил случай, который ускользнул от Ферма и его европейских современников столетия спустя . ${\displaystyle 61x^{2}+1=y^{2}}$

Грахаганита

В третьем разделе «Грахаганита» , рассматривая движение планет, он рассматривал их мгновенные скорости. ^[14] Он пришел к такому приближению: ^[20] Он состоит из 451 стиха

${\displaystyle \sin y'-\sin y\approx (y'-y)\cos y}$для.

${\displaystyle y'}$близко к , или в современной записи: ^[20] ${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\frac {d}{dy}}\sin y=\cos y}$.

По его словам: ^[20]

бимбардхасья котиджья гунастриджьяхарах пхалам дорджьяйорантарам ^{[ необходима цитата ]}

Этот результат также наблюдался ранее Мунджалачарьей (или Манджулачарьей) манасамом в контексте таблицы синусов. ^[20]

Бхаскара также утверждал, что в своей наивысшей точке мгновенная скорость планеты равна нулю. ^[20]

Математика

Доказательство теоремы Пифагора Бхаскарачарьи

Некоторые из вкладов Бхаскары в математику включают следующее:

• Доказательство теоремы Пифагора путем вычисления одной и той же площади двумя разными способами, а затем сокращения членов, чтобы получить a ² + b ² = c ² . ^[21]
• В Лилавати объясняются решения квадратных , кубических и четвертых неопределенных уравнений . ^[22]
• Решения неопределенных квадратных уравнений (типа ax ² + b = y ² ).
• Целочисленные решения линейных и квадратных неопределенных уравнений ( Куттака ). Правила, которые он дает, (по сути) те же самые, что и те, которые давали европейские математики эпохи Возрождения 17-го века.
• Циклический метод Чакравала для решения неопределенных уравнений вида ax ² + bx + c = y . Решение этого уравнения традиционно приписывается Уильяму Браункеру в 1657 году, хотя его метод был сложнее метода Чакравала .
• Первый общий метод нахождения решения задачи x ² − ny ² = 1 (так называемое « уравнение Пелля ») был дан Бхаскарой II. ^[23]
• Решения диофантовых уравнений второго порядка, таких как 61 x ² + 1 = y ² . Это самое уравнение было поставлено как задача в 1657 году французским математиком Пьером де Ферма , но его решение было неизвестно в Европе до времен Эйлера в 18 веке. ^[22]
• Решал квадратные уравнения с более чем одним неизвестным и находил отрицательные и иррациональные решения. ^{[ необходима ссылка ]}
• Предварительное понятие математического анализа .
• Предварительная концепция исчисления бесконечно малых , а также значительный вклад в интегральное исчисление . ^[24]
• Предварительные представления о дифференциальном исчислении и дифференциальных коэффициентах.
• Сформулировал теорему Ролля , частный случай одной из важнейших теорем анализа — теоремы о среднем значении . Следы общей теоремы о среднем значении также встречаются в его работах.
• Вычислил производные тригонометрических функций и формул. (См. раздел «Исчисление» ниже.)
• В «Сиддханта-широмани» Бхаскара разработал сферическую тригонометрию, а также получил ряд других тригонометрических результатов. (См. раздел «Тригонометрия» ниже.)

Арифметика

Арифметический текст Бхаскары «Лилавати» охватывает такие темы, как определения, арифметические термины, вычисление процентов, арифметические и геометрические прогрессии, планиметрия , стереометрия , тень гномона , методы решения неопределенных уравнений и комбинации .

Līlāvatī разделен на 13 глав и охватывает многие разделы математики, арифметики, алгебры, геометрии и немного тригонометрии и измерений. Более конкретно содержание включает:

• Определения.
• Свойства нуля (включая деление и правила операций с нулем).
• Дальнейшая обширная числовая работа, включая использование отрицательных чисел и иррациональных чисел .
• Оценка числа π .
• Арифметические термины, методы умножения и возведения в квадрат .
• Обратное правило трех и правила 3, 5, 7, 9 и 11.
• Проблемы, связанные с процентами и расчетом процентов.
• Неопределенные уравнения ( Куттака ), целочисленные решения (первого и второго порядка). Его вклад в эту тему особенно важен, ^{[ требуется ссылка ],} поскольку правила, которые он дает, (по сути) те же самые, что и те, которые давали европейские математики эпохи Возрождения 17-го века, хотя его работа была в 12-м веке. Метод решения Бхаскары был улучшением методов, найденных в работах Арьябхаты и последующих математиков.

Его работа выдающаяся по своей систематизации, улучшенным методам и новым темам, которые он ввел. Кроме того, Лилавати содержала превосходные проблемы, и считается, что намерение Бхаскары, возможно, состояло в том, чтобы ученик «Лилавати» занимался механическим применением метода. ^{[ необходима цитата ]}

Алгебра

Его Bījaganita (« Алгебра ») была работой в двенадцати главах. Это был первый текст, в котором признавалось, что положительное число имеет два квадратных корня (положительный и отрицательный квадратный корень). ^[25] Его работа Bījaganita фактически является трактатом по алгебре и содержит следующие темы:

• Положительные и отрицательные числа .
• «Неизвестное» (включает определение неизвестных величин).
• Определение неизвестных величин.
• Иррациональные уравнения (включая оценку иррациональных уравнений и их квадратных корней).
• Куттака (для решения неопределенных уравнений и диофантовых уравнений ).
• Простые уравнения (неопределенности второй, третьей и четвертой степени).
• Простые уравнения с более чем одним неизвестным.
• Неопределенные квадратные уравнения (типа ax ² + b = y ² ).
• Решения неопределенных уравнений второй, третьей и четвертой степени.
• Квадратные уравнения.
• Квадратные уравнения с более чем одним неизвестным.
• Операции с продуктами нескольких неизвестных.

Бхаскара вывел циклический метод чакравала для решения неопределенных квадратных уравнений вида ax ² + bx + c = y. ^[25] Метод Бхаскары для нахождения решений задачи Nx ² + 1 = y ² (так называемое « уравнение Пелля ») имеет большое значение. ^[23]

Тригонометрия

Siddhānta Shiromani (написанный в 1150 году) демонстрирует знание Бхаскары тригонометрии, включая таблицу синусов и соотношения между различными тригонометрическими функциями. Он также разработал сферическую тригонометрию , наряду с другими интересными тригонометрическими результатами. В частности, Бхаскара, казалось, больше интересовался тригонометрией как таковой, чем его предшественники, которые видели в ней только инструмент для вычислений. Среди многих интересных результатов, полученных Бхаскарой, результаты, найденные в его работах, включают вычисление синусов углов 18 и 36 градусов, а также ныне хорошо известные формулы для и . ${\displaystyle \sin \left(a+b\right)}$ ${\displaystyle \sin \left(a-b\right)}$

Исчисление

Его работа «Сиддханта Широмани » представляет собой астрономический трактат и содержит множество теорий, которых нет в более ранних работах. ^{[ требуется ссылка ]} Предварительные концепции исчисления бесконечно малых и математического анализа , а также ряд результатов по тригонометрии , дифференциальному исчислению и интегральному исчислению , которые встречаются в работе, представляют особый интерес.

Факты свидетельствуют о том, что Бхаскара был знаком с некоторыми идеями дифференциального исчисления. ^[25] Бхаскара также углубляется в «дифференциальное исчисление» и предполагает, что дифференциальный коэффициент исчезает при экстремальном значении функции, что указывает на знание концепции « бесконечно малых ». ^[26]

• В его работе есть свидетельство о ранней форме теоремы Ролля . Современная формулировка теоремы Ролля гласит, что если , то для некоторых с . ${\displaystyle f\left(a\right)=f\left(b\right)=0}$ ${\displaystyle f'\left(x\right)=0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \ a<x<b}$
• В этой астрономической работе он дал одну процедуру, которая выглядит как предшественник бесконечно малых методов. В терминах, если то это производная синуса, хотя он не развивал понятие производной. ^[27] ${\displaystyle x\approx y}$ ${\displaystyle \sin(y)-\sin(x)\approx (y-x)\cos(y)}$
  • Бхаскара использует этот результат для вычисления угла положения эклиптики — величины, необходимой для точного прогнозирования времени затмения.
• При вычислении мгновенного движения планеты временной интервал между последовательными положениями планет не превышал трути , или 1/33750 секунды , и его мера скорости была выражена в этой бесконечно малой единице времени.
• Он знал, что когда переменная достигает максимального значения, ее дифференциал исчезает.
• Он также показал, что когда планета находится на самом дальнем или самом близком расстоянии от Земли, уравнение центра (мера того, насколько далеко планета находится от положения, в котором она, как предсказывают, должна находиться, предполагая, что она движется равномерно) исчезает. Поэтому он пришел к выводу, что для некоторого промежуточного положения дифференциал уравнения центра равен нулю. ^{[ необходима цитата ]} В этом результате есть следы общей теоремы о среднем значении , одной из важнейших теорем в анализе, которая сегодня обычно выводится из теоремы Ролля. Формула среднего значения для обратной интерполяции синуса была позже основана Парамешварой в 15 веке в Lilavati Bhasya , комментарии к Lilavati Бхаскары .

Мадхава (1340–1425) и математики школы Кералы (включая Парамешвару ) с XIV по XVI век расширили труд Бхаскары и еще больше продвинули развитие исчисления в Индии. ^{[ необходима цитата ]}

Астрономия

Используя астрономическую модель, разработанную Брахмагуптой в VII веке, Бхаскара точно определил многие астрономические величины, включая, например, продолжительность сидерического года , время, необходимое Земле для совершения оборота вокруг Солнца, как приблизительно 365,2588 дней, что совпадает с данными Сурьясиддханты. ^[28] Современное принятое измерение составляет 365,25636 дней , разница составляет 3,5 минуты. ^[29]

Его текст по математической астрономии «Сиддханта Широмани» состоит из двух частей: первая часть посвящена математической астрономии, а вторая — сфере .

Двенадцать глав первой части охватывают такие темы, как:

• Средние долготы планет .​
• Истинные долготы планет.
• Три проблемы суточного вращения . Суточное движение относится к видимому ежедневному движению звезд вокруг Земли, или, точнее, вокруг двух небесных полюсов. Оно вызвано вращением Земли вокруг своей оси, поэтому каждая звезда, по-видимому, движется по окружности, которая называется суточной окружностью.
• Сизигии .
• Лунные затмения .
• Солнечные затмения .
• Широты планет.
• Уравнение восхода солнца .
• Полумесяц Луны .​​
• Соединения планет друг с другом.
• Соединения планет с неподвижными звездами .
• Пути Солнца и Луны.

Вторая часть содержит тринадцать глав о сфере. Она охватывает такие темы, как:

• Похвала изучению сферы.
• Природа сферы.
• Космография и география .
• Планетарное среднее движение .
• Эксцентрическая эпициклическая модель планет.
• Армиллярная сфера .
• Сферическая тригонометрия .
• Расчеты эллипса . ^{[ необходима ссылка ]}
• Первые наблюдения планет.
• Расчет лунного полумесяца.
• Астрономические инструменты.
• Времена года .
• Проблемы астрономических расчетов.

Инженерное дело

Самые ранние упоминания о вечном двигателе относятся к 1150 году, когда Бхаскара II описал колесо, которое, по его утверждению, будет вращаться вечно. ^[30]

Бхаскара II изобрел множество инструментов, одним из которых является Яшти-янтра . Это устройство могло варьироваться от простой палки до V-образных посохов, специально предназначенных для определения углов с помощью калиброванной шкалы. ^[31]

Легенды

В своей книге «Лилавати » он рассуждает: «В этой величине, которая имеет ноль в качестве делителя, также нет никаких изменений, даже когда в нее вошли или вышли [из нее] многие величины, так же как во время разрушения и творения, когда толпы существ входят в [него] и выходят из него, нет никаких изменений в] бесконечном и неизменном [Вишну]». ^[32]

«Смотрите!»

Несколько авторов утверждали, что Бхаскара II доказал теорему Пифагора, нарисовав диаграмму и указав одно слово «Смотри!». ^{[33] [34]} Иногда имя Бхаскары опускается, и это называется индуистским доказательством , хорошо известным школьникам. ^[35]

Однако, как отмечает историк математики Ким Плофкер, после представления разработанного примера Бхаскара II формулирует теорему Пифагора:

Следовательно, для краткости, квадратный корень из суммы квадратов катета и стойки есть гипотенуза: так это доказано. ^[36]

Далее следует:

И в противном случае, когда кто-то установил эти части фигуры там [просто] увидев [это достаточно]. ^[36]

Плофкер предполагает, что это дополнительное утверждение может быть первоисточником широко распространенной легенды «Behold!».

Наследие

В его честь назван ряд институтов и колледжей в Индии, в том числе Бхаскарачарья Пратиштхана в Пуне, Колледж прикладных наук Бхаскарачарья в Дели, Институт космических приложений и геоинформатики Бхаскарачарья в Гандинагаре.

20 ноября 1981 года Индийская организация космических исследований (ISRO) запустила спутник Bhaskara II в честь математика и астронома. ^[37]

Invis Multimedia выпустила «Бхаскарачарью» , индийский короткометражный документальный фильм о математике в 2015 году. ^{[38] [39]}

Смотрите также

• Список индийских математиков
• Кресло невесты
• Биджапаллава

Примечания

1. чтобы избежать путаницы с математиком 7-го века Бхаскара I ,

Ссылки

1. Victor J. Katz, ed. (10 августа 2021 г.). Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: справочник. Princeton University press. стр. 447. ISBN 978-0691114859.
2. Индийский журнал истории науки, том 35, Национальный институт наук Индии, 2000, стр. 77
3. MS Mate; Г.Т. Кулкарни, ред. (1974). Исследования по индологии и истории Средневековья: Том поздравлений профессора Г.Х. Харе. Джоши и Локханде Пракашан. стр. 42–47. ОСЛК  4136967.
4. KV Ramesh; SP Tewari; MJ Sharma, ред. (1990). Том поздравлений д-ра GS Gai. Agam Kala Prakashan. стр. 119. ISBN 978-0-8364-2597-0. OCLC  464078172.
5. Труды Индийского исторического конгресса, том 40, Индийский исторический конгресс, 1979, стр. 71
6. TA Saraswathi (2017). "Bhaskaracharya". Культурные лидеры Индии - Ученые . Отдел публикаций Министерства информации и вещания. ISBN 9788123024851.
7. गणिती (термин на языке маратхи, означающий «математики») Ачьюта Годболе и доктора Такурдесаи, Мановикас, первое издание 23 декабря 2013 г. стр. 34.
8. Математика в Индии Ким Плофкер, Princeton University Press, 2009, стр. 182
9. Алгебра с арифметикой и измерением с санскрита Брахмегупты и Бхаскары Генри Колбрука, Схолиасты Бхаскары, стр., xxvii
10. Сахни 2019, стр. 50.
11. Чопра 1982, стр. 52–54.
12. Плофкер 2009, стр. 71.
13. Пулоуз 1991, стр. 79.
14. С. Балачандра Рао (13 июля 2014 г.), Нью-Йорк Таймс ಾರ್ಯ, Виджаявани , с. 17 , получено 12 ноября 2019 г.^{[ ненадежный источник? ]}
15. Pingree 1970, стр. 299.
16. The Illustrated Weekly of India, Volume 95. Bennett, Coleman & Company, Limited, в Times of India Press. 1974. стр. 30. Дешастхи внесли вклад в математику и литературу, а также в культурное и религиозное наследие Индии. Бхаскарачарачарая был одним из величайших математиков древней Индии.
17. Бхау Даджи (1865). «Краткие заметки о возрасте и подлинности работ Арьябхаты, Варахамихиры, Брахмагупты, Бхаттопалы и Бхаскарачарьи». Журнал Королевского азиатского общества Великобритании и Ирландии. С. 392–406.
18. "1. Зажженные умы, стр. 39, автор APJ Абдул Калам, 2. Профессор Судакара Диведи (1855-1910), 3. Доктор Б. А. Салетор (индийская культура), 4. Публикации правительства Карнатаки, 5. Доктор Нарараджан (Лилавати 1989), 6. Подробности о профессоре Синивасе (Ганиташатра Критра, 1955 г., 7. Аалур Венкараяру (Карнатака Гатвибая, 1917 г.), 8. Заявление премьер-министра для прессы в Сараваде в 2018 г., 9. Васудев Херкал (статьи Сьюката Карнатака), 10. Манджунатх Сулали (Deccan Herald 19/04). /2010, 11. Индийская археология 1994-96. Обзор, стр. 32, д-р Р.К. Кулкарни. (Статьи)"
19. BISM quarterly, Пуна, т. 63, № 1, 1984, стр. 14-22
20. Scientist (13 июля 2014 г.), Нью-Йорк ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯ, Виджаявани , с. 21 , получено 12 ноября 2019 г.^{[ ненадежный источник? ]}
21. Стихи 128, 129 в Bijaganita Plofker 2007, стр. 476–477.
22. Математические достижения индийских математиков досовременного периода, автор TK Puttaswamy
23. Stillwell 2002, стр. 74.
24. Студенты и Британника Индия. 1. От А до С, Инду Рамчандани.
25. 50 Timeless Scientists от K.Krishna Murty
26. Шукла 1984, стр. 95–104.
27. Кук 1997, стр. 213–215.
28. "Великий математик Бхаратии Бхаскарачарья II". The Times of India . Получено 24 мая 2023 г.
29. IERS EOP PC Полезные константы. День SI или средний солнечный день равен 86400 секундам SI . От средней долготы, отнесенной к средней эклиптике и равноденствию J2000, приведенной в Simon, JL, et al., "Численные выражения для формул прецессии и средние элементы для Луны и планет" Astronomy and Astrophysics 282 (1994), 663–683. Bibcode :1994A&A...282..663S
30. Уайт 1978, стр. 52–53.
31. Селин 2008, стр. 269–273.
32. Кольбрук 1817.
33. Ивс 1990, стр. 228
34. Бертон 2011, стр. 106
35. Мазур 2005, стр. 19–20
36. Plofker 2007, стр. 477
37. Бхаскара, НАСА, 16 сентября 2017 г.
38. "Ананд Нараянан". IIST . Получено 21 февраля 2021 г. .
39. "Великий индийский математик - Бхаскарачарья". indiavideodotorg. 22 сентября 2015 г. Архивировано из оригинала 12 декабря 2021 г.

Библиография

• Бертон, Дэвид М. (2011), История математики: Введение (7-е изд.), McGraw Hill, ISBN 978-0-07-338315-6
• Ивс, Говард (1990), Введение в историю математики (6-е изд.), Saunders College Publishing, ISBN 978-0-03-029558-4
• Мазур, Джозеф (2005), Евклид в тропическом лесу , Plume, ISBN 978-0-452-28783-9
• Саркар, Беной Кумар (1918), Достижения индуистов в точной науке: исследование истории научного развития , Лонгманс, Грин и др.
• Сил, сэр Браджендранат (1915), Положительные науки древних индусов , Лонгманс, Грин и др.
• Кольбрук, Генри Т. (1817), Арифметика и измерение Брахмегупты и Бхаскары
• Уайт, Линн Таунсенд (1978), «Тибет, Индия и Малайя как источники западной средневековой технологии», Средневековая религия и технология: сборник эссе, Издательство Калифорнийского университета, ISBN 978-0-520-03566-9
• Селин, Хелайн , ред. (2008), «Астрономические инструменты в Индии», Энциклопедия истории науки, технологий и медицины в незападных культурах (2-е издание) , Springer Verlag Ny, ISBN 978-1-4020-4559-2
• Шукла, Крипа Шанкар (1984), «Использование исчисления в индуистской математике», Индийский журнал истории науки , 19 : 95–104
• Пингри, Дэвид Эдвин (1970), Перепись точных наук на санскрите, т. 146, Американское философское общество, ISBN 9780871691460
• Плофкер, Ким (2007), «Математика в Индии», в Katz, Victor J. (ред.), Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: Справочник , Princeton University Press, ISBN 9780691114859
• Плофкер, Ким (2009), Математика в Индии , Princeton University Press, ISBN 9780691120676
• Кук, Роджер (1997), «Математика индусов», История математики: краткий курс , Wiley-Interscience, стр. 213–215, ISBN 0-471-18082-3
• Пулосе, К.Г. (1991), К.Г. Пулосе (редактор), Научное наследие Индии, математика , Равиварма Самскрита грантхавали, том. 22, Правительство. Санскритский колледж (Трипунитура, Индия)
• Чопра, Пран Нат (1982), Религии и общины Индии , Vision Books, ISBN 978-0-85692-081-3
• Гунатилаке, Сусанта (1999), На пути к глобальной науке: добыча цивилизационных знаний , Indiana University Press, ISBN 978-0-253-21182-8
• Селин, Хелен ; Д'Амброзио, Убиратан , ред. (2001), «Математика в разных культурах: история не-западной математики», Science Across Cultures , 2 , Springer, ISBN 978-1-4020-0260-1
• Стиллвелл, Джон (2002), Математика и ее история, Бакалаврские тексты по математике , Springer, ISBN 978-0-387-95336-6
• Сахни, Мадху (2019), Педагогика математики, издательство Vikas, ISBN 978-9353383275

Дальнейшее чтение

• WW Рауз Болл. Краткое изложение истории математики , 4-е издание. Dover Publications, 1960.
• Джордж Гевергезе Джозеф. Гребень павлина: неевропейские корни математики , 2-е издание. Penguin Books , 2000.
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Бхаскара II», Архив истории математики Мактьютора , Университет Сент-Эндрюс Университет Сент-Эндрюс , 2000.
• Ян Пирс. Бхаскарачарья II в архиве MacTutor. Университет Сент-Эндрюс, 2002.
• Pingree, David (1970–1980). «Bhāskara II». Словарь научной биографии . Том 2. Нью-Йорк: Charles Scribner's Sons. С. 115–120. ISBN 978-0-684-10114-9.

Внешние ссылки

• 4to40 Биография