Формула Герона

Площадь треугольника через длины сторон

Треугольник со сторонами a , b и c.

В геометрии формула Герона (или формула Герона ) дает площадь треугольника через три длины сторон a , b , c . Пусть это полупериметр треугольника, площадь A равна ^[1] ${\displaystyle s}$ ${\textstyle s={\frac {1}{2}}(a+b+c),}$

${\displaystyle A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.}$

Он назван в честь инженера первого века Герона Александрийского (или Героя), который доказал это в своей работе «Метрика» , хотя, вероятно, он был известен столетиями раньше.

Пример

Пусть △ ABC — треугольник со сторонами a = 4 , b = 13 и c = 15 . Полупериметр этого треугольника равен

${\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}={\frac {4+13+15}{2}}=16}$

и поэтому площадь

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}={\sqrt {16\cdot (16-4)\cdot (16-13)\cdot (16-15)}}\\&={\sqrt {16\cdot 12\cdot 3\cdot 1}}={\sqrt {576}}=24.\end{aligned}}}$

В этом примере длины сторон и площадь являются целыми числами , что делает его героновым треугольником . Однако формула Герона одинаково хорошо работает и в тех случаях, когда одна или несколько длин сторон не являются целыми числами.

Альтернативные выражения

Формулу Герона также можно записать, используя только длины сторон, а не полупериметр, несколькими способами:

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}.\end{aligned}}}$

После разложения выражение под квадратным корнем представляет собой квадратичный многочлен от квадратов длин сторон a ² , b ² , c ² .

То же соотношение можно выразить с помощью определителя Кэли–Менгера , ^[2]

${\displaystyle -16A^{2}={\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{vmatrix}}.}$

История

Формула приписывается Герону (или Герою) Александрийскому ( ок. 60 г. н.э.) ^[3] , а доказательство можно найти в его книге «Метрика» . Историк математики Томас Хит предположил, что Архимед знал эту формулу более двух столетий назад ^[4] , и поскольку Метрика представляет собой собрание математических знаний, доступных в древнем мире, возможно, что формула появилась раньше, чем ссылка, приведенная в этой работе. ^[5]

Формула, эквивалентная формуле Герона, а именно:

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}c^{2}-\left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}}\right)^{2}}}}$

был обнаружен китайцами. Оно было опубликовано в «Математическом трактате в девяти разделах» ( Цинь Цзюшао , 1247). ^[6]

Доказательства

Есть много способов доказать формулу Герона, например, используя тригонометрию , как показано ниже, или центр и одну внешнюю окружность треугольника, ^[7] или как частный случай теоремы Де Гуа (для частного случая остроугольных треугольников), ^{[8] ]} или как частный случай формулы Брахмагупты (для случая вырожденного вписанного четырехугольника).

Тригонометрическое доказательство с использованием закона косинусов.

Далее следует современное доказательство, использующее алгебру и сильно отличающееся от доказательства Герона. ^[9] Пусть a , b , c — стороны треугольника, а α , β , γ — углы , противоположные этим сторонам. Применяя закон косинусов, получаем

${\displaystyle \cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}$

Треугольник со сторонами a, b и c

Из этого доказательства мы получаем алгебраическое утверждение, что

${\displaystyle \sin \gamma ={\sqrt {1-\cos ^{2}\gamma }}={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}{2ab}}.}$

Высота треугольника по основанию a имеет длину b sin γ , откуда следует

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\tfrac {1}{2}}({\mbox{base}})({\mbox{altitude}})\\[6mu]&={\tfrac {1}{2}}ab\sin \gamma \\[6mu]&={\frac {ab}{4ab}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2b^{2}c^{2}}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\[6mu]&={\sqrt {\left({\frac {a+b+c}{2}}\right)\left({\frac {-a+b+c}{2}}\right)\left({\frac {a-b+c}{2}}\right)\left({\frac {a+b-c}{2}}\right)}}\\[6mu]&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.\end{aligned}}}$

Алгебраическое доказательство с использованием теоремы Пифагора

Треугольник с высотой h , разрезающий основание c на d + ( c − d )

Следующее доказательство очень похоже на доказательство Райфайзена. ^[10] По теореме Пифагора имеем b ² = h ² + d ² и a ² = h ² + ( c − d ) ² согласно рисунку справа. Вычитание этих значений дает a ² - b ² знак равно c ² - 2 cd . Это уравнение позволяет нам выразить d через стороны треугольника:

${\displaystyle d={\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}.}$

Для высоты треугольника имеем h ² знак равно b ² - d ² . Заменив d формулой, приведенной выше, и применив тождество разности квадратов , получим

${\displaystyle {\begin{aligned}h^{2}&=b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)^{2}\\&={\frac {(2bc-a^{2}+b^{2}+c^{2})(2bc+a^{2}-b^{2}-c^{2})}{4c^{2}}}\\&={\frac {{\big (}(b+c)^{2}-a^{2}{\big )}{\big (}a^{2}-(b-c)^{2}{\big )}}{4c^{2}}}\\&={\frac {(b+c-a)(b+c+a)(a+b-c)(a-b+c)}{4c^{2}}}\\&={\frac {2(s-a)\cdot 2s\cdot 2(s-c)\cdot 2(s-b)}{4c^{2}}}\\&={\frac {4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^{2}}}.\end{aligned}}}$

Теперь применим этот результат к формуле, которая вычисляет площадь треугольника по его высоте:

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {ch}{2}}\\&={\sqrt {{\frac {c^{2}}{4}}\cdot {\frac {4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^{2}}}}}\\&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.\end{aligned}}}$

Тригонометрическое доказательство с использованием закона котангенсов.

Геометрическое значение s − a , s − b и s − c . См. закон котангенсов , чтобы понять причину этого.

Если r — радиус вписанной окружности треугольника, то треугольник можно разбить на три треугольника одинаковой высоты r и оснований a , b и c . Их общая площадь составляет

${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}ar+{\tfrac {1}{2}}br+{\tfrac {1}{2}}cr=rs,}$

где полупериметр. ${\textstyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$

Треугольник можно поочередно разбить на шесть треугольников (в конгруэнтных парах) высоты r и оснований s - a , s - b и s - c объединенной площади (см. закон котангенсов ).

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=r(s-a)+r(s-b)+r(s-c)\\[2mu]&=r^{2}\left({\frac {s-a}{r}}+{\frac {s-b}{r}}+{\frac {s-c}{r}}\right)\\[2mu]&=r^{2}\left(\cot {\frac {\alpha }{2}}+\cot {\frac {\beta }{2}}+\cot {\frac {\gamma }{2}}\right)\\[3mu]&=r^{2}\left(\cot {\frac {\alpha }{2}}\cot {\frac {\beta }{2}}\cot {\frac {\gamma }{2}}\right)\\[3mu]&=r^{2}\left({\frac {s-a}{r}}\cdot {\frac {s-b}{r}}\cdot {\frac {s-c}{r}}\right)\\[3mu]&={\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{r}}.\end{aligned}}}$

Средний шаг выше — это тождество тройного котангенса , которое применяется, поскольку сумма половинных углов равна ${\textstyle \cot {\tfrac {\alpha }{2}}+\cot {\tfrac {\beta }{2}}+\cot {\tfrac {\gamma }{2}}=\cot {\tfrac {\alpha }{2}}\cot {\tfrac {\beta }{2}}\cot {\tfrac {\gamma }{2}},}$ ${\textstyle {\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {\beta }{2}}+{\tfrac {\gamma }{2}}={\tfrac {\pi }{2}}.}$

Объединив эти два, мы получаем

${\displaystyle A^{2}=s(s-a)(s-b)(s-c),}$

откуда следует результат.

Численная стабильность

Формула Герона, приведенная выше, численно нестабильна для треугольников с очень маленьким углом при использовании арифметики с плавающей запятой . Стабильная альтернатива предполагает расположение длин сторон так, чтобы a ≥ b ≥ c , и вычисление ^{[11] [12]}

${\displaystyle A={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {{\big (}a+(b+c){\big )}{\big (}c-(a-b){\big )}{\big (}c+(a-b){\big )}{\big (}a+(b-c){\big )}}}.}$

Скобки в приведенной выше формуле необходимы для предотвращения числовой нестабильности в оценке.

Подобные формулы площади треугольника

Три другие формулы площади общего треугольника имеют структуру, аналогичную формуле Герона, но выражаются через различные переменные.

Во-первых, если m _a , m _b и m _c являются медианами сторон a , b и c соответственно, а их полусумма равна ^[13] ${\displaystyle \sigma ={\tfrac {1}{2}}(m_{a}+m_{b}+m_{c}),}$

${\displaystyle A={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c})}}.}$

Далее, если ha _, hb и hc — высоты сторон a , _b и c соответственно, а полусумма их обратных _{величин} равна [ ¹⁴ ] ${\displaystyle H={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1}{\bigr )},}$

${\displaystyle A^{-1}=4{\sqrt {H{\bigl (}H-h_{a}^{-1}{\bigr )}{\bigl (}H-h_{b}^{-1}{\bigr )}{\bigl (}H-h_{c}^{-1}{\bigr )}}}.}$

Наконец, если α , β и γ — три угловые меры треугольника, а полусумма их синусов равна [ ^{15] [16]} ${\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}(\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma ),}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=D^{2}{\sqrt {S(S-\sin \alpha )(S-\sin \beta )(S-\sin \gamma )}}\\[5mu]&={\tfrac {1}{2}}D^{2}\sin \alpha \,\sin \beta \,\sin \gamma ,\end{aligned}}}$

где D — диаметр описанной окружности . Эта последняя формула совпадает со стандартной формулой Герона, когда описанная окружность имеет единичный диаметр. ${\textstyle D={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}.}$

Обобщения

Циклический четырехугольник

Формула Герона является частным случаем формулы Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника . Формула Герона и формула Брахмагупты являются частными случаями формулы Бретшнейдера для площади четырехугольника . Формулу Герона можно получить из формулы Брахмагупты или формулы Бретшнайдера, приравняв одну из сторон четырехугольника к нулю.

Формула Брахмагупты дает площадь K вписанного четырехугольника , стороны которого имеют длины a , b , c , d как

${\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}$

где s , полупериметр , определяется как

${\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}.}$

Формула Герона также является частным случаем формулы площади трапеции или трапеции, рассчитанной только по ее сторонам. Формула Герона получается, если приравнять меньшую параллельную сторону к нулю.

Выразив формулу Герона с определителем Кэли – Менгера через квадраты расстояний между тремя заданными вершинами,

${\displaystyle A={\frac {1}{4}}{\sqrt {-{\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{vmatrix}}}}}$

иллюстрирует ее сходство с формулой Тартальи для объема трехсимплекса .

Другое обобщение формулы Герона на пятиугольники и шестиугольники, вписанные в круг, было обнаружено Дэвидом П. Роббинсом . ^[17]

Формула типа Герона для объема тетраэдра

Если U , V , W , u , v , w — длины ребер тетраэдра (первые три образуют треугольник; u напротив U и т. д.), то ^[18]

${\displaystyle {\text{volume}}={\frac {\sqrt {\,(-a+b+c+d)\,(a-b+c+d)\,(a+b-c+d)\,(a+b+c-d)}}{192\,u\,v\,w}}}$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\sqrt {xYZ}}\\b&={\sqrt {yZX}}\\c&={\sqrt {zXY}}\\d&={\sqrt {xyz}}\\X&=(w-U+v)\,(U+v+w)\\x&=(U-v+w)\,(v-w+U)\\Y&=(u-V+w)\,(V+w+u)\\y&=(V-w+u)\,(w-u+V)\\Z&=(v-W+u)\,(W+u+v)\\z&=(W-u+v)\,(u-v+W).\end{aligned}}}$

Формулы Герона в неевклидовой геометрии

Существуют также формулы площади треугольника через длины его сторон для треугольников на сфере или гиперболической плоскости . ^[19] Для треугольника в сфере с длинами сторон , половиной периметра и площади такая формула: ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle s=(a+b+c)/2}$ ${\displaystyle S}$

$${\displaystyle \tan ^{2}{\frac {S}{4}}=\tan {\frac {s}{2}}\tan {\frac {s-a}{2}}\tan {\frac {s-b}{2}}\tan {\frac {s-c}{2}}}$$

$${\displaystyle \tan ^{2}{\frac {S}{4}}=\tanh {\frac {s}{2}}\tanh {\frac {s-a}{2}}\tanh {\frac {s-b}{2}}\tanh {\frac {s-c}{2}}.}$$

Смотрите также

• Формула шнурков

Рекомендации

1. Кендиг, Кейт (2000). «Формула 2000-летней давности все еще хранит какие-то секреты?». Американский математический ежемесячник . 107 (5): 402–415. дои : 10.1080/00029890.2000.12005213. JSTOR  2695295. MR  1763392. S2CID  1214184.
2. Гавел, Тимоти Ф. (1991). «Некоторые примеры использования расстояний в качестве координат для евклидовой геометрии». Журнал символических вычислений . 11 (5–6): 579–593. дои : 10.1016/S0747-7171(08)80120-4 .
3. Ид, Юсуф; Кеннеди, ES (1969). «Средневековое доказательство формулы Герона». Учитель математики . 62 (7): 585–587. дои : 10.5951/MT.62.7.0585. JSTOR  27958225. MR  0256819.
4. Хит, Томас Л. (1921). История греческой математики . Том. II. Издательство Оксфордского университета. стр. 321–323.
5. Вайсштейн, Эрик В. «Формула Херона». Математический мир .
6. 秦, 九韶 (1773). «卷三上, 三斜求积».數學九章 (四庫全書本) (на китайском языке).
7. «Личное общение по электронной почте между математиками Джоном Конвеем и Питером Дойлом». 15 декабря 1997 года . Проверено 25 сентября 2020 г.
8. Леви-Леблон, Жан-Марк (14 сентября 2020 г.). «Симметричное трехмерное доказательство формулы Герона». Математический интеллект . 43 (2): 37–39. дои : 10.1007/s00283-020-09996-8 . ISSN  0343-6993.
9. Нивен, Иван (1981). Максимумы и минимумы без исчисления . Математическая ассоциация Америки. стр. 7–8.
10. Райфайзен, Клод Х. (1971). «Простое доказательство формулы Герона». Журнал «Математика» . 44 (1): 27–28. дои : 10.1080/0025570X.1971.11976093.
11. Стербенс, Пэт Х. (1 мая 1974 г.). Вычисление с плавающей запятой . Серия Прентис-Холла по автоматическим вычислениям (1-е изд.). Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси, США: Прентис Холл . ISBN 0-13-322495-3.
12. Уильям М. Кахан (24 марта 2000 г.). «Неверный расчет площади и углов игольчатого треугольника» (PDF) .
13. Бени, Арпад, «Формула типа Герона для треугольника», Mathematical Gazette 87, июль 2003 г., 324–326.
14. Митчелл, Дуглас В., «Формула типа Герона для обратной площади треугольника», Mathematical Gazette 89, ноябрь 2005 г., 494.
15. Митчелл, Дуглас В. (2009). «Формула площади типа цапли в терминах синусов». Математический вестник . 93 : 108–109. дои : 10.1017/S002555720018430X. S2CID  132042882.
16. Коцик, Ежи; Солецкий, Анджей (2009). «Распутывание треугольника» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 116 (3): 228–237. дои : 10.1080/00029890.2009.11920932. S2CID  28155804.
17. Д. П. Роббинс, «Площади многоугольников, вписанных в круг», Discr. Вычислить. Геом. 12, 223–236, 1994.
18. В. Кахан, «Какое отношение объем тетраэдра имеет к языкам компьютерного программирования?», [1], стр. 16–17.
19. Алексеевский, Д.В.; Винберг, Е.Б.; Солодовников А.С. (1993). «Геометрия пространств постоянной кривизны». В Гамкрелидзе Р.В.; Винберг, Э.Б. (ред.). Геометрия. II: Пространства постоянной кривизны . Энцикл. Математика. наук. Том. 29. Шпрингер-Верлаг. п. 66. ИСБН 1-56085-072-8.

Внешние ссылки

• Доказательство теоремы Пифагора на основе формулы Герона .
• Интерактивный апплет и калькулятор площади с использованием формулы Герона.
• Обсуждение Дж. Х. Конвея формулы Герона
• «Формула Герона и обобщение Брахмагупты». MathPages.com .
• Геометрическое доказательство формулы Герона
• Альтернативное доказательство формулы Герона без слов
• Факторинг Цапли